劉　璐，谷開(kāi)慧，孫曉冰

(長(zhǎng)春理工大學(xué)，吉林 長(zhǎng)春　130000)

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耦合電光雙穩(wěn)映像格子模型時(shí)空混沌的同步

劉璐，谷開(kāi)慧，孫曉冰

(長(zhǎng)春理工大學(xué)，吉林 長(zhǎng)春130000)

摘 要：中函數(shù)驅(qū)動(dòng)技術(shù)實(shí)現(xiàn)了耦合雙穩(wěn)映象格子模型的時(shí)空混沌同步。通過(guò)理論計(jì)算可以得到兩個(gè)時(shí)空混沌系統(tǒng)的誤差表達(dá)式。畫(huà)出李雅普諾夫指數(shù)。數(shù)值模擬結(jié)果表明,采用適當(dāng)?shù)膮?shù),可以將兩個(gè)耦合雙穩(wěn)映象格子模型實(shí)現(xiàn)時(shí)空混沌的同步。畫(huà)出整體誤差隨反應(yīng)時(shí)間的變化曲線(xiàn)。因此，函數(shù)驅(qū)動(dòng)的方法可廣泛用于保密通信中。

關(guān)鍵詞：耦合電光雙穩(wěn)映象；時(shí)空混沌；函數(shù)驅(qū)動(dòng)；整體誤差

自20 世紀(jì) 90 年代 Pecora 和 Carroll[1]首次實(shí)現(xiàn)混沌同步以來(lái),人們相繼提出了很多混沌同步的理論方法，并且有些理論已在實(shí)驗(yàn)中獲得了成功[ 2,3]。近些年來(lái)人們研究頗多的是時(shí)間混沌的同步，對(duì)時(shí)空混沌的同步研究的較少，且時(shí)空混沌較時(shí)間混沌更為復(fù)雜，應(yīng)用的領(lǐng)域也大有不同，特別是在通信領(lǐng)域中，所以研究時(shí)空混沌不僅具有挑戰(zhàn)性[4-6]還有一定的現(xiàn)實(shí)意義。本文利用函數(shù)驅(qū)動(dòng)的方法從理論上較精確的計(jì)算了另個(gè)時(shí)空混沌系統(tǒng)的誤差，數(shù)值模擬了兩個(gè)耦合電光雙穩(wěn)系統(tǒng)的誤差隨時(shí)間和空間的變化，從而實(shí)現(xiàn)了兩個(gè)時(shí)空混沌系統(tǒng)的混沌同步。

1耦合電光雙穩(wěn)映像格子模型

在一個(gè)包含時(shí)間和空間的系統(tǒng)中，我們用偏微分方程[7]來(lái)研究系統(tǒng)中空間所有點(diǎn)的狀態(tài)隨時(shí)間變化的規(guī)律，如：

?tu=F(u,?xu)

(1)

其中用u表示狀態(tài)矢量，用x表示空間矢量， t表示時(shí)間變量，式(1)可表示為：

?tu=F(u)+ε2u

(2)

可以將反應(yīng)擴(kuò)散過(guò)程分解為局部反應(yīng)過(guò)程和擴(kuò)散過(guò)程同時(shí)進(jìn)行的兩個(gè)過(guò)程，通過(guò)并行一個(gè)非線(xiàn)性映像來(lái)描述局部反映過(guò)程，擴(kuò)散過(guò)程可以通過(guò)將拉普拉斯算子離散化得到，得到一維耦合映像格子模型[8]：

(3)

式中n表示離散化后的時(shí)間變量，用周期性邊界條件為xn(0)=xn(L)。

2混沌同步

本文以耦合電光雙穩(wěn)映像格子模型為研究的對(duì)象，研究混沌同步的問(wèn)題，基于Lyapunov穩(wěn)定性理論，通過(guò)選擇適當(dāng)?shù)尿?qū)動(dòng)函數(shù)，實(shí)現(xiàn)時(shí)空混沌的完全同步，為了驗(yàn)證此種方法的有效性，采用了數(shù)值仿真的方法對(duì)其系統(tǒng)進(jìn)行研究。

電光雙穩(wěn)系統(tǒng)模型作為我們要研究的函數(shù)：

(4)

I=6.1，k=0.8,a=π,ε=0.1，初值為0-1之間的任意一個(gè)值，耦合電光雙穩(wěn)映像格子模型(3)，如圖1表示的是在i=1，2，3…，100格點(diǎn)上的最大Lyapunov指數(shù)，從圖中可以看出1-100個(gè)格點(diǎn)中的每個(gè)格點(diǎn)的Lyapunov指數(shù)都是大于零，因此系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，采用I=6.1，k=0.8,a=π,ε=0.1,利用函數(shù)驅(qū)動(dòng)的方法研究驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的同步。其方法如下：取電光雙穩(wěn)系統(tǒng)為研究目標(biāo)，利用驅(qū)動(dòng)函數(shù)的方法可以將函數(shù)寫(xiě)成下式：

圖1　K=0.8,ε=0.1時(shí),耦合電光雙穩(wěn)映像格子模型所有格點(diǎn)的Lyapunov指數(shù)

xn+1(i)=mxn(i)+h(xn(i))

(5)

其中m表示的是控制參數(shù)，h(xn(i))表示的是選取的驅(qū)動(dòng)函數(shù)，驅(qū)動(dòng)函數(shù)的形式如(5)式：

(6)

另外，實(shí)現(xiàn)驅(qū)動(dòng)和響應(yīng)的同步，除了驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)外還用構(gòu)造一個(gè)效應(yīng)系統(tǒng)，即

yn+1(i)=myn(i)+h(xn(i))

(7)

要想實(shí)現(xiàn)驅(qū)動(dòng)和響應(yīng)同步，必須要讓兩個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)值的差為零，所以有必要表示出驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)狀態(tài)值的差，成為兩系統(tǒng)的誤差值：

en(i)=xn(i)-yn(i)

(8)

因此，Lyapunov指數(shù)λ可以用兩系統(tǒng)的誤差來(lái)表示：

(9)

(10)

根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論，Δλ>0，系統(tǒng)處于混沌態(tài)，此時(shí)驅(qū)動(dòng)和響應(yīng)的兩個(gè)系統(tǒng)不能實(shí)現(xiàn)同步；若Δλ<0，即|m|<1即則驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了混沌同步，因此，選擇合適的控制的取值范圍，可以將Lyapunov控制在小于零的范圍內(nèi)，即系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了混沌的同步。本文系統(tǒng)的參數(shù)取I=6.1，k=0.8,θ=π,ε=0.1，系統(tǒng)反應(yīng)到2 800步,xn(i),yn(i)任意取值，前2 500步都為混沌狀態(tài)，并沒(méi)實(shí)現(xiàn)同步，去掉2 400步的暫態(tài)過(guò)程，畫(huà)出2 400-2 600步迭代的誤差，從2 500步開(kāi)始對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行控制并記錄響應(yīng)的誤差，圖2是控制參數(shù)取0.5時(shí)的時(shí)空演化圖，由此可以看出，施加同步控制后，系統(tǒng)的誤差變量迅速的趨于零，即兩個(gè)時(shí)空混沌系統(tǒng)迅速實(shí)現(xiàn)了完全混沌同步。

圖2　m=0.5時(shí)，系統(tǒng)誤差變量隨時(shí)空的演化

求誤差變量的整體誤差，即每個(gè)格點(diǎn)每一時(shí)間步的誤差的完全平方的平均值，再對(duì)它進(jìn)行開(kāi)方，便可得到整體誤差，下圖3給出了控制參數(shù)m=0.8,m=-0.8,m=0.5時(shí)誤差變量的整體誤差，記錄2 490到2 530步的整體誤差，2 500步時(shí)開(kāi)始控制，從圖中可以看出，系統(tǒng)在受到控制之前，誤差變量的整體誤差均大于零，在2 500步給兩個(gè)系統(tǒng)施加同步控制，整體誤差迅速的降至零，根據(jù)運(yùn)行的數(shù)據(jù)可得知，m=0.5時(shí)施加控制后十幾步便可趨于零。

圖3　m分別是-0.8，0.8，0.5時(shí)模型中所有格點(diǎn)的整體誤差

當(dāng)控制參數(shù)為0.8時(shí)，整體誤差的圖線(xiàn)與m=-0.8時(shí)的整體誤差圖線(xiàn)重合，如圖中綠色的圖線(xiàn)，圖3反映了誤差變量的整體誤差的大小與控制參數(shù)的絕對(duì)值大小有關(guān)，與正負(fù)無(wú)關(guān)，若絕對(duì)值相同，則整體誤差也相同，控制參數(shù)的絕對(duì)值越小，整體誤差趨于零越迅速，圖線(xiàn)越陡，相反的，控制參數(shù)的絕對(duì)值越大，整體誤差趨于零的速度越遲緩，圖像越平緩。

3結(jié)論

驅(qū)動(dòng)函數(shù)的方法實(shí)現(xiàn)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)時(shí)空混沌的同步，有一個(gè)很重要的優(yōu)勢(shì)：系統(tǒng)對(duì)控制參數(shù)的要求不高，只要是在一定的范圍內(nèi)，便可實(shí)現(xiàn)時(shí)空混沌的同步，但是不同的參數(shù)會(huì)影響從混沌到同步的時(shí)間，因此，此種方法具有現(xiàn)實(shí)的意義可以將其應(yīng)用到實(shí)際的系統(tǒng)中，特別是保密通信中。

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Spatiotemporal Chaos Synchronization in Coupled Electrical-Optical Bistable Map Lattices System

LIU Lu,GU Kai-hui,SUN Xiao-bing

(Changchun University of Science and Technology,Jilin Changchun 130000)

Abstract：The synchronization of spatiotemporal chaos is realized by using Function drive techniques in coupled electrical-optical bistable map lattice systems.We obtain a formula of deviation for two spatiotemporal chaos systems.We draw Lyapunov exponent.Numerical simulations indicate that two spatiotemporal chaos system could be synchronized by using suitable parameter.We draw global error curve with reaction time.So,function driven method can be widely used in secure communication.

Key words：coupled electrical-optical bistable map lattice systems；spatiotemporal chaos；function drive techniques；global error

中圖分類(lèi)號(hào)：O 437

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI：10.14139/j.cnki.cn22-1228.2016.001.009

文章編號(hào)：1007-2934(2016)01-0033-03

收稿日期：2015-09-12