李文達，杜敬濤，楊鐵軍，劉志剛

(哈爾濱工程大學(xué) 動力與能源工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001)

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基于改進傅里葉級數(shù)方法的旋轉(zhuǎn)功能梯度圓柱殼振動特性分析

李文達，杜敬濤，楊鐵軍，劉志剛

(哈爾濱工程大學(xué) 動力與能源工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001)

摘要：通過在功能梯度圓柱殼結(jié)構(gòu)兩端引入軸向、環(huán)向、徑向和徑向旋轉(zhuǎn)四組約束彈簧剛度，統(tǒng)一考慮了的彈性約束邊界條件，將功能梯度材料特性表示成沿殼體厚度方向的連續(xù)性變化，根據(jù)Love薄殼理論，采用改進傅里葉級數(shù)方法和Rayleigh-Ritz法相結(jié)合，推導(dǎo)得到旋轉(zhuǎn)功能梯度圓柱殼自由振動的頻率計算方程。通過計算分析，模擬了任意邊界條件，研究了彈性邊界約束對旋轉(zhuǎn)功能梯度圓柱殼結(jié)構(gòu)自由振動頻率的影響。結(jié)果表明：邊界約束剛度對于功能梯度圓柱殼結(jié)構(gòu)固有頻率敏感影響區(qū)域不同，徑向彈性約束對頻率影響較明顯，環(huán)向彈性約束其次，軸向彈性約束對頻率影響較小，而徑向旋轉(zhuǎn)彈性約束對頻率幾乎無影響。

關(guān)鍵詞：旋轉(zhuǎn)功能梯度圓柱殼；彈性邊界約束；傅里葉級數(shù)；自由振動；頻率參數(shù)

功能梯度材料是一種組分隨空間連續(xù)變化且具有特定功能的新型復(fù)合材料，具有耐高溫、抗疲勞、強度高、韌性好等優(yōu)點。高性能功能梯度圓柱殼結(jié)構(gòu)在航空發(fā)動機、航天飛機、火箭及化工設(shè)備等具有廣泛應(yīng)用前景，正日益取代單一材料的普通圓柱殼結(jié)構(gòu)，成為該結(jié)構(gòu)形式新的發(fā)展趨勢[1]。

Loy等[2]利用Love殼體理論的應(yīng)變-位移幾何描述分析了功能梯度圓柱殼的自由振動特性，計算了兩端簡支功能梯度圓柱殼的頻率，討論了材料體積分?jǐn)?shù)和組分材料配置對頻率的影響。杜長城等[3]利用Donnell殼體理論，推導(dǎo)了功能梯度材料薄壁圓柱殼線性振動的簡化控制方程，分析了自由振動特性。Haddadpour[4]和Sheng[5]等研究了熱環(huán)境中功能梯度圓柱殼的自由振動。項松等[6]計算了簡支各向同性和功能梯度圓柱殼的頻率，研究了冪指數(shù)、x和θ方向的波數(shù)、厚徑比對簡支旋轉(zhuǎn)功能梯度圓柱殼頻率的影響。項爽[7]分析了各種參數(shù)對旋轉(zhuǎn)功能梯度圓柱殼的振動特性的影響。

由文獻[1-9]可知，前人對旋轉(zhuǎn)功能梯度圓柱殼結(jié)構(gòu)的研究集中考慮了經(jīng)典邊界條件的組合。事實上，邊界條件作為影響結(jié)構(gòu)振動特性的重要因素，有必要探究彈性邊界約束對旋轉(zhuǎn)功能梯度圓柱殼結(jié)構(gòu)自由振動特性的影響。

本文采用一種改進傅里葉級數(shù)方法建立了彈性約束邊界條件下旋轉(zhuǎn)功能梯度圓柱殼結(jié)構(gòu)振動分析模型?；贚ove殼體理論，采用一種改進傅里葉級數(shù)方法[10-13]和Rayleigh-Ritz法對旋轉(zhuǎn)功能梯度圓柱殼自由振動進行建模，推導(dǎo)出頻率計算方程。通過算例，分析了彈性邊界約束對振動固有特性的影響。

1理論建模

圖1所示為彈性邊界約束下旋轉(zhuǎn)功能梯度圓柱殼結(jié)構(gòu)，R、H、L和Ω為圓柱殼中曲面半徑、厚度、長度和轉(zhuǎn)速，在其中曲面上建立參考柱坐標(biāo)系(x,θ,z)，u、v、w分別為圓柱殼中曲面沿x、θ、z方向的位移。k1、k2、k3和k4分別為施加于圓柱殼左端x、θ、z方向的線性約束彈簧和z方向的旋轉(zhuǎn)約束彈簧；k5、k6、k7和k8分別為施加于圓柱殼右端x、θ、z方向的線性約束彈簧和z方向的旋轉(zhuǎn)約束彈簧。通過將彈簧剛度系數(shù)設(shè)置為零或無窮大，可以得到任意經(jīng)典邊界條件，簡支、自由或固支，如表1所示；將彈簧剛度設(shè)置為不同的數(shù)值，則可模擬任意彈性約束。

圖1　旋轉(zhuǎn)功能梯度圓柱殼結(jié)構(gòu)及其邊界約束Fig. 1　Rotating FGM cylindrical shell structure with elastically restrained edges

自由邊界(F)簡支邊界(S)固支邊界(C)k1=k4=0k1=k4=0k1=k4=1012k2=k3=0k2=k3=1012k2=k3=1012

圖1截面顯示圓柱殼材料為功能梯度材料，其物理性能參數(shù)表示為沿殼體厚度呈梯度變化形式：

(1)

式中：Ei和Eo分別為內(nèi)、外表面材料楊氏模量，μi和μo分別為內(nèi)、外表面泊松比，ρi和ρo分別為內(nèi)、外表面質(zhì)量密度,N為非負(fù)實數(shù)冪指數(shù)?？梢园l(fā)現(xiàn)：當(dāng)z=-H/2時，E=Ei，μ=μi，ρ=ρi，圓柱殼材料為單一外表面材料；當(dāng)z=H/2時，E=Eo，μ=μo，ρ=ρo，圓柱殼材料為單一內(nèi)表面材料。

1.1能量原理描述

旋轉(zhuǎn)功能梯度圓柱殼動能表達式為

(2)

功能梯度圓柱殼結(jié)構(gòu)自由振動的應(yīng)變能描述為

(3)

式中：σx、σθ、τxθ和εx、εθ、εxθ分別表示點(x,θ,z)處的應(yīng)力分量和應(yīng)變分量。

根據(jù)Love薄殼理論，位移-應(yīng)變關(guān)系為

(4)

(5)

(6)

平面應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系表示為

(7)

其中

(8)

由旋轉(zhuǎn)引起的旋轉(zhuǎn)功能梯度圓柱殼的初應(yīng)變能表達式為

(9)

儲存于邊界約束彈簧中的彈性勢能表達式為

(10)

將下式：

(11)

(12)

代入動能表達式(2)、應(yīng)變能表達式(3)和初應(yīng)變能表達式(9)中，即可消除應(yīng)變能、初應(yīng)變能和動能表達式中關(guān)于徑向坐標(biāo)z的積分。式中：i,j=1,2,6。

1.2位移場函數(shù)表達

將旋轉(zhuǎn)功能梯度圓柱殼結(jié)構(gòu)的振動位移表示成環(huán)向模態(tài)和軸向模態(tài)相乘的形式：

(13)

其中：Un、Vn、Wn以如下改進傅里葉級數(shù)形式來構(gòu)造：

(14)

1.3系統(tǒng)特征方程推導(dǎo)

將位移表達式(13)代入1.1節(jié)得到的應(yīng)變能、初應(yīng)變能和動能表達式以及彈性勢能表達式(2)、(3)、(9)、(10)，并對含有θ的函數(shù)在[0,2π]進行積分，最終得到只含關(guān)于軸向坐標(biāo)x的積分的能量表達式。根據(jù)能量守恒：

(15)

將能量表達式代入式(15)，應(yīng)用Rayleigh-Ritz法進行推導(dǎo)、變換，可得到關(guān)于傅里葉系數(shù)的系統(tǒng)特征方程：

(16)

求解旋轉(zhuǎn)功能梯度圓柱殼結(jié)構(gòu)系統(tǒng)特征方程(16)，可得到自由振動的固有頻率。設(shè)置不同的邊界彈簧剛度，可模擬任意彈性邊界，進而可對彈性邊界約束對固有特性的影響進行分析。需要指出的是，圓柱殼旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的科氏力使得頻率隨轉(zhuǎn)速的變化而發(fā)生分岔，產(chǎn)生前行波和后行波：前行波傳播方向與旋轉(zhuǎn)方向一致，求解得到的固有頻率值ff小于0；后行波傳播方向與旋轉(zhuǎn)方向相反，求解得到的固有頻率值fb大于0。

2數(shù)值結(jié)果與分析

除特別說明外，以下計算分析中研究外表面為不銹鋼、內(nèi)表面為鎳的功能梯度圓柱殼結(jié)構(gòu)。功能梯度材料參數(shù)沿殼體厚度呈指數(shù)變化，冪指數(shù)用N表示，圓柱殼軸向波數(shù)用m表示，所有計算中N=1， m=1。溫度為300K時，不同材料物理參數(shù)如表2。

表2　材料物理參數(shù)

2.1方法正確性驗證

表3給出了兩端簡支(S-S)條件下某種功能梯度圓柱殼的無量綱頻率參數(shù)，并與文獻[10-11]中的結(jié)果進行了對比。圓柱殼長徑比L/R=20，厚徑比H/R=0.01，內(nèi)外表面材料一致：楊氏模量E=1.878 9×1011Pa，泊松比μ=0.308 9，質(zhì)量密度ρ=6 93 3 kg/m3。結(jié)果用無量綱頻率參數(shù)ω'表示為

(17)

表3靜止功能梯度圓柱殼無量綱頻率參數(shù)ω'對比(L/R=20,H/R=0.01,Ω=0)

Table 3Comparison of non-dimensional frequency parameterω' for a FGM cylindrical shell (L/R=20,H/R=0.01,Ω=0)

n文獻[9]文獻[8]本文方法10.0160520.0159490.01605220.0093690.0090810.00935530.0221020.0219520.02208140.0420930.0420010.04207150.0680070.0679390.06798460.0997290.0996750.09970570.1372380.1371920.13721080.1805270.1804860.18050090.2295930.2295560.229570100.2844350.2844000.284410

觀察表格可知，本文所用方法得到的結(jié)果與文獻[8-9]中的結(jié)果均吻合良好，故用本文方法求解旋轉(zhuǎn)功能梯度圓柱殼結(jié)構(gòu)自由振動固有頻率的正確性得到了驗證，后續(xù)分析結(jié)果是可信的。由于本文方法在對振動位移的表達中采用了一種改進的傅里葉級數(shù)進行展開，因此需要在實際計算中將展開項數(shù)有限截斷，以將方程(18)的維數(shù)化為有限維。計算表明，當(dāng)截斷數(shù)為10時，結(jié)果已經(jīng)足夠精確。

2.2單個彈性約束和轉(zhuǎn)速對旋轉(zhuǎn)功能梯度圓柱殼自由振動特性影響

現(xiàn)有文獻對功能梯度圓柱殼結(jié)構(gòu)的研究大多只針對固支-固支(C-C)、固支-簡支(C-S)、簡支-簡支(S-S)等經(jīng)典邊界條件，而在實際應(yīng)用中圓柱殼所處的邊界條件更為復(fù)雜，更多情況下是任意彈性邊界。因而有必要進行彈性邊界約束剛度對旋轉(zhuǎn)功能梯度圓柱殼自由振動特性的影響分析。本節(jié)中約束彈簧剛度均以無量綱剛度的形式表示：

(18)

為了探討彈性邊界約束剛度和轉(zhuǎn)速同時變化對功能梯度圓柱殼的影響，將長徑比L/R=10，厚徑比H/R=0.002的圓柱殼左右兩端設(shè)置相同的彈性邊界約束，依次設(shè)置為僅有軸向彈簧k'1、環(huán)向彈簧k'2、徑向彈簧k'3或徑向旋轉(zhuǎn)彈簧k'4的情況，無量綱彈簧剛度從10-4變化到104，轉(zhuǎn)速由0變化到120 rad/s。觀察n=2時，功能梯度圓柱殼前、后行波頻率ff和fb的變化情況。

觀察圖2可知，4種不同彈性邊界約束情況下，隨著轉(zhuǎn)速Ω的增大，均出現(xiàn)旋轉(zhuǎn)功能梯度圓柱殼結(jié)構(gòu)自由振動的前行波頻率ff逐漸減小、后行波頻率fb逐漸增大且后行波頻率變化更大的現(xiàn)象；隨著彈性約束剛度的增大，前后行波頻率均呈增大趨勢。而邊界設(shè)置為僅有軸向彈性約束k'1、環(huán)向彈性約束k'2或徑向彈性約束k'3時，彈性約束剛度的增大對前后行波頻率的影響明顯，當(dāng)邊界設(shè)置為徑向旋轉(zhuǎn)約束k'4時，剛度的變化對頻率影響很小，幾乎可以忽略。邊界為軸向約束彈簧k'1時，剛度由10-2變化到101過程中，前后行波頻率快速增大；邊界為環(huán)向彈性約束k'2時，剛度在10-3～100區(qū)間變化引起的頻率變化較大；邊界為徑向彈性約束k'3時，頻率在剛度從10-4變化到10-1時有大幅增長。因此，旋轉(zhuǎn)功能梯度圓柱殼結(jié)構(gòu)自由振動行波頻率對不同的彈性約束彈簧的敏感范圍不同。而對比四種邊界設(shè)置的頻率變化量可知，環(huán)向彈性約束k2和徑向彈性約束k3對頻率的影響最大，軸向彈性約束k1的影響較小，徑向旋轉(zhuǎn)約束k4對頻率幾乎無影響。

2.3雙彈性約束對旋轉(zhuǎn)功能梯度圓柱殼自由振動特性影響

上述分析只針對單個彈性約束的剛度變化，對于雙彈性約束同時變化的情況，分析了軸向約束彈簧k1和徑向旋轉(zhuǎn)約束彈簧k4同時變化或者環(huán)向約束彈簧k2和徑向約束彈簧k3同時變化對旋轉(zhuǎn)功能梯度圓柱殼結(jié)構(gòu)自由振動頻率的影響，如圖3。

(a)k'1和Ω對前行波頻率ff影響　　　　　　　　　　　(b)k'1和Ω對后行波頻率fb影響

(c)k'2和Ω對前行波頻率ff影響　　　　　　　　　　　(d)k'2和Ω對后行波頻率fb影響

(e)k3'和Ω對前行波頻率ff影響　　　　　　　　　　　(f)k3'和Ω對后行波頻率fb影響

(g)k'4和Ω對前行波頻率ff影響　　　　　　　　　　　(h) k'4和Ω對后行波頻率fb影響圖2　邊界約束彈簧剛度和轉(zhuǎn)速對旋轉(zhuǎn)功能梯度圓柱殼自由振動行波頻率的影響Fig. 2　Variations of travelling-mode frequencywith respect to non-dimensional spring stiffness and rotating speed

圖3(a)和圖3(c)為環(huán)向約束剛度k'2和徑向約束剛度k'3均為1012時，軸向彈性約束剛度k'1和徑向旋轉(zhuǎn)彈性約束剛度k'4分別從10-4變化到103、從10-4變化到102對旋轉(zhuǎn)功能梯度圓柱殼自由振動前后行波頻率的影響。當(dāng)k'1=k'4=10-4時，近似為簡支邊界(S-S)；當(dāng)k'1=k'4=102時，近似為固支邊界(C-C)。圖中，當(dāng)徑向旋轉(zhuǎn)約束剛度k'4逐漸增大時，前后行波頻率只在開始時略有增大，增幅很小，而隨著軸向彈性約束剛度k'1逐漸增大，前后行波頻率均有大幅增加。故軸向彈性約束k1對旋轉(zhuǎn)功能梯度圓柱殼結(jié)構(gòu)自由振動頻率的影響遠大于徑向旋轉(zhuǎn)彈性約束k4，且固支邊界(C-C)行波頻率大于簡支邊界(S-S)。

圖3(b)和圖3(d)中，圓柱殼左右兩端邊界設(shè)置相同，軸向彈性約束剛度k'1和徑向旋轉(zhuǎn)彈性約束剛度k'4均設(shè)置為0，環(huán)向彈性約束剛度k'2和徑向彈性約束剛度k'3分別從10-4變化到102。當(dāng)k'2=k3'=10-4時，近似為自由邊界(F-F)；當(dāng)k'2=k3'=102時，近似為簡支邊界(S-S)。由圖可知，當(dāng)彈性約束剛度k'2、k3'從10-4變化到10-1時，前后行波頻率均快速增大，且隨著k'3的增大而增大的幅度大于隨著k'2的增大而增大的幅度。即環(huán)向彈性約束k2和徑向彈性約束k3同時作用時，徑向彈性約束k3對旋轉(zhuǎn)功能梯度圓柱殼結(jié)構(gòu)自由振動影響更大，且簡支邊界(S-S)行波頻率大于自由邊界(F-F)。

(a)k'2和k3'對前行波頻率ff影響　　　　　　　　　　　(b)k'1和k'4對前行波頻率ff影響

(c)k'2和k3'對后行波頻率fb影響　　　　　　　　　　　(d)k'1和k4對后行波頻率fb影響圖3　2種邊界約束彈簧對旋轉(zhuǎn)功能梯度圓柱殼自由振動行波頻率的影響Fig. 3　Variations of travelling-mode frequencywith respect to two kinds of non-dimensional spring stiffness

3結(jié)論

本文應(yīng)用一種改進傅里葉級數(shù)建立了旋轉(zhuǎn)功能梯度圓柱殼結(jié)構(gòu)自由振動特性預(yù)報模型，通過在圓柱殼結(jié)構(gòu)兩端引入4種約束彈簧統(tǒng)一模擬邊界條件。旋轉(zhuǎn)功能梯度圓柱殼結(jié)構(gòu)3個方向位移場采用改進傅里葉級數(shù)形式構(gòu)造，輔助邊界特性函數(shù)用于改善級數(shù)解的收斂性與精確性。基于Love殼體理論，建立了旋轉(zhuǎn)功能梯度圓柱殼結(jié)構(gòu)自由振動行波頻率系統(tǒng)特征方程，運用MATLAB語言編程仿真，算例中本文結(jié)果與現(xiàn)有文獻結(jié)果吻合良好，充分驗證了本文模型的正確性與可靠性。

計算分析了單一彈性約束和轉(zhuǎn)速同時變化對功能梯度圓柱殼結(jié)構(gòu)自由振動頻率的影響規(guī)律，發(fā)現(xiàn)：

1)隨著轉(zhuǎn)速的增大前行波頻率逐漸減小而后行波頻率逐漸增大，隨著各種彈性約束的增大前后行波頻率均有所增大，行波頻率對不同的彈性約束彈簧的敏感區(qū)域不同。

2)環(huán)向彈性約束和徑向彈性約束對頻率影響較明顯，軸向彈性約束對頻率影響較小，而徑向旋轉(zhuǎn)彈性約束對頻率幾乎無影響。

3)討論了雙彈性約束同時變化對旋轉(zhuǎn)功能梯度圓柱殼結(jié)構(gòu)自由振動頻率的影響，發(fā)現(xiàn)固支邊界下的頻率最大，簡支邊界其次，自由邊界最小，徑向彈性約束對頻率的影響程度大于環(huán)向彈性約束。

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Vibration characteristics analysis of the rotating functionally graded cylindrical shell structure using an improved Fourier series method

LI Wenda, DU Jingtao, YANG Tiejun, LIU Zhigang

(College of Power and Energy Engineering, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China)

Abstract：In this paper we uniformly consider the elastic constraint boundary conditions on the two ends of a functionally graded cylindrical shell structure by introducing four types of spring stiffness restraints, including axial, circumferential, radial, and radial rotation. Based on the Love shell theory, where the functionally graded material properties are expressed as continuously changing along the shell thickness direction, we employ an improved Fourier series method and the Rayleigh-Ritz procedure to model the rotating functionally graded cylindrical shell in order to conduct a free vibration analysis. We then derive the system characteristics equation. Using numerical calculation and analysis, we simulate the arbitrary boundary conditions and examine the effect of the elastic boundary constraints on the natural frequencies of the rotating functionally graded cylindrical shell structure with respect to free vibration. The results show that the sensitivity range of the boundary constraint stiffness is diverse in the inherent frequency of the functionally graded cylindrical shell structure. The influence of the radial elastic restraint on frequency is obvious, followed by that of the circumferential elastic constraint. The axial elastic constraint has less effect, while the radial rotating elastic constraint has almost no effect.

Keywords：rotating functionally graded cylindrical shell; elastic boundary restraints; Fourier series; free vibration; frequency parameter

中圖分類號：O327

文獻標(biāo)志碼：A

文章編號：1006-7043(2016)03-388-06

doi:10.11990/jheu.201412084

作者簡介：李文達(1991-)，女，碩士研究生；杜敬濤(1981-)，男，副教授，博士生導(dǎo)師.通信作者：杜敬濤，E-mail: dujingtao@hrbeu.edu.cn.

基金項目：國家自然科學(xué)基金資助項目(11202056)；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費專項基金資助項目(HEUCFQ20150305).

收稿日期：2014-12-31.

網(wǎng)絡(luò)出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/23.1390.u.20151224.1405.012.html

網(wǎng)絡(luò)出版日期：2015-12-24.