蘇海東,頡志強,龔亞琦,祁勇峰

（長江科學院材料與結(jié)構(gòu)研究所,武漢 430010 )

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基于獨立覆蓋的流形法的收斂性及覆蓋網(wǎng)格特性

蘇海東,頡志強,龔亞琦,祁勇峰

（長江科學院材料與結(jié)構(gòu)研究所,武漢 430010 )

摘 要：針對前期提出的基于部分重疊覆蓋的數(shù)值流形方法,將其內(nèi)涵范圍縮小,僅研究其中的一種情況——基于獨立覆蓋的數(shù)值流形方法。從完備性和協(xié)調(diào)性2個方面討論該方法的收斂性,特別強調(diào)其收斂性是基于各個獨立覆蓋的逼近而建立起來的,獨立覆蓋之間條形連接區(qū)域的尺寸要取小,并由此推斷及用實例說明,覆蓋網(wǎng)格可以具備“3個任意”的優(yōu)良特性——任意形狀、任意連接以及由此而來的可任意加密的能力,從而有望使數(shù)值計算的前處理工作大為簡化。

關(guān)鍵詞：數(shù)值流形方法；部分重疊覆蓋；獨立覆蓋；收斂性；網(wǎng)格特性

2016,33（02):131-136

1 研究背景

偏微分方程的數(shù)值計算方法,一般分為網(wǎng)格法和無網(wǎng)格法,其中使用最為廣泛的是基于網(wǎng)格的有限單元法［1］。有限元網(wǎng)格通常有以下要求:①形狀要求,不僅要適應求解域形狀,而且要保持單元網(wǎng)格的合適形狀,網(wǎng)格扭曲會影響計算精度；②連接要求,在通常情況下,單元網(wǎng)格之間通過結(jié)點連接才能保證協(xié)調(diào)性。然而,實際求解域往往很復雜,上述要求很可能造成網(wǎng)格剖分的前處理工作難度很大。同時,由于求解域內(nèi)真實物理場分布的復雜程度不同,需要調(diào)整網(wǎng)格密度,即網(wǎng)格局部加密（或稱為細化),涉及到的大小單元連接過渡通常不太方便,要保持單元的合適形狀較為不易。

近年來興起的無網(wǎng)格法采用一組離散點來構(gòu)造求解域內(nèi)的近似函數(shù),在很大程度上克服了有限元法網(wǎng)格剖分的困難,并能通過離散點的密度變化來提高局部計算精度。但其主要問題是［2］:沒有了網(wǎng)格,近似函數(shù)的構(gòu)造要比有限元法難度大,計算成本較高,且在積分上一般需要特殊處理,本質(zhì)邊界條件不易施加。

筆者在文獻［3］中首次提出了一種基于網(wǎng)格的新方法——采用部分重疊覆蓋的新型數(shù)值流形方法（以下簡稱為“新型流形法”或“新方法”),引入了“獨立覆蓋”,在獨立覆蓋區(qū)域中,局部近似函數(shù)為給定級數(shù),各獨立覆蓋之間用較小的條形連接以保持協(xié)調(diào)性。首先研究了矩形獨立覆蓋［3］及其覆蓋加密［4］,以及在獨立覆蓋中使用解析級數(shù)［5］,然后又提出了任意形狀的獨立覆蓋形式［6］。

然而,部分重疊覆蓋的含義較為寬泛,沒有突出新方法的“獨立覆蓋”特性,因此,有必要對新方法重新界定。作為一種全新的計算方法,雖然在上述文獻中通過了多個算例的驗證,但其收斂性仍然是一個值得關(guān)注的問題,它的覆蓋網(wǎng)格相對于有限元網(wǎng)格的優(yōu)勢如何體現(xiàn),本文將對這些問題展開討論。

2 部分重疊覆蓋與獨立覆蓋

1991年,石根華博士首次將現(xiàn)代數(shù)學“流形”思想引入工程計算,發(fā)明了數(shù)值流形方法［7］（以下簡稱流形法),其中很關(guān)鍵的一點是:與有限元法將求解域離散成網(wǎng)格的方式不同,流形法構(gòu)造物理場近似解的所謂“數(shù)學網(wǎng)格”與實際求解域分離。后者只用于定義積分區(qū)域,要求數(shù)學網(wǎng)格在空間上完全覆蓋求解域。如圖1所示,圖中著色的橢圓形物理區(qū)域被矩形數(shù)學網(wǎng)格完全覆蓋。

到目前為止,流形法的數(shù)學網(wǎng)格大都采用有限元網(wǎng)格［9］,并且推薦均勻的規(guī)則網(wǎng)格布置以避免網(wǎng)格扭曲問題。如圖1（a)所示,在有限元結(jié)點上定義級數(shù)作為局部覆蓋函數(shù),單位分解函數(shù)就是有限單元的形函數(shù)。當局部覆蓋函數(shù)為多項式時,對于覆蓋網(wǎng)格內(nèi)的任意形狀積分區(qū)域（稱為流形單元)采用單純形精確積分公式［7］。我們稱這種采用有限元數(shù)學網(wǎng)格的流形法為“常規(guī)流形法”。它實際上與廣義有限元［10］非常相似（但先于后者提出),存在的問題也一樣,如高階近似函數(shù)情況下的方程組線性相關(guān),其網(wǎng)格細化仍要采用有限元網(wǎng)格的加密方式。從覆蓋形式上看,與某個結(jié)點相連的所有有限元網(wǎng)格構(gòu)成一個局部數(shù)學覆蓋,每個覆蓋都在有限單元的區(qū)域內(nèi)與其它覆蓋重疊,各個覆蓋沒有自己的獨立區(qū)域（嚴格地說,結(jié)點是其獨立區(qū)域)。筆者稱之為完全重疊的數(shù)學覆蓋［3］。

實際上,數(shù)學覆蓋還有其它形式。筆者在文獻［3］中首次提出了部分重疊的矩形獨立覆蓋。所謂“獨立覆蓋”,即單位分解函數(shù)φi＝1、近似函數(shù)就是給定級數(shù)Vi的覆蓋區(qū)域。如圖1（b)所示,圖中的大矩形為覆蓋的獨立區(qū)域,即獨立覆蓋,各覆蓋僅在條形區(qū)域重疊。建議條形厚度取較小值,其單位分解函數(shù)φi取為有限單元形函數(shù)（如2個覆蓋之間的條形為一維線性函數(shù))實現(xiàn)覆蓋之間的線性過渡。

圖1 矩形數(shù)學覆蓋示意圖Fig.1 Schematic diagram of rectangular mathematical covers

部分重疊與完全重疊是2個互相排斥的概念,筆者認為,脫離了有限元網(wǎng)格的完全重疊覆蓋體系,很有可能就是部分重疊覆蓋。比如,從圖2中可以清楚地看到,無網(wǎng)格法各離散點的圓形影響域可視作分片的覆蓋,相互重疊形成的數(shù)學覆蓋形式,實際上也是部分重疊覆蓋,并在空間上完全包住了求解域（圖中的粗線范圍)。僅就流形法本身而言,部分重疊覆蓋也有多種變化形式,比如,本文所討論的較大獨立覆蓋和較小條形重疊區(qū)域是一種情況,文獻［12］所討論的獨立覆蓋與重疊區(qū)域尺寸相同是另一種情況,雖然都可以收斂,但它們的收斂特性和覆蓋網(wǎng)格特性是有區(qū)別的。

圖2 無網(wǎng)格法的數(shù)學覆蓋與求解域[11]Fig.2 Mathematical covers and solving domain in Meshless Method[11]

因此,部分重疊覆蓋的含義較為寬泛。筆者在文獻［3-5］中將新方法定義為基于部分重疊覆蓋的數(shù)值流形方法,是限于當時想與有限元網(wǎng)格的完全重疊覆蓋相區(qū)別的認識,并沒有完全反映出強調(diào)“獨立覆蓋”的初衷,有必要將其重新界定為“基于獨立覆蓋”的數(shù)值流形方法,其中,建議條形重疊區(qū)域的尺寸相對于獨立覆蓋要取小,且避開復雜的場函數(shù)分布,其原因?qū)⒃谙旅娣治觥?/p>

3 基于獨立覆蓋的流形法的收斂性

本節(jié)僅就數(shù)值計算中最常見的二階偏微分方程（如彈性力學的平衡微分方程、熱傳導方程等)及連續(xù)介質(zhì)假設,根據(jù)其積分方程求解方法——加權(quán)殘數(shù)法［1］（有限元所采用的伽遼金法就是加權(quán)殘數(shù)法的一種)的要求,來討論新方法的收斂性問題。

實際上,基于獨立覆蓋的流形法完全滿足單位分解法的各項要求,而單位分解法的收斂性已得到證明［8］。以下僅僅從加權(quán)殘數(shù)法對收斂性的2個基本要求——協(xié)調(diào)性和完備性出發(fā),借鑒文獻［1］中對有限元法的收斂性討論,以圖1（b)中截取的2個獨立覆蓋為例（見圖3,多個覆蓋情況類似),說明新方法的收斂過程。

圖3 2個獨立覆蓋及其條形連接Fig.3 Two independent covers and a strip between them

3.1 協(xié)調(diào)性要求

二階偏微分方程的加權(quán)殘數(shù)法積分方程的弱形式,僅要求整體近似函數(shù)保持函數(shù)本身的連續(xù)性（稱為C0連續(xù))［1］。

設圖3中2個獨立覆蓋e,f的數(shù)值解分別為V1和V2,獨立覆蓋內(nèi)的局部覆蓋函數(shù)是光滑函數(shù),僅需討論條形連接區(qū)域P4。在條形區(qū)域內(nèi)采用線性過渡的方式形成近似函數(shù)V

式中的單位分解函數(shù)φ1和φ2為一維有限單元的形函數(shù)

式中ξ是以重疊區(qū)域中點為原點的一維局部坐標（與條的端線垂直),如圖4所示,l為條形厚度。容易驗證,在2條端線處分別與各自的獨立覆蓋數(shù)值相同,因此保證了C0連續(xù)性。

圖4 條形區(qū)域內(nèi)的一維局部坐標Fig.4 Schematic diagram of one-dimensional local coordinate in the strip

3.2 完備性要求

設2個覆蓋（各覆蓋包括獨立覆蓋及其條形重疊區(qū)域)的真實解分別為V*1和V2*。由于所選擇的局部近似函數(shù)具有完備性,即具有與真實函數(shù)無限逼近的能力, V1→V*1和V2→V*

2,因此隨著覆蓋函

數(shù)階次升高,存在可任意小的正整數(shù)ε1和ε2,在各覆蓋內(nèi)有。取ε為ε1,ε2之間的較大值,得到,,即

再看條形重疊區(qū)域,將單位分解函數(shù)式（2)分別乘以上式

兩式相加得

設

考慮到連續(xù)介質(zhì)中的真實解V*具有連續(xù)性,因此在重疊區(qū)域內(nèi)有V*

1＝V*2＝V*,即由式（6)得U*＝V*。再由式（5)得到

即

即V→V*。因此,在覆蓋的獨立區(qū)域和重疊區(qū)域,局部近似函數(shù)均具有無限逼近真實解的能力,滿足完備性。

達到了協(xié)調(diào)性和完備性2方面的要求,在加權(quán)殘數(shù)法積分方程的控制下,整體近似函數(shù)最終收斂于真實解,新方法的收斂性得到保證。

進一步觀察一階導數(shù)。在2個獨立覆蓋內(nèi),當V1→V1*, V2→V*

2時,有。而在覆蓋的重疊區(qū)域,由式（1)、式（2)得

可見,在獨立覆蓋與條形區(qū)域交界處,近似函數(shù)的導數(shù)是不連續(xù)的,多了一項。設l不變,考慮到條形區(qū)域內(nèi)有V*＝V*1＝V2*,則＋。因此,在獨立覆蓋及其條形連接區(qū)域,近似函數(shù)的導數(shù)也將逼近真實解。

從以上過程可以看出,我們希望新方法的收斂性是基于各個獨立覆蓋自身的逼近而建立起來的,因此特別強調(diào)是基于獨立覆蓋的分析。由于待求未知數(shù)（自由度)是獨立覆蓋內(nèi)的完備級數(shù)的系數(shù),而級數(shù)的各項是線性無關(guān)的,考慮到各覆蓋相對獨立地逼近,因而系統(tǒng)方程組沒有線性相關(guān)問題。雖然新方法的收斂性并不排斥條形較大的情況,但我們?nèi)匀唤ㄗh,條形區(qū)域僅起連接作用,只有在條形尺寸取小以保證獨立覆蓋優(yōu)先逼近的前提下,才便于實現(xiàn)覆蓋網(wǎng)格的3個優(yōu)良特性:任意形狀、任意連接和任意加密。

4 基于獨立覆蓋的流形法的覆蓋網(wǎng)格特性

4.1 獨立覆蓋的任意形狀

根據(jù)經(jīng)典的函數(shù)局部逼近理論［13］,任意的連續(xù)函數(shù)在閉集的分區(qū)內(nèi)都可以用完備級數(shù)逼近。分區(qū)的形狀和尺寸并不影響最終的逼近結(jié)果,而只可能影響逼近的快慢。新型流形法只不過將各分區(qū)（即獨立覆蓋)及其近似函數(shù)用條形及線性過渡的方式聯(lián)系起來以達成整體的逼近。

因此,將前期研究的矩形獨立覆蓋進一步發(fā)展,提出任意形狀的獨立覆蓋［6］,如圖5左邊部分所示,3個任意形狀的獨立覆蓋用較小的條形連接。任意形狀的覆蓋可以貼合物理邊界,如圖6所示,再也沒有圖1中求解域以外的空白數(shù)學覆蓋區(qū)域,覆蓋本身既作為近似解定義區(qū)域又可作為積分區(qū)域（對于采用多項式覆蓋函數(shù)的任意形狀覆蓋,仍可用單純形精確積分)。在這一點上類似于有限元法對求解域的網(wǎng)格離散,但新方法的覆蓋網(wǎng)格可以為任意形狀。

圖5 任意形狀覆蓋及其覆蓋加密Fig.5 Covers with arbitrary shape and their refinements

圖6 覆蓋貼合物理邊界Fig.6 Covers fitted with physical boundaries

之所以提出任意形狀的覆蓋,是因為物理場分布較復雜的區(qū)域常常位于求解域的復雜邊界附近,而矩形覆蓋的布置不太靈活,容易造成邊界處覆蓋內(nèi)的材料體大小不均（如圖1所示),影響求解效率。這個問題可以通過采用任意形狀覆蓋并結(jié)合求解域形狀進行適當?shù)母采w劃分來加以解決,同時覆蓋貼合物理邊界,也便于本質(zhì)邊界條件的嚴格施加。筆者在文獻［6］中通過懸臂梁算例驗證了覆蓋網(wǎng)格采用任意形狀同樣可以收斂。

4.2 獨立覆蓋的任意連接

任意連接是指獨立覆蓋之間的條形可以任意地錯位布置（如圖7所示),而不必要求幾個條形匯聚一處（如圖1（b)所示)。對此的解釋仍然如上節(jié)的收斂性討論所述,當獨立覆蓋自身的近似函數(shù)逼近真實解時,條形區(qū)域也將逼近真實解,獨立覆蓋之間無論是幾個條形匯聚一處的連接方式,還是錯位連接方式,因為都是協(xié)調(diào)連接,所以不影響整體的收斂性。

文獻［4-5］中的矩形覆蓋加密,實際上就是覆蓋錯位連接的示例。這里給出另一個示例:如圖8（a)所示,我們最近進行了混凝土壩澆筑過程的三維瞬態(tài)溫度場計算,圖中2個3m澆筑層各劃分3個獨立覆蓋,其條形連接在上、下層之間錯位。圖8（b)顯示的溫度計算結(jié)果有非常好的連續(xù)性,且數(shù)值與細密網(wǎng)格的有限元參考解很好地吻合。

圖7 獨立覆蓋連接的錯位布置Fig.7 Independent covers linked with misalignment

圖8 覆蓋任意連接的實例Fig.8 An example of covers linked arbitrarily

4.3 覆蓋網(wǎng)格的任意加密

上節(jié)討論的收斂性只有理論上的意義,因為在實際數(shù)值計算中不可能對任意大小的獨立覆蓋做到無限升階的逼近。對于局部的復雜物理場分布區(qū)域,網(wǎng)格加密是避免不了的。正如前言所述,有限元法具有網(wǎng)格形狀和連接的限制要求,造成網(wǎng)格加密不方便。而在新型流形法中,覆蓋網(wǎng)格可具有任意形狀及任意連接,因而具備了任意加密覆蓋的能力:理論上不管獨立覆蓋加密后細化成什么形狀,也不管細化后的覆蓋之間如何連接,只要各覆蓋均加密至適當大小,總可以做到在各覆蓋內(nèi)用適當階次的完備級數(shù)逼近真實解。

這里給出1個矩形覆蓋任意加密的示例:中部開小方孔的矩形板在上、下兩端受均布拉力,采用如圖9所示的1/4計算模型和矩形覆蓋。利用新方法的h型覆蓋任意加密及p型多項式升階的方便性,選擇一種路徑嘗試h-p型的混合自適應（具體內(nèi)容另文介紹)。結(jié)果表明,在對覆蓋進行了多層錯位連接的加密后,孔口測量點（A,B)的應力值與有限元細密網(wǎng)格參考解非常接近。

圖9 方孔計算的1/4模型Fig.9 1/4 computational model for computing a square hole

5 討 論

新方法建議將條形區(qū)域尺寸取小的原因在于:

（1)條形區(qū)域采用的是有限元網(wǎng)格［6］,計算精度容易受網(wǎng)格影響:在任意形狀覆蓋的情況下,條形區(qū)域的網(wǎng)格容易扭曲；在任意連接的情況下,網(wǎng)格尺寸也會大小不一。這些都是有限元網(wǎng)格力求避免的。因此不建議將條形區(qū)域作為計算主體,所以條形尺寸要取小,同時還要避開場函數(shù)的復雜分布,其導數(shù)也不通過式（9)直接得到,而是由周邊的獨立覆蓋外推后平均。

（2)要保證獨立覆蓋的優(yōu)先逼近,條形區(qū)域的尺寸也不能大。這是因為:在加權(quán)殘數(shù)法積分方程的控制下,近似函數(shù)的逼近是靠積分來實現(xiàn)的；獨立覆蓋的自由度既要滿足獨立覆蓋內(nèi)的積分方程的逼近要求,又要滿足條形區(qū)域內(nèi)的逼近要求,那就要擴大獨立覆蓋的積分面積以優(yōu)先滿足前者。

另外,以獨立覆蓋為主的分析,采用小的條形連接也便于誤差估計（另文介紹)。

當然,條形區(qū)域也不能過小以避免影響方程組的性態(tài),具體要求是,當采用迭代法求解線性方程組時不會使迭代次數(shù)大幅上升。目前試算表明,條形區(qū)域占整個覆蓋面積的1%～10%均可滿足要求。

上面討論的覆蓋網(wǎng)格3個“任意性”是相對于有限元法對網(wǎng)格形狀及連接的要求而言的,指的是:對于覆蓋的任意形狀及任意連接都是可以計算的,理論上只要各覆蓋均加密至適當大?。ú还芡ㄟ^何種方式),計算結(jié)果都會與真實解接近。因此,即使新方法在實際應用中未必能達到任意性（從計算效率方面考慮),但對網(wǎng)格的限制要求無論如何都要比有限元法大為減少,并且其前處理工作比有限元法方便得多。當然,代價是要生成條形,但其算法并不復雜,可由程序自動且快速地完成。

新型流形法僅僅將有限元結(jié)點上的常數(shù)變量換成級數(shù),并可通過強制約束（也是有限元法的基本手段,如圖3所示,將結(jié)點2,5,6的自由度約束到結(jié)點1以實現(xiàn)獨立覆蓋1)將有限元網(wǎng)格的完全重疊覆蓋轉(zhuǎn)化為獨立覆蓋和條形連接［3,6］,因此在方法和程序?qū)崿F(xiàn)上并不比有限元法復雜多少,而且比無網(wǎng)格法方便。

以上討論都是針對連續(xù)物理場的逼近問題,對于非連續(xù)問題,只需在非連續(xù)的界面上將覆蓋分開,使兩邊的自由度獨立變化。

6 結(jié) 語

本文將前期提出的部分重疊覆蓋的新型流形法重新界定,研究其中的1種情況——基于獨立覆蓋的流形法,使新方法的特點更為明確。對其基本的學術(shù)思想作了較為全面的闡述,包括其收斂性的含義是以獨立覆蓋的逼近為主,獨立覆蓋之間條形連接區(qū)域的尺寸要取小,以便于實現(xiàn)覆蓋網(wǎng)格的任意形狀、任意連接和任意加密的優(yōu)良特性。

本文僅在方法的易用性方面進行了討論,在收斂效率上仍需進一步研究?？紤]到新方法具有h型覆蓋加密及p型級數(shù)升階的方便性和靈活性,總會有相對合適的覆蓋形狀、連接以及加密方式可使計算效率大幅提升,并在增加了誤差控制后可以做到完全自動化的計算（另文介紹)。

致謝：部分重疊覆蓋的思想來自于石根華博士。筆者的研究一直受到石根華博士的指導,文中的瞬態(tài)溫度場的流形法算例采用了長江科學院林紹忠教授的程序,在此表示由衷的感謝。

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（編輯:劉運飛)

Characteristics of Convergence and Cover Mesh in Numerical Manifold Method Based on Independent Covers

SU Hai-dong, XIE Zhi-qiang, GONG Ya-qi, QI Yong-feng
（Material and Engineering Structure Department, Yangtze River Scientific Research Institute, Wuhan 430010,China)

Abstract:The scope of a numerical manifold method（NMM) based on partially overlapping covers is narrowed to a special case based on independent covers. Convergence of the new method is discussed from two aspects: completeness and coordination. The convergence of the method is due to the convergence of each independent cover. Results show that the size of the strips between independent covers should be small. Moreover, the cover meshes have three excellent features: arbitrary shape, arbitrary connection, and arbitrary refinement. Finally, some illustrations are given to verify these“arbitrary”features, and the method can be used to greatly simplify the pre-processing of numerical analysis.

Key words:numerical manifold method（NMM)；partially overlapping covers；independent covers；convergence；mesh features

作者簡介：蘇海東（1968-),男,湖北武漢人,教授級高級工程師,博士,主要從事水工結(jié)構(gòu)數(shù)值分析工作和計算方法研究,（電話)027-82927167（電子信箱)suhd@ mail.crsri.cn。

基金項目：國家自然科學基金項目（51409012)；中央級公益性科研院所基本科研業(yè)務費項目（CKSF2013031/ CL)

收稿日期：2015-05-14;修回日期：2015-06-16

doi:10.11988/ ckyyb.20150399

中圖分類號：TB115;TV311

文獻標志碼：A

文章編號：1001-5485(2016)02-0131-06