路 陽

(北京農(nóng)學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部　北京　102206)

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關(guān)于泊肅葉定律的適用范圍和定律的修正的討論

路 陽

(北京農(nóng)學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部北京102206)

摘 要：通過對比兩種不同的泊肅葉定律的推導(dǎo)方法，澄清了關(guān)于泊肅葉定律眾說不一的適用范圍問題.指明將泊肅葉公式中計(jì)算流量時(shí)的壓強(qiáng)視為廣義壓強(qiáng)，則泊肅葉定律既適用于水平直圓管的流量計(jì)算，也適用于非水平直圓管的流量計(jì)算.并指出關(guān)于泊肅葉定律的修正中存在的問題.

關(guān)鍵詞：泊肅葉定律適用范圍修正

1引言

泊肅葉定律是大學(xué)物理學(xué)中流體力學(xué)部分的重點(diǎn)內(nèi)容之一，它給出了不可壓縮的粘性流體運(yùn)動(dòng)時(shí)的流量計(jì)算公式，故泊肅葉定律也稱為泊肅葉公式.

關(guān)于泊肅葉定律的適用范圍大多數(shù)大學(xué)物理教材[1～6]敘述為適用于水平直圓管中不可壓縮的粘性流體的流量計(jì)算；一些文獻(xiàn)[7,8]中更強(qiáng)調(diào)該定律只適用于水平直圓管的粘性流體的流量計(jì)算；也有文獻(xiàn)[9,10]指出對泊肅葉公式進(jìn)行修正，則可使該公式適用于水平和非水平直圓管的粘性流體的流量計(jì)算；但有的文獻(xiàn)[11]認(rèn)為泊肅葉公式既適用于水平直圓管也適用于非水平直圓管.

對于上述資料中提到的泊肅葉定律莫衷一是的適用范圍問題，本文用該定律的不同的推導(dǎo)方法加以解釋，給出了泊肅葉定律的明確的適用范圍及其成立的條件.本文也對一些資料[12,13 ]中提到的泊肅葉公式的修正進(jìn)行了討論，指出其中存在的問題.

2對泊肅葉定律適用范圍的討論

關(guān)于泊肅葉定律的適用范圍各種資料說法不一，這與定律的推導(dǎo)方法密切相關(guān).下面本文分別采用不同的推導(dǎo)方法，將它們進(jìn)行對比，給出明確的泊肅葉定律的適用范圍.

圖1

推導(dǎo)方法1：如圖1所示，在水平放置的半徑為R的直圓管中有不可壓縮的粘性流體做層流運(yùn)動(dòng).在管中選取與管同軸的長度為L，半徑為r，厚度為dr的圓管狀流體元，對該流體元進(jìn)行受力分析.該流體元受到來自內(nèi)層與流動(dòng)方向相同的內(nèi)摩擦力F和來自外層與流動(dòng)方向相反的內(nèi)摩擦力F+dF，設(shè)流體元的流速為v，則根據(jù)牛頓粘滯定律有

(1)

(2)

上式中η為流體的粘滯系數(shù).設(shè)流體元兩端的壓強(qiáng)分別為p1和p2，該壓強(qiáng)差對應(yīng)的力為2πrdr(p1-p2).當(dāng)流體元處于勻速流動(dòng)狀態(tài)時(shí)(一些教材將勻速流動(dòng)敘述為穩(wěn)定流動(dòng))，作用在流體元上的壓強(qiáng)差對應(yīng)的力等于摩擦力，流體元受到了平衡力的作用，即

(3)

將上式積分，得出

在r=0時(shí)，上式也成立，故c=0.則有

再同時(shí)對上式兩邊積分

得出

(4)

式(4)給出了水平直圓管中半徑為r的流層的流動(dòng)速度，由此式可以得出在半徑為R，長度為L的水平直圓管中粘性流體做層流時(shí)的流量Q為

(5)

式(5)給出的流量表達(dá)式即泊肅葉公式.

式(5)是在水平管的模型下推導(dǎo)出來的，p1和p2表示長度為L的水平管兩端受到的流體壓強(qiáng).根據(jù)該推導(dǎo)方法，一些教材和文獻(xiàn)中將泊肅葉定律的適用范圍界定為水平直圓管的粘性流體做層流時(shí)的流量計(jì)算公式.

推導(dǎo)方法2：圖2給出的是半徑為R的直圓管，其軸線與水平面成任意角.管中有不可壓縮的粘性流體做層流運(yùn)動(dòng).在管中選取與管同軸的半徑為r，厚度為dr的單位長度的圓管狀流體元，對該流體元流動(dòng)中的功能關(guān)系進(jìn)行分析.

圖2

根據(jù)修正的伯努力方程[15]，流體元中單位體積的流體在始末位置處的總能量有如下關(guān)系

(6)

式(6)中角標(biāo)1，2分別表示流體元的初始位置和末位置，p代表流體壓強(qiáng)，ρ表示流體密度，v是流動(dòng)速度，h是流體元相對重力勢能零勢能面的高度，w是單位體積的流體流動(dòng)中損耗的能量.當(dāng)管中流體做定常流動(dòng)，且圓管狀流體元各處粗細(xì)均勻，根據(jù)流體連續(xù)性原理，有v1=v2.式(6)可整理為

w=(p1-p2)+ρg(h1-h2)=

(p1+ρgh1)-(p2+ρgh2)

(7)

流體元在始末位置間損耗的總能量為

“啊，再有機(jī)會(huì)？這是訣別之語??！瓊兒要告訴羽弟：瓊兒要與他生死與共?！弊詈笠痪涫鞘挱偤俺鰜淼摹Ｋ瑴I沖出了書屋。“瓊兒不可以！”蕭夫人追出書屋，可蕭瓊不顧母親阻攔去馬廄牽馬也不備鞍就馭馬沖出了蕭家大院。

E=w2πrdr

設(shè)流體元在始末位置間流過的距離為L，該流體元受到來自內(nèi)層與流動(dòng)方向相同的內(nèi)摩擦力

和來自外層與流動(dòng)方向相反的內(nèi)摩擦力F+dF，則摩擦力對流體元做的總功W為

(8)

根據(jù)功能原理，流體元在流動(dòng)中損耗的總能量等于其流動(dòng)中受到的摩擦力做的總功.于是有

E=W

(9)

式(9)整理為

對上式兩邊積分，考慮到r=0時(shí)的條件，得到

(10)

式(10)是直圓管中半徑為r的流層的流動(dòng)速度，由此式可以得出半徑為R，長度為L的直圓管中粘性流體做層流時(shí)的流量Q為

(11)

將式(7)代入式(11)，得到

(12)

將式(12)中(p+ρgh)視為廣義壓強(qiáng)[14]，即流體壓強(qiáng)與單位體積流體的重力勢能之和，用符號p′表示廣義壓強(qiáng)，式(12)可改寫為

(13)

由兩種推導(dǎo)方法的對比可以看出，只要將泊肅葉定律中的壓強(qiáng)項(xiàng)視為廣義壓強(qiáng)，則該定律既適用于水平狀態(tài)的直圓管的流量計(jì)算也適用于非水平狀態(tài)的直圓管的流量計(jì)算.

在泊肅葉定律的推導(dǎo)過程中，我們可以總結(jié)出該定律成立的條件：

(1)流體為不可壓縮的粘性流體

滿足此前提才能在推導(dǎo)中應(yīng)用修正的伯努力方程.

(2)流體的運(yùn)動(dòng)形式為層流，且各流層為勻速運(yùn)動(dòng)

層流條件使推導(dǎo)時(shí)可以應(yīng)用牛頓粘滯定律，各流層勻速運(yùn)動(dòng)滿足了流層受力平衡和粗細(xì)均勻流管中連續(xù)性原理的要求.

(3)流管為無限長直圓管

無限長假設(shè)就是管的長度遠(yuǎn)大于管的內(nèi)徑，該假設(shè)可使流量計(jì)算中忽略邊緣效應(yīng).直圓管假設(shè)保證流層形狀為圓管形.

我們在應(yīng)用泊肅葉公式時(shí)，必須滿足它成立的條件.

3對泊肅葉定律修正的討論

文獻(xiàn)[12,13]指出在水平直圓管中推導(dǎo)泊肅葉公式時(shí)，是將管兩端的流體壓強(qiáng)之差與流動(dòng)中的粘滯阻力互相抵消.他們認(rèn)為此種做法忽略了流體在管中流動(dòng)時(shí)的動(dòng)能也是由于流體壓強(qiáng)差的作用才獲得的，因此克服粘滯阻力的有效流體壓強(qiáng)差比管兩端的流體壓強(qiáng)之差要小一些.修正后的水平直圓管中的泊肅葉公式為

參 考 文 獻(xiàn)

1梁路光，趙大源. 醫(yī)用物理學(xué). 北京：高等教育出版社，2004.47～48

2喀蔚波. 醫(yī)用物理學(xué)(第2版). 北京：高等教育出版社，2008.51～52

3胡玉才，李玉俠. 大學(xué)物理學(xué)基本原理及生物效應(yīng). 北京：中國農(nóng)業(yè)出版社，2004.29～30

4周靜嫻. 物理學(xué). 北京：中國農(nóng)業(yè)出版社，2002.10

5金仲輝，申兵輝. 大學(xué)物理簡明教程. 北京：中國農(nóng)業(yè)大學(xué)出版社，2007.15～16

6金仲輝，柴麗娜. 大學(xué)基礎(chǔ)物理學(xué). 北京：科學(xué)出版社，2010.57～58

7黃慰懷. 泊肅葉公式的適用條件. 中國大學(xué)教育，1992(1)

8阮萍. 對泊肅葉定律應(yīng)用的討論. 華夏醫(yī)學(xué)，1999(3)：268～269

9秦任甲. 泊肅葉公式在非水平管中的形式及其在粘滯系數(shù)測定中的應(yīng)用. 大學(xué)物理，1983(12)：1～3

10黃龍洙. 關(guān)于粘滯流體層流流量公式的討論. 大學(xué)物理，1990(1)：42～43

11潘百年. 物理學(xué)(供藥學(xué)專業(yè)用). 北京：中國醫(yī)藥科技出版社，2000.13～14

12楊述武. 普通物理實(shí)驗(yàn)(一.力學(xué)、熱學(xué)部分)(第2版). 北京：高等教育出版社，1993.233

13巴哈提古麗·阿斯里別克，張里荃，孫迎春. 毛細(xì)管兩端壓強(qiáng)差對液體粘度測量的影響. 大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)，2011(6)：12～13

14周光炯，嚴(yán)宗毅，許世雄，等. 流體力學(xué)(第2版)(下冊). 北京：高等教育出版社，2000.54～55

Discussion on the Applicable Scope of Poiseuille Law and Its Modification

Lu Yang

(Basic Department of Beijing University of Agriculture, Beijing102206)

Abstract:This paper is aimed to define the applicable scope of Poiseuille law by using different derivation methods. When the pressure in Poiseuille formula is regarded as generalized pressure, Poiseuille law can be used to solve flow of viscous fluid in horizontal or non-horizontal straight round tube. The inappropriate modification of Poiseuille law is discussed in this paper.

Key words:Poiseuille law; the applicable scope; modification

(收稿日期：2015-10-13)