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談構造立體幾何模型解題

由國清

(遼寧省建平縣職業(yè)教育中心，122400)

在解決數(shù)學問題時，我們常常采用構造法.在運用構造法解題時，可以針對具體問題構造不同的數(shù)學模型，如函數(shù)、方程、向量等等，也可以構造圖形，如構造立體模型.為增強學生的發(fā)散思維能力,在解題方法上加以創(chuàng)新,筆者在教學時發(fā)現(xiàn),有些問題通過構造立體模型來解決,會收到事半功倍的效果.本文在從以下幾個方面作出嘗試,以便拋磚引玉．

一、求函數(shù)的最值

分析函數(shù)f(x)可化為

構造如圖1所示的長方體,其棱長分別為AB=2，BB1=5，BC=3.設BE=x則

f(x)=AE+EC1.

二、證明三角不等式

例2已知αβγ均為銳角,且cos2α+cos2β+cos2γ=1，求證tanα+tanβ+tanγ.

分析長方體的一條對角線與過同一頂點的三條棱所成角的余弦值的平方和等于1,為此我們可構造一個相應的長方體ABCD——A1B1C1D1(如圖2),使∠C1AD=α，∠C1AB=β，∠C1AA1=γ.設AD=a,AB=b,AA1=c，則

∴tanα+tanβ+tanγ

當且僅當a=b=c時取等號.

三、證明代數(shù)不等式

例3設x，y為正數(shù),求證:

在?ABC中，顯然有不等式|AB|+|BC|>|AC|，故原不等式成立．

四、在幾何中構造模型

例4如圖4，正四面體O—ABC的各棱長均為1,點D,E分別為棱OA,BC的中點.

(1)求DE的長；

(2)點O到平面ABC的距離．

分析由于正四面體可以放在正方體中得到,所以,我們可以將正四面體O—ABC放到一個正方體中，如圖5所示.

(2)求點O到平面ABC的距離,可以采用等積法，即

VO-ABC=V正方體-4VG-OAB.

設點O到平面ABC的距離為h,則

本文從四個方面闡述了利用構造幾何模型的來進行解題.構造幾何模型能使問題從一般到特殊,從抽象到具體,從陌生到熟悉,是一種化難為易的解題思想．這類題型不僅開闊學生的視野,而且還有助于發(fā)展學生的發(fā)散思維能力,提高學生學習數(shù)學的熱情,為今后學習打下良好的基礎．