王　捷

(蘭州理工大學 理學院,甘肅 蘭州　730050)

?

功能梯度材料梁結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性分析

王捷

(蘭州理工大學 理學院,甘肅 蘭州730050)

摘要基于一階剪切變形非線性梁理論,運用物理中面的概念推出功能梯度材料(FGM)梁穩(wěn)定性問題的基本方程,分析了功能梯度材料梁在面內(nèi)熱荷載作用下的穩(wěn)定性。分析中假設功能梯度材料性質(zhì)只沿梁厚度方向、并按成分含量的冪指數(shù)形式變化;利用打靶法對所得方程進行數(shù)值求解。結(jié)果表明,兩端夾緊的FGM 梁在均勻熱載荷或非均勻熱荷載作用下時都會發(fā)生過屈曲變形。

關鍵詞功能梯度材料;屈曲;穩(wěn)定性;打靶法

近年來,功能梯度材料(FGM,functionally graded materials)因其優(yōu)越的性能在諸多領域都有廣泛的應用。國內(nèi)外許多學者對功能梯度材料梁的屈曲行為進行了研究。Birman等[1]介紹了功能梯度材料中的主要進展,包括顆粒材料的同質(zhì)化、傳熱問題、穩(wěn)定性和動態(tài)分析、設計和制造以及應用和斷裂。Huang等[2,3]基于彈性力學平面問題的基本方程,假設應力函數(shù)是長度坐標的多項式函數(shù),用彈性力學的方法推出了功能梯度各向異性懸臂梁在受到線性均布載荷作用時的解析解,同時假設熱傳導問題為沿厚度方向的一位熱傳導問題推出了在熱載荷和非均勻載荷作用下的功能梯度各向異性懸臂梁的解析解。張靖華等[4]應用微分求積法(DQM,differential-quadrature method)分析了變截面功能梯度梁的彎曲。馬連生等[5]基于一階剪切變形梁理論,求出面內(nèi)熱載荷作用下梁過屈曲問題的精確解。文獻[6]中利用相同的理論引用物理中面的概念導出了FGM 梁的基本方程,分析了熱載荷作用下簡支FGM 梁的彎曲行為。Ma等[7]推導了均勻面內(nèi)熱載荷作用下功能梯度梁的非線性靜動態(tài)力學行為,并用打靶法數(shù)值的求解了控制方程,詳細的討論了材料常數(shù)、橫向剪切變形、溫度相關的材料特性、面內(nèi)熱載荷以及邊界條件的影響。文獻[8]中基于同樣的理論基礎,得到了面內(nèi)熱載荷作用下的功能梯度梁的非線性靜態(tài)相應的精確解。研究基于一階剪切變形非線性梁理論,并運用物理中面的概念推出FGM梁穩(wěn)定性問題的基本方程,分析了功能梯度材料梁在面內(nèi)熱荷載作用下的穩(wěn)定性。

1控制方程

考慮一個矩形截面的功能梯度材料梁,見圖1。橫截面面積為A,長為l,寬為b,高為h。笛卡爾坐標系(x,y,z)的坐標原點建立在梁的左端點。xoy平面為梁未變形時的中面,x軸與梁的形心軸一致,z軸正方向朝著橫截面的頂點并垂直于x-y平面。

圖1　功能梯度材料梁的幾何模型Fig.1　Geometric model of beam of functionallygraded material

考慮金屬和陶瓷功能梯度材料,材料屬性P(如楊氏模量E、熱膨脹系數(shù)等)沿著梁的高度變化,表達式為

(1)

其中:下標m和c分別表示金屬和陶瓷成分;n為梯度指數(shù),表示該值時成分含量的功能梯度材料;泊松比取0.3。

功能梯度材料梁物理中面Z=Z0,有

(2)

由一階剪切梁理論和物理中面的概念位移函數(shù)具有如下形式:

(3)

其中:w和u分別為物理中面上沿著坐標軸z和x方向的位移。

幾何方程為

(4)

應力應變關系為

(5)

基于物理中面的功能梯度材料梁本構(gòu)方程為

(6)

其中:

其中:ks為剪切修正系數(shù),這里取3/2;T為梁的溫度。

用能量法可得到如下位移形式平衡方程和邊界條件:

(7)

邊界條件:

夾緊端引入無量綱量:

得到問題方程的控制方程

(8)

考慮上下表面溫度不同,沿高度方向溫度也呈梯度改變。假設溫度T(z)滿足一階熱傳導方程

(9)

材料上表面為陶瓷,下表面為金屬,溫度邊界條件如下:

T(h/2)=Tc,T(-h/2)=Tm,

(10)

其中:K(z)為熱傳導系數(shù),滿足物性參數(shù)方程

解得

(11)

將K(z)按冪級數(shù)展開并帶入式(11)得到

(12)

為了計算方便,取前5項進行計算[9]。利用打靶方法數(shù)值地求解相應邊界條件下的方程,可得到梁過屈曲或彎曲的數(shù)值結(jié)果。

2數(shù)值結(jié)果與討論

表1　Si3N4和SUS304的材料屬性

2.1均勻溫度載荷

兩端夾緊功能梯度材料梁對于不同的梯度指數(shù)n在均勻溫度下的典型熱過屈曲路徑如圖2所示。圖2表明其熱過屈曲路徑隨n的增大而增大。

圖2　均勻溫度荷載下過屈曲路徑Fig.2　Post-buckling path in presence of load atuniform temperature

圖3為均勻溫度載荷下臨界熱屈曲荷載λcr隨著梯度指數(shù)n的變化。從圖3可以清楚的看到在n的開始階段無量綱臨界屈曲載荷快速上升,當n較大時,臨界屈曲載荷隨著梯度指數(shù)n的增加緩慢增加。

圖4給出了兩端夾緊的FGM梁均勻溫度下的臨界屈曲載荷和l/h的關系,l/h取值范圍為5~100。圖像表明l/h趨于無窮大時其對臨界載荷影響不再明顯。

圖3　臨界屈曲載荷和梯度指數(shù)曲線Fig.3　Curves of critical buckling load and gradient index

圖4　臨界屈曲載荷和l/h的關系Fig.4　Relationship between the criticalbuckling load and l/h

2.2非均勻溫度載荷

圖5給出了兩端夾緊的FGM梁非均勻溫度下的無量綱臨界熱屈曲荷載λcr隨著梯度指數(shù)n的變化。從圖5可以清楚的看到,在梯度指數(shù)n的開始階段無量綱熱屈曲載荷有一個急劇的先下降再上升的過程,這與均勻面內(nèi)熱載荷作用時的情況有著明顯的不同。

不同的梯度指數(shù)n兩端夾緊功能梯度材料梁非均勻溫度下的典型熱過屈曲路徑如圖6所示。圖7給出了兩端夾緊的FGM梁非均勻溫度下臨界屈曲載荷和Tc/Tm的關系。從圖6可以看出非均勻面內(nèi)熱載荷作用時純金屬的熱過屈曲路徑曲線不再位于最左邊,而是介于中間,這與均勻溫度載荷作用時的熱過屈曲路徑有著明顯的不同,這是因為非均勻面內(nèi)熱載荷作用時臨界熱載荷隨梯度指數(shù)n的變化并不和均勻面內(nèi)熱載荷作用時一樣,而是先減小后增大。

圖5　臨界屈曲載荷和梯度指數(shù)曲線Fig.5　Curves of critical buckling load and gradient index

圖6　非均勻溫度荷載下過屈曲路徑Fig.6　Post-buckling path in presence of loadat uneven temperature

圖7　臨界屈曲載荷和Tc/Tm的關系Fig.7　Relationship between the critical buckling load and Tc/Tm

3結(jié)論

將坐標面建立在物理中面上,基于一階剪切非線性梁理論,利用物理中面概念導出了功能梯度材料(FGM)梁穩(wěn)定性問題的基本方程。研究了在均勻熱載荷和非均勻熱荷載作用下固支FGM梁的穩(wěn)定性問題。得出以下結(jié)論:

(1)均勻與非均勻面內(nèi)熱載荷作用下兩端夾緊功能梯度材料梁都顯示出了典型的熱過屈曲行為特征。也就是說,當熱載荷如果沒有達到臨界屈曲載荷時,FGM 梁不會產(chǎn)生橫向撓度,而將保持原來的平直狀態(tài)。

(2) 兩端夾緊的功能梯度材料梁無量綱臨界屈曲載荷隨著功能梯度指數(shù)n的增大而增大,而梁的轉(zhuǎn)角卻在減小。

(3) 夾緊FGM梁的過屈曲變形受橫向剪切變形影響明顯,這種影響隨著長細比的增大而降低,直至趨于經(jīng)典結(jié)果。

參考文獻:

[1]Birman V,Byrd L W.Modeling and Analysis of Functionally Graded Materials and Structures[J].Applied Mechanics Reviews,2007,60(5):195-215.

[2]Huang D J,Ding H J,Chen W Q.Analytical Solution for Functionally Graded Anisotropic Cantilever Beam Subjected to Linearly Distributed Load[J].Applied Mathematics and Mechanics(English Edition),2007,28(7):855-856.

[3]Huang D J,Ding H J,Chen W Q.Analytical Colution for Functionally Graded Anisotropic Cantilever Beam under Thermal and Uniformly Distributed Load[J].Journal of Zhejiang University SCIENCE A,2007,8(9):1 351-1 355.

[4]張靖華,龔云,李世榮.微分求積法求解變截面功能梯度梁的彎曲問題[J].甘肅科學學報,2010,22(1):14-17 .

[5]馬連生,顧春龍.剪切可變形梁熱過屈曲解析解[J].工程力學,2012,29(2):172-176.

[6]馬連生,牛牧華.基于物理中面FGM 簡支梁的彎曲行為[J].應用力學學報,2010,27(3):590-593.

[7]Ma L S,Lee D W.A Further Discussion of Nonlinear Mechanical Behavior for FGM Beams under In-plane Thermal Loading[J].Composite Structures,2011,93:831-842.

[8]Ma L S,Lee D W.Exact Solutions for Nonlinear Static Responses of a Shear Deformable FGM Beam under an In-plan e Thermal Loading[J].European Journal of Mechanics A/Solids,2012,31:13-20.

[9]Wu L H.Thermal Buckling of a Simply Supported Moderately Thick Rectangular FGM Plate[J].Composite Struetures,2004,64(2):211-218.

Stability Analysis of Beam Structure of Functionally Graded Material

Wang Jie

(SchoolofSciences,LanzhouUniversityofTechnology,Lanzhou730050,China)

AbstractThe fundamental equation about the stability problem of beam of the functionally graded material (FGM) was deduced by using concept of physical surface on basis of non-linear beam theory for first-order shearing and deformation; and the stability of the beam of the functionally graded material in presence of thermal load in the surface was analyzed.During analysis,it was supposed that the property of the functionally graded material might be changed only along the direction of thickness and according to the form of power exponent of the component content of the component; and the value was obtained from the equation acquired by using the shooting method.The numerical result showed that the FGM beam with two ends held tightly might be subjected to post-buckling deformation under the action of even thermal load or uneven thermal load.

Key wordsFunctionally graded materials;Buckling;Stability;Shooting method

中圖分類號:TB301

文獻標志碼:A

文章編號:1004-0366(2016)01-0012-05

作者簡介:王捷(1990-),男,重慶涪陵人,碩士研究生,研究方向為新型材料結(jié)構(gòu)的力學行為.E-mail:903506616@qq.com.

基金項目:國家自然科學基金:功能梯度材料結(jié)構(gòu)的非線性穩(wěn)定性理論研究(11472123)；功能梯度材料結(jié)構(gòu)非線性力學行為的進一步研究(11072100).

收稿日期:2015-01-16;修回日期:2015-04-09.

doi:10.16468/j.cnki.issn1004-0366.2016.01.003.

引用格式:Wang Jie.Stability Analysis of Beam Structure of Functionally Graded Material[J].Journal of Gansu Sciences,2016,28(1):12-15,54.[王捷.功能梯度材料梁結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性分析[J].甘肅科學學報,2016,28(1):12-15,54.]