倪 飛，廖玉懷

（文山學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，云南 文山 663099）

Vandermonde行列式應(yīng)用初探

倪 飛，廖玉懷

（文山學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，云南 文山 663099）

探討Vandermonde行列式在多項(xiàng)式理論、特殊行列式計(jì)算、個(gè)別特殊矩陣、導(dǎo)數(shù)理論、常微分方程理論中的簡(jiǎn)單應(yīng)用,同時(shí)將用構(gòu)造性的思維方法，對(duì)一些復(fù)雜抽象的行列式計(jì)算問(wèn)題，運(yùn)用Vandermonde行列式的性質(zhì)加以解答事半功倍。

Vandermonde；行列式；多項(xiàng)式；微分方程

1 引言

Vandermonde行列式是一類特殊的行列式，它有著獨(dú)特的形式和簡(jiǎn)明的結(jié)果，因此Vandermonde行列式不僅在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中占據(jù)著重要的地位，同時(shí)在各個(gè)領(lǐng)域中也有著廣泛的應(yīng)用，比如:在進(jìn)行行列式計(jì)算和變換時(shí)，將問(wèn)題適當(dāng)?shù)淖冃螢榭商子肰andermonde行列式解答的形式，可起到簡(jiǎn)化解題過(guò)程減少計(jì)算量的效果。

定義1.1[1]行列式

稱行列式（1）為Vandermonde行列式。

2 Vandermonde行列式的簡(jiǎn)單應(yīng)用

2.1 初等變換下的應(yīng)用

在行列式計(jì)算過(guò)程中，有些較難運(yùn)用行列式性質(zhì)解答的行列式，可以利用各種方法將其轉(zhuǎn)化成Vandermonde行列式，運(yùn)用以上結(jié)果（1）進(jìn)行解答。

例1[2]計(jì)算下列行列式

分析 容易觀察得出1, 3, …, 2n-1列和第2, 4,…, 2n行交叉處構(gòu)成的是Vandermonde行列式。同理2, 4, …, 2n列和第1, 3, …, 2n-1行交叉處同樣構(gòu)成Vandermonde行列式。

2.2 判斷多項(xiàng)式整除關(guān)系上的應(yīng)用

Vandermonde行列式在求解多項(xiàng)式根，多項(xiàng)式可約類問(wèn)題都有一定的應(yīng)用。

例2 設(shè)(xn+ xn-1+…+ x+1) | [ f1(xn+1)+xf2(xn+1)+…+ xn-1fn(xn+1)]，證明：(x-1)| fi(x), i=1, 2, 3, …, n。

分析 此題涉及證明多項(xiàng)式整除關(guān)系，同時(shí)給出了xn+ xn-1+…+ x+1，很容易聯(lián)想到與多項(xiàng)式xn+1-1的n個(gè)非1單位根建立聯(lián)系，若能推導(dǎo)得出fi(1)=0 (i=1, 2, …, n)即可證明結(jié)論。

2.3 與循環(huán)行列式計(jì)算建立的聯(lián)系

Vandermonde行列式也可以和一類特殊的行列（循環(huán)行列式）式建立聯(lián)系。

定義1 令a1, a2, a3,…, an是任意復(fù)數(shù)，稱行列式

為循環(huán)行列式。

對(duì)定義1進(jìn)行求解，很容易想到行列式計(jì)算中的初等變換，將行列式所有行加到最左邊，但是接下來(lái)將無(wú)從下手，于是另尋他法。易想到可以運(yùn)用一元n-1次多項(xiàng)式函數(shù)輔助求解。于是將此循環(huán)行列式的問(wèn)題轉(zhuǎn)換成一元n-1次多項(xiàng)式函數(shù)與Vandermonde行列式的綜合求解問(wèn)題。對(duì)定義1中行列式Dn的求解如下:

2.4 與Laplace定理綜合應(yīng)用解題

對(duì)于有些行列式的求解并不是通過(guò)初等變換就能進(jìn)行解決的，其行列式往往會(huì)呈現(xiàn)出一些規(guī)律，需要運(yùn)用所學(xué)的定理或概念就可以轉(zhuǎn)換為我們熟悉的問(wèn)題，進(jìn)行求解。

定理1[1]（Laplace定理）設(shè)在行列式D中任意取定了k (1≤k≤n-1)個(gè)行，由這k行元素所組成的一切k級(jí)子式與他們的代數(shù)余子式的乘積的和等于行列式D。

例3[1，3]求下列行列式的值。

分析 此行列式與Vandermonde行列式有所區(qū)別，其區(qū)別僅在于Vandermonde行列式最后一行的元素次數(shù)為n-1次，而本題中為n次，于是運(yùn)用加邊的方法就可將其化為n+1階Vandermonde行列式求解。

2.5 在數(shù)學(xué)分析解題中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)分析，主要是微積分貫穿始終，在求解關(guān)于導(dǎo)數(shù)的一些證明問(wèn)題可以構(gòu)造Vandermonde行列式進(jìn)行解決。

例4[4]設(shè)g(x)在[a, b]內(nèi)存在n-1階導(dǎo)數(shù)，a=x1＜ x2＜…xn=b，證明c∈(a, b)，使得。

分析 觀察以上導(dǎo)數(shù)的證明可知，可以通過(guò)已知條件中的a=x1＜ x2＜…xn=b,想到運(yùn)用微分中值定理進(jìn)行思考，通過(guò)g(x)在[a, b]內(nèi)存在n-1階導(dǎo)數(shù)可聯(lián)想到一個(gè)n-1次函數(shù)在行列式中，用行列式求導(dǎo)法則計(jì)算過(guò)后可使得行列式值為0，于是可通過(guò)以上區(qū)間各分段點(diǎn)，進(jìn)行構(gòu)造行列式解決此題。

2.6 在一類常系數(shù)四階線性微分方程中的應(yīng)用舉例

在微分方程理論中，求解常系數(shù)非齊次方程關(guān)鍵是要求出其一個(gè)特解，普遍運(yùn)用常數(shù)變易法和部分積分法，然而求解過(guò)程中為了計(jì)算方便運(yùn)用Vandermonde輔助解答。

定理2[5]形如y(4)+ py" + qy = f(x)的四階非齊次微分方程，其對(duì)應(yīng)的齊次微分方程為：

例5 求方程組y(4)-8y" + 16y = x。

3 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)對(duì)Vandermonde行列式的簡(jiǎn)單應(yīng)用發(fā)展概況及Vandermonde行列式的定義的了解，從而引發(fā)了思考（是否也應(yīng)用廣泛?），對(duì)其在行列式求解、多項(xiàng)式有關(guān)的證明、實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題（插值）、導(dǎo)數(shù)理論中的證明、常微分方程理論中的具體應(yīng)用，而在求解一些規(guī)律性行列式的求解過(guò)程中應(yīng)用更為廣泛，這大大的減少了代數(shù)理論中計(jì)算和證明的復(fù)雜問(wèn)題。同時(shí)也對(duì)可以運(yùn)用Vandermonde行列式進(jìn)行行列式計(jì)算的幾類行列式進(jìn)行了歸納，給出了其一般形式。這簡(jiǎn)化了解題時(shí)的一些抽象構(gòu)造與繁瑣步驟。從而加深對(duì)Vandermonde行列式的理解與掌握，同時(shí)對(duì)行列式理論的學(xué)習(xí)與不同數(shù)學(xué)學(xué)科之間的聯(lián)系建立了橋梁，為今后的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

[1] 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)研究室前代數(shù)小組.高等代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，2003：79-83，89-93，102.

[2] 許甫華，張賢科.高等代數(shù)解題方法[M].北京：清華大學(xué)出版社，2002.1：48-49.

[3] 嚴(yán)謙泰，王瀾峰.高等代數(shù)考點(diǎn)綜述與問(wèn)題探討[M].北京：國(guó)防工業(yè)出版社，2009.8：47-48.

[4] 王卿文.線性代數(shù)核心思想及其應(yīng)用[M].北京：科學(xué)出版社，2012：8-14.

[5] 候宗毅.一類特殊四階非齊次方程特解的求法[J].中國(guó)科教創(chuàng)新導(dǎo)刊，2009，92（2）：1-2.

Applications of Vandermonde Determinant

NI Fei, LIAO Yuhuai
(School of Mathematics, Wenshan University, Wenshan Yunnan 663099, China)

This paper mainly discusses the application of vandermonde determinant in polynomial theory, special determinant calculation, and individual special matrix derivative theory, and uses the constructive way of thinking and Vandermonde determinant nature to answer some complex abstract determinant calculation, which has a multiplier effect and improve our ability of understanding abstract mathematical problems.

Vandermonde; determinant; polynomial; differential equation

O151.22

A

1674-9200（2016）06-0111-04

（責(zé)任編輯 劉常福）

2016-07-07

倪飛，男，云南永善人，文山學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院2011級(jí)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生；廖玉懷，男，云南文山人，文山學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院講師，該文指導(dǎo)教師，主要從事代數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)建模研究。