李奕蓉，胡捍英

(信息工程大學(xué) 導(dǎo)航與空天目標(biāo)工程學(xué)院，　鄭州 450001)

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基于DFT的MIMO雷達(dá)發(fā)射方向圖設(shè)計(jì)

李奕蓉，胡捍英

(信息工程大學(xué) 導(dǎo)航與空天目標(biāo)工程學(xué)院，鄭州 450001)

摘要：針對(duì)多輸入多輸出(MIMO)雷達(dá)的發(fā)射方向圖設(shè)計(jì)問題，為了在保證方向圖匹配性能以及空域弱互相關(guān)性的前提下，有效降低計(jì)算復(fù)雜度，提出一種基于離散傅里葉變換(DFT)的方向圖設(shè)計(jì)算法。該算法先依據(jù)方向圖的匹配性能及空域互相關(guān)性構(gòu)建代價(jià)函數(shù)，再利用DFT構(gòu)造發(fā)射信號(hào)協(xié)方差矩陣，從而避免了采用傳統(tǒng)凸優(yōu)化方法引入的極高復(fù)雜度。理論分析表明，該算法設(shè)計(jì)的信號(hào)協(xié)方差矩陣能夠滿足方向圖設(shè)計(jì)模型中的基本約束條件，同時(shí)使得代價(jià)函數(shù)最小，具備一定的合理性。仿真及性能分析結(jié)果表明，該算法計(jì)算復(fù)雜度低，且設(shè)計(jì)出的方向圖匹配性能良好、空域互相關(guān)性小。

關(guān)鍵詞：MIMO雷達(dá)；發(fā)射方向圖；離散傅里葉變換；低復(fù)雜度；匹配性能；空域互相關(guān)

0引言

多輸入多輸出(MIMO)雷達(dá)是近年來的一種新興體制雷達(dá)[1-3]，按照陣元間距不同，MIMO雷達(dá)可以分為分布式MIMO雷達(dá)[4-5]和集中式MIMO雷達(dá)[6-7]，本文重點(diǎn)對(duì)集中式MIMO雷達(dá)進(jìn)行研究。集中式MIMO雷達(dá)與傳統(tǒng)相控陣?yán)走_(dá)結(jié)構(gòu)類似，但不同的是，集中式MIMO雷達(dá)可以自由地設(shè)計(jì)每個(gè)陣元的發(fā)射信號(hào)波形，具備波形分集的能力。通過波形分集可以靈活地設(shè)計(jì)發(fā)射方向圖，使電磁波能量有效地聚集到感興趣的區(qū)域內(nèi)，有利于參數(shù)的精確估計(jì)以及目標(biāo)跟蹤。因此，研究MIMO雷達(dá)的發(fā)射方向圖設(shè)計(jì)技術(shù)具有重要意義。

MIMO雷達(dá)方向圖設(shè)計(jì)主要通過設(shè)計(jì)發(fā)射信號(hào)協(xié)方差矩陣來逼近期望方向圖，再根據(jù)信號(hào)協(xié)方差矩陣設(shè)計(jì)得到真實(shí)的發(fā)射信號(hào)。本文著重關(guān)注信號(hào)協(xié)方差矩陣的設(shè)計(jì)方法。文獻(xiàn)[8]最早提出了MIMO雷達(dá)發(fā)射方向圖設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型，并將其轉(zhuǎn)換為半正定二次規(guī)劃(SQP)問題，利用凸優(yōu)化工具箱對(duì)信號(hào)協(xié)方差矩陣進(jìn)行求解。該方法雖然能夠較好地逼近期望方向圖，但復(fù)雜度極高。文獻(xiàn)[9]采用梯度搜索法對(duì)信號(hào)協(xié)方差矩陣的Cholesky因子進(jìn)行優(yōu)化，同時(shí)對(duì)代價(jià)函數(shù)進(jìn)行改進(jìn)，一定程度上降低了梯度計(jì)算的復(fù)雜度，但是整個(gè)優(yōu)化過程仍需多次迭代才能收斂到最優(yōu)解，復(fù)雜度仍然偏高。文獻(xiàn)[10]采用切比雪夫加權(quán)的基波束合成低旁瓣發(fā)射方向圖，設(shè)計(jì)得到的發(fā)射方向圖具備較低的空域互相關(guān)特性，但該方法不能保證每個(gè)陣元發(fā)射功率相等，降低了雷達(dá)的總發(fā)射功率，進(jìn)而降低了探測距離。文獻(xiàn)[11]通過傅里葉變換構(gòu)造能夠較好地逼近期望方向圖的信號(hào)協(xié)方差矩陣，計(jì)算復(fù)雜度較之前算法得到大幅下降，但是，該文獻(xiàn)并沒有對(duì)所設(shè)計(jì)方向圖的空域互相關(guān)特性進(jìn)行考慮。

本文在上述研究的基礎(chǔ)上，提出一種基于離散傅里葉變換(DFT)的方向圖設(shè)計(jì)方法。首先，以方向圖的匹配性能以及空域互相關(guān)性能為依據(jù)構(gòu)建代價(jià)函數(shù)，利用DFT構(gòu)造發(fā)射信號(hào)協(xié)方差矩陣，避免了利用凸優(yōu)化求解信號(hào)協(xié)方差矩陣帶來的極高計(jì)算復(fù)雜度，從而保證算法的低復(fù)雜度特性；然后，對(duì)算法的理論依據(jù)進(jìn)行分析，分別從信號(hào)協(xié)方差矩陣滿足方向圖設(shè)計(jì)模型中的約束條件，并且使得代價(jià)函數(shù)最小兩方面驗(yàn)證了本文算法的合理性。

1MIMO雷達(dá)信號(hào)模型

考慮集中式MIMO雷達(dá)系統(tǒng)，發(fā)射陣為均勻線陣，陣元數(shù)為M，陣元間距為d。發(fā)射信號(hào)

S=[s(1),s(2), …,s(N)]

(1)

為一窄帶信號(hào)，N為碼長或子脈沖個(gè)數(shù)，其中

s(n)=[s1(n),s2(n), …,sM(n)]T

(2)

為M×1維矢量，表示在碼元時(shí)刻n，M個(gè)陣元的發(fā)射信號(hào)；(·)T表示轉(zhuǎn)置運(yùn)算。為了便于分析，假設(shè)電磁波在傳播過程中沒有衰減，則到達(dá)遠(yuǎn)場方位角為θ處的信號(hào)可以記為

x(θ)=aH(θ)s(n)

(3)

其中

為發(fā)射導(dǎo)向矢量。

信號(hào)x(θ)在N個(gè)子脈沖內(nèi)的平均功率為

aH(θ)Ra(θ)

(4)

式中：R為信號(hào)s的采樣協(xié)方差矩陣；(·)H表示取共軛轉(zhuǎn)置。P(θ)為MIMO雷達(dá)的發(fā)射信號(hào)方向圖，反映了一段時(shí)間內(nèi)雷達(dá)在空間各處電磁能量的平均分布情況。

定義兩個(gè)任意方向的互相關(guān)方向圖為

Pc(θp,θq)=aH(θp)Ra(θq)，θp≠θq

(5)

該式反映了方向圖的空域互相關(guān)性能，即空間中兩個(gè)不同方向回波之間的互相干擾程度。

MIMO雷達(dá)發(fā)射方向圖的設(shè)計(jì)重點(diǎn)在于發(fā)射信號(hào)協(xié)方差矩陣的設(shè)計(jì)，然后再根據(jù)信號(hào)協(xié)方差矩陣設(shè)計(jì)實(shí)際的發(fā)射信號(hào)。經(jīng)典的發(fā)射信號(hào)協(xié)方差矩陣的設(shè)計(jì)方法[8]是在約束MIMO雷達(dá)各陣元功率相同的條件下，利用最小二乘準(zhǔn)則對(duì)協(xié)方差矩陣進(jìn)行優(yōu)化，以逼近期望方向圖，其數(shù)學(xué)模型表達(dá)如下

(6)

2基于DFT的發(fā)射方向圖設(shè)計(jì)算法

在實(shí)際中，除了關(guān)注所設(shè)計(jì)方向圖與期望方向圖的匹配性能外，往往還希望不同角度的回波之間的互相干擾程度盡可能小，以提高后續(xù)信號(hào)處理能力。因此，本文在設(shè)計(jì)發(fā)射信號(hào)協(xié)方差矩陣時(shí)，對(duì)方向圖的匹配性能以及空域互相關(guān)性能同時(shí)進(jìn)行考慮，對(duì)式(6)中的代價(jià)函數(shù)進(jìn)行如下改進(jìn)

(7)

下面首先闡述基于DFT的發(fā)射方向圖設(shè)計(jì)算法的具體流程，構(gòu)造發(fā)射信號(hào)協(xié)方差矩陣的閉式解形式，然后從理論上證明該閉式解能夠滿足式(6)中的兩個(gè)基本約束條件，同時(shí)還能夠使得式(7)中的代價(jià)函數(shù)最小，以驗(yàn)證所提算法的合理性。

2.1算法描述

設(shè)g(n)為一長度為M的序列，則其M點(diǎn)DFT序列可以表示為

(8)

G(k)的離散傅里葉逆變換(IDFT)為

(9)

若G(k)∈{0,1}，則可以利用g(n)構(gòu)造M×M維Toeplitz矩陣

(10)

式中：(·)*表示取共軛。在總功率約束的條件下，對(duì)每個(gè)陣元的發(fā)射功率進(jìn)行歸一化處理

(11)

令

則b(k)與發(fā)射導(dǎo)向矢量a(θ)可以通過如下關(guān)系式轉(zhuǎn)換

θk=

(12)

設(shè)Pd(θ)為期望方向圖，其中感興趣的角度范圍為[θminθmax]，則所提的基于DFT的方向圖設(shè)計(jì)算法流程如下。在獲得發(fā)射信號(hào)協(xié)方差矩陣后，可根據(jù)文獻(xiàn)[12]中的循環(huán)算法得到真實(shí)的發(fā)射信號(hào)，這里不做贅述。

步驟一：將θmin和θmax代入式(12)得到kmin和kmax；

步驟二：確定G(k)中非零元素的個(gè)數(shù)及分布范圍

{Pi}={k∈Z|M-?kmax」+1≤k≤M-?kmin」};

步驟三：計(jì)算G(k)的M點(diǎn)IDFT序列g(shù)(n)；

2.2算法合理性分析

接下來，分別對(duì)這兩方面進(jìn)行詳細(xì)討論。

2.2.1約束條件證明

命題1若G(k)∈{0,1}，則其離散傅里葉逆變換序列g(shù)(n)構(gòu)成的矩陣R為半正定矩陣。

證明：

由g*(n)=g(M-n)可知，R由[g(0)g(1)…g(M-1)]T及其循環(huán)移位序列組成的列向量構(gòu)成，根據(jù)DFT時(shí)域循環(huán)移位定理可知

n,m=1,2,…,M

(13)

n,m=1,2,…,M

(14)

式(9)中g(shù)(n)的表達(dá)式可化為

(15)

(16)

n,m=1,2,…,M

(17)

考慮到G2(Pi)=G(Pi)=1，可以得到B和R的關(guān)系式如下

(18)

令h為與R長度匹配的任意列向量，則

(19)

因此，R為半正定矩陣，命題得證。

2.2.2最小化代價(jià)函數(shù)證明

(1) 方向圖匹配性能最優(yōu)

命題2若G(k)∈{0,1}，且G(M)=G(0)，則bH(k)Rb(k)=MG(M-k)。

證明：

bH(k)R為1×M維向量，其元素為

i=0,1,…,M-1

(20)

則

(21)

命題得證。

由bH(k)Rb(k)=MG(M-k)，可以得到下式成立

(22)

接下來對(duì)代價(jià)函數(shù)J2(R)的第二項(xiàng)，也即方向圖空域互相關(guān)性最小進(jìn)行證明。

(2) 方向圖空域互相關(guān)性最小

參照式(5)中互相關(guān)方向圖的定義，定義

F(k,q)=bH(k)Rb(q)k≠q

(23)

命題3若k和q均為整數(shù)，且當(dāng)k≠q時(shí)，則F(k,q)=0。

證明：

行向量bH(k)R中的元素由式(20)給出，則

(24)

由于離散傅里葉頻率k和q均為整數(shù)，當(dāng)k≠q時(shí)，0<|k-q|≤M-1，式(24)等于0，即下式成立

F(k,q)=bH(k)Rb(q)=0

(25)

命題得證。

k和q可通過式(12)轉(zhuǎn)換為不同的角度，則式(25)表示空間中不同角度之間的互相關(guān)性為0，即保證了式(7)中代價(jià)函數(shù)的第二項(xiàng)最小。

綜上，本文所設(shè)計(jì)的發(fā)射信號(hào)協(xié)方差矩陣能夠滿足

(26)

3仿真及性能分析

3.1方向圖匹配性能

假設(shè)陣元間距為半波長，分別對(duì)單波束以及同時(shí)多波束情況下，本文算法及文獻(xiàn)[8]中的算法(用SQP表示)設(shè)計(jì)的方向圖匹配性能進(jìn)行仿真。圖1中陣元數(shù)M=20，期望方向圖為空間單波束，感興趣的角度范圍為[-20°20°]。圖2中陣元數(shù)M=50，期望方向圖為空間同時(shí)多波束，感興趣的角度范圍分別為[-50°50°]、[-10°10°]以及[30°50°]。由兩幅圖的結(jié)果可知，本文所提算法能夠達(dá)到與文獻(xiàn)[6]一致的方向圖匹配性能。

圖1　單波束發(fā)射方向圖

圖2　多波束發(fā)射方向圖

(27)

圖3為單波束和多波束情況下，本文算法和SQP所設(shè)計(jì)的方向圖與期望方向圖的匹配誤差隨陣元數(shù)的變化曲線?？梢钥吹?，隨著陣元數(shù)的增多，兩種算法的匹配誤差均減小。在陣元數(shù)較少的情況下，多波束的匹配誤差要高于單波束，隨著陣元數(shù)增多，誤差逐漸減小，而對(duì)于本文算法來說，陣元數(shù)對(duì)匹配誤差的影響更大，尤其是在多波束情況下，為了實(shí)現(xiàn)更精確的匹配，需要更多的陣元數(shù)。這主要是因?yàn)?，本文算法設(shè)計(jì)方向圖的性能取決于DFT點(diǎn)數(shù)，而DFT的點(diǎn)數(shù)與陣元數(shù)一致，在多波束情況下，若兩個(gè)波束靠得太近，則需要更多的DFT點(diǎn)數(shù)才能獲得更精確的匹配，因此，陣元數(shù)量是制約本文算法性能的一個(gè)關(guān)鍵因素。但是隨著雷達(dá)技術(shù)的發(fā)展，陣元數(shù)量的制約得到很大程度的改善，因此本文算法的性能可以得到較好的保證。

圖3　匹配誤差隨陣元數(shù)變化曲線

3.2空域互相關(guān)性能

圖4為本文算法與SQP所設(shè)計(jì)方向圖的空域互相關(guān)性能比較圖。本文算法設(shè)計(jì)的方向圖的空域互相關(guān)旁瓣明顯低于SQP所設(shè)計(jì)方向圖的互相關(guān)旁瓣，這主要是因?yàn)楸疚臉?gòu)造的發(fā)射信號(hào)協(xié)方差矩陣能夠滿足式(24)，理論上，本文設(shè)計(jì)的方向圖的互相關(guān)旁瓣應(yīng)該足夠低。但實(shí)際上互相關(guān)性能沒有達(dá)到足夠低，主要還受到兩個(gè)因素的影響：(1)角度θ轉(zhuǎn)換為離散傅里葉頻率k時(shí)，存在取整運(yùn)算，將會(huì)帶來計(jì)算的誤差，影響互相關(guān)性能。(2)本文驗(yàn)證的是不同離散頻率對(duì)應(yīng)導(dǎo)向矢量之間的互相關(guān)為0，轉(zhuǎn)換為角度時(shí)，因?yàn)殛囋獢?shù)量有限，導(dǎo)致角度間隔不能達(dá)到足夠小，不能保證空間任意角度之間的互相關(guān)性為0。但是，隨著陣元數(shù)的增多，互相關(guān)性能將會(huì)得到提升，如圖4中c)、d)所示。本文合成的方向圖具有較好的空域互相關(guān)性能，能夠減小不同方向回波之間的互相干擾，提高后續(xù)信號(hào)處理能力，例如參數(shù)估計(jì)精度等。

圖4　互相關(guān)方向圖

3.3復(fù)雜度分析

表1　復(fù)雜度對(duì)比

4結(jié)束語

本文提出了一種基于DFT的MIMO雷達(dá)發(fā)射方向圖設(shè)計(jì)算法。首先，利用DFT構(gòu)造發(fā)射信號(hào)的協(xié)方差矩陣，保證算法的低復(fù)雜度特性；然后，闡述了算法的理論依據(jù)，分別從理論上證明了本文構(gòu)造的協(xié)方差矩陣滿足方向圖設(shè)計(jì)模型的約束條件，以及利用該協(xié)方差矩陣設(shè)計(jì)得到的方向圖具備較好的匹配性能和較低的空域互相關(guān)旁瓣。仿真及性能分析結(jié)果表明：所提算法具備復(fù)雜度低、方向圖匹配性能良好以及方向圖空域互相關(guān)性較小等方面的優(yōu)點(diǎn)。

參 考 文 獻(xiàn)

[1]HASSANIEN A, VOROBYOV S A. Phased-MIMO radar: A tradeoff between phased-array and MIMO radars[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2010, 58(6): 3137-3151.

[2]AHMED S, THOMPSON J S, PETILLOT Y R, et al. Unconstrained synthesis of covariance matrix for MIMO radar transmit beampattern[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2011,59(8): 3837-3849.

[3]HUA G, ABEYSEKERA S S. MIMO radar transmit beampattern design with ripple and transition band control[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2013, 61(11): 2963-2974.

[4]HAIMOVICH A M, BLUM R S, CIMINI L J. MIMO radar with widely separated antennas[J]. IEEE Signal Processing Magazine, 2008,25(1): 116-129.

[5]WANG P, LI H, HIMED B. A parametric moving target detector for distributed MIMO radar in non-homogeneous environment[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2013, 61(9): 2282-2294.

[6]LI J, STOICA P. MIMO radar with colocated antennas: review of some recent work[J]. IEEE Signal Processing Magazine, 2008,24(5):106-114.

[7]KALOGERIAS D S, PETROPULU A P. Matrix completion in colocated MIMO radar: recoverability, bounds & theoretical guarantees[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2014, 62(2): 309-321.

[8]STOICA P, LI J, XIE Y. On probing signal design for MIMO radar[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2007,55(8): 4151-4161.

[9]AITTOMAKI T, KOIVUNEN V. Low-complexity method for transmit beamforming in MIMO radars[C]// Proceedings of IEEE International Conference on Acoustics, Speech and Signal Processing. Honolulu,HI: IEEE Press, 2007: 305-308.

[10]胡亮兵, 劉宏偉, 楊曉超, 等. 集中式 MIMO 雷達(dá)發(fā)射方向圖快速設(shè)計(jì)方法[J]. 電子與信息學(xué)報(bào), 2010, 32(2): 481-484.

HU Liangbing, LIU Hongwei, YANG Xiaochao, et al. Fast transmit beampattern synthesis for MIMO radar with colocated antennas[J]. Journal of Electronics & Information Technology, 2010, 32(2): 481-484.

[11]LIPOR J, AHMED S, ALOUINI M S. Fourier-based transmit beampattern design using MIMO radar[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2014, 62(9): 2226-2235.

[12]STOICA P, LI J, ZHU X. Waveform synthesis for diversity-based transmit beampattern design[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2008, 56(6): 2593-2598.

[13]AHMED S, THOMPSON J, PETILLOT Y T，et al. Finite alphabet constant-envelope waveform design for MIMO radar[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2011, 59(11): 5326-5337.

李奕蓉女，1990年生，碩士。研究方向?yàn)镸IMO雷達(dá)波形設(shè)計(jì)技術(shù)。

Transmit Beampattern Design for MIMO Radar Based on Discrete Fourier Transform

LI Yirong，HU Hanying

(School of Navigation and Space Target Engineering,Information Engineering University,Zhengzhou 450001, China)

Abstract：In order to ensuring good matching performance and low spatial cross-correlation of multiple-input multiple-output(MIMO) radar beampattern, as well as decreasing computational complexity, an algorithm for transmit beampattern design based on discrete Fourier transform(DFT) is proposed in this paper. First, a cost function contains matching performance and spatial cross-correlation is constructed, then a close-form of transmit signal covariance matrix is given by DFT. This method can avoid high complexity caused by convex optimization efficiently. Theoretical analysis indicates that the designed covariance matrix can fully satisfy basic constraints of beampattern design model, meanwhile it can minimize the cost function. Simulation and performance analysis shows that computational complexity of the algorithm is low, and the designed beampattern has good matching performance and low spatial cross-correlation.

Key words：MIMO radar；transmit beampattern；discrete Fourier transform；low complexity；matching performance；spatial cross-correlation

中圖分類號(hào)：TN957.51

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1004-7859(2016)02-0027-06

收稿日期：2015-10-20

修訂日期：2015-12-22

通信作者：李奕蓉Email：liyirong131@163.com

DOI：·信號(hào)處理· 10.16592/ j.cnki.1004-7859.2016.02.007