江蘇省蘇州市吳江區(qū)盛澤小學(xué)　饒麗娟

“兒童數(shù)學(xué)”教學(xué)：基于“HPM”視角

江蘇省蘇州市吳江區(qū)盛澤小學(xué)饒麗娟

“數(shù)學(xué)史”應(yīng)該而且必須成為兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的指南?！癏PM”視野下的“兒童數(shù)學(xué)”教學(xué)，首先要研究?jī)和浯我芯繑?shù)學(xué)。在融入“數(shù)學(xué)史”的兒童數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以采用“鏈接式”移入、“附加式”切入和“發(fā)生式”融入等多種方式，讓兒童掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，感悟數(shù)學(xué)的思想方法。

“HPM”視角；兒童數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)史

“HPM”是1972年第二屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育（ICM）大會(huì)上成立的“數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育國(guó)際關(guān)系研究小組”的簡(jiǎn)稱（International Study Group on the Relations between History and Pedagogy of Mathematics）。HPM關(guān)注的內(nèi)容主要包括：數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的關(guān)系、多元文化的數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)史與學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展、數(shù)學(xué)史與發(fā)生教學(xué)法、數(shù)學(xué)史與學(xué)生學(xué)習(xí)的困難、數(shù)學(xué)原始文獻(xiàn)在教學(xué)中的應(yīng)用等等。不難看出，“HPM組織”研究的重點(diǎn)就是“數(shù)學(xué)史”與“數(shù)學(xué)教學(xué)”的關(guān)系。那么，“數(shù)學(xué)史”如何走進(jìn)“兒童數(shù)學(xué)”教學(xué)？“數(shù)學(xué)史”在“兒童數(shù)學(xué)”教學(xué)中有何意義？筆者在“兒童數(shù)學(xué)”教學(xué)實(shí)踐中進(jìn)行了積極的探索。

一、基于“HPM”視野“：“數(shù)學(xué)史”走入“兒童數(shù)學(xué)”的可能

由于“兒童數(shù)學(xué)”教材中的數(shù)學(xué)知識(shí)是“套裝”的，它略去了人類“生命 實(shí)踐”活動(dòng)的鮮活歷程，而且“兒童數(shù)學(xué)”中的知識(shí)展現(xiàn)也不是原生態(tài)的、發(fā)生式的。因此，在“兒童數(shù)學(xué)”教學(xué)中，教師必須對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行剪裁和加工，將“學(xué)術(shù)形態(tài)的數(shù)學(xué)”轉(zhuǎn)化成“教育形態(tài)的數(shù)學(xué)”，將數(shù)學(xué)“冰冷的美麗”還原成“火熱的思考”。例如，“時(shí)間尺的形成”、“三角板的來(lái)歷”、“負(fù)數(shù)的誕生”、“用字母表示數(shù)的歷程”，等等。這些知識(shí)的教學(xué)都要追溯歷史的“源”、“流”?！癏PM”視野下的數(shù)學(xué)教學(xué)能夠激發(fā)兒童的學(xué)習(xí)興趣，協(xié)同兒童的認(rèn)知發(fā)展，培養(yǎng)兒童的數(shù)學(xué)精神和品格。

1.研究?jī)和?/p>

“歷史是教學(xué)的指南”。“數(shù)學(xué)史”給“兒童數(shù)學(xué)”教學(xué)最重要的啟示是：兒童學(xué)習(xí)知識(shí)的關(guān)鍵步子是人類探索數(shù)學(xué)的微型歷史縮影。由此，數(shù)學(xué)教學(xué)要研究?jī)和?，了解兒童的認(rèn)知起點(diǎn)和結(jié)構(gòu)狀態(tài)，探索兒童的認(rèn)知障礙，遵循兒童的認(rèn)知規(guī)律。例如，“認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)”，在小學(xué)階段重要的不是讓孩子比較負(fù)數(shù)的大小，而在于引領(lǐng)孩子體驗(yàn)負(fù)數(shù)是“表示具有相反意義的量”。否則，兒童同樣會(huì)產(chǎn)生歷史上數(shù)學(xué)家的困惑，感到“負(fù)數(shù)是荒謬的數(shù)”，是“不可思議的數(shù)”。

2.研究數(shù)學(xué)

“兒童數(shù)學(xué)”中的知識(shí)都有其誕生歷程，教學(xué)中只有了解人類是如何獲得知識(shí)的，才能對(duì)孩子如何獲得知識(shí)做出理性判斷。為此，必須把握數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程本質(zhì)，洞悉兒童數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含的豐富而深刻的數(shù)學(xué)思想方法。例如，“乘法”是“表示幾個(gè)相同加數(shù)的和的簡(jiǎn)便運(yùn)算”，所以乘號(hào)“×”和加號(hào)“+”有著內(nèi)在的關(guān)聯(lián)。讓孩子體驗(yàn)乘號(hào)“×”的合理性，體驗(yàn)符號(hào)“×”中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)智慧是數(shù)學(xué)教學(xué)的應(yīng)有之義。

二、基于“HPM”視野：“數(shù)學(xué)史”如何走進(jìn)“兒童數(shù)學(xué)”

“數(shù)學(xué)史”如何走入“兒童數(shù)學(xué)”教學(xué)？根據(jù)筆者的教學(xué)實(shí)踐，可以提供歷史信息，即“鏈接式”移入；可以是對(duì)歷史文化知識(shí)的發(fā)掘，即“附加式”切入；也可以是借鑒歷史進(jìn)行教學(xué)，即“發(fā)生式”融入。其中，“鏈接式”移入和“附加式”切入都是顯性地運(yùn)用“數(shù)學(xué)史”，而“發(fā)生式”融入則是隱性地運(yùn)用數(shù)學(xué)史。

1.“鏈接式”移入：感受數(shù)學(xué)知識(shí)的文化意味

所謂“鏈接式”數(shù)學(xué)史料的嵌入方式就是將與數(shù)學(xué)知識(shí)相關(guān)的歷史知識(shí)、材料和背景等外加于教學(xué)內(nèi)容，如教材編排中的“你知道嗎？”，“鏈接式”數(shù)學(xué)史料的接入方式是簡(jiǎn)單而且容易操作的。例如，教學(xué)“圓的周長(zhǎng)”，在孩子們對(duì)圓的周長(zhǎng)和直徑、半徑等的關(guān)系的猜想后，筆者組織學(xué)生用“繞圓法”、“滾圓法”等方法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)探索，將孩子們的探索結(jié)果和數(shù)學(xué)史上的數(shù)學(xué)家的探索結(jié)果進(jìn)行對(duì)比、對(duì)接，增進(jìn)了孩子們探索的信心。特別是當(dāng)學(xué)生閱讀到南北朝時(shí)期數(shù)學(xué)家祖沖之探索圓周率的故事，知道了祖沖之早在一千多年前用“割圓術(shù)”將圓周率精確到小數(shù)點(diǎn)后7位，并且用約率和密率表示圓周率時(shí)，更是在心中激蕩起無(wú)比的自豪感。盡管學(xué)生還不能領(lǐng)會(huì)“割圓術(shù)”的精妙，但他們深刻地體驗(yàn)到我國(guó)數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)學(xué)文化的博大精深?？梢?jiàn)，“鏈接式”的數(shù)學(xué)史料融入法對(duì)于學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)的歷史文化意義具有重要的作用。

2.“附加式”切入：體驗(yàn)數(shù)學(xué)思想方法的精妙

所謂“附加式”數(shù)學(xué)史料的切入方式就是用數(shù)學(xué)史上的一些數(shù)學(xué)典故、名言等將數(shù)學(xué)教學(xué)進(jìn)行串接，或者用人類探索數(shù)學(xué)知識(shí)的關(guān)鍵步子進(jìn)行分步教學(xué)。如人類的“用字母表示數(shù)”的三個(gè)階段：文辭階段、縮寫(xiě)階段、符號(hào)階段，教學(xué)時(shí)同樣依據(jù)這樣的階段設(shè)計(jì)，體驗(yàn)出探索的一般歷程。再如，教學(xué)“圓的認(rèn)識(shí)”，筆者用《周髀算經(jīng)》中的“不以規(guī)矩不能成方圓”引領(lǐng)學(xué)生畫(huà)圓；用墨子的“圓，一中同長(zhǎng)也”引領(lǐng)學(xué)生探究同圓或等圓中半徑、直徑的特征；用《周髀算經(jīng)》中的“圓出于方，方出于矩”來(lái)讓學(xué)生感受“化曲為直”的數(shù)學(xué)方法和“極限”的數(shù)學(xué)思想。在“附加式”切入中，教師或選擇數(shù)學(xué)史料的某些文化切片，或選擇數(shù)學(xué)史中人類探索的關(guān)鍵步子進(jìn)行引導(dǎo)。這些切入、引導(dǎo)不僅促進(jìn)了兒童的數(shù)學(xué)認(rèn)知，更拓展了兒童的數(shù)學(xué)視界，滋養(yǎng)了兒童的數(shù)學(xué)精神和品格。

3.“發(fā)生式”融入：重構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)的誕生史

19世紀(jì)德國(guó)生物理論家海克爾認(rèn)為，“個(gè)體發(fā)育史重蹈種族發(fā)展史”。兒童的數(shù)學(xué)認(rèn)知同樣契合人類知識(shí)的認(rèn)知發(fā)生過(guò)程。在數(shù)學(xué)史上，龐加萊、克萊因、弗萊登塔爾、波利亞等數(shù)學(xué)家都深信并支持“歷史發(fā)生原理”。數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要深刻理解并努力重構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)的誕生史。例如，教學(xué)“比的意義”，研讀數(shù)學(xué)史會(huì)發(fā)現(xiàn)，“比”產(chǎn)生的客觀基礎(chǔ)是“量”，“比”產(chǎn)生的主觀愿望是“人類描述兩種量（幾種量）之間的關(guān)系”，“比”解決了“量”的“不可度量屬性”的可比性?；诖耍P者分三個(gè)層次設(shè)計(jì)教學(xué)，首先出示幾個(gè)數(shù)量，讓學(xué)生從相差關(guān)系、倍數(shù)關(guān)系方面進(jìn)行描述；其次出示幾組不可直接度量的量讓學(xué)生比較，如“紅隊(duì)和藍(lán)隊(duì)比賽投籃，紅隊(duì)投中了15個(gè)，藍(lán)隊(duì)投中了20個(gè)，哪個(gè)隊(duì)投籃更準(zhǔn)些？”，“甲杯含糖30克，乙杯含糖40克，哪杯水更甜些？”，讓學(xué)生感受“比”產(chǎn)生的必要性；再次是讓學(xué)生感受到比可以描述變化量的關(guān)系，如“小明調(diào)制一種顏料，用1勺黃顏料配4勺藍(lán)顏料，那么兩勺黃顏料配幾勺藍(lán)顏料？”這樣的設(shè)計(jì)讓學(xué)生深刻體驗(yàn)比的產(chǎn)生的歷程。不難看出，“發(fā)生式”教學(xué)隱性地融入了數(shù)學(xué)史，是一種數(shù)學(xué)的“再創(chuàng)造”！

“HPM”視野下的“兒童數(shù)學(xué)”教學(xué)閃現(xiàn)著人類的智慧創(chuàng)造，更展現(xiàn)了兒童的數(shù)學(xué)“再創(chuàng)造”智慧。兒童不僅僅掌握了數(shù)學(xué)知識(shí)本身，更領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)知識(shí)豐富的背景、精妙的方法和深刻的思想?！皵?shù)學(xué)史”應(yīng)當(dāng)成為兒童“認(rèn)知的橋梁”、“學(xué)習(xí)的路徑和指南”！

［1］張平.HPM視域下的概念教學(xué)［J］.上海教育科研，2015（3）.

［2］薛志梅.HPM研究與實(shí)踐：是理念，更是行動(dòng)［J］.江蘇教育（小學(xué)教學(xué)），2015（5）.

［3］金惠萍，王芳.HPM視角下的對(duì)數(shù)概念教學(xué)［J］.教育研究與評(píng)論（中學(xué)教學(xué)），2014（9）.