張雪才，王正中，孟 明，李路明

（西北農(nóng)林科技大學(xué)水利與建筑工程學(xué)院，陜西楊凌 712100）

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水工鋼閘門主梁的最優(yōu)梁高

張雪才，王正中，孟 明，李路明

（西北農(nóng)林科技大學(xué)水利與建筑工程學(xué)院，陜西楊凌 712100）

摘 要：對水工鋼閘門主梁高度的確定多以經(jīng)驗(yàn)公式為主，理論不完善，未全面考慮截面形式與支座位置對梁高影響的問題，依據(jù)現(xiàn)行鋼閘門設(shè)計(jì)規(guī)范，以滿足強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定性和幾何構(gòu)造要求為約束條件，以主梁和豎向隔板總用鋼量最小為目標(biāo)函數(shù)，分別建立單軸、雙軸對稱截面下的簡支式和雙懸臂式主梁梁高的優(yōu)化模型。采用半解析法推導(dǎo)出簡支式和雙懸臂式主梁的最優(yōu)梁高理論公式。通過與已建工程對比，結(jié)果表明：推導(dǎo)的最優(yōu)梁高公式計(jì)算的梁高均與實(shí)際工程中的梁高接近，且公式有進(jìn)一步優(yōu)化的空間；通過減小隔板高厚比與主梁腹板高厚比可達(dá)到降低梁高的目的。該理論公式一方面可應(yīng)用于工程實(shí)踐，另一方面也可為完善規(guī)范提供理論基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞：水工結(jié)構(gòu)；鋼閘門主梁；工字形截面最優(yōu)梁高；優(yōu)化模型；理論公式

1 研究背景

水工鋼閘門是水工樞紐的重要結(jié)構(gòu)之一，其主梁形式以簡支式和雙懸臂式為主，其最優(yōu)梁高影響著結(jié)構(gòu)的安全性及經(jīng)濟(jì)性。依據(jù)結(jié)構(gòu)優(yōu)化理論，Azad和Vachajitpa等提出了雙軸對稱工字形簡支主梁的經(jīng)濟(jì)梁高公式［1－2］；竇國禎給出了單軸對稱工字形截面簡支梁的經(jīng)濟(jì)梁高的圖解法和實(shí)用公式［3－4］；何運(yùn)林從196扇閘門資料中擬合出了單軸對稱工字形簡支梁最優(yōu)梁高的經(jīng)驗(yàn)公式［5］；王正中首次提出了雙懸臂式單軸對稱梁最優(yōu)梁高的理論公式［6］；隨后竇國禎、崔麗萍相繼發(fā)表了有關(guān)雙懸臂式鋼梁最優(yōu)梁高的論文［7－8］，其研究思路方法及成果與王正中大同小異。但以上研究成果通用性有限、形式復(fù)雜，不便工程應(yīng)用。鑒于此，本文全面考慮主梁自身的彎剪強(qiáng)度、剛度和整體穩(wěn)定性及局部穩(wěn)定性；統(tǒng)一建立了鋼閘門主梁最優(yōu)梁高的優(yōu)化模型，并利用MATHEMATICA和MATLAB軟件對優(yōu)化模型進(jìn)行求解，最后給出了對稱與不對稱工字形簡支與雙懸臂式鋼梁的準(zhǔn)確和通用的最優(yōu)梁高理論計(jì)算公式。

2 主梁截面的幾何特性

主梁是鋼閘門的主要受力構(gòu)件，一般根據(jù)閘門跨度和作用水頭來選擇其形式［9］。鋼閘門主梁的典型截面為單軸對稱的工字形截面，其截面、剪應(yīng)力及彎應(yīng)力分布圖如圖1所示。圖1（a）是面板承擔(dān)前翼緣作用組合截面的剪應(yīng)力分布圖，圖1（b）是部分面板參加主梁工作而形成的組合工字形截面，圖1（c）是主梁工字形截面的彎應(yīng)力分布圖。

圖1　主梁典型計(jì)算截面及應(yīng)力分布Fig．1 Typical calculation section and stress distribution of main beam

圖1中：A1為前翼緣面積；A2為后翼緣面積；Af為腹板面積；Am為參與主梁工作的部分面板面積；A1m＝A1＋Am為前翼緣面積和參與主梁工作的部分面板面積的和；hx為主梁高度；hf為腹板高度；y1為中性軸到前翼緣外側(cè)的距離；y2為中性軸到后翼緣外側(cè)的距離；σ1為前翼緣外側(cè)處的正應(yīng)力；σ2為后翼緣外側(cè)處的正應(yīng)力；τ1為前翼緣外側(cè)處的剪應(yīng)力；τ2為后翼緣外側(cè)處的剪應(yīng)力；τmax為腹板上的最大剪應(yīng)力；δm為面板厚度；δ1為主梁前翼緣厚度；δ2為主梁后翼緣厚度；δf為主梁腹板厚度；B1為主梁前翼緣寬度。本文中各物理量的單位分別為：面積（mm2），高度（mm），應(yīng)力（MPa），面積抵抗矩（mm3）。

實(shí)際工程中，面板厚度與主梁高度的比值幾乎都在［1／60，1／140］范圍，故可認(rèn)為面板的厚度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于主梁的高度，可設(shè)hx≈hf。令

根據(jù)《鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范（GB50017—2003）》［10］，對只受彎矩控制的閘門主梁來說其腹板的高厚比由局部穩(wěn)定條件確定，可設(shè)＝ψ。

根據(jù)式（1）和截面幾何特性的定義，對中性軸求慣性矩，忽略高階微量簡化得：

后翼緣對中性軸的面積矩為

式中：A為主梁和參與主梁工作部分面板的面積之和；Wz為中性軸的面積抵抗矩。

3 約束條件

3．1 強(qiáng)度約束

主梁的設(shè)計(jì)必須滿足強(qiáng)度要求，即σmax≤［σ］。主梁后翼緣最大正應(yīng)力為，主梁后翼緣與腹板焊接處的切應(yīng)力為。其中：σmax和[σ ]分別為主梁的最大彎應(yīng)力和允許應(yīng)力（MPa）；M為主梁后翼緣處彎矩（kN·m）；Fs為主梁支座截面處的剪力（kN）；ymax為離中性軸最遠(yuǎn)點(diǎn)的距離（m）。

滿足強(qiáng)度條件為

式中σzh為主梁的折算應(yīng)力，令，可得

3．2 剛度約束

雙懸臂式主梁，由于其最大撓度較小，在一般情況下，這種形式的閘門主梁的剛度條件對梁高不起控制作用。

3．3 穩(wěn)定性約束

主梁整體穩(wěn)定性和腹板局部穩(wěn)定性依據(jù)主梁的受壓翼緣與剛性面板相連，因而主梁的整體穩(wěn)定性可不必驗(yàn)算。腹板局部穩(wěn)定性關(guān)系到其高厚比的預(yù)先設(shè)定、橫向加勁肋的配置以及是否配置縱向加勁肋，可先根據(jù)《鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范（GB50017—2003）》的規(guī)定，根據(jù)高厚比限值條件確定腹板及橫、縱向加勁肋的配置。

4 簡支梁最優(yōu)梁高公式

4．1 目標(biāo)函數(shù)

根據(jù)結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)的基本思想建立求最優(yōu)梁高的優(yōu)化模型［11］。雖然閘門的面板是與主梁的前翼緣焊接在一起的，但參與主梁發(fā)生整體彎曲部分面板的截面主要是由設(shè)計(jì)水頭、結(jié)構(gòu)布置、有效寬度等事先確定，所以參與主梁工作面板的面積Am在推導(dǎo)過程中為一確定的參數(shù)。用F1和F2分別表示主梁和隔板的質(zhì)量；用l1和l2分別表示主梁和隔板腹板的化引長度（即主梁與隔板腹板化成等高截面后的長度）；用n1和n2分別表示主梁和隔板的個(gè)數(shù)。不考慮鋼材的變異性［12］，僅按理想的材料特性進(jìn)行計(jì)算，設(shè)隔板總長與主梁總長的比值為K；隔板高厚比為m，則以單位主梁長上質(zhì)量最小作為優(yōu)化目標(biāo)的表達(dá)式為

4．2 簡支梁的優(yōu)化模型

由目標(biāo)函數(shù)和約束條件可得簡支梁的優(yōu)化模型為

式中：Sm＝A1，min＋Am，min為計(jì)算截面中參與主梁工作的面板的面積和前翼緣截面面積之和的最小容許值；λmax為主梁前、后兩翼緣在整體彎曲中的抗彎應(yīng)力絕對值之比的最大容許值，因?yàn)槊姘鍏⑴c主梁的工作，所以面板的應(yīng)力應(yīng)該與主梁前翼緣外表面在梁的整體彎曲中產(chǎn)生的應(yīng)力以某一種形式相互疊加，疊加后的應(yīng)力共同對面板起作用，而后翼緣外表面的應(yīng)力沒有疊加問題，所以在梁的整體彎曲中應(yīng)使得前翼緣的應(yīng)力與后翼緣的應(yīng)力的比值不能過大，以此來滿足面板處的強(qiáng)度條件，因此λmax＝，其中α為彈塑性調(diào)整系數(shù)，取值1．4或1．5；σmy為垂直于主梁軸線方向板支撐長邊中點(diǎn)的局部彎曲應(yīng)力。

4．3 模型求解及簡支梁最優(yōu)梁高

由約束條件可得圖2，圖中陰影線左側(cè)的為可行域，右側(cè)為非可行域。圖中h′為主梁截面前翼緣能夠達(dá)到極限應(yīng)力狀態(tài)的各種梁高的最大值。由于受到參與主梁工作面板面積和前翼緣截面面積之和最小容許值Sm的限制，當(dāng)實(shí)際梁高大于h′，前翼緣就無法達(dá)到極限應(yīng)力狀態(tài)，又因?yàn)棣薽ax＜1，hx≥0，故可行域內(nèi)各點(diǎn)的λx之值一定在（0，1）內(nèi)，當(dāng)λx∈（0，1），則由目標(biāo)函數(shù)的單調(diào)性及其表達(dá)式可以看出，對hx任意固定不變的值，F(xiàn)的值均隨著λx的增大而減小，得到F取不同值時(shí)的曲線，可以看出，最優(yōu)點(diǎn)一定在可行域右邊的邊界上。其中F1＜F2＜F3＜F4。

圖2　約束條件及目標(biāo)函數(shù)Fig．2 Constraint condition and objective function

當(dāng)前翼緣外側(cè)應(yīng)力σ1達(dá)到最大值，即λx＝λmax，hmin＜hx＜h′，目標(biāo)函數(shù)可變?yōu)?/p>

hx＝

不考慮面板影響時(shí)即雙軸對稱，此時(shí)λ＝1，可得主梁的最優(yōu)梁高為

式（10）和式（11）即為簡支型主梁最優(yōu)梁高計(jì)算式，各參數(shù)意義如前面所示，hx單位為mm。

5 雙懸臂梁最優(yōu)梁高公式

5．1 雙懸臂型主梁優(yōu)化模型

目標(biāo)函數(shù)同前，其優(yōu)化模型中Ms，F(xiàn)s分別為主梁與支臂連接處的彎矩的絕對值（kN·m）和剪力值（kN）。

5．2 模型求解及雙懸臂主梁最優(yōu)梁高

該模型取得極小值的必要條件為

當(dāng)λx∈（0，1）時(shí)，F(xiàn)′λx＜0，為單調(diào)遞減函數(shù)，又因?yàn)棣藊在[0．75，0．95]內(nèi)目標(biāo)函數(shù)的差別極小，參考《水利水電工程鋼閘門設(shè)計(jì)規(guī)范（SL74—2013）》［13］和關(guān)于面板彈塑性調(diào)整系數(shù)研究成果［14］，前、后翼緣外側(cè)彎應(yīng)力絕對值之比宜取λx＝0．8，將其代入式（12）和式（13）可得：

對實(shí)際工程統(tǒng)計(jì)分析可得：0．1≤φ≤80，采用MATLAB進(jìn)行處理可得到φ和ξ的關(guān)系式為

確定系數(shù)為0．999 7。聯(lián)立式（14）至式（17）得到

根據(jù)《水利水電工程鋼閘門設(shè)計(jì)規(guī)范（SL74—2013）》雙懸臂式主梁的懸臂長度宜取0．2l（l為主梁的計(jì)算跨度），此時(shí)，代入式（18）可得

對雙軸對稱雙懸臂式主梁，此時(shí)λx＝1，將其代入式（12）和式（13），同理得到

當(dāng)懸臂長度為0．2l，代入式（20）可得

上式中m，K，Wz，l均為常數(shù)，其中單位規(guī)定：Fs為kN；Ms為kN·m；σ為kN／m2；l為m；h為mm。

式（18）和式（20）即為雙懸臂式主梁最優(yōu)梁高計(jì)算式，各參數(shù)意義如前面所示，為保證計(jì)算精度，小數(shù)點(diǎn)后均保留3位數(shù)字。

6 簡支型和雙懸臂型主梁梁高公式的驗(yàn)證

本文搜集到已建工程5例（均為單軸對稱簡支梁）如表1所示。

某表孔斜支臂弧門孔口尺寸12．0 m×6．55 m（寬×高），m為80，λ為0．8，［σ］為144 000 kPa，橫主梁2根，橫隔板5道，Ms為387 kN·m，F(xiàn)s為455 kN。實(shí)際工程中的梁高為0．6 m。

利用推導(dǎo)式（18）和式（19）求解可得最優(yōu)梁高分別為0．585 m和0．579 m，利用文獻(xiàn)［7］中公式（47）求解的最優(yōu)梁高為0．604 m。

7 結(jié) 論

由以上工程實(shí)例驗(yàn)證可得：

（1）利用本文推導(dǎo)的最優(yōu)梁高公式計(jì)算的梁高均與實(shí)際工程中的梁高接近，對簡支式最大誤差不超過10%，雙懸臂式誤差僅為2．5%，且計(jì)算方便簡捷。

（2）橫隔板的高厚比、主梁腹板的高厚比均與主梁高度成正相關(guān)關(guān)系，也即隔板多而厚時(shí)最優(yōu)梁高降低，反之，最優(yōu)梁高就增大。

（3）文獻(xiàn)［4］和文獻(xiàn)［7］中的計(jì)算公式均需要進(jìn)行查表補(bǔ)差，會(huì)帶來一定的誤差，本文公式不需要查表，可克服查表時(shí)帶來的插值誤差。

（4）文獻(xiàn)［5］直接利用經(jīng)驗(yàn)公式h＝5．1W1／3進(jìn)行求解，計(jì)算方便，但公式推導(dǎo)過程中沒有比較完整的數(shù)學(xué)模型，與之相比，本文公式推導(dǎo)有完整的數(shù)學(xué)模型和完善的理論基礎(chǔ)。

本文以設(shè)計(jì)規(guī)范為依據(jù)，以滿足強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定性和幾何構(gòu)造要求為約束條件，應(yīng)用結(jié)構(gòu)優(yōu)化理論，全面系統(tǒng)地推導(dǎo)出閘門主梁高度的計(jì)算公式。公式中的各個(gè)參數(shù)在設(shè)計(jì)閘門時(shí)事先可以確定，進(jìn)而可以確定最優(yōu)的梁高，可以克服設(shè)計(jì)中的盲目性，減少工作量。通過與文獻(xiàn)［4］、文獻(xiàn)［5］、文獻(xiàn)［7］和已建工程實(shí)例的對比，驗(yàn)證了本文所推公式的正確性及合理性，且本文公式的推導(dǎo)理論明確，概念清晰，計(jì)算過程方便簡捷，不僅可供工程設(shè)計(jì)參考，而且還可為規(guī)范的完善提供理論基礎(chǔ)。

表1　本文公式計(jì)算結(jié)果與實(shí)際工程梁高對比分析Table 1 Comparison of height of the main beam between calculated result and data in practical projects

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（編輯：劉運(yùn)飛）

Optimal Height of Main Beam of Hydraulic Steel Gate

ZHANG Xue?cai，WANG Zheng?zhong，MENG Ming，LI Lu?ming
（College of Water Resources and Architecture Engineering，Northwest A＆F University，Yangling 712100，China）

Abstract：At present，there are several problems in determining the height of main beam in hydraulic steel gate，in?cluding a large number of empirical formulas，imperfect theories，and ignorance of influences of section form and support position．According to design code of steel gate，with requirements of strength，stiffness，stability and geo?metric structure as constraint conditions，we take minimum steel amount of main beams and vertical baffles as ob?jective function，and establish optimization models for beam height of simple support and double cantilever’s girder under conditions of uniaxial and biaxial symmetrical sections．Theoretical formulas of optimal girder height are de?rived by semi?analytical methods．Through comparing with built projects，we find that girder heights calculated by the theoretical formulas in this paper are close to those in practical projects，which still can be optimized．Further?more，we can decrease beam height through reducing height?thickness ratios of partition and web of main beam．The theoretical formulas can be applied to engineering practice，and also provide a theoretical basis for improving speci?fication．

Key words：hydraulic structure；main beam of steel gate；optimal height of H?shaped beam；optimization model；theoretical formula

通訊作者：王正中（1963－），男，陜西彬縣人，教授，博士生導(dǎo)師，主要從事水工程安全及其災(zāi)害防治理論與技術(shù)研究，（電話）13319210121（電子信箱）wangzz0910＠163．com。

作者簡介：張雪才（1990－），男，河南項(xiàng)城人，碩士研究生，主要從事水工結(jié)構(gòu)穩(wěn)定及優(yōu)化研究，（電話）15202495509（電子信箱）xnzxc1990＠163．com。

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（51179164）

收稿日期：2014－09－15；修回日期：2014－12－04

中圖分類號(hào)：TV663．4

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1001－5485（2016）03－0127－05