藍(lán)益鵬　陳其林　胡學(xué)成　劉宇菲

(沈陽工業(yè)大學(xué)電氣工程學(xué)院　沈陽　110870)

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磁懸浮永磁直線電動機(jī)控制系統(tǒng)非脆弱魯棒控制的研究

藍(lán)益鵬陳其林胡學(xué)成劉宇菲

(沈陽工業(yè)大學(xué)電氣工程學(xué)院沈陽110870)

摘要由于磁懸浮永磁直線電動機(jī)控制系統(tǒng)存在參數(shù)變化、擾動的不確定性以及控制器參數(shù)的攝動，因此對該電動機(jī)控制系統(tǒng)提出非脆弱魯棒控制，以實(shí)現(xiàn)數(shù)控機(jī)床磁懸浮永磁直線電動機(jī)驅(qū)動系統(tǒng)的精密控制。建立包含磁懸浮永磁直線電動機(jī)參數(shù)攝動和外界干擾的狀態(tài)空間模型；基于Riccati不等式，推導(dǎo)出滿足非脆弱魯棒性能指標(biāo)的H∞控制器的解析表達(dá)式；在Matlab環(huán)境下對控制系統(tǒng)進(jìn)行仿真研究，仿真結(jié)果表明磁懸浮永磁直線電動機(jī)控制系統(tǒng)對參數(shù)和擾動的不確定性以及對控制器參數(shù)攝動具有魯棒性，實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了該控制方法的有效性。

關(guān)鍵詞：磁懸浮永磁直線電動機(jī)控制系統(tǒng)非脆弱魯棒控制

0引言

磁懸浮永磁直線電動機(jī)是在永磁直線電動機(jī)的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)的特種直線電動機(jī)，以實(shí)現(xiàn)數(shù)控機(jī)床伺服系統(tǒng)加工過程中的直接驅(qū)動與無摩擦進(jìn)給。由于取消了中間環(huán)節(jié)以及處于磁懸浮運(yùn)行方式，電動機(jī)本身更容易受到自身參數(shù)變化和外部擾動的影響，即對不確定性的影響更加敏感[1-3]，因此，如何設(shè)計(jì)控制器來保證電動機(jī)的穩(wěn)定運(yùn)行顯得尤為重要。

數(shù)控機(jī)床磁懸浮永磁直線電動機(jī)控制系統(tǒng)通常是一個(gè)高精度的運(yùn)動控制系統(tǒng)[4，5]，不僅要求電動機(jī)在磁懸浮和直接驅(qū)動運(yùn)行過程中對參數(shù)攝動和外界干擾具有良好的抑制作用，為了保證足夠的加工精度和表面粗糙度，對控制器自身參數(shù)的攝動也要具有良好的魯棒性[6，7]，即要求整個(gè)系統(tǒng)是一個(gè)非脆弱魯棒控制系統(tǒng)。

本文提出一種非脆弱魯棒H∞控制方法，建立了包含磁懸浮永磁直線電動機(jī)參數(shù)攝動和外界干擾的狀態(tài)空間模型，推導(dǎo)出非脆弱H∞魯棒控制器的解析表達(dá)式。對控制系統(tǒng)進(jìn)行了仿真研究和部分實(shí)驗(yàn)研究。這對進(jìn)一步提高數(shù)控機(jī)床伺服系統(tǒng)的性能具有重要意義。

1磁懸浮永磁直線電動機(jī)的狀態(tài)空間數(shù)學(xué)模型

磁懸浮永磁直線電動機(jī)進(jìn)給系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型可描述為[8]

(1)

式中，F(xiàn)d為端部效應(yīng)力；Fl為負(fù)載阻力；v為動子線速度；Rs為動子電阻；L為d、q軸電感；Ψf為永磁體基波勵磁磁鏈；np為極對數(shù)；Kf為電磁推力系數(shù)；uq、iq分別為q軸動子電壓和電流。

令

由于電動機(jī)中電樞回路電流引起電阻溫度上升，導(dǎo)致Rs發(fā)生變化，并且磁路飽和程度不同，引起電感L發(fā)生變化，且永磁體充磁的不均勻性，特別是懸浮高度不同，導(dǎo)致Ψf發(fā)生變化。因此需要考慮參數(shù)攝動問題的數(shù)學(xué)模型改寫為

(2)

2磁懸浮永磁直線電動機(jī)非脆弱魯棒H∞控制的描述

將式(2)簡寫為

(3)

式中，A、B1、B2、C1、D12均為已知矩陣；ΔA、ΔB為參數(shù)攝動矩陣，且

[ΔA,ΔB]=EΣ[Fa,Fb]

(4)

式中，E、Fa、Fb均為已知常數(shù)矩陣；Σ為未知矩陣，且Σ∈Ω， ΣTΣ≤1。

C1、D12為加權(quán)系數(shù)矩陣，分別為

考慮控制器攝動針對系統(tǒng)(3)設(shè)計(jì)的控制器為

(5)

將控制器(5)代入ΔA、ΔB的表達(dá)式中，整理得

(6)

式中

Ak=A+B2(K+ΔK), ΔAk=EΣFk

Fk=Fa+Fb(K+ΔK), Ck=C1+D12(K+ΔK)

(7)

從擾動w到評價(jià)函數(shù)z的傳遞函數(shù)為

(8)

3磁懸浮永磁直線電動機(jī)非脆弱魯棒H∞控制器的設(shè)計(jì)

引理1[9]：對于任意矩陣M、N、E和F(FTF

HFE+ETFTHT≤ε-1HHT+εETE

(9)

引理2[10]：對于任意適當(dāng)維數(shù)的矩陣M、N、E和F(FTF>1)，對于任意常數(shù)ε>0， 則式(10)成立

(M+HFE)TX-1(M+HFE)<

MT(X-ε-1HHT)M+ε-1EET

(10)

定理：對于給定的被控對象(3)，存在非脆弱狀態(tài)反饋控制器式(5)，使得式(8)對于任意的Σ∈Ω都成立的充分必要條件是：對于任意常數(shù)ε1、ε2、ε3、ε4均大于0，Riccati不等式為

(11)

存在正定解X，則閉環(huán)系統(tǒng)內(nèi)部穩(wěn)定，且滿足H∞魯棒性能準(zhǔn)則。相應(yīng)的控制器表達(dá)式為

(12)

證明：

1)必要性

由H∞性能指標(biāo)與Riccati不等式的等價(jià)性，存在適當(dāng)?shù)恼ň仃嘪使式(13)成立。

(13)

將式(7)代入式(13)得到

X[A+ΔA+(B2+ΔB)(K+ΔK)]+

[A+ΔA+(B2+ΔB)(K+ΔK)]TX+

(14)

整理得

ATX+XA+(B2K)TX+XB2K+X(ΔA+ΔBK)+

(ΔA+ΔBK)TX+XB2ΔK+(B2ΔK)TX+XΔBΔK+

[(C+D12K)+D12ΔK]<0

(15)

考慮引理1和引理2，將式(15)進(jìn)一步整理得

(16)

(17)

式(17)兩邊同時(shí)加上

得到

(18)

式中

(19)

當(dāng)S=0，控制器K的表達(dá)式為

(20)

相應(yīng)Riccati不等式為

(21)

2)充分性

假設(shè)存在任意常數(shù)ε1、ε2、ε3、ε4>0，使得Riccati不等式(21)成立且存在正定解X，構(gòu)造如式(20)的狀態(tài)反饋控制器，恒等式

因此不等式

4仿真與實(shí)驗(yàn)結(jié)果

4.1磁懸浮永磁直線電動機(jī)非脆弱魯棒控制仿真研究

磁懸浮永磁直線電動機(jī)的參數(shù)：動子質(zhì)量M=50 kg，動子電阻Rs=1.687 8 Ω，d、q軸電感相等均為L=25.92 mH，極對數(shù)np=3，永磁體基波勵磁磁鏈Ψf=0.175 4 Wb，極距τ=33 mm。當(dāng)懸浮高度在0～2.5 mm之間變化時(shí)，對樣機(jī)進(jìn)行實(shí)際測試得到參數(shù)攝動最大值為：Δ1=7.5%，Δ2=12.5%，Δ3=10%。

取攝動形式的矩陣Σk為

圖1　電流響應(yīng)曲線Fig.1　Current response curve

圖2　速度響應(yīng)曲線Fig.2　Speed response curve

圖3　位移響應(yīng)曲線Fig.3　Displacement response curve

由圖可知，設(shè)計(jì)的非脆弱的H∞魯棒控制器使閉環(huán)系統(tǒng)在0.4 s時(shí)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，且位移無超調(diào)。當(dāng)控制器產(chǎn)生攝動增益時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)同樣可在0.4 s時(shí)趨于穩(wěn)定，電流響應(yīng)曲線和速度響應(yīng)曲線無太大變化，位移響應(yīng)曲線與攝動前相比基本一致，表明系統(tǒng)對控制器參數(shù)變化有魯棒性。

4.2磁懸浮永磁直線電動機(jī)非脆弱魯棒控制與PI控制的仿真對比

將非脆弱魯棒控制與PI控制方法進(jìn)行對比，在0.6 s時(shí)突加外部擾動，在0.7 s時(shí)卸去擾動，得到電流、速度和位移響應(yīng)曲線如圖4～圖6所示，圖中1線為非脆弱魯棒控制，2線為PI控制。受到參數(shù)攝動的影響，PI控制方法在尚未完全進(jìn)入穩(wěn)態(tài)的情況下，非脆弱魯棒控制已能較好地實(shí)現(xiàn)對系統(tǒng)的控制作用，即對不確定性的影響具有魯棒性。

圖4　電流響應(yīng)曲線Fig.4　Current response curve

圖5　速度響應(yīng)曲線Fig.5　Speed response curve

圖6　位移響應(yīng)曲線Fig.6　Displacement response curve

4.3磁懸浮永磁直線電動機(jī)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果

圖7　磁懸浮永磁直線電動機(jī)控制系統(tǒng)Fig.7　The control system of magnetic levitation permanent magnet linear motor

速度參考值對應(yīng)的標(biāo)幺值為：Speedref=0.1，對應(yīng)于0.8 Hz，周期1.25 s，速度52.8 mm/s。直流母線電壓Ud=80 V。此時(shí)，對直流中性點(diǎn)o′的相電壓Uao′和Ubo′波形如圖8所示，相電壓只有±Ud/2兩個(gè)電平，即+40 V和-40 V。線電壓波形如圖9所示，Uab=Uao′-Ubo′。 Uab線電壓波形有±Ud和0三個(gè)電平，即±80 V和0 V，圖9的波形中相對寬的地方是減速反向過程，與理論分析結(jié)果一致?？蛰d起動時(shí)，用示波器測量電動機(jī)的A相電流波形如圖10所示，與電動機(jī)動態(tài)過程分析一致。

圖8　Uao′、Ubo′相電壓波形Fig.8　Uao′ and Ubo′ phase voltage waveform

圖9　減速反向過程Uab線電壓波形Fig.9　Reverse the process of deceleration Uab line voltage waveform

圖10　A相電流波形Fig.10　A phase current waveform

為測試在非脆弱魯棒控制時(shí)系統(tǒng)對參考信號的跟隨性能，在實(shí)驗(yàn)中，速度參考值遇到限位開關(guān)時(shí)反向，電動機(jī)的速度能夠較好地跟隨輸入變化。系統(tǒng)為數(shù)字控制系統(tǒng)，采用直線光柵尺測速，速度是經(jīng)過DSP計(jì)算后在虛擬示波器上進(jìn)行顯示的，其計(jì)算過程需要采用標(biāo)幺值。當(dāng)速度的標(biāo)幺值調(diào)整為0.08時(shí)，對應(yīng)的速度為42.24 mm/s，采用虛擬示波器測量的v波形如圖11所示，對應(yīng)的q軸電流波形如圖12所示。圖中，進(jìn)給系統(tǒng)具有對參考信號的快速跟隨作用，而波形波動明顯，主要是因?yàn)閯幼犹幱趹腋顟B(tài)所引起。通過以上的實(shí)驗(yàn)研究，對該電動機(jī)非脆弱魯棒控制的可行性進(jìn)行了實(shí)際驗(yàn)證。

圖11　速度波形Fig.11　Velocity waveforms

圖12　q軸電流波形Fig.12　Iq current waveforms

5結(jié)論

1)針對磁懸浮永磁直線電動機(jī)的特殊運(yùn)行方式，特別是要運(yùn)行在不同的懸浮高度，存在參數(shù)攝動突出的問題，建立了包含磁懸浮永磁直線電動機(jī)參數(shù)攝動和不確定性擾動的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而得到描述系統(tǒng)魯棒控制的狀態(tài)空間模型。

2)根據(jù)H∞性能指標(biāo)與Riccati不等式的等價(jià)性，推導(dǎo)出參數(shù)不確定性的磁懸浮永磁直線電動機(jī)控制系統(tǒng)的非脆弱魯棒H∞控制器的解析表達(dá)式。

3)在Matlab下，對非脆弱魯棒H∞控制的磁懸浮永磁直線電動機(jī)系統(tǒng)進(jìn)行了仿真研究，該控制器能夠有效抑制電動機(jī)參數(shù)變化、控制器參數(shù)攝動及外部擾動對控制系統(tǒng)的影響。

4)對磁懸浮永磁直線電動機(jī)控制系統(tǒng)進(jìn)行了部分實(shí)驗(yàn)研究。測量了系統(tǒng)的相電壓和線電壓，空載起動時(shí)相電流以及速度波形，與理論分析結(jié)果基本一致。通過實(shí)驗(yàn)對該電動機(jī)磁懸浮運(yùn)行的可行性進(jìn)行了實(shí)際驗(yàn)證，為進(jìn)一步深入研究提供了科學(xué)依據(jù)。

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藍(lán)益鵬男，1962年生，副教授，博士，博士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)殡姍C(jī)及其控制、魯棒控制。

E-mail：lanyipengg@163.com(通信作者)

陳其林男，1990年生，碩士研究生，研究方向?yàn)橹本€電機(jī)伺服系統(tǒng)。

E-mail：1172732825@qq.com

Research on Non-Fragile Robust Control for Magnetic Levitation Permanent Magnet Linear Motor Control System

LanYipengChenQilinHuXuechengLiuYufei

(School of Electrical EngineeringShenyang University of TechnologyShenyang110870China)

AbstractIn the magnetic levitation permanent magnet linear motor control system, there are the problems of parameter variation, disturbance uncertainties, and parameter perturbation in controller. Therefore, in order to realize the precise control for the levitation permanent magnet linear motor drive system of computerized numerical control machine tools, the non-fragile robust control is proposed. The state-space model considering magnetic levitation permanent magnet linear motor parameters perturbation and external disturbances is firstly set up. Then, based on Riccati inequality, the analytic expressions of the H∞ controller are derived to meet the non-fragile robust performance. The simulation research is carried out with the Matlab software. Simulation results show that the magnetic levitation permanent magnet linear motor control system has robustness for the parameter and disturbance uncertainties as well as the controller parameter perturbation. The results of the experimental prove the effectiveness of the control method.

Keywords：Magnetic levitation，permanent magnet linear motor，control system，non-fragile robust control

作者簡介

中圖分類號：TM 383

收稿日期2015-09-10改稿日期2015-12-02

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(50975181)。