袁松梅， 劉　明(1.北京航空航天大學 機械工程及自動化學院，北京　100191；2.北京市高效綠色數(shù)控加工工藝及裝備工程技術(shù)研究中心，北京　100191)

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縱-扭復合超聲振動加工系統(tǒng)設(shè)計及頻率簡并研究

袁松梅1,2， 劉明1,2(1.北京航空航天大學 機械工程及自動化學院，北京100191；2.北京市高效綠色數(shù)控加工工藝及裝備工程技術(shù)研究中心，北京100191)

摘要：縱-扭復合超聲振動加工技術(shù)在硬脆性材料的加工中受到越來越多的重視，針對該種需求，設(shè)計了一種縱-扭復合超聲振動加工系統(tǒng)，基于有限元方法對該類系統(tǒng)普遍存在的頻率簡并問題進行了研究。利用數(shù)值解析方法設(shè)計出超聲換能器和超聲變幅桿，之后在變幅桿上做出螺旋槽，一部分縱向振動轉(zhuǎn)換為扭轉(zhuǎn)振動；以目標頻率附近的縱、扭諧振頻率盡量接近為原則，利用有限元軟件分析系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)對縱、扭諧振頻率的影響規(guī)律，實現(xiàn)頻率簡并；在此基礎(chǔ)上對系統(tǒng)進行模態(tài)分析和瞬態(tài)動力學分析，結(jié)果表明系統(tǒng)可以實現(xiàn)縱-扭復合超聲振動，驗證了此種頻率簡并方法的有效性和實用性。

關(guān)鍵詞：縱-扭復合超聲振動；螺旋槽；頻率簡并；有限元分析

隨著科技的發(fā)展，超聲振動加工(Ultrasonic Machining, USM)在硬脆材料加工中得到越來越多的應用[1]，作為一種超聲加工形式，縱-扭復合超聲振動技術(shù)在許多領(lǐng)域也得到了日益廣泛的應用。

縱-扭復合超聲振動首先應用于超聲電機中[2]，楊淋等[3]設(shè)計了一種大力矩縱-扭復合超聲電機，采用了縱振壓電陶瓷片全部粘貼到定子端面的結(jié)構(gòu)，所研制的超聲電機堵轉(zhuǎn)力矩達到1.28 N·m。在超聲焊接中[4]，縱-扭復合超聲振動焊接相比于其他線性振動焊接有著更優(yōu)良的性能，利用較小的振幅就能將工件焊接在一起，而形變量卻要小很多。在超聲加工方面，皮鈞等[5]指出縱-扭共振旋轉(zhuǎn)超聲切削不受加工材料的限制，比單一軸向振動旋轉(zhuǎn)超聲加工具有更好的加工特性；在某些材料的鉆孔中，與傳統(tǒng)加工方法相比，縱-扭復合超聲加工在材料去除率、加工精度和加工時間方面表面優(yōu)異[6]；哈爾濱工業(yè)大學研制的手持式縱-扭復合振動裝置[7]，其振動系統(tǒng)主要是縱向的超聲振動和低頻的扭轉(zhuǎn)振動復合在一起，從而達到優(yōu)勢互補的效果，有效地提高了振動手鉆性能。

與普通超聲振動加工相比，縱-扭復合超聲振動不易產(chǎn)生，這也是該技術(shù)應用的難點之一。目前，實現(xiàn)縱-扭復合振動主要有兩種途徑：一是利用縱-扭換能器[8]，對于夾心式換能器來說，方法是先將用于產(chǎn)生扭振的壓電陶瓷片切分成若干扇形片，之后分別將各陶瓷片切向極化，再將其粘結(jié)起來，最后再與縱振壓電陶瓷片結(jié)合在一起，該方法廢品率高，容易出現(xiàn)陶瓷片極化不完全、電擊穿等問題，很難制造出理想的換能器。對于磁致伸縮換能器來說，文獻[9]中的超磁致伸縮復合振動超聲換能器雖然也實現(xiàn)了復合超聲振動，但是該種裝置結(jié)構(gòu)不緊湊，能量轉(zhuǎn)換效率較低。

第二種途徑是利用特殊結(jié)構(gòu)的變幅桿，如文獻[10]，該種方法在變幅桿末端開斜槽，由于斜槽存在，部分超聲能量在斜槽處發(fā)生反射，轉(zhuǎn)換為扭轉(zhuǎn)振動能量，另一部分超聲能量則通過無斜槽區(qū)域傳遞到變幅桿末端，從而在末端實現(xiàn)縱-扭復合振動，開斜槽的方法雖然實現(xiàn)了縱-扭復合超聲振動，但存在扭振分量小的缺點，未能充分利用縱-扭復合超聲振動技術(shù)的優(yōu)勢；另一種特殊結(jié)構(gòu)的變幅桿是復合振動變幅桿[11]，如指數(shù)型變幅桿，通過數(shù)學計算可使該種變幅桿的某一階縱振諧振頻率和扭振諧振頻率一致，若外界激振頻率為該頻率，則可實現(xiàn)復合超聲振動，但能實現(xiàn)該功能的變幅桿種類較少，且需與縱-扭換能器一同使用。

縱-扭復合超聲振動加工技術(shù)的另一個難點是使設(shè)計頻率附近的縱振諧振頻率和扭振諧振頻率趨于一致，即頻率簡并。由于同一材料中不同振動模式的傳播速度不同，因此，為了有效地激發(fā)縱-扭復合超聲振動系統(tǒng)中不同的振動模式，必須采用不同的超聲振源分別激發(fā)。為了解決這一問題，必須使復合模式振動系統(tǒng)中的縱振諧振頻率和扭振諧振頻率相同，否則，系統(tǒng)會出現(xiàn)發(fā)熱多、效率低等現(xiàn)象。目前，針對超聲加工領(lǐng)域的縱-扭復合超聲振動頻率簡并問題很少有研究。

針對縱-扭復合超聲振動技術(shù)應用存在的問題，設(shè)計了一套縱-扭復合超聲振動加工系統(tǒng)，該系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)分量大、效率高；同時，對縱-扭復合超聲振動系統(tǒng)頻率簡并問題進行了研究，有限元分析結(jié)果驗證了此種頻率簡并方法的有效性。

1超聲振動系統(tǒng)設(shè)計

1.1超聲換能器設(shè)計

由于夾心式壓電換能器比磁致伸縮換能器具有更高的能量轉(zhuǎn)換效率，因此這里選擇該種換能器。在換能器材料選擇方面，前、后蓋板的材料通常是鋼、硬鋁和鈦合金等，后蓋板選擇聲阻抗率較大的45號鋼，前蓋板用聲阻抗率較小、容易加工的鋁合金，壓電陶瓷選擇機械品質(zhì)因數(shù)和壓電常數(shù)較高的PZT-8型壓電陶瓷，換能器的長度為半波長。由相關(guān)知識可知，若以足標n表示換能器的各個部分，則均勻等截面積的換能器振速方程為：

(1)

式中k為波數(shù)，k=ω/c=2πf/c，c為材料的聲速。

振子各部分的坐標、邊界條件和尺寸標注均列在圖1中，方程(1)的通解為：

vn(xn)=Ansinknxn+Bncosknxn

(2)

各部分應力分布為：

Fn(xn)=-jZn(Ancosknxn-Bnsinknxn)

(3)

圖1　換能器各部分標注Fig.1 Labels of each part of transducer

式中Zn=ρncnSn為各部分的聲阻抗，ρn為各部分的密度，Sn為各部分的橫截面積。

將節(jié)面設(shè)置在壓電陶瓷與前蓋板的接合處，先考慮節(jié)面右側(cè)部分，此時節(jié)面右側(cè)只有前蓋板，邊界條件為：

(4)

式中:vf為振子前表面振速，則由以上各式得到節(jié)面右側(cè)的頻率方程為：

k3l3=π/2

(5)

現(xiàn)在考慮節(jié)面左側(cè)部分，左側(cè)部分由后蓋板和壓電陶瓷片組成，計算時把壓電陶瓷片看作純粹的連續(xù)彈性介質(zhì)，與節(jié)面右側(cè)的計算類似，得頻率方程為：

(6)

1.2變幅桿設(shè)計

變幅桿主要有階梯型、指數(shù)型、圓錐形和復合型等類型，其中圓錐-圓柱型復合變幅桿綜合了圓錐變幅桿和階梯變幅桿的特點，具有放大系數(shù)大、形狀因數(shù)高、容易加工等優(yōu)點，這里選擇該類變幅桿。

圖2　圓錐-圓柱復合變幅桿Fig.2 Conical-cylindrical composite horn

如圖2，對于變幅桿圓錐部分，由相關(guān)知識得其振動方程為：

(7)

其中γ=(R4-R5)/R4l4，得

v(x4)=m(Asinkx4+Bcoskx4)

(8)

(9)

對于圓錐-圓柱變幅桿，其邊界條件為：

(10)

式中，vf、ve分變幅桿輸入端和輸出端振動速度，由式(2)、(3)、(8)～(10)得到頻率方程：

(11)

設(shè)超聲振動系統(tǒng)的共振頻率f=25 kHz，每片壓電陶瓷的厚度為4 mm，共4片。為了減少橫向振動的影響，壓電陶瓷片的直徑應小于介質(zhì)中超聲波長的四分之一，設(shè)其為45 mm。設(shè)前蓋板長度為50 mm，直徑為45 mm，后蓋板直徑45 mm，則由式(6)計算出后蓋板的長度為32 mm，內(nèi)徑15 mm，用于放置預緊螺栓。

對于變幅桿，設(shè)k4l4=2，圓柱段直徑為15 mm，則圓錐段長度為64 mm，由式(11)得圓柱段長度為35.8 mm，縱-扭復合超聲振動裝置各部分尺寸如圖3。

圖3　縱-扭超聲振動裝置各部分尺寸示意圖(單位:mm)Fig.3 Geometry of each part of longitudinal-torsional ultrasonic vibrationsystem

2帶有螺旋槽的變幅桿設(shè)計

前面已經(jīng)敘述，實現(xiàn)縱-扭共振的方法之一是在變幅桿末端開斜槽，雖然該種方法結(jié)構(gòu)簡單，但是扭轉(zhuǎn)分量所占比重不大，文獻[12]中已有敘述，在變幅桿上開螺旋槽的方式可以提高扭轉(zhuǎn)振動所占比例，這里選擇該方式來實現(xiàn)縱-扭復合超聲振動。

螺旋槽所繞螺旋線作如下設(shè)置：螺旋線軸向長度為變幅桿圓錐段長度；螺旋線繞軸線的旋轉(zhuǎn)角為180°；考慮到變幅桿圓錐段的強度，將螺旋線設(shè)計成錐形螺旋線，錐度為1∶6.4，即螺旋線所包絡為一圓臺，其底面直徑(圓A)為30 mm，頂面直徑(圓B)為10 mm。圖4為前蓋板與變幅桿接觸面示意圖，四個扇形的頂角為90°，通過扇形圓心角頂點的直徑平分圓心角，四個扇形的頂點均布于直徑30 mm的圓上。利用建模軟件可得到所述螺旋槽，整個縱-扭復合超聲振動系統(tǒng)如圖5所示。

圖4　螺旋槽形成示意圖Fig.4 Settings of helical slots

圖5　縱-扭復合超聲振動裝置Fig.5 Longitudinal-torsional ultrasonic vibration system

3縱-扭復合超聲振動裝置頻率簡并研究

超聲加工中，變幅桿末端需要較大的振動振幅[13]。因此，超聲振動裝置需在目標頻率附近的縱振諧振頻率和扭振諧振頻率下工作，而由于縱向振動和扭轉(zhuǎn)振動在相同材料的等截面彈性體中的傳播速度不同，使同階的縱振與扭振諧振頻率有較大的差異，這時就需要通過一定的方法使縱、扭諧振頻率盡可能接近。

由于超聲振動系統(tǒng)的諧振頻率與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)有直接關(guān)系，改變結(jié)構(gòu)參數(shù)即可改變諧振頻率，而開螺旋槽的變幅桿屬非常規(guī)變幅桿，很難利用傳統(tǒng)的解析方法得到其諧振頻率，有限元方法可以很好地解決這一問題：依次改變影響系統(tǒng)諧振頻率的結(jié)構(gòu)參數(shù)，再對系統(tǒng)進行模態(tài)分析，找出目標頻率25 kHz附近的縱振諧振頻率(以下簡稱縱振頻率)和扭振諧振頻率(以下簡稱扭振頻率)與某結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化規(guī)律，進而找出使兩諧振頻率距離最近的參數(shù)，實現(xiàn)頻率簡并。

3.1縱、扭諧振頻率影響因素分析

螺旋槽自身參數(shù)對縱、扭諧振頻率有影響的因素主要有螺旋槽個數(shù)、螺旋線旋轉(zhuǎn)角等，下面分別討論兩者對兩諧振頻率的影響規(guī)律。

利用有限元分析軟件ANSYS對裝置進行模態(tài)分析，找出在目標頻率25 kHz附近的縱振模態(tài)和扭振模態(tài)。首先將螺旋線旋轉(zhuǎn)角設(shè)置為180°，改變螺旋槽的個數(shù)，研究螺旋槽數(shù)與縱、扭諧振頻率的關(guān)系。

如圖6所示，在螺旋線旋轉(zhuǎn)角度一定的情況下，隨著螺旋槽個數(shù)的增加，縱振頻率和扭振頻率都降低，兩者差值先增大后減少，當螺旋槽數(shù)為10時，兩諧振頻率最為接近，約為509 Hz。出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因之一可能是系統(tǒng)的剛度隨著旋轉(zhuǎn)角度的增加而減小。

圖6　螺旋槽數(shù)與縱、扭諧振頻率關(guān)系Fig.6 Relationship between the number of helical slots and thelongitudinal, torsional resonant frequency

由圖6可知，若從頻率簡并的角度考慮，螺旋槽數(shù)應選擇10個，然而，隨著螺旋槽數(shù)的增加，加工難度加大，且成型后的變幅桿應力集中問題嚴重。為此，我們可以從另一個角度確定螺旋槽數(shù)，由于超聲加工中比較關(guān)注扭轉(zhuǎn)分量的大小，因此，可從扭轉(zhuǎn)分量最大的角度來確定螺旋槽數(shù)目，利用有限元分析軟件進行模態(tài)分析，找出螺旋槽數(shù)與扭轉(zhuǎn)分量的關(guān)系，從而確定螺旋槽數(shù)，由于ANSYS模態(tài)分析中的位移不是絕對位移，我們可以利用相對位移代替絕對位移。

在螺旋線旋轉(zhuǎn)角一定的情況下，螺旋槽數(shù)與縱、扭振動分量的關(guān)系如圖7所示，隨著螺旋槽數(shù)的增加，扭振分量先增加后減少，當螺旋槽數(shù)為4時，扭振分量達到最大，此時縱振分量也較大，應力集中問題不嚴重，所以選擇螺旋槽數(shù)為4。

圖7　螺旋槽數(shù)與相對縱、扭振動分量關(guān)系Fig.7 Relationship between the number of helical slots and the relative components oflongitudinal, torsional vibration

在螺旋槽數(shù)確定后，從頻率簡并的角度出發(fā)，討論螺旋線旋轉(zhuǎn)角度和縱、扭諧振頻率的關(guān)系，如圖8。

圖8　螺旋線旋轉(zhuǎn)角度與縱、扭諧振頻率關(guān)系Fig.8 Relationship between the helical angle and thelongitudinal, torsional resonance frequency

從圖8可以看出，在螺旋槽數(shù)一定的情況下，隨著螺旋線旋轉(zhuǎn)角度的增大，縱、扭諧振頻率都呈下降趨勢，兩者差值逐漸減小，在252°～360°范圍內(nèi)時，兩諧振頻率的差值幾乎不變，約為480 Hz，考慮到加工的難易程度和應力集中問題，選擇螺旋槽旋轉(zhuǎn)角度為252°。

經(jīng)過以上幾個步驟，縱、扭諧振頻率差值仍較大。我們知道，除螺旋槽自身屬性外，系統(tǒng)其他部分的結(jié)構(gòu)參數(shù)對縱、扭諧振頻率也有影響，可以改變系統(tǒng)其它部分的結(jié)構(gòu)尺寸繼續(xù)進行頻率簡并，這里首先選擇后蓋板長度作為影響因素，研究其與縱、扭諧振頻率的關(guān)系，有限元模態(tài)分析結(jié)果如圖9所示。

圖9　后蓋板長度與縱、扭諧振頻率關(guān)系Fig.9 Relationship between the length of back mass and thelongitudinal, torsional resonance frequency

可以看出，隨著后蓋板長度的增加，縱、扭諧振頻率都呈下降趨勢，兩諧振頻率差值幾乎不變，約為475 Hz，說明后蓋板長度對兩諧振頻率差值影響不顯著。為了進一步使兩諧振頻率接近，設(shè)后蓋板長度不變，選擇前蓋板長度作為影響因素，有限元模態(tài)分析結(jié)果如圖10所示。

圖10　前蓋板長度與縱、扭諧振頻率關(guān)系圖Fig.10 Relationship between the length of front massand thelongitudinal, torsional resonance frequency

從圖10可以看出，隨著前蓋板長度的增加，縱、扭諧振頻率都呈下降趨勢，兩條曲線接近平行，兩者差值呈現(xiàn)先減小后增加的趨勢，在長度約為61 mm時差值最小，為421 Hz，為使頻率差值盡量小，選擇前蓋板長度為61 mm?？梢钥闯?，相比于后蓋板長度，前蓋板對縱、扭諧振頻率的影響較大。接下來選擇變幅桿圓柱段長度作為影響因素進行頻率簡并，圓柱段長度與縱、扭諧振頻率的關(guān)系如圖11所示。

圖11　變幅桿圓柱段長度與縱、扭諧振頻率關(guān)系圖Fig.11 Relationship between the length of cylindrical part of horn and the longitudinal, torsional resonance frequency

從圖11可以看出，當圓柱段長度從31 mm增加到38.6 mm時，縱、扭諧振頻率越來越接近；隨著圓柱段長度繼續(xù)增加，兩條頻率曲線并沒有相交，而是出現(xiàn)了縱振模態(tài)和扭振模態(tài)的耦合；當圓柱段長度為38.6 mm時，兩種模態(tài)的耦合最強烈；隨著圓柱段長度繼續(xù)增加，兩條頻率曲線逐漸分離，縱振模態(tài)和扭轉(zhuǎn)模態(tài)出現(xiàn)解耦。經(jīng)過耦合后，縱振模態(tài)和扭轉(zhuǎn)模態(tài)相互交替，這與文獻[14]的分析結(jié)果一致。

由于出現(xiàn)了模態(tài)耦合，縱振模態(tài)和扭振模態(tài)的區(qū)分已不明顯。圖12是在該條件下的兩種模態(tài)的速度矢量圖，可以看出，兩種模態(tài)下，縱向振動和扭轉(zhuǎn)振動已經(jīng)耦合在一起，變幅桿末端圓周上的點既有沿軸向的速度分量又有沿周向的速度分量，此時系統(tǒng)在25 kHz附近的兩種模態(tài)頻率分別為21 463 Hz和21 737 Hz，兩者相差274 Hz，可以認為實現(xiàn)了頻率簡并。

圖12　兩種模態(tài)對應的速度矢量圖Fig.12 Velocity vector distributions of two modals

若使系統(tǒng)產(chǎn)生縱-扭復合超聲振動，只需將外界激振頻率設(shè)置在縱振模態(tài)和扭振模態(tài)耦合時的頻率范圍內(nèi)即可，這里設(shè)置超聲電源頻率為兩種模態(tài)頻率的平均值，即21 600 Hz。經(jīng)過頻率簡并后的的系統(tǒng)各部分主要尺寸如表1所示。

表1　縱-扭復合超聲振動系統(tǒng)主要尺寸

3.2縱-扭復合超聲振動系統(tǒng)動力學特性分析

為了得到一定簡諧電壓激勵下變幅桿末端X,Y,Z方向位移的大小，有必要對其進行瞬態(tài)動力學分析。

瞬態(tài)動力學分析可以確定結(jié)構(gòu)在靜載荷、瞬態(tài)載荷和簡諧載荷的隨意組合作用下隨時間變化的位移、應變及應力等[15]。

Full(完全法)、Reduced(縮減法)和Mode Superposition(模態(tài)疊加法)是瞬態(tài)動力學分析常用的三種方法。完全法采用完整的系統(tǒng)矩陣計算瞬態(tài)響應，在三種方法中功能最為強大，可以包含各種非線性特性。本文采用完全法進行瞬態(tài)動力學分析。這里需要注意，為了與實際結(jié)果盡量接近，需要設(shè)置適當?shù)南到y(tǒng)阻尼。

在壓電陶瓷上施加幅值800 V、頻率21 600 Hz和初始相角為0°的正弦電壓，為了得到較為平滑的響應曲線，取15個周期，每個周期分30個時間段。通過ANSYS有限元分析軟件進行瞬態(tài)分析求解，圖13是變幅桿末端圓周上某點在X,Y,Z方向的位移-時間曲線，可以看出，施加電壓一段時間后，振動趨于穩(wěn)定，Z方向即軸向的位移較大，峰-峰值約為3.2 μm，約比X,Y方向位移大一個數(shù)量級；X,Y,Z方向的位移都呈正弦規(guī)律變化。將數(shù)據(jù)導入Origin分析軟件，繪制出振動穩(wěn)定后的該點的運動軌跡如圖14所示。

從圖14中可以看出，變幅桿末端圓周上點的軌跡為橢圓，端部圓周上的點的扭轉(zhuǎn)角度最大，扭轉(zhuǎn)角隨半徑的減小而減小，端部圓心處的扭轉(zhuǎn)角為零；同時，圓心處和端部的點都沿軸向進行縱向振動，從而產(chǎn)生縱-扭復合超聲振動。

圖13　變幅桿末端圓周某點X,Y,Z方向位移-時間曲線Fig.13 The displacement-time curve of X,Y,Z direction of aparticular point on the end circle of horn

圖14　變幅桿末端圓周某點運動軌跡Fig.14 The motion trajectory of a certain point on the end circle of horn

4結(jié)論

相比于傳統(tǒng)超聲加工，縱-扭復合超聲振動加工在鉆孔、銑削等領(lǐng)域中表現(xiàn)突出，但縱-扭復合超聲振動較難實現(xiàn)的現(xiàn)狀限制了其應用發(fā)展。針對這一現(xiàn)狀，在結(jié)合傳統(tǒng)設(shè)計方法和有限元分析方法的基礎(chǔ)上，設(shè)計了一套縱-扭復合超聲振動系統(tǒng)，通過在變幅桿部分做出螺旋槽，一部分縱向振動轉(zhuǎn)換為扭轉(zhuǎn)振動，從而在變幅桿末端得到縱-扭復合超聲振動。此外，基于有限元方法對縱-扭復合超聲振動系統(tǒng)普遍存在的頻率簡并問題進行了研究，分析了裝置的結(jié)構(gòu)參數(shù)對縱-扭諧振頻率的影響，從而實現(xiàn)頻率簡并。

總之，通過傳統(tǒng)方法與有限元分析相結(jié)合的方式，根據(jù)有限元分析結(jié)果合理地選擇各部分的尺寸，即可設(shè)計出扭轉(zhuǎn)分量大的縱-扭復合超聲振動裝置，螺旋槽結(jié)構(gòu)的設(shè)計思想為其他形式的縱-扭超聲系統(tǒng)設(shè)計提供了參考，對實際生產(chǎn)加工具有一定的指導意義。

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Design of a longitudinal-torsional composite ultrasonic vibration machining system and its natural frequencies merging

YUANSong-mei1,2,LIUMing1,2(1. School of Mechanical Engineering & Automation, Beihang University, Beijing 100191, China；2. Beijing Engineering Technological Research Center of High-efficient & Green CNC Machining Process and Equipment, Beijing 100191, China)

Abstract:Longitudinal-torsional composite ultrasonic vibration machining technique attracts more and more attentions in hard and brittle materials machining, for this kind of requirement, a longitudinal-torsional composite ultrasonic vibration machining system was designed, the frequencies merging problem existing in this kind of system was studied based on the finite element analysis. An ultrasonic transducer and a composite horn were designed using the numerical analysis method. After-ward, helical slots were made on the horn, parts of its longitudinal vibrations were converted into its torsional vibrations. Based on the principle that “the closer the longitudinal natural frequencies and the torsional natural ones, the better the results”, the offects of the system’s parameters on its longitudinal natural frequencies and torsional natural ones were analyzed with a finite element analysis software to realize its natural frequencies merging. At last, the system’s modal analysis and transient dynamic analysis showed that the system can realize longitudinal-torsional composite ultrasonic vibration, the effectiveness and applicability of this kind of frequencies merging method are verified.

Key words:longitudinal-torsional composite ultrasonic vibration; helical slots; frequencies merging; finite element analysis

中圖分類號:TH122；TH113.1

文獻標志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.05.002

收稿日期：2015-01-16修改稿收到日期：2015-03-12

基金項目：國家高技術(shù)研究發(fā)展計劃(863計劃)(2013AA040105)

第一作者 袁松梅 女，博士，教授，1971年2月生