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繩-船模型的教學(xué)研究

摘 要：繩-船模型是典型的運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題，已見(jiàn)的解答存在令人費(fèi)解之處．本文細(xì)致探究了繩-船模型的解法，結(jié)果表明：有3種可行的中學(xué)物理方法、2種基本的大學(xué)物理方法；討論了解決繩-船模型的疑惑，提出了相應(yīng)的教學(xué)建議．

關(guān)鍵詞：繩-船模型物理過(guò)程物理概念物理方法

1引言

繩-船模型是典型的運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題.如圖1，岸上某人用繞過(guò)定滑輪的不可伸長(zhǎng)的(輕)繩以勻速v0拉湖面上連接繩的小船靠岸，當(dāng)繩與水平面成角θ時(shí)，小船的速度有多大？

常見(jiàn)的流行解析為：船(或連接船的繩端)的運(yùn)動(dòng)為合運(yùn)動(dòng)，分解為沿繩方向和垂直繩方向的分運(yùn)動(dòng)，于是得船速大小為

圖1　繩-船模型

然而，繩-船模型的解析均基于似乎憑想象確認(rèn)的船(或連接船的繩端)的運(yùn)動(dòng)效果——沿繩方向收縮、繞定滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)[1~4]，難免令人費(fèi)解．如何從物理理論論證船的運(yùn)動(dòng)效果？對(duì)繩-船模型，有哪些合理的解法？怎樣從物理學(xué)方法論層次理解？本文就此進(jìn)行相應(yīng)的探究，以期釋疑解惑、明晰繩-船模型的物理實(shí)質(zhì)，并為其開(kāi)放式教學(xué)設(shè)計(jì)奠定基礎(chǔ)．

2解法探究

2.1中學(xué)物理解法

2.1.1微元法

如圖2，斜繩與定滑輪相切處O為參考點(diǎn)，經(jīng)時(shí)間Δt，船沿湖面由A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，位移矢量為Δr，取OC=OB，則船的位移矢量三角形為△ABC；Δt足夠短或趨于零時(shí)，分位移Δr2垂直于分位移Δr1；因此，船的運(yùn)動(dòng)自然而然是沿繩的分運(yùn)動(dòng)、垂直繩的分運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)．Δt足夠短或趨于零時(shí)，由圖2的三角函數(shù)關(guān)系得

(1)

Δr2=Δr1tanθ

(2)

圖2　船的位移關(guān)系

依據(jù)瞬時(shí)速度概念有

(3)

(4)

(5)

v的方向水平向左，v1的方向沿繩向上，v2的方向垂直繩向下，如圖3所示．依題意：繩收縮，則由式(4)得

v1=v0

(6)

圖3　船的速度關(guān)系

由式(1)～(6)得

(7)

v2=v0tanθ

(8)

式(6)、(7)、(8)分別是船的分速度v1，合速度v，分速度v2的大小的表達(dá)式．

由圖2的位移矢量圖可形象理解為什么船速v大于繩速v1——Δt足夠短或趨于零時(shí)，直角△ABC的斜邊Δr大于直角邊Δr1，從而有式(1)、(3)、(4)、(6)；或由速度矢量圖3形象理解之——分速度v1與v2垂直，合速度v大于分速度v1(“大于”指大小關(guān)系)．

2.1.2合成法

由圖2的位移矢量△ABC知：Δt足夠短或趨于零時(shí)，船的運(yùn)動(dòng)是沿繩的分運(yùn)動(dòng)、垂直繩的分運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)；相應(yīng)地，船的速度v是沿繩收縮的速度v1，繞O轉(zhuǎn)動(dòng)的速度v2的合速度，速度矢量圖如圖3；由題意v1=v0，結(jié)合圖3的三角函數(shù)關(guān)系可得式(7)、(8)．

雖然矢量的分解與合成互逆，但此處的問(wèn)題是知分速度v0的大小、方向，求合速度v的大小(方向已知，沿水平向左)，這是速度的合成；因此，稱為合成法更合乎物理邏輯．

2.1.3能量(守恒)法

不計(jì)定滑輪的質(zhì)量、滑輪與軸間的摩擦、繩的質(zhì)量，則在人用繞過(guò)定滑輪的繩拉船的過(guò)程中，繩拉船做的功應(yīng)等于人拉繩做的功(即人輸出的能量)；因繩、船連動(dòng)，則繩拉船的功率等于人拉繩的功率，即[2]

P繩=P人

(9)

而

P繩=Fvcosθ

(10)

P人=Fv0

(11)

式中F為繩拉船的力的大小，等于人拉繩的力的大小(均等于繩的彈力大小)；由式(9)～(11)可得式(7)．

由式(9)～(11)可理解為什么船速v大于繩速v0．繩拉船時(shí)，繩的拉力與船速有不為零的夾角，為使繩拉船的功率P繩等于人拉繩的功率P人，必使船速v大于人拉繩的速度v0．

2.2大學(xué)物理解法

2.2.1直角坐標(biāo)分量法

湖岸為參考系，斜繩與定滑輪相切處為原點(diǎn)O，建立平面直角坐標(biāo)系O-xy，如圖4所示.

圖4　船的直角坐標(biāo)

將船作為研究對(duì)象，視作質(zhì)點(diǎn)，位置坐標(biāo)為(x,y)，位置矢量為

r=xi+yj

(12)

式中r，x均是時(shí)間t的變量，而y=h為恒量(因船沿湖面水平向左運(yùn)動(dòng))；則船的速度為

(13)

由圖4的幾何關(guān)系，有

x2=r2-y2

(14)

對(duì)t求導(dǎo)，得

(15)

依題意,繩縮短，則有

(16)

由式(13)、(15)、(16)得

(17)

再由式(14)～(17)得船的加速度[5]

(18)

式(17)、(18)由圖4的幾何關(guān)系可表示為

(19)

(20)

式(17)、(18)或(19)、(20)表明：船的速度、加速度的方向均沿x軸反向．

2.2.2直角坐標(biāo)參量法

參考系、坐標(biāo)系同前，如圖4，取r與θ為參量，則船的位置坐標(biāo)可表示為

x=rcosθ

(21)

y=rsinθ

(22)

式中x,r,θ均是時(shí)間t的變量，而y=h為恒量(因船湖面沿水平向左運(yùn)動(dòng))；求導(dǎo)得

(23)

(24)

由式(23)、(24)和同理的式(16)得

(25)

(26)

再由式(25)、(26)得船的加速度

(27)

式(25)、(27)中的負(fù)號(hào)表明：船的速度、加速度的方向均沿x軸反向．

3疑惑討論

3.1如何理解船的合運(yùn)動(dòng)

繩-船模型的研究對(duì)象是船，應(yīng)依據(jù)瞬時(shí)速度概念求船的速度；而從運(yùn)動(dòng)學(xué)求解速度的基本方法之一是基于位移，這就自然、合理地要考察船的位移Δr；而求解Δr必然要與題設(shè)已知的繩速關(guān)聯(lián)，即與繩縮短的位移Δr1關(guān)聯(lián)；因繩、船連動(dòng)，則有圖2所示的船的位移矢量三角形就成為使然．Δt足夠短或趨于零時(shí)，則有圖3所示的船的速度矢量圖．這樣就從物理概念(位移、速度)論證了船的運(yùn)動(dòng)是沿繩的分運(yùn)動(dòng)和垂直繩的分運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)．參見(jiàn)圖2，Δt足夠短或趨于零時(shí)，可將船的位移Δr等效為相對(duì)于參考點(diǎn)O的位置矢量r(圖2中未畫出)的大小變化即分位移Δr1[引起分速度v1，參見(jiàn)式(6)]和方向變化即分位移Δr2[引起分速度v2，參見(jiàn)式(8)]．這樣就從等效觀自然而然地論證了船的運(yùn)動(dòng)是沿繩方向的分運(yùn)動(dòng)和垂直繩方向的分運(yùn)動(dòng)(即先由A點(diǎn)到C點(diǎn)的分運(yùn)動(dòng)v1、再由C點(diǎn)到B點(diǎn)的分運(yùn)動(dòng)v2)的合運(yùn)動(dòng)．

3.2能否觀察到船的分運(yùn)動(dòng)

試圖用平面極坐標(biāo)解釋船的運(yùn)動(dòng)效果為沿繩運(yùn)動(dòng)、垂直繩轉(zhuǎn)動(dòng)，并預(yù)言能實(shí)際觀察到這兩個(gè)效果[3]，進(jìn)而說(shuō)明有圖3所示的“速度分解”．這似乎是靠想象、憑經(jīng)驗(yàn)的結(jié)論．

平面極坐標(biāo)系為動(dòng)坐標(biāo)系，即坐標(biāo)單位矢量r，θ是變矢量；而平面直角坐標(biāo)系為恒坐標(biāo)系，即坐標(biāo)單位矢量i與j為恒矢量；用平面極坐標(biāo)解決繩-船模型無(wú)形之中提高了要求--需確定坐標(biāo)單位矢量的時(shí)間導(dǎo)數(shù)[6]．因此，繩-船模型的解決，從大學(xué)物理考慮，用平面直角坐標(biāo)較簡(jiǎn)捷．

3.3船的分運(yùn)動(dòng)的合成結(jié)果

圖3所示的垂直繩的分運(yùn)動(dòng)v2可能引起學(xué)生的疑惑(既然有分運(yùn)動(dòng)v2，船為什么沒(méi)有向下運(yùn)動(dòng)或潛入水下？)，為此，按圖5將v1，v2分別沿豎直、水平方向分解得

圖5　船的分運(yùn)動(dòng)的分解

v3=v1sinθ

(28)

v4=v2cosθ

(29)

v=v1cosθ+v2sinθ

(30)

由式(28)、(6)和式(29)、(8)得

v3=v0sinθ

(31)

v4=v0sinθ

(32)

由式(30)、(6)、(8)可得式(7)．

式(31)、(32)表明：分運(yùn)動(dòng)v1，v2合成的結(jié)果是豎直方向的運(yùn)動(dòng)效果彼此抵消、僅有水平向左的運(yùn)動(dòng)效果，即船的可實(shí)際觀察到的運(yùn)動(dòng)．學(xué)生若能認(rèn)識(shí)到船的分運(yùn)動(dòng)的合成結(jié)果，則其心中的疑惑(如有分運(yùn)動(dòng)v1，船怎么沒(méi)有豎直向上運(yùn)動(dòng)？有分運(yùn)動(dòng)v2，船怎么沒(méi)有豎直向下運(yùn)動(dòng)？)便可迎刃而解．

3.4涉及的物理方法

就中學(xué)物理而言，繩-船模型考查的是物理概念(位移，速度)、物理方法(微元法、合成法，能量法，等效法)；因此，從物理方法(特別是等效法)層次理解繩-船模型顯得尤為必要．

圖6

將圖3的分速度v2分別沿繩方向、豎直方向分解，得分速度v5，v6，如圖6；再將分速度v1，v5合成得v7，至此船的合運(yùn)動(dòng)v等效為分運(yùn)動(dòng)v6，v7，如圖7.

圖7

相應(yīng)速度大小關(guān)系為

v5=v2tanθ

(33)

(34)

v7=v1+v5

(35)

再結(jié)合式(6)、(8)得

v5=v0tan2θ

(36)

(37)

(38)

由式(37)、(38)和圖7可進(jìn)一步檢驗(yàn)分運(yùn)動(dòng)v6，v7的合運(yùn)動(dòng)的確是船的運(yùn)動(dòng)v，即式(7)．這就推證了分運(yùn)動(dòng)v6，v7與分運(yùn)動(dòng)v1，v2等效，且與合運(yùn)動(dòng)v等效．事實(shí)上，不同形式的分運(yùn)動(dòng)，不僅相互等效，而且與合運(yùn)動(dòng)等效；但就繩-船模型而言，基本形式的分運(yùn)動(dòng)是圖3所示的v1，v2．

比較上述繩-船模型的解法知，微元法、合成法是運(yùn)動(dòng)學(xué)的基本方法，但合成法以微元法為基礎(chǔ)；能量法是后續(xù)的基本方法；導(dǎo)數(shù)法是物理概念與數(shù)學(xué)工具相結(jié)合的嚴(yán)密方法，但目前高中物理尚未要求、仍可嘗試(待學(xué)習(xí)了高中數(shù)學(xué)的導(dǎo)數(shù)內(nèi)容后，大學(xué)物理中導(dǎo)數(shù)法是解決運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題的基本方法)．因此，微元法、合成法、能量法是目前解決繩-船模型的高中物理基本方法．

由上述討論知，依據(jù)物理概念達(dá)到物理方法的層次，方能對(duì)繩-船模型理解到位，可使問(wèn)題的解決有根有據(jù)、邏輯嚴(yán)謹(jǐn)、層層遞進(jìn)、步步深入；因此，若達(dá)此水平，不僅知其然而且知其所以然，即便是中學(xué)物理與大學(xué)物理間的“邊緣試題”或“擦邊球試題”[3]，也能依據(jù)相關(guān)物理概念、規(guī)律、方法基本解決，而不再依賴某種“經(jīng)驗(yàn)”或“套路”．

4教學(xué)建議

基于上述解法、討論，提出以下參考性教學(xué)理念、教學(xué)策略的建議．

4.1教學(xué)理念

學(xué)生解決繩-船模型的兩種典型錯(cuò)解[4]表明：學(xué)生出錯(cuò)是憑感覺(jué)、想當(dāng)然，或受運(yùn)動(dòng)的合成與分解的思維定勢(shì)的驅(qū)使，或思維片面性所導(dǎo)致；而有些教師對(duì)此問(wèn)題的講解似乎是憑經(jīng)驗(yàn)、重結(jié)果、湊答案[4]，難免“美中不足”或有點(diǎn)遺憾．由上述解法、討論知，認(rèn)清船或連接船的繩端的運(yùn)動(dòng)過(guò)程是解決問(wèn)題的基礎(chǔ)，合理運(yùn)用相關(guān)物理概念、物理方法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵；因此，回歸物理過(guò)程、物理概念、物理方法是解決繩-船模型的教學(xué)基本理念．

4.2教學(xué)策略

雖然就繩-船模型的教學(xué)提出了針對(duì)學(xué)生兩種典型錯(cuò)解的順學(xué)而導(dǎo)、補(bǔ)全原解的策略，并進(jìn)行了有益的教學(xué)實(shí)踐嘗試[4]；但此策略主要是順著學(xué)生錯(cuò)解的思路、教師點(diǎn)撥引導(dǎo)、學(xué)生達(dá)到正解、學(xué)生對(duì)比反思，并未深究學(xué)生錯(cuò)解的思維起點(diǎn)(兩錯(cuò)解的思維起點(diǎn)分別是：分解繩速，誤認(rèn)為繩速沿水平方向的分速度等于船速；分解船速，誤認(rèn)為船速沿繩方向的分速度等于繩速)，學(xué)生的反思也未必能理解繩端的運(yùn)動(dòng)效果(因?yàn)榻處煹囊龑?dǎo)基于運(yùn)動(dòng)過(guò)程的想象，未進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)奈锢砝碚撏谱C)．

基于上述教學(xué)理念，若按學(xué)生嘗試→教師講解→師生對(duì)話的教學(xué)過(guò)程解決繩-船模型，則相應(yīng)的教學(xué)策略的要點(diǎn)為：學(xué)生識(shí)錯(cuò)→轉(zhuǎn)錯(cuò)→省錯(cuò)，教師點(diǎn)錯(cuò)→修錯(cuò)→思錯(cuò)，師生適應(yīng)→響應(yīng)→認(rèn)同；三者既相互對(duì)應(yīng)，又辯證統(tǒng)一．

5結(jié)語(yǔ)

本文給出了船的運(yùn)動(dòng)為什么是沿繩方向分運(yùn)動(dòng)、垂直繩方向分運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)的理論論證，呈現(xiàn)了解決繩-船模型的3種中學(xué)物理方法和2種大學(xué)物理方法，提供了“同題異法”的一個(gè)典型實(shí)例；討論了解決繩-船模型的疑惑，進(jìn)而奠定了教學(xué)的物理理論基礎(chǔ)；提出了基于物理過(guò)程、物理概念、物理方法解決繩-船模型的參考性教學(xué)建議．

或許“不識(shí)廬山真面目，只緣身在此山中”，對(duì)中學(xué)物理疑惑性、難點(diǎn)性問(wèn)題，其解決的有效途徑之一應(yīng)是回歸物理過(guò)程、物理概念、規(guī)律、物理方法(包括大學(xué)物理層次的居高認(rèn)識(shí))，同時(shí)應(yīng)借鑒相關(guān)的教育理論研究成果、教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，使問(wèn)題的解決既有堅(jiān)實(shí)的物理依據(jù)，又有可靠的教育理論基礎(chǔ)和教學(xué)實(shí)踐基礎(chǔ)，進(jìn)而有效培養(yǎng)學(xué)生解決物理問(wèn)題的能力．

參 考 文 獻(xiàn)

1方銀良．為何繩端速度如此分解．物理教師，2010，31(2)：14

2馬皓．再論“為何繩端速度如此分解”．物理通報(bào)，2012(1)：109～110

3宋金洪．對(duì)一道物理試題的追問(wèn)．物理教師，2013，34(7)：64～65

4劉桂枝． 順學(xué)而導(dǎo) 補(bǔ)全原解——基于學(xué)生“最近發(fā)展區(qū)”的“拉船模型”糾錯(cuò)策略． 物理教師， 2013， 34(12)： 25～26

5胡盤新，孫迺疆．普通物理學(xué)(第5版)習(xí)題分析與解答．北京：高等教育出版社，2003．9～10

6Kleppner D，Kolenkow R J．力學(xué)引論．寧遠(yuǎn)源，等譯．北京：人民教育出版社，1980．33～35，43

Teaching Research on Rope - ship Models

He Shuping

(Research Institute of Physics Education，College of Education，Northwest Normal University，Lanzhou,Gansu730070)

Abstract：The rope-ship model is a typical kinematics problem，its solution of having already been seen exists puzzling．This paper in detail explores the solution of rope-ship model，the results show that: there are 3 kinds of feasible methods of high school physics，2 kinds of basic college physics methods；the doubles of solving rope-ship model are discussed，and corresponding teaching suggestions are put forward．

Key words：rope-ship model；physics process；physics concept；physics method

(收稿日期：2015-10-10)

作者簡(jiǎn)介：何述平*何述平(1964-)，男，碩士，副教授，主要從事物理教學(xué)論的理論和實(shí)驗(yàn)的教學(xué)與研究工作．
(西北師范大學(xué)教育學(xué)院物理教育研究所甘肅 蘭州730070)