韓玉成，宋文淵，白永生，李欣玥

(軍械工程學(xué)院 裝備指揮與管理系，石家莊　050003)

?

二維產(chǎn)品二維成組更換間隔期優(yōu)化研究

韓玉成，宋文淵，白永生，李欣玥

(軍械工程學(xué)院 裝備指揮與管理系，石家莊050003)

摘要：對于故障受日歷時(shí)間與使用時(shí)間共同影響的二維產(chǎn)品，傳統(tǒng)的只按照單一時(shí)間變量開展的預(yù)防性維修已不能滿足二維產(chǎn)品的實(shí)際維修保障需求，鑒于此，針對二維產(chǎn)品的特點(diǎn),提出了二維預(yù)防性維修的策略，以日歷時(shí)間與使用時(shí)間對二維產(chǎn)品進(jìn)行二維預(yù)防性維修決策；首先建立了二維產(chǎn)品故障率函數(shù)表達(dá)式，然后對二維成組更換的過程進(jìn)行具體的分析，在有限使用條件下分別從經(jīng)濟(jì)性的角度與任務(wù)性的角度建立二維成組更換的費(fèi)用模型與可用度模型；根據(jù)所建模型，結(jié)合實(shí)例，采用了費(fèi)效分析中的費(fèi)效比準(zhǔn)則來優(yōu)化二維成組更換間隔期，通過對比分析驗(yàn)證了該模型的適用性與有效性，證明了二維成組更換策略要優(yōu)于傳統(tǒng)的成組更換策略，最后對二維預(yù)防性維修提出了展望。

關(guān)鍵詞：二維產(chǎn)品；二維成組更換；數(shù)學(xué)模型；維修間隔期

0引言

由于經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展與社會(huì)的不斷進(jìn)步，產(chǎn)品的復(fù)雜性越來越高，性能越來越先進(jìn)，很多復(fù)雜產(chǎn)品的壽命受產(chǎn)品的日歷時(shí)間、使用時(shí)間等因素的共同影響。過久的使用時(shí)間或過高的使用強(qiáng)度將加速產(chǎn)品部件的退化、增加產(chǎn)品的故障強(qiáng)度。陳相侄[1]將故障受日歷時(shí)間與使用時(shí)間共同影響的產(chǎn)品稱之為二維產(chǎn)品，其中使用時(shí)間可以是打印機(jī)的打印張數(shù)，汽車的行駛里程，飛機(jī)的起降次數(shù)等，對此類產(chǎn)品進(jìn)行預(yù)防性維修時(shí)，要結(jié)合實(shí)際的使用情況，確定反映使用情況的使用間隔期。比如說家用汽車的維護(hù)保養(yǎng)，多采用日歷時(shí)間與行駛里程的二維約束，通常間隔期為半年或者一萬公里，在消費(fèi)者正常的使用情況下，無論哪個(gè)期限先到，就進(jìn)行相應(yīng)的維護(hù)保養(yǎng)。

關(guān)于二維產(chǎn)品維修的研究最初來源于產(chǎn)品的二維保修領(lǐng)域，目前關(guān)于二維保修的研究主要是關(guān)于二維保修策略以及二維保修成本的優(yōu)化研究。Nat Jack[2]討論了一種最優(yōu)策略，使得在產(chǎn)品二維保修期內(nèi)的保修成本最低。Mahmood Shafiee和Stefanka[3]為二手產(chǎn)品制定了一種全新的二維保修策略，并通過數(shù)學(xué)模型分析了二手產(chǎn)品的二維保修成本。N.Jack[4]，S.Varnosafaderani[5]，T.Chen[6]，等也都對二維保修期內(nèi)發(fā)生故障后的維修策略進(jìn)行了優(yōu)化?？梢园l(fā)現(xiàn)大部分二維保修的文獻(xiàn)都是針對故障后維修的情況，在二維保修期內(nèi)采用預(yù)防性維修的策略相對較少。

預(yù)防性維修是為預(yù)防產(chǎn)品故障或故障的嚴(yán)重后果，使其保持在規(guī)定狀態(tài)所進(jìn)行的全部活動(dòng)[7]。預(yù)防性維修作為一種計(jì)劃性維修的方式在各個(gè)領(lǐng)域中都有著廣泛的應(yīng)用，其可以有效地避免故障的發(fā)生，并可以大大降低故障所造成的損失。在二維產(chǎn)品保修中也有一些文獻(xiàn)考慮到預(yù)防性維修，Yeu-Shiang Huang[8]使用了二維故障率中雙因素變量的方法，針對于可修的產(chǎn)品，在二維保修期限下建立了定期預(yù)防性維修費(fèi)用模型，最終對保修策略進(jìn)行了優(yōu)化研究。K Shahanaghi[9]在二維保修期下，采用定期不完全預(yù)防性維修的策略，建立了關(guān)于費(fèi)用的模型，以費(fèi)用最小為決策目標(biāo)，對預(yù)防性維修的次數(shù)以及維修程度進(jìn)行了優(yōu)化； Hu[10]考慮了二維預(yù)防性維修的問題，提出了一個(gè)以日歷時(shí)間與使用時(shí)間同時(shí)進(jìn)行備件更換的二維預(yù)防性維修策略，最終對備件需求量進(jìn)行了優(yōu)化求解。

通過以上綜述可以發(fā)現(xiàn)，二維產(chǎn)品保修是在二維的“時(shí)間”約束下(即二維保修期內(nèi))開展一系列的維修策略優(yōu)化研究，維修策略優(yōu)化的時(shí)間變量都是單維的日歷時(shí)間，很少有文章考慮到二維預(yù)防性維修的問題。二維預(yù)防性維修是針對二維產(chǎn)品而言，同時(shí)以兩個(gè)度量指標(biāo)(如日歷時(shí)間與使用時(shí)間)對產(chǎn)品開展的一系列預(yù)防性維修活動(dòng)，即使有文獻(xiàn)[10]考慮到二維預(yù)防性維修的問題，也都是假設(shè)維修間隔期是已知的，而在在實(shí)施預(yù)防性維修的過程中，維修間隔期的確定是維修決策中的重要一環(huán)。所以針對可以準(zhǔn)確獲取到日歷時(shí)間與使用時(shí)間的二維產(chǎn)品，結(jié)合產(chǎn)品的實(shí)際維修需求，以費(fèi)用與可用度為優(yōu)化目標(biāo)，對產(chǎn)品的二維預(yù)防性維修間隔期進(jìn)行優(yōu)化研究具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

因此，本文結(jié)合二維產(chǎn)品的維修實(shí)際，從二維產(chǎn)品預(yù)防性維修的角度出發(fā)，對二維產(chǎn)品采取二維成組更換策略，研究二維產(chǎn)品在有限使用期下二維成組更換間隔期的確定問題。

1系統(tǒng)描述

1.1模型描述

本節(jié)主要針對壽命受日歷時(shí)間T與使用時(shí)間U雙重影響的二維產(chǎn)品，對產(chǎn)品中使用量較大的一些部件采取二維成組更換策略，這種策略表示每到規(guī)定成組更換間隔期(T0,U0)就進(jìn)行預(yù)防性更換，在成組更換間隔期內(nèi)出現(xiàn)故障進(jìn)行故障后維修，所有維修皆為修復(fù)如新，即使有個(gè)別產(chǎn)品或部件在更換間隔期內(nèi)發(fā)生故障更換過，到指定的二維預(yù)防性維修間隔期(T0,U0)也一起更換，在有限使用條件下分別從經(jīng)濟(jì)性的角度與任務(wù)性的角度建立相應(yīng)的費(fèi)用模型與可用度模型，然后采用費(fèi)效分析的方法，權(quán)衡費(fèi)用與可用度的綜合影響，確定最優(yōu)的二維成組更換間隔期。

1.2模型假設(shè)

1)產(chǎn)品的壽命具有日歷時(shí)間和使用時(shí)間兩個(gè)度量指標(biāo)；

2)產(chǎn)品是不可修的，故障率是遞增的(Increasing Failure Rate)；

3)對于給定的用戶來說，其使用率r是長期恒定不變的，不同的用戶使用率不同，對于批次產(chǎn)品來說，使用率是隨機(jī)變量，用G(r)表示；

4)為了更精確地建立模型，考慮維修時(shí)間的影響，修復(fù)性維修時(shí)間Tf大于預(yù)防性維修時(shí)間Tp，預(yù)防性維修間隔期大于Tf，且維修時(shí)間都是固定的；

5)產(chǎn)品按照時(shí)間間隔(T0,U0)進(jìn)行預(yù)防性維修，對于產(chǎn)品來說，其日歷時(shí)間與使用時(shí)間二者有其一達(dá)到T0或者U0則開展預(yù)防性維修；

6)故障后立即進(jìn)行更換，忽略故障反應(yīng)時(shí)間。

1.3模型參數(shù)

(T0,U0)：二維成組更換間隔期，T0表示日歷時(shí)間間隔期，U0表示使用時(shí)間間隔期；

Tf：故障維修平均時(shí)間；

Tp：預(yù)防性維修平均時(shí)間；

Cd：停機(jī)造成的單位時(shí)間損失；

Cfr：故障維修的平均費(fèi)用；

Cpr：預(yù)防性維修的平均費(fèi)用；

Cf：故障維修總費(fèi)用，Cf=Cfr+CdTf；

Cp：預(yù)防性維修總費(fèi)用，Cp=Cpr+CdTp；

R：產(chǎn)品的使用率；

G(r),g(r)：產(chǎn)品使用率的分布函數(shù)與概率密度函數(shù)；

rl、ru、r0：分別表示批次產(chǎn)品中最低的使用率、最高的使用率以及二維間隔期U0與T0的比；

λ(t|r)：產(chǎn)品在使用率為r時(shí)的故障率函數(shù)；

F(t|r)：產(chǎn)品在使用率為r時(shí)的累計(jì)故障分布函數(shù)；

TW：產(chǎn)品的使用期限；

C(T0,t)：在間隔期為T0的預(yù)防性維修策略下，[0,t]時(shí)間內(nèi)的期望維修費(fèi)用；

ECf(T0)：一個(gè)以T0為預(yù)防性維修間隔期內(nèi)故障費(fèi)用的期望值；

ETf(T0)：一個(gè)以T0為預(yù)防性維修間隔期內(nèi)故障引起停機(jī)時(shí)間的期望值；

C(TW,T0,U0)：在二維預(yù)防性維修間隔期為(T0,U0)時(shí)，有限使用期TW內(nèi)，產(chǎn)品的期望總維修費(fèi)用。

A(TW,T0,U0)：在二維預(yù)防性維修間隔期為(T0,U0)時(shí)，有限使用期TW內(nèi)，產(chǎn)品的平均可用度。

2模型建立

在本章，對有限使用期下的二維產(chǎn)品開展二維成組更換預(yù)防性維修，維修間隔期為(T0,U0)。首先需要給出二維產(chǎn)品的故障率函數(shù)表達(dá)式，然后進(jìn)行具體維修過程分析，根據(jù)分析的結(jié)果建立與之對應(yīng)的費(fèi)用表達(dá)式與可用度表達(dá)式。

2.1二維故障率模型

在二維產(chǎn)品維修領(lǐng)域中，共有3種不同的二維故障率表示方法，分別是雙因素變量法、復(fù)合尺度法與使用率法。其中使用率法的應(yīng)用最為廣泛，該方法中，讓T(t)與U(t)分別表示產(chǎn)品的日歷時(shí)間、使用時(shí)間與廣義時(shí)間t的函數(shù)，在使用率方法中，假設(shè)U(t)=R*T(t)，兩者為線性關(guān)系，其中R為非負(fù)的系數(shù)，R表示每單位時(shí)間的使用情況，即使用率，由于本文假設(shè)產(chǎn)品的使用率為隨機(jī)變量，不同的消費(fèi)者對產(chǎn)品的使用率不變，且同一消費(fèi)者的使用率保持長期恒定不變，同時(shí)R服從一定的分布，G(r)=P(R≤r)，根據(jù)實(shí)際使用消費(fèi)者的不同，R服從不同的分布。

產(chǎn)品的故障是一個(gè)點(diǎn)過程，通過故障率函數(shù)進(jìn)行建模，根據(jù)泊松過程，產(chǎn)品在使用率為r時(shí)的故障率函數(shù)可以表示為：

(1)

式中,φ(T(t),U(t))是關(guān)于T(t)與U(t)的增函數(shù)，這表示產(chǎn)品的故障率是日歷時(shí)間與使用時(shí)間的增函數(shù)。Iskandar and Murthy[11]給出了如下的故障率函數(shù)公式：

(2)

Moskowitz and Chun[12]考慮了以下的特殊形式：

(3)

Iskandar and Murthy[13]與Yun and Kang[14]同時(shí)采用了下面的形式：

(4)

本文在算例分析一章也采用公式(4)的形式，由于本文假設(shè)T(t)=t,U(t)=rt，所以最終的故障率函數(shù)表達(dá)式為：

(5)

對于傳統(tǒng)的故障率而言，故障率只是關(guān)于變量t的增函數(shù)，但是對于二維故障率來說，其是關(guān)于時(shí)間變量t與使用率變量r的增函數(shù)。通過式(5)我們無法直觀地看到故障率與兩個(gè)變量之間的最終關(guān)系，當(dāng)時(shí)間變量的單位取年，使用率變量單位取萬公里時(shí)，結(jié)合文獻(xiàn)[13]中所給的參數(shù)，假設(shè)參數(shù)取θ0=0.1,θ1=0.2,θ2=0.3,θ3=0.3時(shí)，二維故障率函數(shù)圖像如圖1所示。

圖1　二維故障率函數(shù)圖像

由圖1可以發(fā)現(xiàn)二維故障率函數(shù)是關(guān)于變量t和r的增函數(shù)，當(dāng)使用率r一定時(shí)，故障率隨著日歷時(shí)間t的增加而增加；同樣的，當(dāng)日歷時(shí)間t一定時(shí)，故障率隨著使用率r的增加而增加，證明了該故障率函數(shù)形式與實(shí)際是相符的。

2.2費(fèi)用模型

由于本文研究的是有限使用期下的二維成組更換模型，其中建模的方法與過程與無限使用期費(fèi)用模型類似，不同在于建模的機(jī)理，無限使用期是建立單位時(shí)間平均費(fèi)用模型，有限使用期是建立產(chǎn)品在使用期限內(nèi)的總費(fèi)用模型。在有限使用期內(nèi)對產(chǎn)品進(jìn)行二維成組更換，如圖2所示。

圖2　二維成組更換周期圖

本文要確定最優(yōu)的一組(T0,U0)使產(chǎn)品在有限時(shí)間TW內(nèi)總維修費(fèi)用最低，由于r在不同的情況下，對應(yīng)的預(yù)防性更換間隔期不盡相同，此時(shí)分為兩種情況(1)r≤r0，(2)r>r0，分別進(jìn)行討論。

當(dāng)r≤r0時(shí)，如圖2所示，定期預(yù)防性維修時(shí)間為T0，在產(chǎn)品的壽命周期TW內(nèi)，產(chǎn)品在使用率為r時(shí)的期望費(fèi)用

(6)

在一個(gè)完整的預(yù)防性維修周期中，產(chǎn)品的故障費(fèi)用期望值包括，故障后維修費(fèi)用與停機(jī)的損失費(fèi)用，

(7)

ENb(T0)表示在[0,T0]內(nèi)產(chǎn)品的期望故障次數(shù)，根據(jù)更新過程與更新定理[15]

(8)

產(chǎn)品在[n1(T0+Tp),TW]內(nèi)的費(fèi)用組成只有故障后維修的費(fèi)用，所以

C[T0,TW-n1(T0+Tp)]=Cf*ENb

(9)

所以最終當(dāng)r≤r0時(shí)，在使用率為r時(shí)的期望費(fèi)用

(10)

(11)

此時(shí)在使用期限TW內(nèi)產(chǎn)品的期望平均費(fèi)用

(13)

2.3可用度模型

與費(fèi)用模型類似，可用度模型在建立的過程中也需要分為r≤r0與r>r0兩種情況分別進(jìn)行建模分析。

在二維預(yù)防性維修中，可用度可以表示為：

(14)

當(dāng)r≤r0時(shí)，與費(fèi)用模型相同，定期預(yù)防性維修時(shí)間為T0，在產(chǎn)品的壽命周期TW內(nèi)，產(chǎn)品在使用率為r時(shí)期望停機(jī)時(shí)間：

(15)

停機(jī)時(shí)間的公式與平均費(fèi)用模型的公式極其相似，只需將Tf、Tp代替Cf、Cp即可，相應(yīng)的故障停機(jī)時(shí)間表達(dá)式如下，

(16)

(17)

所以最終當(dāng)r≤r0時(shí)，在使用率為r時(shí)期望停機(jī)時(shí)間

(18)

(19)

綜合以上兩種情況，在使用率r的分布函數(shù)為G(r)時(shí)，可以得到產(chǎn)品在使用期限TW內(nèi)期望平均可用度為：

(20)

2.4模型解析

由于模型的表述過于復(fù)雜，無法用函數(shù)的方法對其直接求解，本文采用數(shù)值算法，通過Matlab軟件對所建模型進(jìn)行求解，根據(jù)產(chǎn)品的故障特點(diǎn)選取T0與U0的適當(dāng)取值范圍，選取T0與U0適當(dāng)?shù)牟介L，生成有限組(T0,U0)，將生成的每組(T0,U0)代入到編好的模型程序中。這里需要強(qiáng)調(diào)的是，在計(jì)算期望故障次數(shù)ENb(T)時(shí)采用了遞歸編程的方式，而遞歸過程中的步長最小為1，步長表示的是時(shí)間，在故障率函數(shù)表達(dá)式中時(shí)間的單位為年，如果步長的單位取年，在計(jì)算過程中會(huì)產(chǎn)生很大誤差，故遞歸過程中的步長單位取天，這就需要對二維故障率函數(shù)的參數(shù)進(jìn)行重新設(shè)定。故障率函數(shù)中的時(shí)間變量單位取天，使用率變量單位取公里每天，在案例分析一節(jié)中會(huì)有所體現(xiàn)，之后通過Matlab進(jìn)行迭代計(jì)算，分別計(jì)算每組(T0,U0)所對應(yīng)費(fèi)用與可用度的值。

如果單從費(fèi)用的角度處理問題，則維修費(fèi)用越少越好；如果單從可用度的角度看問題，則可用度越高越好；而產(chǎn)品的維修費(fèi)用和可用度是一對相互制約的矛盾體，只強(qiáng)調(diào)費(fèi)用最優(yōu)或者可用度最優(yōu)不一定會(huì)達(dá)到整體最優(yōu)，只有控制費(fèi)用并同時(shí)保證可用度才是科學(xué)的方法。為此，本文采用單位時(shí)間費(fèi)效比函數(shù)V，來綜合權(quán)衡保修費(fèi)用和可用度，對模型進(jìn)行費(fèi)效比分析，從而得到最優(yōu)的二維成組更換間隔期。費(fèi)效比函數(shù)表達(dá)式如下：

(21)

將式(13)與式(20)代入到式(21)可以得到最終的費(fèi)效比函數(shù)表達(dá)式，將生成的每一組(T0,U0)代入到式(21)中，以費(fèi)效比的值為二維成組更換間隔期優(yōu)化的判定標(biāo)準(zhǔn)，費(fèi)效比V最小時(shí)所對應(yīng)的一組(T0,U0)即為最優(yōu)二維成組更換間隔期。

3案例分析

3.1問題描述

在對某部隊(duì)的某型按批投入使用的輪式裝備進(jìn)行調(diào)研時(shí)發(fā)現(xiàn)，該裝備中的輪胎只是按照傳統(tǒng)的方式進(jìn)行修復(fù)性維修，修復(fù)性維修費(fèi)用很高，且停機(jī)時(shí)間很長，生產(chǎn)停工及維修造成的損失也較大，該裝備的使用具有日歷時(shí)間與使用時(shí)間(行駛里程)兩個(gè)測量維度，而且發(fā)現(xiàn)使用率高的裝備輪胎出現(xiàn)的故障更為頻繁，嚴(yán)重地影響到部隊(duì)的正常訓(xùn)練。假設(shè)該裝備輪胎的故障函數(shù)表達(dá)式形式為λ(t|r)=θ0+θ1r+(θ2+θ3r)t2，在實(shí)際調(diào)研中了解到均勻分布與威布爾分布是使用率r最為常見的分布形式，為了便于比較，假設(shè)兩種分布具有相同的上下限，最高使用率ru為105公里每天，最低使用率rl為5公里每天，其他參數(shù)的具體設(shè)置如下表所示，同樣地，對該裝備的輪胎采取二維成組更換預(yù)防性維修方式，將所有參數(shù)代入到費(fèi)用模型、可用度模型以及費(fèi)效比模型中，得到與之相應(yīng)的費(fèi)用、可用度以及費(fèi)效比函數(shù)表達(dá)式。

表1　參數(shù)設(shè)置

3.2求解計(jì)算

運(yùn)用Matlab工具軟件，根據(jù)裝備的故障特點(diǎn)選取T0與U0的適當(dāng)取值范圍，T0在[1,500]內(nèi)取值，對應(yīng)的步長取1天，U0在[50,25 000]內(nèi)取值，步長取50 km，生成250 000組(T0,U0)，通過Matlab進(jìn)行迭代計(jì)算，分別計(jì)算每組(T0,U0)所對應(yīng)費(fèi)用值、可用度值與費(fèi)效比的值。分別繪制使用率服從不同分布下的二維成組更換費(fèi)用模型三維圖、二維成組更換可用度模型三維圖與費(fèi)效比三維圖，如圖3~圖8所示，根據(jù)計(jì)算的結(jié)果求出最小費(fèi)效比對應(yīng)的二維成組更換間隔期；同時(shí)，為了比較二維成組更換與傳統(tǒng)的一維成組更換的關(guān)系，繪出圖9，根據(jù)數(shù)值計(jì)算的結(jié)果，列出表2，為了比較以不同約束目標(biāo)下費(fèi)用、可用度與費(fèi)效比值之間的關(guān)系，列出表3。

圖3　使用率服從均勻分布費(fèi)用三維圖

圖4　使用率服從均勻分布可用度三維圖

圖5　使用率服從均勻分布費(fèi)效比三維圖

圖6　使用率服從威布爾分布費(fèi)用三維圖

圖7　使用率服從威布爾分布可用度三維圖

圖8　使用率服從威布爾分布費(fèi)效比三維圖

圖9　一維費(fèi)用模型(只以日歷時(shí)間進(jìn)行預(yù)防性維修)

注：CT表示日歷時(shí)間，單位為天；UT為使用時(shí)間，單位為公里，費(fèi)用單位為元/每天。

表3　有限使用期不同分布下不同約束目標(biāo)對應(yīng)的各指標(biāo)最優(yōu)值

3.3結(jié)果分析

通過圖3、圖4、圖6及圖7可知，不同的優(yōu)化目標(biāo)會(huì)優(yōu)化出不同的最優(yōu)二維成組更換間隔期，以費(fèi)用為優(yōu)化目標(biāo)時(shí)，使用率服從均勻分布時(shí)最優(yōu)的二維成組更換間隔期為(85天，6 200公里)，威布爾分布的最優(yōu)二維成組更換間隔期為(98天，5 100公里)；以可用度為優(yōu)化目標(biāo)時(shí)，均勻分布下最優(yōu)的二維成組更換間隔期為(75天，4 800公里)，威布爾分布為(82天，4 000公里)；

由于本節(jié)給定的優(yōu)化目標(biāo)為費(fèi)效比最低，通過圖5、圖8可知，以費(fèi)效比為優(yōu)化目標(biāo)時(shí)，同樣存在極值點(diǎn)，意味著同樣能優(yōu)化出最優(yōu)的二維成組更換間隔期，經(jīng)過計(jì)算可得，以費(fèi)效比為優(yōu)化目標(biāo)時(shí)，均勻分布下最優(yōu)的二維成組更換間隔期為(91天，6 200公里)，對應(yīng)的最低費(fèi)效比為19 492；威布爾分布下最優(yōu)的二維成組更換間隔期為(101天，5 100公里)，對應(yīng)的最低費(fèi)效比為16 809。

通過圖3~圖8亦能發(fā)現(xiàn)，在有限使用期下進(jìn)行間隔期優(yōu)化研究的圖像不是平滑的，圖像整體是呈起伏趨勢，通過圖9可以找到原因，在只以日歷時(shí)間進(jìn)行成組更換時(shí)，圖中有明顯的跳躍點(diǎn)，這些跳躍點(diǎn)是由于不同的更換間隔期引起的，所以在最終的三維圖像中會(huì)出現(xiàn)不平滑的現(xiàn)象。

通過表2可知，按照傳統(tǒng)的方法同樣可以給出有限使用期下最優(yōu)的一維成組更換間隔期，通過對比可以發(fā)現(xiàn)，二維成組更換間隔期要明顯優(yōu)于一維成組更換間隔期，而在不采用任何預(yù)防性維修措施的情況下，使用率服從均勻分布下總維修費(fèi)用高達(dá)25 936元，使用率服從威布爾分布下總維修費(fèi)用高達(dá)21 287元，由此可以證明二維成組更換預(yù)防性維修策略更為科學(xué)、更為合理。

通過圖3~圖8，以及表3對比可知，以不同的約束條件為優(yōu)化目標(biāo)會(huì)得到不同的二維成組更換間隔期，加粗部分為不同優(yōu)化目標(biāo)下對應(yīng)的最優(yōu)值，以費(fèi)效比為優(yōu)化目標(biāo)時(shí)，可以發(fā)現(xiàn)費(fèi)用與可用度的值都不是最優(yōu)的，但是費(fèi)效比的值是最小的，證明整體最優(yōu)不一定個(gè)體就是最優(yōu)的。

4結(jié)束語

針對故障受日歷時(shí)間與使用時(shí)間雙重影響的二維產(chǎn)品，提出了二維預(yù)防性維修的策略，從經(jīng)濟(jì)性與任務(wù)性的角度，分別建立了有限使用情況下二維成組更換費(fèi)用模型與可用度模型，采用了費(fèi)效分析中的費(fèi)效比準(zhǔn)則來優(yōu)化二維成組更換間隔期。通過實(shí)例對比分析，進(jìn)一步驗(yàn)證了該模型的有效性與適用性。二維預(yù)防性維修是一個(gè)較新的概念，本文只是進(jìn)行了初步的探討，研究還比較有限，下一步可以針對更為復(fù)雜的產(chǎn)品，采用更通用的二維故障函數(shù)表達(dá)式，選擇不完全維修、最小維修以及改進(jìn)維修等組合維修策略，進(jìn)行二維預(yù)防性維修多目標(biāo)優(yōu)化的相關(guān)研究。

參考文獻(xiàn)：

[1] 陳相侄. 基于不完全維修的二維產(chǎn)品保證成本研究[D]. 杭州:電子科技大學(xué), 2010.

[2] Jack N, Schouten F V D. Optimal repair-replace strategies for a warranted product[J]. Int. J. Production Economics 2000,67(1) : 95-100.

[3] Shafiee M, Chukova S. Two-dimensional warranty cost analysis for second-hand products[J]. Communications in Statistics—Theory and Method, 2011,40(4): 684-701.

[4] Jack N, Iskandar B P, Murthy D N P. A repair-replace strategy based on usage rate for items sold with a two-dimensional warranty[J]. Reliability Engineering and System Safety,2009,94:611-617.

[5] Varnosafaderani S, Chukova S，A two-dimensional warranty servicing strategy based on reduction in product failure intensity[J].Computers and Mathematics with Applications,2012,63:201-213.

[6] Chen T, Popova E. Maintenance policies with two-dimensional warranty[J].Reliability Engineering & System Safety, 2002;77(1):61-9.

[7] 甘茂治,康建設(shè),高崎,等.軍用裝備維修工程學(xué)[M].北京：國防工業(yè)出版社,2005.

[8] Huang Y S, Gau W Y,Ho J W. Cost analysis of two-dimensional warranty for products with periodic preventive maintenance[J].Reliability Engineering and System Safety，2015(134)：51-58.

[9] Shahanaghi K, Noorossana R. Failure modeling and optimizing preventive maintenance strategy during two-dimensional extended warranty contracts[J]. Engineering Failure Analysis 28 (2013) 90-102.

[10] Hu Q, Bai Y S, Zhao J M,et al.Modeling spare parts demands forecast under two-dimensional preventive maintenance policy[J].Mathematical Problems in Engineering Volume 2015: 1-9.

[11] Iskandar B P, Murthy D N P. Repair-replace strategies for two-dimensional warranty policies[J]. Mathematical and Computer Modelling, 2003, 38(11): 1233-1241.

[12] Moskowitz H, Chun Y H. A poisson regression model for two‐attribute warranty policies[J]. Naval Research Logistics (NRL), 1994, 41(3): 355-376.

[13] Iskandar B P,Murthy D N P,Jack N. A new repair-replace strategy for items sold with a two-dimensional warranty, Computers & Operations Research 2005(32): 669-682.

[14] Yun W Y, Kang K M. Imperfect repair policies under two-dimensional warranty. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, [J]. Journal of Risk and Reliability, 2007, 221(4): 239-247.

[15] 賈希勝. 以可靠性為中心的維修決策模型[M]. 北京: 國防工業(yè)出版社, 2007.

An Optimization Research on Preventive Maintenance Interval of Two-Dimensional Product

Han Yucheng,Song Wenyuan, Bai Yongsheng, Li Xinyue

(Department of Equipment Command and Management, Ordnance Engineering College,Shijiazhuang050003,China)

Abstract:For the failures of two-dimensional product affected by the calendar time and usage time, traditional one-dimensional preventive maintenance can’t meet the actual maintenance demand of two-dimensional product, therefore, according to the features of two-dimensional product, preventive maintenance strategy for two-dimensional product is proposed, this paper makes decision for two-dimensional product through calendar time and usage time. First we establish failure rate function expression of two-dimensional product and analyze the process of two-dimensional preventive maintenance in detail, after propose a cost model and availability model from the view of economy and mission in finite span. According to the cost and availability model, through examples, we derive the optimal two-dimensional age-replacement interval by cost-effectiveness analysis, and verify the model’s the applicability and the validity through contrast and analysis, verify that two-dimensional block-replacement strategy is better than traditional block-replacement strategy，the last we give a brief discussion of future research area about two-dimensional maintenance.

Keywords:two-dimensional product; two-dimensional block-replacement; math model; maintenance interval

文章編號：1671-4598(2016)02-0216-06

DOI：10.16526/j.cnki.11-4762/tp.2016.02.060

中圖分類號：TP206

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

作者簡介：韓玉成(1990-)，男，遼寧大連人，工學(xué)碩士研究生，主要從事維修保障理論與技術(shù)方向的研究。

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金(71401173)。

收稿日期：2015-08-31；修回日期：2015-10-13。