楊 華,李宗利,惠弘毅

（西北農(nóng)林科技大學(xué)水利與建筑工程學(xué)院,陜西楊凌 712100)

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基于隨機骨料模型的混凝土彈性模量預(yù)測研究

楊 華,李宗利,惠弘毅

（西北農(nóng)林科技大學(xué)水利與建筑工程學(xué)院,陜西楊凌 712100)

摘 要：為確定混凝土的彈性模量,基于細(xì)觀層次假定混凝土是由骨料、砂漿和兩者之間的粘結(jié)界面組成的三相復(fù)合材料,借助蒙特卡羅方法和瓦拉文公式,在二維平面上建立了隨機骨料模型。通過有限元法預(yù)測混凝土的彈性模量,并將數(shù)值計算結(jié)果與試驗結(jié)果進行比較,驗證了該細(xì)觀有限元模型的有效性。在此基礎(chǔ)上研究了混凝土各細(xì)觀組成成分的彈性模量、骨料體積率、骨料最大粒徑、骨料級配、界面厚度以及孔隙等因素對混凝土彈性模量的影響規(guī)律。結(jié)果表明:在混凝土的各細(xì)觀組成成分中,砂漿彈性模量對混凝土彈性模量的影響最大；連續(xù)級配的混凝土彈性模量在相同條件下大于間斷級配的混凝土；孔隙的存在以及界面層厚度的增大均會使混凝土的彈性模量減小。研究結(jié)果為混凝土配合比的設(shè)計及力學(xué)性能的優(yōu)化提供參考。

關(guān)鍵詞：混凝土；復(fù)合材料；隨機骨料模型；彈性模量；預(yù)測

2016,33（02):100-105

1 研究背景

混凝土材料的彈性模量是反映其力學(xué)性能的一個重要指標(biāo),也是計算鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)變形、裂縫開展和溫度應(yīng)力所必需的參數(shù)之一,在結(jié)構(gòu)分析和力學(xué)性能評價中起著至關(guān)重要的作用。目前,對于混凝土彈性模量的確定主要通過試驗進行,但試驗周期長,需要耗費大量的人力、財力和物力,所得到的試驗成果又往往受到試驗條件、環(huán)境條件等因素的影響,相對比較離散。認(rèn)識到混凝土是由粗細(xì)骨料、硬化的水泥砂漿和孔隙裂紋等組成的非均質(zhì)多相復(fù)合材料,不少研究者開始從復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)角度來考察混凝土的宏觀物理力學(xué)性能。

細(xì)觀力學(xué)的任務(wù)是基于復(fù)合材料微結(jié)構(gòu)信息,尋求宏觀均勻材料的有效性能,揭示不同材料組合具有不同性能的內(nèi)在機理,根據(jù)工程需要選擇合適的組分材料,設(shè)計最優(yōu)的復(fù)合材料結(jié)構(gòu)［1］。研究復(fù)合材料有效性能的細(xì)觀力學(xué)方法很多,大體上較為成熟的理論有:Eshelby等效夾雜理論,自洽理論,Mori-Tanaka方法,微分介質(zhì)方法,以及利用變分原理求上、下限方法等［2］。將細(xì)觀力學(xué)方法引入混凝土的研究,極大地豐富了以試驗為主的傳統(tǒng)模式,為進一步深入研究混凝土復(fù)雜的內(nèi)部力學(xué)行為與破壞機理提供了新思路。

國內(nèi)外學(xué)者提出了多種預(yù)測模型來定量評價混凝土彈性模量與混凝土細(xì)觀結(jié)構(gòu)組分及相應(yīng)力學(xué)性能之間的關(guān)系。已有研究中,有的模型為了求解方便而忽略了混凝土中骨料與砂漿之間薄弱層,即界面層的影響［3-4］,有的模型雖然考慮了界面層的影響,但是忽略了孔隙和微裂縫等初始缺陷對混凝土彈性模量的影響［5-7］；還有的模型雖然能考慮骨料、砂漿、界面、空洞及微裂縫等多種細(xì)觀相,但其對骨料的級配和分布做了過多的簡化假設(shè),與實際情況不相符［8］。此外,杜修力等［9-10］對含孔隙混凝土材料的有效力學(xué)性能做了大量研究,但模型的求解過程復(fù)雜,不利于推廣應(yīng)用。

本文作者在前人工作的基礎(chǔ)上,提出能綜合考慮界面、初始缺陷以及符合實際骨料分布情況的混凝土細(xì)觀力學(xué)模型。從細(xì)觀角度出發(fā),將混凝土視為由骨料、砂漿和兩者之間的粘結(jié)界面組成的三相復(fù)合材料,借助蒙特卡羅方法和瓦拉文公式,在試件截面上隨機確定骨料的位置和尺寸,產(chǎn)生出混凝土隨機骨料結(jié)構(gòu),將有限元法運用到混凝土復(fù)合材料細(xì)觀結(jié)構(gòu)的“代表性體積單元（Representative Volume Element,RVE)”上,通過頂面位移法得到混凝土的彈性模量。在此基礎(chǔ)上研究混凝土各細(xì)觀組成成分的彈性模量、骨料體積率、骨料最大粒徑、骨料級配、界面厚度以及孔隙等因素對混凝土彈性模量的影響規(guī)律,為混凝土的設(shè)計優(yōu)化提供參考。

2 細(xì)觀有限元法預(yù)測混凝土的彈性模量

2.1 隨機骨料模型的建立

為了確定骨料所占的面積,假設(shè)骨料最大粒徑為Dmax,最小粒徑為Dmin,粒徑小于Dmin的骨料歸為砂漿,則粒徑在[Ds,Ds＋1]范圍內(nèi)骨料所占面積Aagg可由下式得到:

式中: Aagg[Ds,Ds＋1]指在級配段[Ds,Ds＋1]中骨料的面積（mm2)；Dmax為最大骨料直徑（mm)；Dmin為最小骨料直徑（mm)；Ragg為粗骨料面積與混凝土面積比；Acon為混凝土面積（mm2)。

為使混凝土產(chǎn)生最優(yōu)化的結(jié)構(gòu)密度和強度,采用Fuller級配曲線。Walraven等［11］基于Fuller公式將三維級配曲線轉(zhuǎn)化為試件內(nèi)截面上任一點具有骨料直徑D＜D0的概率Pc（D＜D0) ,其表達式為

式中: D0為篩孔直徑（mm)；Pk為骨料體積與混凝土總體積的百分比。

對于一個特定的混凝土拌和物,通過式（1)和式（2),應(yīng)用蒙特卡羅方法隨機產(chǎn)生結(jié)構(gòu)橫截面上的骨料分布。

2.2 混凝土彈性模量的計算方法

根據(jù)彈性模量的定義采用頂面位移法計算混凝土的彈性模量。由虎克定律,試件的絕對變形量Δl 為

式中:N為軸向力（N)；A為試件截面積（mm2)；l為試件長度（mm)；E為彈性模量（MPa)。

由此可得混凝土彈性模量E的計算式為

式中q為試件頂面施加的面荷載（MPa)。

2.3 試驗驗證

Stock等［12］曾做過一系列不同骨料體積率混凝土的抗拉和抗壓試驗,并測得混凝土的強度和彈性模量。試驗中,骨料的最大粒徑為19 mm,最小粒徑為0.3 mm,骨料體積率分別為0,0.2,0.4,0.6,0.8。為了驗證上述基于隨機骨料模型的細(xì)觀有限元法的有效性,將用上述方法計算的結(jié)果同Stock試驗進行對比。根據(jù)參考文獻［7,12-13］,計算中各相材料力學(xué)參數(shù)如表1所示。

表1 混凝土各相材料力學(xué)參數(shù)Table 1 Mechanical parameters of three-phase materials of concrete

對骨料體積率Va為0,0.2,0.4和0.6的混凝土試塊進行數(shù)值模擬計算,RVE尺寸取為150 mm× 150 mm的正方形,為方便骨料投放,粒徑＜5 mm的骨料歸為砂漿。

根據(jù)前文所述方法生成混凝土三相復(fù)合材料隨機骨料模型,對每種骨料體積率的混凝土,取3種不同的骨料分布,將3種骨料分布計算結(jié)果的平均值作為每種骨料體積率對應(yīng)的彈性模量。采用圓形卵石骨料,限于目前計算機的計算能力以及網(wǎng)格劃分的困難,模型中的界面厚度取為0.2 mm。模型下端施加豎向約束,其中最左端節(jié)點同時在水平方向予以約束,上端施加5 MPa的均布壓力或拉力,進行靜態(tài)求解后,根據(jù)式（4)計算其彈性模量。圖1為隨機骨料模型及網(wǎng)格的劃分,圖2為計算簡圖?；炷翉椥阅Ａ繑?shù)值結(jié)果與試驗結(jié)果比較如表2所示。

圖1 隨機骨料模型及網(wǎng)格的劃分(Va=0.4)Fig.1 Random aggregate model and finite element meshes(Va=0.4)

從數(shù)值模擬結(jié)果與試驗結(jié)果的比較來看,除了骨料體積率為0.2的混凝土受拉時的結(jié)果與試驗結(jié)果相差17.55%外,其它的數(shù)值模擬結(jié)果還是可以接受的,誤差均在8.5%之內(nèi)。

圖2 混凝土彈性模量計算簡圖Fig.2 Schematic diagram for the calculation of elastic modulus of concrete

表2 混凝土彈性模量的數(shù)值模擬結(jié)果與試驗結(jié)果比較Table 2 Comparison of concrete’s elastic modulus between numerical model result and test result

分析誤差產(chǎn)生的原因主要有以下3點:①由于所用試驗結(jié)果為1979年Stock所取得的,其試驗條件以及試件尺寸、骨料級配等影響因素均無明確記錄,因而,數(shù)值模擬中輸入的試驗參數(shù)的精度還有待討論。②本文為了方便骨料投放與網(wǎng)格劃分,考慮的最小骨料粒徑為5 mm,而Stock試驗中的最小骨料粒徑為0.3 mm。③Stock試驗并沒有給出界面彈性模量及各相材料的泊松比,這些參數(shù)根據(jù)文獻選取,缺乏準(zhǔn)確的試驗數(shù)據(jù)。

從結(jié)果上來看,數(shù)值模型在計算混凝土受壓時的效果要好于受拉時的,不含骨料試件的預(yù)測值與試驗值一樣；隨著骨料體積率的增大,含骨料試件的預(yù)測值與試驗值的相對誤差在逐漸地減小,而在實際的混凝土構(gòu)件中,骨料的體積率大都在0.4以上,因此所提出的基于隨機骨料模型的彈性模量預(yù)測的細(xì)觀有限元法是合理有效的。

3 混凝土彈性模量影響因素分析

下面應(yīng)用本文提出的細(xì)觀有限元法預(yù)測混凝土的彈性模量,分別分析混凝土各細(xì)觀組成成分的彈性模量、骨料體積率、骨料最大粒徑、骨料級配、界面厚度以及孔隙等因素對混凝土彈性模量的影響規(guī)律,以便在混凝土組成材料選擇和混凝土配合比設(shè)計時預(yù)測混凝土力學(xué)性能,選用最優(yōu)配比。

材料參數(shù)選取文獻［14］中的試驗數(shù)據(jù):骨料彈性模量Ea＝60 GPa；界面彈性模量Ei＝10 GPa；砂漿彈性模量Ep＝20 GPa；骨料泊松比νa＝0.15；界面泊松比νi＝0.3；砂漿泊松比νp＝0.25。RVE尺寸取標(biāo)準(zhǔn)試件尺寸150 mm×150 mm,界面厚度取0.2 mm。以下分別對上述幾個影響因素進行分析。以下計算中的彈性模量均為混凝土受壓彈性模量。

3.1 骨料體積率對混凝土彈性模量的影響

骨料最小粒徑Dmin取為5 mm,最大直徑Dmax取為40 mm。考慮骨料體積率Va為0.2,0.3,0.4,0.5的4種情況,計算得到的混凝土彈性模量分別為24.52, 26.64,29.34,31.93 GPa?？梢钥闯?混凝土彈性模量隨著骨料體積率的增加而增大,當(dāng)骨料體積率增加1倍時,混凝土彈性模量提高約20%。

3.2 骨料最大粒徑對混凝土彈性模量的影響

骨料最小粒徑Dmin取5 mm,最大直徑Dmax分別取10,20,30,40 mm,且對于每種Dmax,分別生成骨料體積率Va為0.2,0.3,0.4的試件,計算結(jié)果如圖3所示。從圖中可以看出,相同骨料體積率的情況下,混凝土的彈性模量是隨著骨料最大粒徑的增加而增大的,對骨料體積率分別為0.2,0.3和0.4的混凝土,當(dāng)Dmax從10 mm增大到40 mm的時候,混凝土彈性模量分別增大6.29%, 3.78%和4.98%,影響效果不顯著。

圖3 骨料最大粒徑對混凝土彈性模量的影響Fig.3 Impact of maximum size of aggregate on elastic modulus of concrete

3.3 骨料彈性模量對混凝土彈性模量的影響

骨料最小粒徑Dmin取為5 mm,最大直徑Dmax取為40 mm。骨料彈性模量從石灰?guī)r的24～38 GPa到玄武巖的41～96 GPa,變化范圍較大。此處選取骨料彈性模量Ea分別為40,50,60,70,80 GPa的5種情況做影響性分析,且對于每種Ea,分別生成骨料體積率Va為0.2,0.3,0.4的試件,計算結(jié)果如圖4所示。

從圖4可以看出,相同骨料體積率的情況下,混凝土的彈性模量是隨著骨料彈性模量的增加而增大的,對骨料體積率為0.2, 0.3和0.4的混凝土,骨料彈性模量提高1倍時,混凝土彈性模量分別提高約12%,16%,23%。

圖4 骨料彈性模量對混凝土彈性模量的影響Fig.4 Impact of elastic modulus of aggregate on elastic modulus of concrete

3.4 砂漿彈性模量對混凝土彈性模量的影響

骨料最小粒徑Dmin取為5 mm,最大直徑Dmax取為40 mm。選取砂漿彈性模量Ep為15,20,25,30, 35 GPa的5種情況做影響性分析,且對于每種Ep,分別生成骨料體積率Va為0.2,0.3,0.4的試件,計算結(jié)果如圖5所示。

圖5 砂漿彈性模量對混凝土彈性模量的影響Fig.5 Impact of elastic modulus of mortar on elastic modulus of concrete

從圖5可知,相同骨料體積率的情況下,隨著砂漿彈性模量的增大,混凝土彈性模量呈直線增加,對骨料體積率為0.2,0.3和0.4的混凝土,砂漿彈性模量提高1倍時,混凝土彈性模量分別提高約75%,68%,55%,說明砂漿彈性模量對混凝土彈性模量影響較大。

3.5 界面彈性模量對混凝土彈性模量的影響

骨料最小粒徑Dmin取為5 mm,最大直徑Dmax取為40 mm。界面彈性模量Ei分別取為4,8,12,16 GPa,且對于每種Ei,分別生成骨料體積率Va為0.2, 0.3,0.4的試件,計算結(jié)果如圖6所示。

圖6 界面彈性模量對混凝土彈性模量的影響Fig 6 Impact of elastic modulus of interface on elastic modulus of concrete

從圖6可以看出,相同骨料體積率的情況下,隨著界面彈性模量的增大,混凝土的彈性模量是增大的,但是增大的速度逐漸變緩,說明界面彈性模量對混凝土彈性模量的影響有限。根據(jù)混凝土與界面彈性模量間的增長規(guī)律,可由混凝土彈性模量反推出界面彈性模量,從而解決混凝土細(xì)觀數(shù)值研究中界面層力學(xué)參數(shù)的取值問題。

3.6 界面厚度對混凝土彈性模量的影響

有關(guān)研究表明,混凝土界面面積率是影響混凝土宏觀力學(xué)性能的重要參數(shù),混凝土界面面積率主要取決于界面厚度［15］。選取界面厚度Hi為0.2,0.3,0.4, 0.5,0.6 mm的5種情況進行分析,骨料最小粒徑Dmin取為5 mm,最大直徑Dmax取為40 mm,對于每種Hi,分別生成骨料體積率Va為0.2,0.3,0.4的試件,計算結(jié)果如圖7所示。

從圖7可知,相同骨料體積率的情況下,混凝土的彈性模量是隨著界面厚度的減小而增大的,但是增大的幅度很小,界面厚度對混凝土彈性模量的影響較小。分析其原因,由于界面厚度很小,由厚度的增減所引起的界面面積率的變化是很小的,所以從宏觀上看,界面厚度對混凝土彈性模量的影響不是很明顯。

3.7 骨料級配對混凝土彈性模量的影響

骨料級配對混凝土彈性模量的影響比較復(fù)雜,級配不同,骨料的含量、最大粒徑也會不同,前面所述的骨料體積率、骨料最大粒徑對混凝土彈性模量的影響可以認(rèn)為是骨料級配對混凝土彈性模量影響的2個不同方面。此處所討論的級配對混凝土彈性模量的影響,主要考慮間斷級配和連續(xù)級配的情況。連續(xù)級配是指骨料顆粒由大到小,各粒級顆粒均有,并按質(zhì)量比例搭配組成。間斷級配就是骨料顆粒大小不是按照一級接著一級的順序搭配起來的,而是在級配中取消某幾種顆粒粒徑,使級與級之間有著一定的間斷。粗骨料按粒徑分為小石（5～20 mm),中石（20～40 mm),大石（40～80 mm),特大石（80～120 mm),它們依次稱為一、二、三、四級配。當(dāng)在混凝土配比中包含這4種級配時,稱為全級配混凝土,工程中用得比較多的級配有一二級配、一二三級配、一四級配、全級配。骨料含量都取為45%,RVE尺寸和石子組合比見表3,表中的石子組合比為小石∶中石∶大石∶特大石的質(zhì)量比。

表3 各級配混凝土RVE尺寸及石子組合比Table 3 Sizes of representative volume element (RVE) and stone combination ratios of concrete with different gradations

試件采取每組3個,最后用均值來描述不同級配的彈性模量,計算結(jié)果見表4。

表4 不同骨料級配的混凝土彈性模量Table 4 Elastic modulus of concrete with different aggregate gradations　GPa

通過表3、表4中一二級配、一二三級配、全級配的計算結(jié)果,發(fā)現(xiàn)隨著級配的增大,混凝土的彈性模量增大。通過比較一四級配與全級配的計算結(jié)果,發(fā)現(xiàn)連續(xù)級配混凝土的彈性模量要大于間斷級配的混凝土。

4 含孔隙混凝土彈性模量的預(yù)測

前面對混凝土彈性模量預(yù)測均是在混凝土試件完好無損,無任何缺陷的理想情況下進行的。而混凝土是一種典型的多孔介質(zhì)材料,普通混凝土的孔隙率一般不少于8%,孔隙的存在對混凝土彈性模量及強度等力學(xué)參數(shù)會產(chǎn)生巨大的影響。利用所建立的混凝土三相復(fù)合材料隨機骨料模型,隨機地在模型中殺死一部分單元,從而使混凝土模型內(nèi)部產(chǎn)生孔洞,以此來模擬實際工程當(dāng)中混凝土材料中存在的孔隙,然后對試件頂端施加均布荷載,進行靜力分析,研究孔隙對混凝土彈性模量的影響。

圖8 理想無孔隙混凝土與含孔隙混凝土試件(c=0.2,Va=0.4)Fig.8 Specimens of ideal non-porous concrete and porous concrete(c=0.2,Va=0.4)

考慮到實際混凝土中的孔隙大部分分布在界面過渡區(qū)與砂漿基質(zhì)中,骨料相對比較密實,利用ANSYS命令流,隨機地從界面單元和砂漿單元中選擇一部分單元出來作為孔隙單元,生成孔隙率c為0, 0.05,0.1,0.15,0.2混凝土試件,骨料最小粒徑Dmin取為5 mm,最大直徑Dmax取為40 mm,RVE尺寸為150 mm×150 mm。圖8為理想無孔隙混凝土與含孔隙混凝土試件。對于每種孔隙率c ,分別生成骨料體積率Va為0.2,0.3,0.4的試件,計算結(jié)果如圖9所示。

圖9 孔隙率與混凝土彈性模量的關(guān)系Fig.9 Relationship between porosity and elastic modulus of concrete

從圖8、圖9中可以看出,相同骨料體積率的情況下,隨著孔隙率的增大,混凝土彈性模量基本呈線性減小,這與文獻［9-10］中得出的混凝土彈性模量與孔隙率之間的關(guān)系是一致的。

5 結(jié) 論

建立了細(xì)觀層次的混凝土三相復(fù)合材料隨機骨料模型,在此基礎(chǔ)上利用細(xì)觀有限元法對混凝土的彈性模量進行了研究,數(shù)值預(yù)測值與試驗值相符程度良好,證明了方法的合理有效性。分析了各種因素的變化以及孔隙的存在對混凝土彈性模量的影響,得到以下結(jié)論:

（1)混凝土的彈性模量隨著骨料體積率的增大而增大,連續(xù)級配的混凝土彈性模量在相同骨料體積率的情況下要大于間斷級配的混凝土。

（2)骨料或砂漿彈性模量的增大都會引起混凝土彈性模量的增大,而砂漿彈性模量的變化對混凝土彈性模量影響較骨料影響更顯著。

（3)混凝土的彈性模量隨著骨料最大粒徑、界面彈性模量的增大而增大,而隨著界面厚度的增大而減小,但這些因素的影響程度相對于砂漿和骨料對混凝土彈性模量的影響來說,效果不顯著。

（4)孔隙的存在一定程度上會削弱混凝土的力學(xué)性能,隨著孔隙率的增大,混凝土的彈性模量基本呈線性規(guī)律減小。

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（編輯:王 慰)

Prediction of Elastic Modulus of Concrete Based on Random Aggregate Model

YANG Hua, LI Zong-li, HUI Hong-yi
（College of Water Resources and Architectural Engineering, Northwest Agriculture and Forestry University, Yangling 712100, China)

Abstract:In the assumption at mesoscopic level, concrete materials are assumed as three-phase composites consisting of aggregate, mortar and the bonding interface between mortar and aggregate. In order to determine elastic modulus of concrete（EMC), on the basis of the assumption, we establish a random aggregate model in the two-dimensional plane with Monte Carlo method and Walraven formula. Meanwhile, we predict EMC by using finite element method and compare the numerical calculated results with test results to verify the effectiveness of this mesoscopic finite element model. Furthermore, we discussthe impacts of several parameters（elastic modulus, aggregate’s volume content , aggregate’s maximum size, aggregate’s gradation , interface thickness and pores) of mesoscopic component on EMC. Test results show that 1) as for mesoscopic components of concrete, impact of elastic modulus of mortar on EMC is the biggest；2) under given conditions, EMC with continuous gradation is bigger than that with uncontinuous gradation；3) EMC decreases with the increasing of interface thickness and the existence of pores. The research results offer reference for the design of concrete’s mix proportion and optimization of its mechanical properties.

Key words:concrete；composite material；random aggregate model；elastic modulus；prediction

通訊作者：李宗利（1967-),男,陜西鳳翔人,教授,博士生導(dǎo)師,主要從事水工結(jié)構(gòu)與巖土工程穩(wěn)定理論教學(xué)與研究工作,（電話)029-87082117（電子信箱)zongli02@163.com。

作者簡介：楊 華（1989-),女,陜西漢中人,碩士研究生,主要從事水工結(jié)構(gòu)設(shè)計方面的工作,（電話)15109240689（電子信箱)yanghua.kl@ 163.com。

基金項目：國家自然科學(xué)基金面上項目（51379178)；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費專項資助項目（ZD2012015)

收稿日期：2014-07-16;修回日期：2014-08-15

doi:10.11988/ ckyyb.20140583

中圖分類號：TU528.1

文獻標(biāo)志碼：A

文章編號：1001-5485(2016)02-0100-06