李靜年，周文祥，李政璋

(1.西南交通大學(xué) 牽引動(dòng)力國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 成都 610031；2.西南交通大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，四川 成都 610031)

列車(chē)在行駛過(guò)程中車(chē)輪與鋼軌相對(duì)滑動(dòng)產(chǎn)生磨耗，為了能夠檢測(cè)鋼軌或車(chē)輪磨耗后的斷面曲線(xiàn)，一些接觸式測(cè)量?jī)x應(yīng)運(yùn)而生，包括丹麥綠林公司生產(chǎn)的Miniprof二連桿測(cè)量?jī)x和牽引動(dòng)力國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室研制的五連桿測(cè)量?jī)x，其測(cè)量桿末端與測(cè)量輪連接，測(cè)量輪滾過(guò)被測(cè)對(duì)象，如鋼軌軌頭斷面或車(chē)輪踏面外形。連桿機(jī)構(gòu)帶動(dòng)編碼器旋轉(zhuǎn)，檢測(cè)系統(tǒng)采集到角度數(shù)據(jù)。通過(guò)角度數(shù)據(jù)和數(shù)學(xué)模型只能得到測(cè)量輪的輪心坐標(biāo)，要想得到被測(cè)對(duì)象斷面曲線(xiàn)的坐標(biāo)數(shù)據(jù)，還需要對(duì)輪心軌跡二維數(shù)組進(jìn)行半徑補(bǔ)償。二維半徑補(bǔ)償?shù)某Ｓ盟惴ㄓ袦y(cè)量方向補(bǔ)償法、線(xiàn)線(xiàn)補(bǔ)償法、二點(diǎn)補(bǔ)償法和三點(diǎn)共圓補(bǔ)償法等[1]。但是這些方法中采用了離散數(shù)組的數(shù)值處理方法(類(lèi)似圖像點(diǎn)處理方法)，由于五連桿測(cè)量?jī)x計(jì)算得到的離散輪心坐標(biāo)數(shù)組量化誤差較大，使用這些算法不盡理想。

考慮到求被測(cè)對(duì)象斷面曲線(xiàn)(下文簡(jiǎn)稱(chēng)被測(cè)曲線(xiàn))就是輪心曲線(xiàn)沿法矢方向偏移測(cè)頭半徑長(zhǎng)度的結(jié)果，曲線(xiàn)擬合已廣泛應(yīng)用于測(cè)頭半徑補(bǔ)償過(guò)程。文獻(xiàn)[2-5]運(yùn)用三次樣條函數(shù)和二次曲面直接擬合輪心曲線(xiàn)，效果比較明顯，但針對(duì)復(fù)雜曲面存在一定局限性。19世紀(jì)，F(xiàn)ourier得出任意周期函數(shù)都能展開(kāi)成Fourier級(jí)數(shù)的結(jié)論。Fourier級(jí)數(shù)促進(jìn)了偏微分方程理論的發(fā)展，成功解決了關(guān)于弦振動(dòng)問(wèn)題的解的爭(zhēng)論；同時(shí)，F(xiàn)ourier級(jí)數(shù)是“信號(hào)與系統(tǒng)”課程的核心，也是處理科學(xué)和工程諸多問(wèn)題不可或缺的理論工具。另一方面，F(xiàn)ourier函數(shù)擬合也被運(yùn)用到各種實(shí)際問(wèn)題中。文獻(xiàn)[6]用傅里葉級(jí)數(shù)對(duì)客運(yùn)量進(jìn)行擬合與預(yù)測(cè)，得到了較好的效果。文獻(xiàn)[7]利用Fourier級(jí)數(shù)時(shí)間序列模型擬合出自然災(zāi)害損失的變化趨勢(shì)，并對(duì)未來(lái)5年內(nèi)的情況進(jìn)行了高精度的預(yù)測(cè)。本文也嘗試用Fourier函數(shù)對(duì)車(chē)輪踏面曲線(xiàn)進(jìn)行擬合。

1 輪心曲線(xiàn)擬合法

1.1 傳統(tǒng)半徑補(bǔ)償方法

傳統(tǒng)方法中采用兩點(diǎn)法進(jìn)行測(cè)量輪半徑的補(bǔ)償，如圖1所示，已知測(cè)量輪中心C1、C2兩個(gè)相鄰點(diǎn)坐標(biāo)，過(guò)C1作C1C2的垂直線(xiàn)與被測(cè)量的踏面曲線(xiàn)相交于O3，可得出△C1C2B與△C1O3C相似，從而得出點(diǎn)O3即踏面曲線(xiàn)上的點(diǎn)的坐標(biāo)。

圖1 測(cè)輪半徑補(bǔ)償

1.2 曲線(xiàn)擬合半徑補(bǔ)償方法

由于計(jì)算過(guò)程中只得到離散的輪心曲線(xiàn)坐標(biāo)，在傳統(tǒng)半徑補(bǔ)償過(guò)程中用差商代替導(dǎo)數(shù)值計(jì)算求出切點(diǎn)坐標(biāo)(x，y)的值，此計(jì)算方法存在一定誤差，而且編碼器量化(取整)使數(shù)據(jù)產(chǎn)生局部趨勢(shì)，數(shù)據(jù)整體不夠平滑，半徑補(bǔ)償后的曲線(xiàn)容易出現(xiàn)自相交[8]，同時(shí)也增大了測(cè)量數(shù)據(jù)的誤差值。為解決自相交的問(wèn)題，并進(jìn)一步提高精度，嘗試用曲線(xiàn)擬合的方法得到輪心的擬合函數(shù)曲線(xiàn)，用擬合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)值計(jì)算半徑補(bǔ)償，求得被測(cè)曲線(xiàn)。

對(duì)于閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)f(x)，其Fourier展開(kāi)若收斂必收斂于f(x)本身，即f(x)可以表示為

(1)

n=0，1，2，…，∞

(2)

n=1，2，…，∞

(3)

車(chē)輪曲線(xiàn)及其輪心曲線(xiàn)屬于自由曲線(xiàn)。對(duì)于曲線(xiàn)擬合，擬合函數(shù)的選擇影響擬合的結(jié)果，而對(duì)于任何閉區(qū)間上連續(xù)的自由曲線(xiàn)，其Fourier展開(kāi)若收斂必定收斂于其本身[9]，故考慮用n階Fourier函數(shù)擬合輪心曲線(xiàn)。

最小二乘曲線(xiàn)擬合中的度量指標(biāo)向量的2范數(shù)達(dá)到最小[10]，即

(4)

如果令

f=[f(x1)f(x2) …f(xN)]T

φi=[φi(x1)φi(x2) …φi(xN)]T

s=[s(x1)s(x2) …s(xN)]T

式(4)可化簡(jiǎn)為

(5)

在內(nèi)積表示下

(f，f)-2(f，s)+(s，s)

(6)

由于

(s，s)=(a0，a1，b1，…，an，bn)·

(7)

(8)

(9)

F(a0，a1，b1，…，an，bn)在R2n+1上連續(xù)，且存在偏導(dǎo)數(shù)。令各偏導(dǎo)為0，有

(10a)

(10b)

可得

(11)

求解出式(11)代入s(x)可以得到

(12)

2 算例

為了能刻畫(huà)出上文敘述方法所產(chǎn)生的誤差，本文采用誤差模型為：標(biāo)準(zhǔn)曲線(xiàn)偏移測(cè)量輪的半徑長(zhǎng)度得到輪心標(biāo)準(zhǔn)曲線(xiàn)，離散化獲取一組輪心坐標(biāo)，帶入五連桿逆解模型，求得一組對(duì)應(yīng)的編碼器角度值，取整之后帶入五連桿正解模型，得到一組輪心坐標(biāo)。對(duì)這一組輪心坐標(biāo)進(jìn)行曲線(xiàn)擬合，并利用1.2節(jié)描述的方法求得擬合曲線(xiàn)包絡(luò)，求得的包絡(luò)即是實(shí)際斷面曲線(xiàn)。通過(guò)比較實(shí)際斷面曲線(xiàn)與標(biāo)準(zhǔn)曲線(xiàn)，計(jì)算法向誤差。如圖2所示。

圖2 誤差模型

用MATLAB編出程序語(yǔ)言，以TB/T 449—2003《機(jī)車(chē)車(chē)輛車(chē)輪輪緣踏面外形》中JM3的幾何標(biāo)準(zhǔn)曲線(xiàn)帶入計(jì)算，為了提高擬合精度，減少計(jì)算量，將輪心坐標(biāo)分成5段分別用8階Fourier函數(shù)進(jìn)行擬合。Fourier函數(shù)擬合的誤差均維持為微米級(jí)，半徑補(bǔ)償結(jié)果如圖3所示，計(jì)算誤差如圖4所示。用傳統(tǒng)方法進(jìn)行半徑補(bǔ)償?shù)玫降挠?jì)算誤差如圖5所示。

圖3 曲線(xiàn)擬合半徑補(bǔ)償后的被測(cè)曲線(xiàn)

圖4 曲線(xiàn)擬合半徑補(bǔ)償誤差結(jié)果

圖5 傳統(tǒng)方法半徑補(bǔ)償誤差結(jié)果

誤差結(jié)果顯示，利用該方法所產(chǎn)生的誤差絕對(duì)值小于3×10-4mm，在x=30附近誤差相對(duì)較大，這是因?yàn)樵擖c(diǎn)所對(duì)應(yīng)的輪心曲線(xiàn)上的點(diǎn)處斜率發(fā)生突變，導(dǎo)致導(dǎo)數(shù)不連續(xù)。不過(guò)該點(diǎn)對(duì)結(jié)果影響不大。故被測(cè)對(duì)象具有較高的參考價(jià)值。

以下用Miniprof測(cè)量磨耗后的CRH5型車(chē)輪踏面的數(shù)據(jù)進(jìn)行Fourier曲線(xiàn)擬合，如圖6所示，擬合效果符合要求。

圖6 曲線(xiàn)擬合磨耗后的車(chē)輪輪心曲線(xiàn)

3 結(jié)束語(yǔ)

由算例結(jié)果可知，采用本文的半徑補(bǔ)償方法，通過(guò)求解輪心擬合曲線(xiàn)包絡(luò)的方式計(jì)算磨耗曲線(xiàn)能夠較好地消除由編碼器量化所產(chǎn)生的局部趨勢(shì)，并減小由編碼器量化和半徑補(bǔ)償過(guò)程帶來(lái)的誤差。并且該方法也成功擬合出磨耗后的車(chē)輪輪心曲線(xiàn)。本文采用8階Fourier函數(shù)對(duì)由標(biāo)準(zhǔn)曲線(xiàn)經(jīng)角度量化后得到的輪心曲線(xiàn)進(jìn)行擬合，利用 MATLAB軟件編程實(shí)現(xiàn)，擬合誤差在微米級(jí)，通過(guò)求解輪心擬合曲線(xiàn)的包絡(luò)得到實(shí)際斷面曲線(xiàn)。與標(biāo)準(zhǔn)曲線(xiàn)比較，誤差(法向距離)控制在微米以?xún)?nèi)。

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