蘇曉杰，寧德志，滕斌

(大連理工大學(xué)海岸和近海工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧大連116024)

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孤立波與帶有窄縫結(jié)構(gòu)作用的數(shù)值模擬研究

蘇曉杰，寧德志，滕斌

(大連理工大學(xué)海岸和近海工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧大連116024)

摘要:針對(duì)孤立波式極值波浪與帶有窄縫兩結(jié)構(gòu)相互作用問(wèn)題，采用活塞推板造波法以及時(shí)域高階邊界元方法建立了自由水面滿足完全非線性邊界條件的二維數(shù)值波浪水槽模型。求解中采用混合歐拉－拉格朗日方法追蹤流體瞬時(shí)水面，運(yùn)用四階龍格庫(kù)塔方法更新下一時(shí)間步的波面和速度勢(shì)，利用加速度勢(shì)的方法來(lái)求得作用結(jié)構(gòu)上的瞬時(shí)波浪荷載。通過(guò)與已發(fā)表的數(shù)值與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比，驗(yàn)證了所建模型的準(zhǔn)確性。同時(shí)通過(guò)大量的數(shù)值計(jì)算研究了窄縫及結(jié)構(gòu)尺寸對(duì)迎浪側(cè)波浪爬高，窄縫內(nèi)波面升高，背浪側(cè)透射浪高以及箱體所受波浪荷載的影響規(guī)律。

關(guān)鍵詞:窄縫;數(shù)值波浪水槽;孤立波;波浪力;高階邊界元

隨著海洋工程的不斷發(fā)展，大型海上結(jié)構(gòu)物被大量使用，這些結(jié)構(gòu)物多由多模塊組成，模塊之間存在尺度很小的窄縫［1］。多體船以及多船進(jìn)行聯(lián)合作業(yè)時(shí)，船體之間也會(huì)有相比船體尺度很小的窄縫出現(xiàn)。在某些頻率波浪的作用下，共振現(xiàn)象隨之發(fā)生，窄縫內(nèi)發(fā)生很大的波面升高，對(duì)結(jié)構(gòu)物產(chǎn)生很大的波浪荷載。很多學(xué)者研究了波浪與帶窄縫浮體的相互作用，但大多研究局限于一般的規(guī)則正弦波。Miao等［1］采用漸近匹配法研究了帶狹縫二維雙箱的共振現(xiàn)象，指出了共振頻率與方箱的吃水深度和狹縫寬度的關(guān)系。滕斌等［2］采用比例邊界有限元方法研究了規(guī)則波浪與兩箱結(jié)構(gòu)作用下箱體的受力情況，發(fā)現(xiàn)隨著箱體寬度的減小，共振頻率向高頻移動(dòng)。Saitoh等［3］對(duì)不同入射波浪作用下兩個(gè)方箱之間窄縫的波高變化進(jìn)行了試驗(yàn)研究，發(fā)現(xiàn)窄縫內(nèi)最大共振波高可以達(dá)到入射波高的五倍。Zhao等［4］采用勢(shì)流理論研究了FLNG船與LNG船并排聯(lián)合作業(yè)，發(fā)現(xiàn)窄縫內(nèi)水體出現(xiàn)共振現(xiàn)象時(shí)，對(duì)船體的運(yùn)動(dòng)響應(yīng)及荷載有很大的影響。Zhang等［5］采用頻域方法，研究了兩層流中雙箱窄縫共振問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)共振現(xiàn)象受結(jié)構(gòu)尺寸、流體相對(duì)密度的影響。

海洋環(huán)境極其復(fù)雜，經(jīng)常出現(xiàn)破壞性更大的極值波浪。沿海地區(qū)經(jīng)常出現(xiàn)的海嘯就是極值波浪的一種。極值波浪一般含有驚人的能量，破壞力極大，對(duì)海洋結(jié)構(gòu)物的安全產(chǎn)生巨大的危害。為了方便有效地研究極值波浪，可以將其近似為只有單一波峰，周期無(wú)限大的孤立波。

過(guò)去的幾十年里，國(guó)內(nèi)外學(xué)者做了很多關(guān)于孤立波的研究。Su等［6］給出了孤立波在直墻前爬高的三階理論公式。Katell等［7］根據(jù)Rayleigh的孤立波理論解，推導(dǎo)出一種新的造孤立波的方法。齊鵬等［8］應(yīng)用湍流數(shù)學(xué)模型和流體體積法模擬了孤立波翻越防波堤的流動(dòng)和自由表面變化。劉長(zhǎng)根等［9］用基于雷諾方程的二維數(shù)學(xué)模型研究孤立波與距離水面不同位置處的水平圓柱體的相互作用過(guò)程。He等［10］應(yīng)用高階邊界元法模擬了孤立波與豎直彈性板相互作用，發(fā)現(xiàn)彈性板變形與板的剛度以及頂點(diǎn)處的約束情況有很大關(guān)系。房克照等［11］建立了基于高階Boussinesq水波方程的波浪傳播數(shù)學(xué)模型，模擬孤立波在潛礁地形上的傳播。Chen等［12］通過(guò)模型實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)當(dāng)無(wú)量綱波高H/d＞0.5時(shí)，入射浪的非線性作用增強(qiáng)，并且出現(xiàn)Rayleigh－Taylor不穩(wěn)定現(xiàn)象。

關(guān)于孤立波與帶窄縫結(jié)構(gòu)的相互作用問(wèn)題的研究成果少見(jiàn)發(fā)表，因此本文通過(guò)采用高階邊界元方法建立自由水面滿足完全非線性邊界條件的時(shí)域數(shù)值波浪水槽，采用推板造波方法造波并在水槽另一側(cè)布置阻尼層吸收出流波浪，進(jìn)而求解孤立波與具有窄縫兩結(jié)構(gòu)的相互作用問(wèn)題。進(jìn)一步通過(guò)大量數(shù)值計(jì)算研究窄縫及結(jié)構(gòu)尺寸對(duì)反射波高、透射波高、窄縫內(nèi)波高和結(jié)構(gòu)所受波浪荷載等的影響規(guī)律。

1　數(shù)學(xué)模型

考慮孤立波與具有窄縫的兩方箱作用布置如圖1所示，建立笛卡爾坐標(biāo)系oxz，坐標(biāo)原點(diǎn)位于靜水面上，且z軸向上為正，波浪沿x軸正向傳播。

圖1　水槽示意圖Fig.1 Definition sketch of the wave flume

圖中:h為水槽靜水深，W為箱體寬度，D為箱體吃水深度，Wg為兩箱體間窄縫的寬度。在箱體1迎浪側(cè)點(diǎn)A和箱體2背浪側(cè)點(diǎn)B，窄縫中間位置水面點(diǎn)G分別布置測(cè)點(diǎn)記錄波面波動(dòng)歷程。假定流體無(wú)粘并且流動(dòng)無(wú)旋，這樣整個(gè)流域可用速度勢(shì)來(lái)描述。上述問(wèn)題的控制方程為由速度勢(shì)滿足的拉普拉斯方程［13］，即:

在自由水面上，滿足完全非線性動(dòng)力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)邊界條件，在水槽一側(cè)添加人工阻尼層來(lái)吸收向右傳播的波浪，自由水面邊界條件添加阻尼項(xiàng)后可以寫成以下形式:式中粘性系數(shù)為:

式中:g是重力加速度，x0為阻尼層起始位置坐標(biāo)，L為阻尼層長(zhǎng)度。T為造波板運(yùn)動(dòng)時(shí)間，表達(dá)式如下［10］:

根據(jù)Rayleigh－Boussinesq理論，孤立波的波面升高公式如下［10］:

式中，K為outskirts衰減系數(shù)，c為孤立波波速，表達(dá)式如下:

在水槽的入射邊界，造波板的運(yùn)動(dòng)方程以及在各瞬時(shí)位置處的運(yùn)動(dòng)速度可寫為［10］:

在水底以及物面上，滿足固壁不可滲透條件，即

假定初始時(shí)自由水面是靜止的，即

在整個(gè)流域內(nèi)對(duì)速度勢(shì)應(yīng)用格林第二定理，可得到如下邊界積分方程［13］:

式中:p=(x0，z0)為源點(diǎn)，q=(x，z)為場(chǎng)點(diǎn)，C為固角系數(shù)，G是簡(jiǎn)單格林函數(shù)，考慮到水底鏡像，可以表示為如下形式:

式中:r1為p和q兩點(diǎn)距離，r2為p和q關(guān)于水底鏡像之間距離。

求解作用在結(jié)構(gòu)上的波浪力F={ fx，fz}可通過(guò)在瞬時(shí)物體濕表面上做壓強(qiáng)積分得到:

式中:速度勢(shì)時(shí)間導(dǎo)數(shù)通過(guò)加速度勢(shì)方法求解可以得到穩(wěn)定且準(zhǔn)確的解。也即，速度勢(shì)時(shí)間導(dǎo)數(shù)φt滿足Laplace方程:

在自由水面上，φt由Bernoulli方程給出:

在固定邊界上滿足:

進(jìn)而通過(guò)求解積分方程:

可以求得φt，其中系數(shù)矩陣與式(10)中相同，不用重新建立。最后通過(guò)式(12)求得作用在物體上的波浪力。

本文用三節(jié)點(diǎn)高階邊界元離散計(jì)算域成一些曲線單元，單元內(nèi)任一點(diǎn)的幾何坐標(biāo)和速度勢(shì)等物理量可以用二次形狀函數(shù)插值得到。積分方程經(jīng)高階邊界元離散后，可通過(guò)求解線性方程組得到未知量。計(jì)算中認(rèn)為當(dāng)前時(shí)刻物面上的速度勢(shì)法向?qū)?shù)和自由水面上的速度勢(shì)是已知的，根據(jù)積分方程計(jì)算當(dāng)前時(shí)刻物面上的速度勢(shì)和自由水面上的速度勢(shì)法向?qū)?shù)，然后應(yīng)用四階Runga－Kutta法，根據(jù)自由水面條件式計(jì)算下一時(shí)刻的水質(zhì)點(diǎn)位置和自由水面上的速度勢(shì)，再用二次形狀函數(shù)在舊單元上插值求得新節(jié)點(diǎn)上的物理量來(lái)對(duì)自由水面網(wǎng)格重新劃分，重新應(yīng)用積分方程計(jì)算下一時(shí)刻物面上的速度勢(shì)和自由水面上的速度勢(shì)法向?qū)?shù)。這樣計(jì)算周而復(fù)始，直到計(jì)算結(jié)束［14］。

2　數(shù)值計(jì)算及討論

2.1模型準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性

首先驗(yàn)證本數(shù)值模型生成孤立波的功能。在數(shù)值模型中，水槽水深設(shè)定為h=0.5 m，孤立波波高H=0.012 m。計(jì)算域長(zhǎng)度取70 m，在水槽的右端布置直墻，造波板位于x=0處。通過(guò)開展數(shù)值收斂性實(shí)驗(yàn)，自由水面上共布置140個(gè)單元，直墻上布置20個(gè)單元，造波板上布置20個(gè)單元。時(shí)間步長(zhǎng)，共模擬200 s。

圖2給出了幾個(gè)不同時(shí)刻，孤立波的傳播歷程圖。從圖中可以看出在長(zhǎng)時(shí)間傳播過(guò)程中，孤立波波形保持不變，沒(méi)有衰減，說(shuō)明本模型造出的孤立波可以長(zhǎng)時(shí)間傳播且有很好的穩(wěn)定性。

為了驗(yàn)證本文模型模擬孤立波與結(jié)構(gòu)物的相互作用問(wèn)題，圖3給出了孤立波在直墻前的無(wú)量綱爬高Hmax/h與無(wú)量綱入射波高H/h的關(guān)系。并且給出了兩種孤立波與直墻相互作用的模型實(shí)驗(yàn)的測(cè)量結(jié)果(Chen等［12］，Maxworthy等［15］)，一種數(shù)值模擬結(jié)果(Cooker等［16］)，以及一種孤立波在直墻前爬高的三階理論公式(Su等［6］)，公式表示為:

式中，Hmax表示孤立波在直墻前的最大爬高，即波峰距離靜水面的高度。從圖中可以看出本文結(jié)果與以上四種結(jié)果穩(wěn)合的很好，說(shuō)明本模型可以準(zhǔn)確模擬孤立波爬高問(wèn)題。

圖2　孤立波傳播歷程圖Fig.2 Time series of solitary wave

圖3　波浪爬高與無(wú)量高入射波高的關(guān)系Fig.3 Normalized maximum runup Hmax/h against H/h

圖4　作用在直墻上波浪荷載隨無(wú)量綱波高的分布Fig.4 Distribution of dimensionless wave forces on the wall against H/h

圖4給出了孤立波作用于直墻的無(wú)量綱波浪力Fx/ρgh2(其中F為靜水壓力與波浪力之和)與無(wú)量綱入射波高H/h的關(guān)系，同時(shí)給出了Maiti等［17］的數(shù)值模型模擬的結(jié)果以及Fenton等［18］給出的孤立波作用于直墻水平方向波浪力理論公式對(duì)比。理論公式表示為:

從圖中可以看出，當(dāng)孤立波高較小時(shí)，本文模擬結(jié)果與理論公式［18］以及Maiti的數(shù)值結(jié)果［17］都吻合很好;當(dāng)波高增大，非線性作用增強(qiáng)時(shí)，本文結(jié)果相比于Maiti的數(shù)值結(jié)果［17］更加接近Fenton的理論公式結(jié)果［18］。

利用勢(shì)流理論，國(guó)內(nèi)外學(xué)者采用時(shí)域［19］和頻域［5］的方法模擬了規(guī)則波與帶窄縫箱體相互作用問(wèn)題，與物理模型實(shí)驗(yàn)［3］結(jié)果擬合的很好。通過(guò)這些對(duì)比研究，說(shuō)明本文建立的模型可以準(zhǔn)確模擬孤立波與直墻以及帶窄縫結(jié)構(gòu)物相互作用問(wèn)題。

2.2數(shù)值結(jié)果

本文利用所建數(shù)學(xué)模型模擬研究孤立波與帶有窄縫的兩固定箱體相互作用問(wèn)題。

首先選取水深h=0.5 m，入射波高分別為H=0.012、0.05、0.1 m，箱體寬度W=0.5 m，箱體吃水D=0.252 m，以及一系列的窄縫寬度(0.04～0.5 m)研究窄縫寬度不同時(shí)，水動(dòng)力的特征以及變化趨勢(shì)。計(jì)算域長(zhǎng)度取100 m，在水槽的右端布置長(zhǎng)為20 m的阻尼層，造波板位于x=0，箱體1側(cè)面邊界位于距離造波板70 m的位置，然后依次按Wg調(diào)整箱體2的位置。自由水面上共布置200個(gè)單元，窄縫寬度Wg=0.04 m時(shí)布置4個(gè)單元，隨著窄縫寬度增大，單元數(shù)相應(yīng)增加。箱體側(cè)面邊界均布置6個(gè)單元，底面邊界布置12個(gè)單元，每個(gè)算例模擬80 s。

圖5　窄縫內(nèi)波浪爬高與窄縫寬度的關(guān)系Fig.5 Normalized maximum runup Hmax/h against Wg

圖5給出了窄縫內(nèi)無(wú)因次波高與窄縫寬度的關(guān)系。從圖中可以看出，孤立波與帶窄縫兩箱體作用時(shí)，窄縫內(nèi)并不會(huì)發(fā)生很明顯的共振現(xiàn)象，與在某些頻率規(guī)則波作用下會(huì)發(fā)生共振，產(chǎn)生很大的波浪升高的現(xiàn)象不同。這是因?yàn)楣铝⒉ǖ闹芷谂c窄縫內(nèi)水體的共振頻率相差較大，不能發(fā)生共振現(xiàn)象;另外一個(gè)原因是孤立波只有一個(gè)峰值，能量難以在窄縫內(nèi)聚集。隨著入射波高的增大，窄縫內(nèi)的波面升高也增大。當(dāng)Wg=0.05 m時(shí)，3種入射波高對(duì)應(yīng)的窄縫波面升高分別為:H/H0=1.02，1.14和1.25。這是由于波高增大，非線性作用增強(qiáng)導(dǎo)致的結(jié)果。

圖6給出了上述工況下，H=0.012 m，Wg=0.05 m時(shí)，不同位置測(cè)點(diǎn)處波面的時(shí)間歷程。從圖中可以看出，23 s時(shí)，孤立波峰到達(dá)結(jié)構(gòu)物前40 m的位置，40 s到達(dá)結(jié)構(gòu)物前A點(diǎn)處，通過(guò)結(jié)構(gòu)物反射的波浪以一個(gè)類似單一周期的正弦波向遠(yuǎn)處傳播，并在58 s時(shí)到達(dá)結(jié)構(gòu)物前40 m的位置。孤立波在窄縫處有小幅度的爬高，隨后水面有一個(gè)小的谷值，結(jié)構(gòu)迎浪側(cè)和背浪側(cè)也有類似的現(xiàn)象，由于孤立波相當(dāng)于長(zhǎng)波，結(jié)構(gòu)物對(duì)波形影響較小，因此A、G、B 3點(diǎn)處波形相差不大。

圖6　不同位置測(cè)點(diǎn)處波面時(shí)間歷程Fig.6 Time series of wave elevation

圖7　波浪爬高與箱體寬度的關(guān)系Fig.7 Normalized maximum runup Hmax/h against Wg

圖7給出了水深h=0.5 m，入射波高H=0.012 m，窄縫寬度Wg=0.05 m，箱體吃水D=0.252 m時(shí)，不同位置無(wú)因次波高與箱體寬度的關(guān)系。從圖中可以發(fā)現(xiàn)，隨著箱體寬度的增大，窄縫內(nèi)的波面升高基本不變;而孤立波在結(jié)構(gòu)物迎浪側(cè)的爬高增大，透射浪逐漸減小。這是由于隨著箱體寬度增大孤立波在箱體上的爬高增大，而透過(guò)箱體的波浪減小。隨著入射波高的增大，迎浪測(cè)與窄縫內(nèi)的波面升高增大，背浪側(cè)的透射浪減小，這符合能量守恒的原理。

圖8　箱體受力與箱體寬度的關(guān)系Fig.8 Dimensionless wave force against W

從圖8給出的箱體受力與箱體寬度的關(guān)系圖中可以看出，隨著箱體寬度的增大，水平力和垂向力都有增大的趨勢(shì)，但垂向力增大的程度更明顯。這是由于隨著箱體寬度增大，箱體1對(duì)孤立波的反射作用增強(qiáng)，透射浪減小，因此箱體2上的垂向力小于箱體1上的垂向力。隨著入射波高的增大，兩箱體所受水平力增大;箱體1所受垂向力基本不變;箱體2所受垂向力減小。

圖9給出了在上述工況箱體寬度W=0.5 m時(shí)作用在兩箱體上的無(wú)量綱波浪力時(shí)間歷程。從圖9(a)給出的水平力時(shí)間歷程可以看出，兩箱體水平力基本同時(shí)達(dá)到最大值，且相差不大。圖9(b)給出的垂向力時(shí)間歷程相比于水平力時(shí)間歷程，差距較大，作用于箱體2上的垂向力達(dá)到最大值滯后箱體1上的垂向力，但由于箱體寬度相比于孤立波波長(zhǎng)尺度較小，因此差距較小。由于透射到箱體2背浪側(cè)的波浪小于箱體1迎浪側(cè)的波浪，導(dǎo)致箱體1上垂向力大于箱體2上垂向力。

圖9　箱體上波浪力時(shí)間歷程Fig.9 The history of wave forces on two boxes

3　結(jié)論

本文基于時(shí)域高階邊界元方法建立孤立波與具有窄縫的兩箱體結(jié)構(gòu)相作用的完全非線性數(shù)值水槽模型，對(duì)窄縫內(nèi)流體共振條件下反射波高、透射波高、窄縫內(nèi)波高、作用在箱體上的波浪荷載等進(jìn)行了模擬研究。通過(guò)與已發(fā)表實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和數(shù)值結(jié)果進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證，表明本文所建立數(shù)學(xué)模型可以準(zhǔn)確模擬孤立波與具有窄縫結(jié)構(gòu)相作用過(guò)程。通過(guò)大量模擬發(fā)現(xiàn):

1)相比于規(guī)則波，孤立波與帶窄縫箱體相互作用，在窄縫內(nèi)不會(huì)發(fā)生明顯的共振現(xiàn)象。

2)隨著箱體寬度的增大，箱體對(duì)孤立波的反射作用增強(qiáng)，透射浪逐漸減小;箱體上的水平力增長(zhǎng)幅度較小，垂向力增長(zhǎng)程度較大。

3)由于部分入射波被迎浪測(cè)箱體1反射，并且透過(guò)箱體1的波浪被背浪側(cè)箱體2再次反射，導(dǎo)致作用在箱體二上的垂向力小于箱體1。

4)隨著入射波高的增大，孤立波在結(jié)構(gòu)物前的爬高增大，導(dǎo)致透過(guò)兩箱體的透射浪波高減小，窄縫內(nèi)的波面升高隨入射波高增大而增大。

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Numerical simulation of the interaction of solitary waves and structures with narrow slits

SU Xiaojie，NING Dezhi，TENG Bin
(State Key Laboratory of Coastal and Offshore Engineering，Dalian University of Technology，Dalian 116024，China)

Abstract:This study investigated the interaction of extreme solitary waves and structures with narrow slits using a push plate wave－making method and a time－domain higher－order boundary element method.We established a twodimensional numerical wave flume model whose free water surface satisfied fully nonlinear boundary conditions.A mixed Eulerian－Lagrangian method was adopted to track the transient water surface，and the fourth－order Runge－Kutta method was used to refresh the wave surface and velocity potential at each time step.The acceleration potential method was used to calculate the transient wave loads on the structure.The superior accuracy of the proposed model in comparison with published experimental and numerical results was confirmed.Numerical simulations were performed to study the effect of the narrow slit and structure dimensions on wave runup at the head wave side，wave runup inside the narrow slit，wave height at the back wave side，and wave loads on the box.

Keywords:narrow slit;numerical wave flume;solitary wave;wave force;higher－order boundary element

通信作者:寧德志，E－mail:dzning@ dlut.edu.cn.

作者簡(jiǎn)介:蘇曉杰(1989－)，男，碩士研究生;寧德志(1975－)，男，教授，博士生導(dǎo)師.

基金項(xiàng)目:國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51222902，51490672和51209107);教育部新世紀(jì)優(yōu)秀人才支持計(jì)劃(NCET－13－0076).

收稿日期:2014－11－06.網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間:2015－12－21.

中圖分類號(hào):O353.2

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

文章編號(hào):1006－7043(2016)01－0086－06

doi:10.11990/jheu.201411027

網(wǎng)絡(luò)出版地址:http://www.cnki.net/kcms/detail/23.1390.u.20151221.1603.032.html