王　武，陸必應(yīng)，孫　鑫，周智敏(國(guó)防科技大學(xué) 電子科學(xué)與工程學(xué)院，　長(zhǎng)沙 410073)

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基于RMA的三維成像與二維MIMO陣設(shè)計(jì)

王武，陸必應(yīng)，孫鑫，周智敏(國(guó)防科技大學(xué) 電子科學(xué)與工程學(xué)院，長(zhǎng)沙 410073)

摘要：距離遷移(RM)算法能夠精確校正近場(chǎng)距離徙動(dòng)，同時(shí)通過(guò)使用快速傅里葉變換可以達(dá)到很高的計(jì)算效率，具有應(yīng)用于近場(chǎng)MIMO雷達(dá)三維實(shí)時(shí)成像的潛力。RM算法應(yīng)用于近場(chǎng)MIMO成像的主要挑戰(zhàn)是設(shè)計(jì)合適的陣列結(jié)構(gòu)。文中利用球面波分解為無(wú)窮多個(gè)平面波的方法推導(dǎo)了MIMO雷達(dá)近場(chǎng)三維RM成像算法,在深入分析算法實(shí)現(xiàn)流程的基礎(chǔ)上得到了RM算法對(duì)MIMO陣列構(gòu)型的四條約束條件。提出了一種適用RM算法的MIMO陣列設(shè)計(jì)方法，并利用所提方法設(shè)計(jì)了MIMO陣列，結(jié)合仿真，分析了所設(shè)計(jì)陣列的成像性能。

關(guān)鍵詞：MIMO雷達(dá)；三維成像；距離遷移；陣列設(shè)計(jì)

0引言

近年來(lái)，多輸入多輸出(MIMO)雷達(dá)三維成像獲得了越來(lái)越多研究人員的關(guān)注[1-5]。MIMO雷達(dá)是指多個(gè)發(fā)射天線獨(dú)立發(fā)射信號(hào)以及多個(gè)接收天線獨(dú)立接收信號(hào)的雷達(dá)系統(tǒng)。MIMO雷達(dá)具有高數(shù)據(jù)獲取率的優(yōu)勢(shì)，這極大地提高了雷達(dá)實(shí)時(shí)成像性能。此外，為了獲得高分辨率三維圖像，傳統(tǒng)的單站雷達(dá)需要大量的天線陣元，相反，二維MIMO陣列只需要使用較少的天線陣元，進(jìn)而可以大大降低系統(tǒng)成本。得益于此，MIMO雷達(dá)廣泛應(yīng)用在探地、穿墻和安檢等領(lǐng)域[1-7]。

MIMO雷達(dá)的N發(fā)M收的數(shù)據(jù)獲取方式增加了成像處理的復(fù)雜度，所以在探地、穿墻等應(yīng)用中大多采用后向投影(BP)方法進(jìn)行成像。BP方法運(yùn)算量巨大，不適用于實(shí)時(shí)成像。距離徙動(dòng)(RM)算法利用快速傅里葉變換(FFT)快速信號(hào)處理能力，可以大幅提高成像速度，MIMO雷達(dá)特殊的數(shù)據(jù)獲取形式使得RM算法很難直接應(yīng)用于MIMO雷達(dá)成像。王懷軍等[8]研究了遠(yuǎn)場(chǎng)下RM算法在MIMO雷達(dá)二維成像中的應(yīng)用。在遠(yuǎn)場(chǎng)假設(shè)下，可以通過(guò)多個(gè)頻譜支撐區(qū)的組合獲得完整的目標(biāo)頻譜支撐區(qū)。文獻(xiàn)[1]采用駐定相位法將RM算法拓展到近場(chǎng)MIMO雷達(dá)三維成像，但是，并不是所有的MIMO陣列都能使用RM算法成像。實(shí)際上，RM算法對(duì)陣列構(gòu)型有嚴(yán)格的約束條件，需要將RM算法與陣列設(shè)計(jì)相結(jié)合來(lái)考慮問(wèn)題。

由等效陣列的理論可得，遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶條件下，MIMO陣列的方向圖等于發(fā)射陣列方向圖和接收陣列方向圖的乘積[9]。這使得可以分別調(diào)整發(fā)射陣列或者接收陣列的性能來(lái)得到完整的MIMO陣列的性能[10]。然而寬帶近場(chǎng)條件下滿足約束條件的陣列設(shè)計(jì)方法需要進(jìn)一步研究。

1MIMO陣與等效陣

如圖 1所示，在三維笛卡爾坐標(biāo)系下，假設(shè)二維MIMO陣列位于Z=0的平面上，使用aT(x,y)表示二維發(fā)射陣列，aR(x,y)表示二維接收陣列。遠(yuǎn)場(chǎng)條件下，常用的等效陣列形式有雙程虛擬陣列和單程協(xié)同陣列[5,11]，其中雙程虛擬陣列廣泛應(yīng)用于主動(dòng)式雷達(dá)成像。本文后續(xù)分析中，等效陣列即指雙程虛擬陣列。遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶條件下，發(fā)射陣列和接收陣列的方向圖為

AT(u,v)=∫x∫yaT(x,y)e-jxue-jyvdxdy

(1)

AR(u,v)=∫x∫yaR(x,y)e-jxue-jyvdxdy

(2)

式中：u=ksinθcosφ、v=ksinθsinφ，θ代表入射方向的高度角，φ代表入射方向的方位角，k為波數(shù)。等效陣列aE(x,y)的方向圖AE(u,v)等于發(fā)射陣列和接收陣列方向圖的乘積[9]。即

AE(u,v)=AT(u,v)×AR(u,v)=

FT2D{aT(x,y)}×FT2D{aR(x,y)}=

FT2D{aT(x,y)?aR(x,y)}=

FT2D{aE(x,y)}

(3)

式中：“?”表示卷積；FT2D{·}代表二維傅里葉變換。式(3)表明，等效陣列可以表示為發(fā)射陣列和接收陣列的空間位置卷積，N個(gè)發(fā)射陣元和M個(gè)接收陣元可以獲得NM等效陣元。

圖1　二維MIMO陣列成像場(chǎng)景

一般而言，等效陣列相同的MIMO陣列在近場(chǎng)和遠(yuǎn)場(chǎng)條件下的性能并不相同。在近場(chǎng)高分辨率成像中，可以用上述表達(dá)式近似分析陣列性能[10]。

2RM成像算法對(duì)MIMO陣列構(gòu)型的約束

2.1算法原理

圖 1為近場(chǎng)條件下二維MIMO陣列成像場(chǎng)景，其中發(fā)射天線坐標(biāo)為(xT,yT,zT=0)，接收天線坐標(biāo)為(xR,yR,zR=0)，目標(biāo)散射特性函數(shù)為f(x,y,z)。假設(shè)發(fā)射的電磁波為步進(jìn)頻率信號(hào)，波數(shù)為k。近場(chǎng)條件下，可以忽略電磁波傳輸時(shí)的衰減。則目標(biāo)回波

s(xT,yT,zT=0,xR,yR,zR=0,k)=

∫∫∫f(x,y,z)e-jkRTe-jkRRdxdydz

(4)

其中

分別代表接收天線到目標(biāo)點(diǎn)的距離和發(fā)射天線到目標(biāo)點(diǎn)的距離。利用球面波可以分解為無(wú)窮多個(gè)平面波的原理[12]

e-jkRT=∫∫e-jkxT(x-xT)-jkyT(y-yT)-jkzTzdkxTdkyT

(5)

e-jkRR=∫∫e-jkxR(x-xR)-jkyR(y-yR)-jkzRzdkxRdkyR

(6)

S(kxT,kyT,kxR,kyR,k)=∫∫∫f(x,y,z)e-jkxx-jkyy-jkzzdxdydz

(7)

式(7)中

S(kxT,kyT,kxR,kyR,k)?FT4D{s(xT,yT,xR,yR,k)}

式中：(x,kx)為傅里葉變換對(duì)；kx為空間頻率；其他類(lèi)似。

由式(7)可以得到

(8)

式(8)即為目標(biāo)三維重構(gòu)結(jié)果。

2.2RM算法對(duì)MIMO陣列的約束條件

成像處理中需要對(duì)空域坐標(biāo)進(jìn)行四維傅里葉變換，由奈奎斯特采樣定律可得，空間采樣頻率必須大于兩倍最大空間頻率。所以MIMO陣列必須滿足:

1) 發(fā)射陣列在高度向和方位向分別滿足奈奎斯特采樣定律；

2) 接收陣列在高度向和方位向分別滿足奈奎斯特采樣定律。

當(dāng)不滿足上述條件時(shí)，采用RM算法不能得到正確的圖像，會(huì)出現(xiàn)分辨率下降、距離遷移校正出錯(cuò)等問(wèn)題。后文對(duì)此給出了仿真分析。

另外，成像需要進(jìn)行五維數(shù)據(jù)到三維數(shù)據(jù)的映射，為了使得映射之后的空間譜采樣間隔一致，要求發(fā)射陣列和接收陣列的空間譜采樣間隔相等。即

(9)

式中：ΔKxT為空間頻率kxT的采樣間隔；其他類(lèi)似。根據(jù)傅里葉變換空域和頻域的關(guān)系，為了滿足式(9)，要求

(10)

式中：NxT代表發(fā)射天線x維度FFT點(diǎn)數(shù)；ΔxT代表發(fā)射陣列x維度陣元間隔；其他類(lèi)似。實(shí)際應(yīng)用中，陣元數(shù)目可能小于所需FFT點(diǎn)數(shù)，此時(shí)只需要補(bǔ)零即可解決該問(wèn)題。當(dāng)陣元數(shù)目恰好等于所需FFT點(diǎn)數(shù)時(shí)，式(10)表示發(fā)射陣列和接收陣列的尺寸完全相等。由此可以得到MIMO陣列需要滿足的另外兩個(gè)條件：

3) 補(bǔ)零之后發(fā)射陣列和接收陣列在方位向的長(zhǎng)度相等；

4) 補(bǔ)零之后發(fā)射陣列和接收陣列在高度向的長(zhǎng)度相等。

除了上述的四條約束條件外，另外一個(gè)很顯然的約束就是要求接收陣列和發(fā)射陣列都是均勻采樣。

3陣列設(shè)計(jì)

3.1陣列設(shè)計(jì)方法

在雷達(dá)成像中，需要配置MIMO陣列以滿足系統(tǒng)性能要求。本小節(jié)結(jié)合2.2節(jié)提出的四條約束條件，在分析陣列性能的基礎(chǔ)上，提出適用RM算法的MIMO陣列設(shè)計(jì)方法。

由切片投影理論可得[13]，二維陣列在某個(gè)方向的成像性能由陣列在該方向的投影決定。以方位向分辨率為例，圖 2為成像場(chǎng)景在方位向-距離向平面內(nèi)的投影、點(diǎn)目標(biāo)與陣列孔徑。

圖2　方位向分辨率分析示意

邊緣的夾角分別為θ1、θ2，kc表示中心波數(shù)，LA表示等效陣列在方位向投影的長(zhǎng)度。則該點(diǎn)目標(biāo)成像方位向分辨率為

(11)

式中：αwin表示窗函數(shù)展寬因子。當(dāng)?shù)刃ш嚵袩o(wú)冗余時(shí)，窗函數(shù)為矩形窗，此時(shí)αwin=0.886；當(dāng)?shù)刃ш嚵写嬖谌哂鄷r(shí)，窗函數(shù)因子由具體的冗余窗決定。為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，通常以點(diǎn)目標(biāo)位于陣列中垂線上距離為y0處的分辨率作為分辨率指標(biāo)。此時(shí)θ1+θ2=π，tanθ1=2y0/LA，代入式(11)可得到

(12)

對(duì)于給定的分辨率，通過(guò)式(12)即可算出二維等效陣列方位向尺寸。同理，高度向尺寸可以通過(guò)類(lèi)似方法獲得。

圖像中柵瓣的出現(xiàn)是由空間采樣間隔較大，導(dǎo)致空間譜缺失引起的。事實(shí)上，只需要確保所關(guān)心成像區(qū)域內(nèi)不出現(xiàn)柵瓣即可。假設(shè)圖3中點(diǎn)目標(biāo)P為成像區(qū)域的邊界點(diǎn)，則陣元間隔由下式確定

(13)

在確定了陣元間距之后，結(jié)合前文得到的陣列尺寸，即可得到方位向陣元數(shù)目。類(lèi)似地，可以得到高度向的陣元數(shù)目。

確定二維等效陣列尺寸和陣元數(shù)目之后，為了使所設(shè)計(jì)MIMO陣列滿足四條約束條件，不可避免地要考慮冗余的情況。仍以二維等效陣列在方位向的投影為例，圖3中等效陣列在方位向投影得到的獨(dú)立位置個(gè)數(shù)為NEA，考慮冗余窗為梯形的情況，離散梯形窗的表達(dá)式為

Trape(n|m)=

(14)

Trape(n|m)即等效陣列aE(x,y)在方位向的歸一化投影aEA，記aEA=Trape(n|m)。由式(3)可得

aEA=Trape(n|m)=aTA?aRA

(15)

式中：aTA、aRA表示發(fā)射陣列和接收陣列在方位向的歸一化投影，考慮TA、aRA均為矩形窗的情況，由式(14)和式(15)去卷積可得

(16)

由式(16)可得，每一個(gè)m的取值對(duì)應(yīng)兩種陣列配置，如圖 3所示。兩種陣列的結(jié)構(gòu)實(shí)際上是一致的，只是發(fā)射陣列和接收陣列互換而已。

圖3　式(16)表示的兩種MIMO陣列配置

雷達(dá)目標(biāo)散射截面(RCS)與視角有關(guān)，一般要求等效陣列和MIMO陣列的視角盡量保持一致[5]，所以圖3中發(fā)射陣列和接收陣列的中心是重合的。同樣地，可以用類(lèi)似方法確定高度向陣列分布。

由式(16)可以確定出NEA種MIMO陣列配置，在遠(yuǎn)場(chǎng)假設(shè)下，這NEA種陣列具有相同的等效陣列以及一致的性能。獲得具體MIMO陣列之后可以得出近場(chǎng)條件下方位向分辨率表達(dá)式

(17)

其中

(18)

式中：LTA、LTR為發(fā)射陣列和接收陣列在方位向投影的尺寸，LTA+LRA=2LA；窗函數(shù)因子αwin=g(LTA,LRA)，g(·)為超越函數(shù)算子?？梢钥闯?，近場(chǎng)條件下，NEA個(gè)MIMO陣列的性能是不同的。在二維等效陣列方位向投影尺寸LA一定的情況下，最優(yōu)化問(wèn)題描述如下

(19)

式(17)中分子和分母之間存在耦合，所以直接求解式(19)較為復(fù)雜。為了簡(jiǎn)化分析，我們獨(dú)立分析式(19)的分子和分母。最優(yōu)化問(wèn)題等價(jià)為

(20)

(21)

綜上所述，近場(chǎng)二維MIMO陣列的設(shè)計(jì)步驟為：

1) 根據(jù)分辨率指標(biāo)確定二維等效陣列孔徑尺寸；

2) 根據(jù)柵瓣水平或成像區(qū)域確定陣元個(gè)數(shù)；

3) 結(jié)合RM算法對(duì)MIMO陣列的四條約束條件，由等效陣列確定具體MIMO陣列形式；

4) 近場(chǎng)條件下，從步驟3得到的MIMO陣列中選擇分辨率性能最優(yōu)的陣列。

步驟4)中的優(yōu)化目標(biāo)不只局限于分辨率，例如，可以選擇陣元數(shù)目最少的MIMO陣列，或者可以在陣元數(shù)目和分辨率之間取一個(gè)折中。

3.2設(shè)計(jì)實(shí)例

陣列要求：設(shè)計(jì)二維MIMO陣列，要求在距離25 cm處方位向和高度向分辨率0.35 cm，陣列正前方成像區(qū)域內(nèi)不出現(xiàn)柵瓣，同時(shí)滿足RM算法要求的四條約束條件。

假設(shè)信號(hào)體制為步進(jìn)頻，信號(hào)帶寬3 GHz，中心頻率28.5 GHz，頻率步進(jìn)間隔為30 MHz。按照前文所述設(shè)計(jì)步驟：

1) 確定陣列尺寸；將分辨率要求代入式(12)可得，等效陣列尺寸為50 cm×50 cm。

2) 確定等效陣列陣元數(shù)目；將kc=28.5 GHz、θ1=π/4、θ2=3π/4代入式(13)中，得到等效陣元間隔為0.331 cm，結(jié)合步驟1)得到的等效陣列尺寸，陣元數(shù)目N2≥1512。

3) 結(jié)合RM算法確定MIMO陣列構(gòu)型；根據(jù)不同的發(fā)射陣列和接收陣列長(zhǎng)度(個(gè)數(shù))的組合，共有151種陣列結(jié)構(gòu)。

4) 結(jié)合近場(chǎng)條件，確定優(yōu)化目標(biāo)，從步驟3)中選擇最優(yōu)MIMO陣列構(gòu)型；設(shè)定分辨率最佳為優(yōu)化目標(biāo)，圖4為等效陣列長(zhǎng)度一定(50 cm)的情況下方位向分辨率隨發(fā)射(接收)陣列長(zhǎng)度變化的曲線。選擇分辨率性能最優(yōu)為優(yōu)化目標(biāo)，所設(shè)計(jì)的MIMO陣列如圖 5a)所示，其中發(fā)射陣元數(shù)目35×116,接收陣列數(shù)目116×35；如果犧牲一定的分辨率指標(biāo)，選擇陣元數(shù)目最少為優(yōu)化目標(biāo)，所設(shè)計(jì)陣列為“十”字陣列，如圖 5b)所示，其中發(fā)射陣元數(shù)目為151，接收陣元數(shù)目為151。

圖4　等效陣列長(zhǎng)度一定時(shí)，方位向分辨率與發(fā)射陣列長(zhǎng)度

圖5　MIMO陣列設(shè)計(jì)結(jié)果

4仿真分析

為了驗(yàn)證RM算法的適用性以及所設(shè)計(jì)陣列的成像性能，采用Matlab仿真平臺(tái)進(jìn)行了成像仿真。陣列a指圖5a)中所示陣列，陣列b指圖5b)中所示陣列，二者具有相同的等效陣列尺寸。用RM算法對(duì)25 cm處點(diǎn)目標(biāo)成像，其他參數(shù)與3.2節(jié)所述相同。

陣列a、b成像結(jié)果如圖6、圖7所示，可以看出，基于約束條件設(shè)計(jì)的陣列使用RM算法能夠得到高質(zhì)量的成像結(jié)果。表1列出了兩種陣列成像結(jié)果的分辨率及峰值旁瓣比性能，基于最優(yōu)分辨率設(shè)計(jì)的陣列a較陣列b具有更好的分辨率性能和峰值旁瓣比性能，峰值旁瓣比的提高得益于等效陣列冗余引入的窗函數(shù)。

圖6　陣列a的RM成像結(jié)果

圖7　陣列b的RM成像結(jié)果

理想IRW/cmIRW/cmPSLR/dB陣列a0.470.58-9.8陣列b0.390.48-20.1

保持等效陣列尺寸仍為50 cm×50 cm，構(gòu)造圖8a)所示MIMO陣列，記為陣列c。該陣列的發(fā)射天線方位向不滿足采樣定律，接收天線高度向不滿足采樣定律。使用BP算法和RM算法分別對(duì)其成像，得到的結(jié)果如圖8b)、圖8c)所示。圖8d)給出了PSF的方位向剖面，陣列c的方位向理論分辨率為0.33 cm。BP成像的方位向分辨率為0.326 8 cm，與理論值相吻合。RM成像的方位向分辨率為0.741 8 cm，分辨率性能惡化為理論分辨率的兩倍。此外，RM成像結(jié)果的距離向位置發(fā)生偏移，由25 cm偏移到35.4 cm，這是因?yàn)椴粷M足采樣定律導(dǎo)致色散關(guān)系不成立，自然無(wú)法正確校正距離徙動(dòng)。上述結(jié)果證明不滿足約束條件的陣列c并不適合使用RM方法成像，進(jìn)一步說(shuō)明為了使用RM算法，必須設(shè)計(jì)符合約束條件的MIMO陣列。

圖8　陣列c分別采用BP和RM算法的成像結(jié)果

此外，使用陣列b進(jìn)行了BP成像的仿真，采用32 GB內(nèi)存、8核2.2 GHz處理器的服務(wù)器平臺(tái)，得到的BP成像耗時(shí)和RM成像耗時(shí)如表2所示?？梢钥闯鯮M算法的運(yùn)算效率大幅提高，證明了RM算法具有很好的實(shí)時(shí)性能。

表2陣列b使用BP和RM成像耗時(shí)對(duì)比s

成像算法成像耗時(shí)BP46026BM86

5結(jié)束語(yǔ)

RM算法的運(yùn)算效率遠(yuǎn)高于BP算法，具有應(yīng)用于實(shí)時(shí)成像系統(tǒng)的潛力。但是RM算法對(duì)MIMO陣列構(gòu)

型的要求更為苛刻。本文提出了適合使用RM算法成像的MIMO陣列的設(shè)計(jì)方法，基于不同的優(yōu)化目標(biāo)，能夠得到不同的陣列構(gòu)型。實(shí)際中，可以采用折中的方法兼顧陣元數(shù)目和陣列性能。仿真分析證明了設(shè)計(jì)方法的正確性和有效性，另外，也證明了RM算法可以獲得很高的成像性能和實(shí)時(shí)性能。

參 考 文 獻(xiàn)

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王武男，1992年生，碩士研究生。研究方向?yàn)樾麦w制雷達(dá)系統(tǒng)與技術(shù)。

陸必應(yīng)男，1976年生，副教授。研究方向?yàn)樾麦w制雷達(dá)系統(tǒng)與技術(shù)。

孫鑫男，1986年生，博士研究生。研究方向?yàn)樾麦w制雷達(dá)系統(tǒng)與技術(shù)。

周智敏男，1957年生，教授。研究方向?yàn)樾麦w制雷達(dá)系統(tǒng)與技術(shù)。

3-D Imaging and 2-D MIMO Arrays DesignBased on Range Migration Algorithm

WANG Wu，LU Biying，SUN Xin，ZHOU Zhimin

(College of Electronic Science and Engineering,National University of Defense Technology,Changsha 410073, China)

Abstract：Because of compensating completely the curvature of wave-front in near field and high computational efficiency by using fast Frourier transform, range migration algorithm (RMA) has the potential for MIMO radar 3-D real-time imaging. The main challenge of using RMA in near field MIMO imaging is to design appropriate MIMO array topology. In this paper, the formulation of MIMO 3-D imaging using RMA is derived by using the theory that a spherical wave can be decomposed into infinite superposition of plane waves. Analyzing the RMA implementation processes, we obtain four constraints about MIMO topology. The designing method of MIMO arrays for RMA is proposed in this paper, and MIMO arrays are designed. Performance of these arrays and accurate imaging reconstruction of RMA are analyzed with numerical simulations.

Key words：MIMO radar; 3-D imaging; range migration; array design

中圖分類(lèi)號(hào)：TN957.51

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1004-7859(2016)02-0038-05

收稿日期：2015-10-27

修訂日期：2015-12-25

通信作者：王武Email：wangwu163@.com

DOI：·信號(hào)處理· 10.16592/ j.cnki.1004-7859.2016.02.009