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利用函數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題

■徐凱欽指導(dǎo)老師：劉培訓(xùn)

實(shí)際生活當(dāng)中，經(jīng)常要碰到一些求解有關(guān)費(fèi)用最省、路程最短、用時(shí)最少、利潤(rùn)最大、效率最高等問題，這些問題通常稱為生活中的優(yōu)化問題。根據(jù)近年的高考試卷分析，導(dǎo)數(shù)與生活的優(yōu)化問題也逐漸成為高考的熱點(diǎn)之一。我們可以利用導(dǎo)數(shù)來求解相關(guān)函數(shù)的最值的方法來解決這類問題。根據(jù)題設(shè)建立數(shù)學(xué)模型，借助相互關(guān)系尋找各條件間的聯(lián)系，適當(dāng)選定變量，構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，通過求導(dǎo)數(shù)來解決實(shí)際問題，給出合理最佳的決策方案。

一、函數(shù)最值的實(shí)際應(yīng)用問題

解有關(guān)函數(shù)最大(小)值的實(shí)際問題，需要分析問題中各個(gè)變量之間的關(guān)系，建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系式，并確定函數(shù)的定義域，通過創(chuàng)造在閉區(qū)間內(nèi)求函數(shù)最值的情境，借助函數(shù)的導(dǎo)數(shù)這一工具，從數(shù)學(xué)角度逐步解決實(shí)際問題，求得的結(jié)果要符合問題的實(shí)際意義。

二、實(shí)際問題的最大(小)值的解題步驟

(1)建立實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型，寫出實(shí)際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系y=f(x)；

(2)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′(x)，解方程f′(x)=0，求出極值點(diǎn)；

(3)比較函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)和極值點(diǎn)處的取值大小，確定其最大(小)者為最大(小)值。

三、實(shí)際生活中的導(dǎo)數(shù)應(yīng)用

根據(jù)近年的高考試卷分析，導(dǎo)數(shù)與生活的優(yōu)化問題也逐漸成為高考的熱點(diǎn)之一。我們可以利用導(dǎo)數(shù)來求解相關(guān)函數(shù)的最值的方法來解決這類問題。根據(jù)題設(shè)建立數(shù)學(xué)模型，借助相互關(guān)系尋找各條件間的聯(lián)系，適當(dāng)選定變量，構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，通過求導(dǎo)數(shù)來解決實(shí)際問題，給出合理最佳的決策方案。

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用問題，考查將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力，通過函數(shù)關(guān)系式的求導(dǎo)、單調(diào)性的判斷、極值的判斷與最值的應(yīng)用來確定解決實(shí)際問題的能力。

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)來解決有關(guān)的平面幾何中的實(shí)際應(yīng)用問題。在解決有關(guān)平面幾何問題中，當(dāng)直接處理有問題時(shí)可以轉(zhuǎn)化，利用函數(shù)的性質(zhì)來處理有關(guān)的問題。通過對(duì)函數(shù)關(guān)系式求導(dǎo)的方法，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值問題。

作者單位：武漢市武鋼三中高三(1)班