王　瑜，閆　沫

(1.西安航空學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院，陜西 西安 710077；2.西安建筑科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，陜西 西安 710055)

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基于Wasserstein距離和SBGFRLS方法的活動(dòng)輪廓模型圖像分割算法

王瑜1，閆沫2

(1.西安航空學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院，陜西 西安 710077；2.西安建筑科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，陜西 西安 710055)

摘要：提出一種結(jié)合Wasserstein距離和SBGFRLS方法的非參數(shù)化活動(dòng)輪廓圖像分割算法。該算法采用二值函數(shù)作為水平集函數(shù)并利用高斯核函數(shù)對其正則化，有效避免水平集演化中的重新初始化過程，提高分割速度。算法本身具有選擇局部和全局分割的屬性。利用Wasserstein距離作為區(qū)域相似性測度使圖像分割不依賴于圖像數(shù)據(jù)的具體分布模型，擴(kuò)大了傳統(tǒng)水平集算法的應(yīng)用范圍。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該算法能夠?qū)D像進(jìn)行有效準(zhǔn)確地分割且具有較快的速度。

關(guān)鍵詞：圖像分割；Wasserstein距離；SBGFRLS方法；水平集函數(shù)

0引言

圖像分割是圖像處理和計(jì)算機(jī)視覺領(lǐng)域的基本問題。近年來基于水平集(level set)方法的活動(dòng)輪廓模型(active contour model，ACM)在圖像分割中獲得了很好的效果和廣泛的應(yīng)用?；顒?dòng)輪廓模型實(shí)現(xiàn)圖像分割的基本思想是：在一定條件下進(jìn)行曲線演化以便獲得最佳的目標(biāo)輪廓曲線。

目前常見的活動(dòng)輪廓模型可以分為兩大類：基于邊界的模型[1-4]和基于區(qū)域的模型[5-8]?；谶吔绲幕顒?dòng)輪廓模型稱為測地活動(dòng)輪廓模型[2](Geodesic Active Contour, GAC)。它使用圖像梯度構(gòu)建邊緣停止函數(shù)(edge stopping function, ESF)使曲線演化最終停止在目標(biāo)邊界。在一定程度上克服了傳統(tǒng)曲線演化模型對初始輪廓敏感的問題。然而，由于離散梯度有界，邊緣停止函數(shù)(ESF)最終在圖像邊緣并不能趨于零，對于弱邊緣或無明顯邊緣的圖像來說，算法很難得到理想的分割結(jié)果。針對這一問題，Chan和Vese[5]提出了著名的基于區(qū)域的分割模型，即C-V模型。C-V模型能在既沒有明顯邊界，也缺乏明顯紋理特征的圖像中分割目標(biāo)和背景。該模型能夠檢測圖像中全部目標(biāo)的輪廓，而不依賴于初始輪廓的位置，因此它具有全局分割的性質(zhì)。Chan等人最初提出的C-V模型為了保持?jǐn)?shù)值計(jì)算的精度[9]需要在曲線演化過程中周期性的進(jìn)行水平集函數(shù)初始化操作，使其保持符號(hào)距離函數(shù)(signed distance function, SDF)的性質(zhì)。因此傳統(tǒng)C-V模型的計(jì)算量較大。為了避免水平集函數(shù)的重新初始化，有研究者[4]提出在原始能量泛函中增加新的約束項(xiàng)大大提高了算法的運(yùn)算速度。2010年，Zhang等人[8]提出新的基于區(qū)域的ACM模型，該模型采用SBGFRLS(Selective Binary and Gaussian Filtering Regularized Level Set)方法，使用二值函數(shù)作為水平集函數(shù)并利用高斯核函數(shù)對其正則化，有效避免水平集演化中的重新初始化過程，相對于Li等人的算法，其運(yùn)算速度得到進(jìn)一步地提高[10]。

由于上述算法是一種參數(shù)區(qū)域模型。模型假設(shè)前景和背景屬于同質(zhì)區(qū)域，像素灰度的概率密度分布服從同參數(shù)高斯分布。然而自然圖像如樹木、草叢等場景，其區(qū)域像素灰度不均勻，相應(yīng)的直方圖無特定統(tǒng)計(jì)特性，且不服從高斯分布。因此，參數(shù)活動(dòng)輪廓模型不適合對這類圖像進(jìn)行分割。非參數(shù)活動(dòng)輪廓模型利用像素概率密度分布或直方圖來分割圖像，彌補(bǔ)了上述不足。其中Chan等人[11]提出了采用圖像灰度直方圖信息的鄰域直方圖分割模型。該模型利用Wasserstein距離作為區(qū)域相似性測度來度量直方圖間的相似性，對這類圖像獲得較好的分割效果。我國學(xué)者孔丁科等人[7]稱之為地球移動(dòng)距離(Earth Mover’s Distance, EMD)，并給出其在遙感圖像分割中的應(yīng)用。雖然他們都在各自提出的分割模型中使用了Wasserstein距離作為區(qū)域相似性測度，對無序特征圖像具有較好的分割效果，但這些模型都有一個(gè)共同特點(diǎn)，即要求圖像亮度均勻，這極大地限制了該類非參數(shù)區(qū)域模型的廣泛應(yīng)用，且運(yùn)算速度較慢。

本文結(jié)合Wasserstein距離和SBGFRLS方法，提出新的非參數(shù)水平集分割算法，使分割更加準(zhǔn)確、高效。

1SBGFRLS活動(dòng)輪廓模型

C-V模型[5]假設(shè)定義域?yàn)棣傅膱D像I(x)被活動(dòng)輪廓C(零水平集)劃分為內(nèi)外兩個(gè)同質(zhì)區(qū)域。曲線演化方程通過最小化下面的能量泛函得到：

ECV=λ1∫inside(C)|I(x)-c1|2dx+λ2

∫inside(C)|I(x)-c2|2dx,x∈Ω

(1)

其中，c1和c2為曲線所劃分的內(nèi)外區(qū)域的灰度均值，滿足如下假設(shè)：

(2)

通過最小化(1)式，c1和c2滿足：

(3)

(4)

考慮曲線長度作為能量泛函的約束項(xiàng)，可以得到變分水平集公式如下：

(5)

其中，H(φ)為Heaviside函數(shù)，δ(φ)是Dirac函數(shù)。從(5)式中可以看到，曲線演化的驅(qū)動(dòng)力，即符號(hào)壓力函數(shù)(signed pressure force function, SPF)由-λ1(I-c1)2+λ2(I-c2)2項(xiàng)決定。(5)式中第一項(xiàng)為曲線長度正則項(xiàng)，可以改寫為Δφ的形式。Koenderink[12]和Hummel[13]指出對原始圖像I0與高斯濾波器在不同尺度上進(jìn)行卷積，相當(dāng)于求解擴(kuò)散系數(shù)k為常數(shù)的熱擴(kuò)散方程：

(6)

因此第一項(xiàng)可以在曲線演化的過程中利用高斯核函數(shù)對其進(jìn)行濾波得到。Zhang等人[8]給出新的曲線演化方程，并利用高斯核函數(shù)對水平集函數(shù)φ濾波得到新的演化模型。

(7)

其中，spf(I(x))為符號(hào)壓力函數(shù)。這個(gè)改進(jìn)模型避免了水平集演化過程中的水平集函數(shù)重新初始化并且允許采用二值函數(shù)作為水平集初始化函數(shù)，大大提高了計(jì)算速度。由于其本身結(jié)合了GAC模型的特點(diǎn)，因此在分割過程中能夠結(jié)合目標(biāo)邊界的梯度信息而獲得較GAC模型和C-V模型更好地分割結(jié)果。但由于它仍然屬于參數(shù)分割模型，并假設(shè)圖像區(qū)域同質(zhì)且服從同參數(shù)高斯分布，因此對無序特征圖像難以獲得較好地分割效果。

2基于Wasserstein距離測度的改進(jìn)模型

2.1Wasserstein距離

Chan等人[11]指出采用Wasserstein距離相對于Lp范數(shù)或chi-2比較函數(shù)[14-15]更適于測度區(qū)域之間的直方圖相似性。

2.2SBGFRLS方法的鄰域直方圖改進(jìn)模型

對每一點(diǎn)x∈Ω，定義其鄰域累積分布函數(shù)為：

其中，r為鄰域半徑，area(·)為面積函數(shù)，Br(x)是以r為半徑的x的鄰域。

在C-V模型基礎(chǔ)上考慮采用Wasserstein距離測度的鄰域直方圖模型。當(dāng)λ1=λ2=λ時(shí)，(1)式可以改寫為：

(8)

固定φ且相對F1(y)和F2(y)最小化上面能量得：

(9)

(10)

利用變分法和歐拉-拉格朗日方程，曲線演化的驅(qū)動(dòng)力可以求得

(11)

上式可以作為符號(hào)壓力函數(shù)spf。代(11)式到(7)式中，可以得到本文提出的新的基于Wasserstein距離和SBGFRLS方法的活動(dòng)輪廓模型如下：

(12)

2.3算法流程

根據(jù)上述推導(dǎo)過程，本文給出算法的主要流程如下：

(1)采用二值函數(shù)初始化水平集函數(shù)，如下：

(13)

c為大于零的常數(shù)，?Ω0為區(qū)域Ω0的邊界，Ω0為圖像定義域Ω內(nèi)的子集。

(2)根據(jù)(9)、(10)式計(jì)算F1(y)和F2(y)。

(3)根據(jù)(12)式進(jìn)行曲線演化。

(4)如果φ>0令φ=1；反之，令φ=-1。

(5)利用高斯核函數(shù)正則化水平集函數(shù)φ=φ*Gσ

(6)如果水平集函數(shù)演化沒有結(jié)束(收斂)，返回算法流程2繼續(xù)。

算法流程中的第4步具有選擇局部分割和全局分割的屬性，如果要獲取初始輪廓附近而并非圖像中全部目標(biāo)的輪廓信息時(shí)，這一步操作是必須的。通常情況下并不需要。算法在實(shí)現(xiàn)時(shí)，(9)、(10)、(12)式中的累積分布項(xiàng)Fx,r(y)在迭代開始前只需計(jì)算一次。

3實(shí)驗(yàn)結(jié)果

為了驗(yàn)證本文算法的有效性，文章針對不同類型的圖像進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，并與相關(guān)算法進(jìn)行對比。實(shí)驗(yàn)中選取參數(shù)如下：r=2，c=1，ε=1，α=2。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖1~3所示。

(a)　　　　　　　　　(b)

(c)　　　　　　　　　(d)

(e)　　　　　　　　　(f)

*注：(a)為初始輪廓；(b)、(c)、(d)分別為采用C-V模型[5]、EMD模型[7]、SBGFRLS模型[8]進(jìn)行圖像分割所得到實(shí)驗(yàn)結(jié)果；(e)、(f)分別為采用本文算法進(jìn)行全局和局部分割所得結(jié)果

圖1顯示了本文提出的算法具有全局分割和局部分割屬性，(a)中初始輪廓與圖像中下部目標(biāo)相交。采用算法流程中的第4步操作，容易找出初始輪廓附近的目標(biāo)輪廓，如圖(f)。當(dāng)去掉流程第4步操作，分割結(jié)果顯示全局分割屬性，如圖(e)。然而采用C-V模型[5]和EMD模型[7]的分割算法只具有全局分割屬性，其分割結(jié)果如圖(b)、(c)。采用SBGFRLS模型[8]的分割算法也同時(shí)具有局部和全局分割屬性。

圖2實(shí)驗(yàn)了對無序特征圖像進(jìn)行分割的結(jié)果。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，采用EMD模型[7]的圖像分割算法和本文算法由于采用了Wasserstein距離進(jìn)行區(qū)域相似性測度，獲得了較好的分割結(jié)果。而應(yīng)用C-V模型[5]和SBGFRLS模型[8]的圖像分割算法無法獲得滿意的分割結(jié)果。

(a)　　　　　　　　 (b)

(c)　　　　　　　　　(d)

(e)

*注：(a)為初始輪廓；(b)、(c)、(d)分別采用C-V模型[5]、EMD模型[7]、SBGFRLS模型[8]針對無序特征圖像進(jìn)行分割所得結(jié)果；(e)為采用本文算法針對該圖像進(jìn)行全局和局部分割所得結(jié)果

(a)　　　　　　　　　(b)

(c)　　　　　　　　　(d)

(e)

*注：(a)為初始輪廓；(b)、(c)、(d)分別采用C-V模型[5]、EMD模型[7]、SBGFRLS模型[8]針對亮度非均勻圖像進(jìn)行分割所得結(jié)果；(e)為本文算法針對該圖像進(jìn)行分割所得結(jié)果

圖3采用真實(shí)的顯微鏡下的兩個(gè)細(xì)胞圖片進(jìn)行比較。從圖中可以看到，細(xì)胞區(qū)域內(nèi)部亮度不均勻，同質(zhì)特征不明顯并且區(qū)域內(nèi)部的概率分布差異較大，采用C-V模型[5]和EMD模型[7]的圖像分割算法難以獲得滿意的分割效果。由于SBGFRLS模型[8]和本文算法都具有GAC模型的優(yōu)點(diǎn)，細(xì)胞亮度較大的邊緣信息在分割過程中起到了一定的作用，因此能夠獲得較好的分割效果，如圖(d)、(e)所示。從圖3中還可以看到本文算法獲得的目標(biāo)輪廓較SBGFRLS模型[8]分割結(jié)果更加光滑。

表1　本文算法與C-V模型[5]、EMD模型[7]、SBGFRLS模型[8]分割算法運(yùn)算速度比較

表1 給出了在相同的軟硬件條件下(Core2 2.4GHz CPU, 2.00G RAM, MATLAB平臺(tái))本文算法與C-V模型[5]、EMD模型[7]、SBGFRLS模型[8]的圖像分割算法在迭代次數(shù)和運(yùn)算速度方面的比較結(jié)果。從表1中可以看到，本文所提出的圖像分割模型能夠獲得更好的分割效果，且運(yùn)算效率更高。

4結(jié)論

本文提出了一種新的結(jié)合Wasserstein距離和SBGFRLS方法的非參數(shù)化活動(dòng)輪廓圖像分割算法。算法本身利用Wasserstein距離測度區(qū)域之間的直方圖相似性，使分割算法能夠適應(yīng)無明顯分布特征的圖像分割應(yīng)用。與此同時(shí)，算法集成了SBGFRLS方法的高效性和全局、部分分割屬性。通過對不同類型圖像的實(shí)驗(yàn)比較，本文所提出的算法比以往的活動(dòng)輪廓分割算法適用范圍更廣，分割結(jié)果更準(zhǔn)確，速度更快。

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[責(zé)任編輯、校對：李琳]

Active Contour Model for Image Segmentation Based on Wasserstein Distance and SBGFRLS Method

WANGYu1,YANMo2

(1.School of Mechanical Engineering,Xi’an Aeronautical University,Xi’an 710077,China;2. College of Mechanical and Electrical Engineering,Xi’an University of Architecture and Technology,Xi’an 710055,China)

Abstract：A nonparametric active contour segmentation algorithm combined with Wasserstein distance and SBGFRLS (Selective Binary and Gaussian Filtering Regularized Level Set) method is proposed in this paper.A binary function is used as the level set function,and then a Gaussian smoothing kernel is used to regularize it to avoid expensive re-initialization of the evolving level set function.The method has the property of selective local or global segmentation. Wasserstein distance is employed as a similarity measure to make image segmentation independent of the distribution of image data.It extends the applications of traditional level-set algorithms.Experimental results show that the method can segment image effectively and efficiently.

Key words：image segmentation;Wasserstein distance;SBGFRLS method;level set function

中圖分類號(hào)：TP391.41

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1008-9233(2016)01-0068-06

作者簡介：王瑜(1981-)，女，江蘇徐州人，講師，從事機(jī)電一體化、模式識(shí)別與目標(biāo)檢測研究。

收稿日期：2015-10-21