付夕聯(lián)，張玉峰，馮濱魯，譚成波，張耀明

（1.山東理工大學(xué) 理學(xué)院，山東 淄博 255049；2.中國礦業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，江蘇 徐州 221116；3.濰坊學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，山東 濰坊 261061）

教育形態(tài)的數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)的構(gòu)成、特點(diǎn)及存在狀態(tài)

付夕聯(lián)1，張玉峰2，馮濱魯3，譚成波1，張耀明1

（1.山東理工大學(xué) 理學(xué)院，山東 淄博 255049；2.中國礦業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，江蘇 徐州 221116；3.濰坊學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，山東 濰坊 261061）

數(shù)學(xué)知識(shí)是數(shù)學(xué)教師知識(shí)內(nèi)容的基本要素，如何把數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)的數(shù)學(xué)知識(shí)是教師組織教學(xué)的一個(gè)主要環(huán)節(jié)，也是課堂教學(xué)過程的關(guān)鍵；從數(shù)學(xué)的本體論和認(rèn)識(shí)論、數(shù)學(xué)史以及數(shù)學(xué)方法論三個(gè)角度分析了課堂數(shù)學(xué)知識(shí)的必要構(gòu)成要素；科學(xué)合理的課堂數(shù)學(xué)知識(shí)的選擇與設(shè)置是數(shù)學(xué)知識(shí)教育形態(tài)化的基礎(chǔ)與前提；作為教育形態(tài)的數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)應(yīng)具有整體性、過程性、層次性；在課堂教學(xué)過程中，教師應(yīng)對(duì)教育形態(tài)的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行精心設(shè)計(jì)，使其體現(xiàn)出描述狀態(tài)、開放狀態(tài)和對(duì)話狀態(tài).

數(shù)學(xué)知識(shí)；教育形態(tài)；數(shù)學(xué)史；數(shù)學(xué)思想方法；數(shù)學(xué)哲學(xué)；數(shù)學(xué)文化

一、問題的提出

現(xiàn)行的數(shù)學(xué)教材的知識(shí)體系往往呈現(xiàn)出演繹型的知識(shí)結(jié)構(gòu)，體現(xiàn)出從一般到特殊、從一個(gè)整體的質(zhì)到另一個(gè)整體的質(zhì)的特點(diǎn)。這也就是說，一旦有關(guān)定義或原理得到建立，其它的內(nèi)容就完全建立在嚴(yán)格的邏輯推理之上，形成一種由邏輯鏈條連接起來的由定義、原理到性質(zhì)、推論的機(jī)械程序。這就如同美國數(shù)學(xué)家戴維斯與赫什所指出的：“現(xiàn)在相當(dāng)多的數(shù)學(xué)教科書具有一種神經(jīng)質(zhì)的、令人窒息的特征，書中系統(tǒng)地和頑強(qiáng)地追尋著一個(gè)固定的目的。這個(gè)目的一旦達(dá)到，人們不是感到興奮而是感到虎頭蛇尾。這種書沒有什么地方講這個(gè)目的為什么重要或如何重要，而是可能談到這個(gè)目的現(xiàn)在可成為達(dá)到別的更深入目的的出發(fā)點(diǎn)，……。如果你想責(zé)備，就責(zé)備歐幾里得吧，因?yàn)檫@種傾向在他那里就已經(jīng)存在了?！盵1]在傳統(tǒng)教學(xué)過程中，正是受到這種教材的影響，教師自覺與不自覺地會(huì)形成一種灌輸式的教育態(tài)度和傾向，即把學(xué)生看成是一種可以開發(fā)和榨取的土地，大量地灌輸知識(shí)，其結(jié)果，學(xué)生只能呆讀死記而不善于思考，其自身的心理生態(tài)結(jié)構(gòu)遭到嚴(yán)重破壞，最終失去了創(chuàng)造力。學(xué)生只了解到數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，卻不能充分發(fā)揮其想象力；只學(xué)會(huì)了演繹推理，卻不能進(jìn)行歸納試驗(yàn)；只看到了數(shù)學(xué)理論的結(jié)果，卻不能洞察理論產(chǎn)生的過程。最終使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)形成了這樣一種片面的理解，即在他（她）的全部數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，嚴(yán)格性將成為數(shù)學(xué)的一切。

在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)以怎樣一種形態(tài)呈現(xiàn)給學(xué)生就成為數(shù)學(xué)教育改革的一項(xiàng)重要內(nèi)容。關(guān)于這一點(diǎn)，張奠宙先生在文[2]中指出數(shù)學(xué)具有3種形態(tài),即原始形態(tài)、學(xué)術(shù)形態(tài)和教育形態(tài)，教育數(shù)學(xué)應(yīng)該是具有教育形態(tài)的數(shù)學(xué)，即通過教師的努力，啟發(fā)學(xué)生高效率地進(jìn)行火熱的思考，把人類數(shù)千年的數(shù)學(xué)知識(shí)體系，使學(xué)生容易地接受。在文[3]中，張先生對(duì)于教育形態(tài)的數(shù)學(xué)又做了進(jìn)一步的闡述，明確指出在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中應(yīng)反對(duì)“去數(shù)學(xué)化”的傾向，以本原問題驅(qū)動(dòng)展現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)。體現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)應(yīng)做到返璞歸真，平易近人，言之有理，感悟真情。利用數(shù)學(xué)史加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解。文[2]和文[3]對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)改革的理論研究和實(shí)踐無疑有著重要的指導(dǎo)意義。此后又出現(xiàn)了一系列的相關(guān)文章[4]-[12],盡管這一系列的文章提出的問題、闡述的內(nèi)容以及研究的方法有所不同，但卻有著共同的特點(diǎn)。主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：（1）在教學(xué)過程中起主導(dǎo)作用的教師是從學(xué)術(shù)形態(tài)的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)的數(shù)學(xué)的行為主體；（2）脫離了數(shù)學(xué)教學(xué)過程這一動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，靜態(tài)分析了數(shù)學(xué)教師的知識(shí)結(jié)構(gòu)；（3）盡管對(duì)數(shù)學(xué)教師的知識(shí)構(gòu)成成分的提法或名稱存在差異，但數(shù)學(xué)教師的知識(shí)無外乎是由數(shù)學(xué)知識(shí)、一般的教育教法知識(shí)、心理學(xué)知識(shí)、實(shí)踐性知識(shí)及其他知識(shí)構(gòu)成的；（4）數(shù)學(xué)教師知識(shí)的構(gòu)成成分對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)產(chǎn)生不同程度的影響。事實(shí)上由于教師知識(shí)的構(gòu)成成分的作用不同，對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)過程產(chǎn)生不同程度的影響應(yīng)該是顯而易見的問題；（5）對(duì)數(shù)學(xué)教師知識(shí)結(jié)構(gòu)的優(yōu)化提出相應(yīng)的建議；（6）部分文章指出了教學(xué)內(nèi)容知識(shí)對(duì)數(shù)學(xué)教師專業(yè)發(fā)展的意義。

上述研究主要采用了矛盾分析法，立足于新陳代謝的歷史聯(lián)系；強(qiáng)調(diào)統(tǒng)一中的對(duì)立和差異，著重于數(shù)學(xué)教師教學(xué)內(nèi)容知識(shí)的逐層分解，由此確定出教學(xué)內(nèi)容知識(shí)的構(gòu)成，對(duì)數(shù)學(xué)教師專業(yè)的發(fā)展無疑指明了方向。但文章中并沒有對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容知識(shí)的基本構(gòu)成成分—數(shù)學(xué)知識(shí)做出具體的剖析，也沒涉及到在課堂教學(xué)中數(shù)學(xué)知識(shí)具有怎樣的特點(diǎn)、呈現(xiàn)怎樣的狀態(tài)這一關(guān)鍵性問題。下文在對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的構(gòu)成成分進(jìn)行具體分析的基礎(chǔ)上，給出教育形態(tài)的數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)的特點(diǎn)和存在狀態(tài)。

二、課堂數(shù)學(xué)知識(shí)構(gòu)成成分的不同視角

1.從數(shù)學(xué)的本體論和認(rèn)識(shí)論的角度看

數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)質(zhì)上就是在一定觀念指導(dǎo)之下的數(shù)學(xué)活動(dòng)，這里的觀念包括數(shù)學(xué)教師的數(shù)學(xué)觀、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)觀、數(shù)學(xué)教學(xué)觀,正確的教學(xué)觀與學(xué)習(xí)觀是建立在正確的數(shù)學(xué)觀基礎(chǔ)之上的。在數(shù)學(xué)教育中,許多問題都涉及到了數(shù)學(xué)的本體論與認(rèn)識(shí)論,諸如數(shù)學(xué)知識(shí)是動(dòng)態(tài)的，還是靜態(tài)的；是封閉的，還是開放的；其真理性是絕對(duì)的，還是相對(duì)的；學(xué)生在做數(shù)學(xué)時(shí)，在做什么？是唯靈論的，經(jīng)驗(yàn)主義的，還是心理學(xué)的；是形式主義的、直覺主義的，還是邏輯主義的等等,這就必然引出學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)是一種主動(dòng)的建構(gòu)過程，還是被動(dòng)的接受過程等一系列問題。 “沒有關(guān)于音律、諧和和結(jié)構(gòu)的經(jīng)驗(yàn)，或者沒有形式、顏色和構(gòu)圖的經(jīng)驗(yàn)，誰也不能對(duì)音樂或繪畫進(jìn)行欣賞。而為了欣賞數(shù)學(xué)，真正地接觸其本體就更加重要?！弊杂X地繼承、滲透正確的數(shù)學(xué)觀，不僅可以使學(xué)習(xí)者從不自覺的、無意識(shí)的狀態(tài)過渡到自覺的狀態(tài)，而且還可以使學(xué)習(xí)者突破舊的思想觀念的束縛，引起認(rèn)識(shí)上的飛躍，甚至導(dǎo)致重大的發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)新。因此“數(shù)學(xué)觀不只是‘學(xué)習(xí)’與‘?dāng)?shù)學(xué)表現(xiàn)’的中介因素，它本身亦可視作一種學(xué)習(xí)成果?！盵13]

2。從歷史的角度看

研究數(shù)學(xué)，既不能忽視邏輯主義的“理性地重建”的主張，也不能忽視歷史主義的“歷史地再現(xiàn)”的主張。數(shù)學(xué)知識(shí)是人類智慧的結(jié)晶，是長期積累而成的。英國數(shù)學(xué)家格萊舍（J。W.L.Glaisher, 1848—1928）有一段經(jīng)典名言：“任何一種企圖將一個(gè)學(xué)科和它的歷史割裂開來，我確信，沒有哪一個(gè)學(xué)科比數(shù)學(xué)的損失更大?！盵14]影響數(shù)學(xué)發(fā)展的要素是多方面的，基于數(shù)學(xué)史對(duì)數(shù)學(xué)教育的作用，研究者認(rèn)為，從數(shù)學(xué)史的角度看，課堂數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)涉及到以下內(nèi)容：

（1）歷史背景

包括理論產(chǎn)生的社會(huì)背景、科學(xué)技術(shù)發(fā)展?fàn)顩r以及當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)觀、哲學(xué)觀念等，這對(duì)學(xué)生正確認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)與社會(huì)生活各方面的關(guān)系、激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的動(dòng)力、培養(yǎng)學(xué)生正確的數(shù)學(xué)觀有著重要意義。

（2）歷史意義及科學(xué)價(jià)值

縱觀歷史，每個(gè)數(shù)學(xué)真理的獲取都閃耀著人類思想的光輝，具有重要的歷史意義和科學(xué)價(jià)值。例如，解析幾何的誕生、微積分的創(chuàng)立以及非歐幾何的出現(xiàn)等都引發(fā)了人們?cè)谟^念上的突破，使數(shù)學(xué)研究方法實(shí)現(xiàn)了革命性的變革。闡述數(shù)學(xué)理論或某一理論中概念的歷史意義或科學(xué)價(jià)值，有助于學(xué)生理解該理論或概念在數(shù)學(xué)學(xué)科中的地位及其在其他領(lǐng)域中的應(yīng)用。

（3）演變及認(rèn)知?dú)v程

在概念的發(fā)展、完善的歷史演變過程中，數(shù)學(xué)概念的含義往往經(jīng)過多次變化，這種變化在數(shù)學(xué)教育中也有所反映?！斑@在一定意義上正是歷史上思想困惑的邏輯‘重演’。因此考察數(shù)學(xué)概念的歷史演變過程，總結(jié)前人在理解這些數(shù)學(xué)概念演變時(shí)的經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，無疑對(duì)今天的數(shù)學(xué)教育有著重要的啟發(fā)意義?！盵15]概念的歷史演變過程揭示了人類在數(shù)學(xué)思想方面的智力探險(xiǎn)，由此厘清出數(shù)學(xué)家的思維模式和認(rèn)知?dú)v程，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)知識(shí)是邏輯與非邏輯、理性與非理性交互作用的結(jié)果，同時(shí)某些概念、某些理論演變過程的復(fù)雜性、曲折性也體現(xiàn)出了人類心智的局限性。因此，揭示知識(shí)的歷史演變過程，還能體現(xiàn)人性化特點(diǎn)。

（4）數(shù)學(xué)家的生平及成長經(jīng)歷

現(xiàn)行數(shù)學(xué)教材這種演繹型的數(shù)學(xué)形態(tài)的知識(shí)結(jié)構(gòu)中，數(shù)學(xué)家的風(fēng)格被完美化了，所以就隱去了他們成功路上的奮斗與努力、曲折與艱辛這些人性化的方面。榜樣的力量是無窮的，在漫長的歷史發(fā)展中，出現(xiàn)了許多有關(guān)數(shù)學(xué)家可歌可泣、可嘆可贊的事跡。數(shù)學(xué)家在艱苦環(huán)境中那種頑強(qiáng)拼搏、刻苦鉆研的精神以及不畏權(quán)威、敢于向傳統(tǒng)思想觀念進(jìn)行挑戰(zhàn)的勇氣，激勵(lì)著一代又一代的年輕人。在教學(xué)過程中，適時(shí)地介紹數(shù)學(xué)家所走過的路和他們對(duì)數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)，不僅豐富了課堂教學(xué)內(nèi)容，而且活躍了課堂教學(xué)氣氛，對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性有著巨大的促進(jìn)作用。

（5）數(shù)學(xué)家的科學(xué)素養(yǎng)及品質(zhì)

數(shù)學(xué)家的科學(xué)素養(yǎng)及品質(zhì)主要包括：理性化的哲學(xué)素養(yǎng)，深厚的文學(xué)底蘊(yùn)；謙遜和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度；追求嚴(yán)格化、統(tǒng)一化和一般化的數(shù)學(xué)信念；懷疑、批判的創(chuàng)新精神、合理繼承前人成果的包容精神以及與他人合作的團(tuán)隊(duì)精神；對(duì)數(shù)學(xué)簡潔美、和諧美、對(duì)稱美、統(tǒng)一美以及奇異美的審美追求；發(fā)現(xiàn)并扶持青年數(shù)學(xué)家成長的高貴品質(zhì)。

3.從數(shù)學(xué)方法論的角度看

數(shù)學(xué)方法論在我國的深入研究對(duì)數(shù)學(xué)教育及其改革產(chǎn)生了極其深遠(yuǎn)的意義。特別對(duì)教學(xué)內(nèi)容的選擇與組織產(chǎn)生了重大影響。在教學(xué)過程中,數(shù)學(xué)思想方法與實(shí)際的數(shù)學(xué)活動(dòng)是密切相關(guān)的,這里數(shù)學(xué)活動(dòng)主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面,即問題解決和基本理論的生成與應(yīng)用。數(shù)學(xué)思想方法寓于問題解決和基本理論的形成過程之中,脫離問題和基本理論學(xué)習(xí)思想方法是空洞的、抽象的；反之，沒有思想方法的指導(dǎo)，問題解決和基本理論的形成與應(yīng)用的過程就失去了方向，是僵死的、孤立的、封閉的過程，缺少應(yīng)有的活力。因此,問題、基本理論和數(shù)學(xué)思想方法便構(gòu)成了課堂教學(xué)內(nèi)容的基本要素。

（1）問題

在現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育中，問題解決能力的培養(yǎng)已被認(rèn)為是數(shù)學(xué)教育的一個(gè)基本目標(biāo)。問題的提出可以為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供重要的動(dòng)力，而通過問題的解決則使他們感到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)又是一種有意義的活動(dòng)。在課堂教學(xué)過程中，如何很好地協(xié)調(diào)教學(xué)對(duì)象、教學(xué)過程與教學(xué)目標(biāo)之間的關(guān)系，問題則成為主要的媒介?！敖虒W(xué)目標(biāo)需要問題來展現(xiàn)、教學(xué)過程需要問題來活化、教學(xué)對(duì)象需要問題來觸動(dòng)。離開問題，數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)僅定位于單純的靜態(tài)系統(tǒng)、易使目標(biāo)設(shè)計(jì)缺乏操作性、過程設(shè)計(jì)缺乏互動(dòng)性、評(píng)價(jià)與監(jiān)控設(shè)計(jì)缺乏指導(dǎo)性?！盵16]正是由于問題及其解決在數(shù)學(xué)教育中的重要地位，作為教育形態(tài)的數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)，問題就成為不可缺少的一部分關(guān)鍵內(nèi)容。根據(jù)傳統(tǒng)教學(xué)存在的不足，課堂教學(xué)過程中的數(shù)學(xué)問題應(yīng)特別注重以下幾類：

銜接性問題 “數(shù)學(xué)科學(xué)是一個(gè)不可分割的有機(jī)整體，它的生命力正在于各個(gè)部分之間的聯(lián)系。盡管數(shù)學(xué)知識(shí)千差萬別，我們?nèi)匀磺宄匾庾R(shí)到：在作為整體的數(shù)學(xué)中，使用著相同的邏輯工具，存在著概念的親緣關(guān)系?！盵17]數(shù)學(xué)概念的成長是連續(xù)的，新的數(shù)學(xué)概念扎根于舊的概念之中。但是，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程卻不是一個(gè)連續(xù)而是間斷的過程。有意義學(xué)習(xí)的實(shí)質(zhì)就是新舊知識(shí)建立聯(lián)系，這種聯(lián)系的過程也就是新舊知識(shí)相互作用的過程。這正是由于學(xué)生的學(xué)習(xí)具有適應(yīng)性的特征所決定的。作為數(shù)學(xué)知識(shí)的聯(lián)系不僅要注重諸如概念的包含關(guān)系、生成關(guān)系、對(duì)應(yīng)關(guān)系、對(duì)偶關(guān)系等等，更要強(qiáng)調(diào)知識(shí)之間在思想方法上的聯(lián)系，如一般化、特殊化的關(guān)系，研究對(duì)象的聯(lián)系，研究方法的聯(lián)系。正是借助于思想方法上的聯(lián)系，去設(shè)置相應(yīng)的銜接性問題，這類問題對(duì)于前后知識(shí)的過渡起到承上啟下的作用。

鞏固性問題 即有助于知識(shí)系統(tǒng)內(nèi)的概念、原理、公式的理解、鞏固、深化的問題。這類問題的選擇應(yīng)具有這樣的特點(diǎn)：第一，具有一定的激勵(lì)性，即問題應(yīng)適應(yīng)學(xué)生當(dāng)前的知識(shí)水平且具有一定的難度，又能激發(fā)學(xué)生探求證解問題的興趣；第二，具有一定的普遍性，即問題反映出某類問題的共性，解決這樣的問題不僅有助于鞏固、深化學(xué)生學(xué)過的知識(shí)，而且還可以獲得有關(guān)思想方法的啟示；第三，具有一定程度的綜合性，即寓不同的相關(guān)概念、定理或公式于同一問題之中，既可以培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力，又可以達(dá)到知識(shí)系統(tǒng)化的目的；第四，具有一定的開放性，首先，面對(duì)這樣的問題，學(xué)生可以從不同角度運(yùn)用不同的知識(shí)、不同的方法去完成問題的解答，由此拓展學(xué)生的知識(shí)面和思維空間。其次，借助于特殊化或一般化方法可以對(duì)已有問題進(jìn)行不同角度的推廣，從而得到更有價(jià)值的問題，有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性能力。

應(yīng)用性問題 “數(shù)學(xué)教學(xué)之根本目的應(yīng)當(dāng)是培養(yǎng)和提高學(xué)生處理實(shí)際問題的能力，為他們提供應(yīng)用于其他學(xué)科的推理方法，而并不是單純地為了給學(xué)生提供某種求解具體問題的工具。”[18]數(shù)學(xué)與我們的現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系愈來愈密切，體現(xiàn)出其廣泛的應(yīng)用價(jià)值,因此培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)就具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。而實(shí)際問題的解決則是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的有效途徑。作為實(shí)際問題的設(shè)置應(yīng)滿足：（1）問題與學(xué)生的實(shí)際生活密切相關(guān)，這類問題很容易引起學(xué)生的興趣，激發(fā)學(xué)生探求問題解答方法的強(qiáng)烈欲望；（2）問題中應(yīng)包含著豐富的數(shù)學(xué)信息，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)無處不在，真正地認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值；（3）問題的解決過程中應(yīng)體現(xiàn)出重要的數(shù)學(xué)模型思想，由此可以提高學(xué)生解決問題的綜合能力。

（2）基本理論

基本理論包括基本概念、基本原理和推論?；靖拍钍菙?shù)學(xué)理論體系邏輯建構(gòu)的起點(diǎn)，是數(shù)學(xué)理論體系中的細(xì)胞—包含著整體的一切矛盾的“胚芽”，確定了基本概念，整個(gè)理論知識(shí)的內(nèi)容由“潛”到“顯”邏輯地展現(xiàn)出來。基本原理主要包括運(yùn)算規(guī)律、基本定理和重要公式，對(duì)整個(gè)理論體系具有統(tǒng)治和支配作用?；靖拍詈突驹淼某橄筮^程遵循著從特殊到一般的認(rèn)識(shí)過程，是相應(yīng)理論體系中的初級(jí)抽象，舍棄了許多特殊的規(guī)定性，因此，它們并非是相應(yīng)數(shù)學(xué)理論體系中的最終抽象，還存在多種反映不同屬性的推廣，即推論。推論的選擇應(yīng)滿足以下幾點(diǎn)：首先，應(yīng)是基本概念、基本原理的必要補(bǔ)充與延伸，從而對(duì)理解、鞏固和深化基本概念和基本原理具有積極的意義；其次，應(yīng)是前后知識(shí)聯(lián)系的橋梁，有助于完善或協(xié)調(diào)理論體系中的知識(shí)；第三，具有較強(qiáng)的應(yīng)用性；第四，在推論的證明過程中，使學(xué)習(xí)者獲得重要的方法論啟迪。

（3）數(shù)學(xué)思想方法

“數(shù)學(xué)作為人類思想的表達(dá)，反映了積極的愿望，沉思的推理，以及對(duì)于美的完善的向往。它的基本要素是邏輯和直覺，分析和構(gòu)造，一般性與個(gè)性。盡管不同的傳統(tǒng)強(qiáng)調(diào)不同的方面，然而正是這些矛盾之間的相互作用以及使之綜合的斗爭注入了數(shù)學(xué)科學(xué)教育的生命和極大的效果。”[19]如果說數(shù)學(xué)知識(shí)是思維的結(jié)果,那么數(shù)學(xué)思想方法則是在相關(guān)背景問題的基礎(chǔ)上形成這一結(jié)果的觀念和具體的程序化的操作方法。數(shù)學(xué)方法主要包括學(xué)科內(nèi)的具體方法、一般的數(shù)學(xué)方法和哲學(xué)層面方法。思想則是在知識(shí)的形成過程中，對(duì)知識(shí)、思維以及數(shù)學(xué)方法的掌握和認(rèn)知過程中的高度抽象和概括，是對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科或整個(gè)理論體系的宏觀把握和內(nèi)在精神實(shí)質(zhì)的領(lǐng)悟。“數(shù)學(xué)思想方法產(chǎn)生于數(shù)學(xué)活動(dòng)特別是數(shù)學(xué)問題解決的實(shí)踐，成熟于對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)實(shí)踐過程的反思和總結(jié)，鞏固于蘊(yùn)含同一數(shù)學(xué)思想方法的問題解決訓(xùn)練中，發(fā)展于相互聯(lián)系的過程?！盵20]數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)是數(shù)學(xué)教育的最基本的需求。

上述課堂數(shù)學(xué)知識(shí)的構(gòu)成中既包含了體現(xiàn)數(shù)學(xué)真、善、美這些客觀內(nèi)容的數(shù)學(xué)概念、原理、推論和思想方法，又涉及到了數(shù)學(xué)觀、數(shù)學(xué)家的科學(xué)素養(yǎng)、人格品質(zhì)、認(rèn)知?dú)v程、審美追求、思維模式、價(jià)值判斷等動(dòng)態(tài)的、更深層創(chuàng)造性因素。數(shù)學(xué)課堂教學(xué)內(nèi)容的選擇與人類整個(gè)知識(shí)體系的演變是密不可分的，課堂數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)哲學(xué)應(yīng)融為一體的。數(shù)學(xué)史不僅能告訴人們數(shù)學(xué)思想的邏輯和歷史行程，而且還有助于理解數(shù)學(xué)學(xué)科的社會(huì)角色和人文主義?！叭鄙僬軐W(xué)的指導(dǎo)，數(shù)學(xué)史變成了盲目的歷史；不理睬數(shù)學(xué)史上最引人入勝的現(xiàn)象，數(shù)理哲學(xué)變成了空洞的哲學(xué)”[21]。以數(shù)學(xué)史提供豐富生動(dòng)的素材為基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)哲學(xué)架起連接數(shù)學(xué)與人文的橋梁就成為可能。從數(shù)學(xué)文化學(xué)的角度分析，數(shù)學(xué)觀、數(shù)學(xué)思想方法以及數(shù)學(xué)家的科學(xué)素養(yǎng)、人格品質(zhì)等各要素交互作用，為理論知識(shí)的形成創(chuàng)造了一個(gè)良好的文化環(huán)境,在這樣的文化環(huán)境中進(jìn)行教學(xué)具有重要意義。因此，科學(xué)合理的課堂數(shù)學(xué)知識(shí)的選擇與設(shè)置是數(shù)學(xué)知識(shí)教育形態(tài)化的基礎(chǔ)與前提。事實(shí)上，數(shù)學(xué)教師是否具有數(shù)學(xué)哲學(xué)、數(shù)學(xué)方法論、數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)文化等知識(shí)儲(chǔ)備已成為高效數(shù)學(xué)教學(xué)行為的內(nèi)因之一。[22]

作為課堂數(shù)學(xué)知識(shí)就其構(gòu)成要素而言具有客觀性，這是由數(shù)學(xué)學(xué)科的性質(zhì)決定的；而對(duì)其構(gòu)成要素的選擇而言則又具有主觀性，這是由學(xué)生的知識(shí)背景和接受能力所決定的。按照系統(tǒng)的原則和方法，對(duì)于基本理論的學(xué)習(xí)，既要厘清這些內(nèi)容的建立和發(fā)展的來龍去脈，又要把握其內(nèi)在的結(jié)構(gòu)和外部的聯(lián)系，從它們與上述其他各要素的所有真實(shí)關(guān)系的總和中去認(rèn)識(shí)和理解。因此，如何把上述要素構(gòu)成的課堂數(shù)學(xué)知識(shí)優(yōu)化組織成具有一定結(jié)構(gòu)和功能的教育形態(tài)化的知識(shí)系統(tǒng)就成為關(guān)鍵。教育形態(tài)的數(shù)學(xué)知識(shí)無論從特點(diǎn)、狀態(tài)都不同于課本中的數(shù)學(xué)知識(shí)。

三、教育形態(tài)的數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)的特點(diǎn)

教學(xué)過程是一個(gè)由多個(gè)相互聯(lián)系、相互依存的子系統(tǒng)構(gòu)成的復(fù)雜系統(tǒng)，按照生態(tài)學(xué)的觀點(diǎn)，生命的繁衍生長是靠不同物種之間的共生和互生來支撐的。生態(tài)學(xué)強(qiáng)調(diào)多樣性的統(tǒng)一，生態(tài)系統(tǒng)中生物與環(huán)境之間、生物各個(gè)種群之間，通過能量流動(dòng)、物質(zhì)循環(huán)和信息傳遞，相互間達(dá)到高度適應(yīng)、協(xié)調(diào)和統(tǒng)一的狀態(tài)。因此，課堂數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)該與教學(xué)過程中其他諸如實(shí)踐、認(rèn)知、意識(shí)、情感、心理等各系統(tǒng)密切地結(jié)合起來。使教育形態(tài)的數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)具有如下的特點(diǎn)。

1.整體性

我們之所以強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)的整體性，因?yàn)閿?shù)學(xué)知識(shí)反映的客觀對(duì)象具有系統(tǒng)的整體性,這種整體性又體現(xiàn)出兩個(gè)方面，即知識(shí)的綜合性和統(tǒng)一性.

（1）綜合性

這里所說的綜合性不是上述各要素的簡單疊加，而是根據(jù)各要素應(yīng)有的內(nèi)在聯(lián)系使它們有機(jī)地結(jié)合在一起，融合成一個(gè)具有一定結(jié)構(gòu)的、發(fā)揮（整體）最佳教育功能的知識(shí)系統(tǒng)。因此，整合數(shù)學(xué)知識(shí)的過程實(shí)際上就是綜合的過程，具體的應(yīng)以問題提出為起點(diǎn)，理論知識(shí)為載體，以理論知識(shí)的引入、抽象、概括、推導(dǎo)過程為嵌入點(diǎn)，使上述各要素與理論知識(shí)有機(jī)地結(jié)合在一起，形成以抽象過程、推導(dǎo)過程為主要聯(lián)系橋梁的網(wǎng)狀知識(shí)體系。數(shù)學(xué)知識(shí)的這種綜合性決定了學(xué)生可以運(yùn)用綜合的認(rèn)識(shí)方法從整體上把握認(rèn)識(shí)對(duì)象，即不是著眼于知識(shí)的一個(gè)方面或某一部分，而是注重知識(shí)與知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)的整體結(jié)構(gòu)。從生態(tài)角度看，數(shù)學(xué)知識(shí)的這種重組、綜合彈性化的設(shè)計(jì)是恢復(fù)課程內(nèi)容之間的生態(tài)關(guān)系、在教材內(nèi)構(gòu)建完整知識(shí)生態(tài)系統(tǒng)的重要途徑，也是數(shù)學(xué)課堂回歸自然、數(shù)學(xué)教學(xué)過程多向互動(dòng)、動(dòng)態(tài)生成的基礎(chǔ)。

（2）統(tǒng)一性

所謂數(shù)學(xué)知識(shí)的統(tǒng)一性，一方面是指各種不同概念、原理或運(yùn)算方法在更高層次上達(dá)到統(tǒng)一，即統(tǒng)一于某一結(jié)構(gòu)或某一觀點(diǎn)，在高觀點(diǎn)下去理解具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容。如在線性代數(shù)中就存在3種不同的推理模式：某種程度上直接給出對(duì)象并在心中努力描繪的綜合—幾何模式；由公式可以直接進(jìn)行計(jì)算的分析—算術(shù)模式；由一組性質(zhì)定義進(jìn)行思考的分析—結(jié)構(gòu)模式。另一方面，上述各要素結(jié)合的最終目的就是讓學(xué)生進(jìn)行“火熱的思考”，讓學(xué)生從不同的角度更全面地理解鞏固、深化所學(xué)過的知識(shí)。因此，作為數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)哲學(xué)與數(shù)學(xué)文化層面等內(nèi)容的選擇，其深度與廣度應(yīng)與課程目標(biāo)、教學(xué)目的、學(xué)科發(fā)展以及學(xué)生既有的文化背景相協(xié)調(diào)、相一致。關(guān)于這一點(diǎn)文[23]給出了指導(dǎo)性建議：第一，數(shù)學(xué)文化必須與數(shù)學(xué)課程的總體目標(biāo)相協(xié)調(diào)、相一致。理想的課程設(shè)計(jì)應(yīng)該是融知識(shí)與文化于一體的。第二，數(shù)學(xué)文化應(yīng)該體現(xiàn)出對(duì)于數(shù)學(xué)前進(jìn)方向和數(shù)學(xué)思想方法的一種傾向、一種引導(dǎo)和一種歸結(jié)，而不僅僅是事實(shí)的陳述與歷史的發(fā)現(xiàn)。第三，數(shù)學(xué)文化應(yīng)該與學(xué)習(xí)者的既有文化系統(tǒng)做一個(gè)很好的切合。

2.層次性

教育形態(tài)的數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)之所以具有層次性就是因?yàn)槠浞从车目陀^世界本身具有層次性，從橫向看，無限空間內(nèi)無數(shù)宇宙同時(shí)并存，展現(xiàn)為具有無限多的質(zhì)；從縱向看，具有無限多樣的質(zhì)的物體則按照一定的質(zhì)量限度和空間限度分成無限的物質(zhì)結(jié)構(gòu)層次。這就必然導(dǎo)致現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系具有層次性。另一方面，人類對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的認(rèn)識(shí)是由一系列的抽象過程構(gòu)成的。教育形態(tài)的數(shù)學(xué)知識(shí)的層次性應(yīng)突出強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識(shí)的抽象層次，可以分為兩條線索，一條是依據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)歷史演變過程而確定的抽象層次，另一條則是由數(shù)學(xué)教材邏輯順序體現(xiàn)出的抽象層次，這與數(shù)學(xué)教材的演繹型知識(shí)結(jié)是構(gòu)協(xié)調(diào)一致的。研究者認(rèn)為采取歷史與邏輯相結(jié)合的方法是最有效的。在此基礎(chǔ)上可把數(shù)學(xué)知識(shí)化分為四個(gè)層次：第一層次即為數(shù)學(xué)教材中表層知識(shí)即前面提到的問題及理論知識(shí)；第二層次則是隱含在問題解決或理論知識(shí)及其抽象過程中思想方法，數(shù)學(xué)中的抽象可分為廣義抽象、強(qiáng)抽象和弱抽象，主要體現(xiàn)出特殊化思想和一般化思想，這些思想往往成為知識(shí)相互轉(zhuǎn)化、相互聯(lián)系的橋梁，是優(yōu)化知識(shí)結(jié)構(gòu)的有效工具。第三層次則是指數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)、數(shù)學(xué)創(chuàng)造過程中思維層面的知識(shí)。傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)過程實(shí)質(zhì)上就是一種唯理性教育過程，整個(gè)教學(xué)過程的組織與展開，有一整套相互配合的概括性原則和由這些規(guī)則在特定情況下的應(yīng)用規(guī)則所規(guī)定的。這種唯理性教育的理智控制，遏制了學(xué)生的自發(fā)性、創(chuàng)造性和個(gè)人的主動(dòng)性，學(xué)生很少有發(fā)揚(yáng)主動(dòng)精神和進(jìn)行獨(dú)立判斷的余地，毫無自由可言。數(shù)學(xué)學(xué)科的教育應(yīng)該是一種完整教育，既要傳授理性知識(shí)、培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和邏輯實(shí)踐能力，又要重視培養(yǎng)學(xué)生的形成目的和動(dòng)機(jī)能力、靈感和直覺能力、猜測能力、情感體驗(yàn)?zāi)芰Φ确抢硇跃衲芰?，以及意向、情感、意志、信念、信仰等非理性精神力量。第四層次是?shù)學(xué)精神與文化的教學(xué)層次.任何一門學(xué)科教育的最終目的都是培養(yǎng)學(xué)生完滿的人格教育，“人格是個(gè)體的各種內(nèi)在力量較為穩(wěn)固持久的組織系統(tǒng)。這些內(nèi)在力量不僅僅是指人的理性精神力量，而且還包括人的各種非理性精神力量，是二者的有機(jī)組合和整合所形成的一種持久的力量，人的這種持久性力量有助于個(gè)人對(duì)各種情景作出反應(yīng)，并進(jìn)而形成個(gè)體較為一致性的行為?！盵24]這一層次的內(nèi)容重在促進(jìn)學(xué)生心智、個(gè)性、觀念、精神等協(xié)調(diào)的發(fā)展。

3.過程性

數(shù)學(xué)知識(shí)之所以呈現(xiàn)出過程性，其一是由于數(shù)學(xué)是從量的側(cè)面探索和研究客觀世界的，作為數(shù)學(xué)研究對(duì)象的背景、源泉的客觀世界和客觀事物的存在是一個(gè)過程；其二數(shù)學(xué)知識(shí)又屬于認(rèn)識(shí)的范疇，作為過程，人的認(rèn)識(shí)能力是至上的，但作為任何一個(gè)現(xiàn)實(shí)狀態(tài)，它又是非至上的，這就構(gòu)成了認(rèn)識(shí)能力自身的矛盾性，人的認(rèn)識(shí)就是在這種矛盾的不斷出現(xiàn)、不斷被克服的過程中前進(jìn)的。正是這種矛盾性導(dǎo)致了數(shù)學(xué)知識(shí)的過程性，數(shù)學(xué)知識(shí)無疑是抽象思維的產(chǎn)物。馬克思指出：“在人類認(rèn)識(shí)過程中存在著兩條方向相反的道路，在第一條道路上，完整的表象蒸發(fā)為抽象的規(guī)定；在第二條道路上，抽象的規(guī)定在思維的過程中導(dǎo)致具體的再現(xiàn)。”[25]這也就是說，在這兩條相互連結(jié)的道路上，認(rèn)識(shí)開始由感性的具體表象通過思維活動(dòng)分析出各種單向的、孤立的抽象規(guī)定；爾后，這些單向的、孤立的抽象規(guī)定又在思維的行動(dòng)中被連結(jié)起來，綜合成思維的具體再現(xiàn)出來。數(shù)學(xué)知識(shí)的這種過程性又與其抽象（歷史的或邏輯的）的層次性是密切相關(guān)的，作為教育形態(tài)的數(shù)學(xué)知識(shí)，應(yīng)該在強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識(shí)的抽象層次的基礎(chǔ)上，注重知識(shí)的歷史演變過程，突出數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)現(xiàn)過程，使整個(gè)教育形態(tài)的數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)體現(xiàn)出動(dòng)態(tài)性。

四、教育形態(tài)的數(shù)學(xué)知識(shí)的存在狀態(tài)

教育形態(tài)的數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)的整體性揭示了數(shù)學(xué)知識(shí)與其他學(xué)科如數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)哲學(xué)之間的聯(lián)系，它的層次性和過程性體現(xiàn)出數(shù)學(xué)知識(shí)的動(dòng)態(tài)性?？陀^上為學(xué)生提供了一個(gè)具有生命力的、能夠走向?qū)W生的學(xué)習(xí)客體。在課堂教學(xué)過程中，如何通過這一客體與學(xué)生的動(dòng)力結(jié)構(gòu)系統(tǒng)相互作用，發(fā)揮其最大的教育功能，還應(yīng)該對(duì)這一客體進(jìn)行恰當(dāng)?shù)脑O(shè)計(jì)，形成適宜學(xué)習(xí)者的存在狀態(tài)。設(shè)計(jì)的核心應(yīng)著力于以下幾個(gè)方面：第一，注重問題的選擇與設(shè)置。一切思維是從問題開始的，沒有問題，就沒有質(zhì)疑?！百|(zhì)疑是科學(xué)研究的始點(diǎn)，培養(yǎng)創(chuàng)新精神，離不開對(duì)學(xué)生質(zhì)疑思維的激發(fā)和保護(hù)。在我國，質(zhì)疑思維是重要的，但質(zhì)疑精神更重要?！盵26]

在各類問題中，銜接性問題的設(shè)計(jì)是關(guān)鍵，正是通過合理的銜接性問題的巧妙設(shè)計(jì)，引發(fā)學(xué)生的質(zhì)疑，由此導(dǎo)致知識(shí)的生惑點(diǎn)。第二，在分析學(xué)習(xí)者的知識(shí)背景、審美觀念、愛好和情趣的基礎(chǔ)上，按照知識(shí)內(nèi)在的聯(lián)系、美的規(guī)律，并結(jié)合數(shù)學(xué)家在數(shù)學(xué)研究創(chuàng)造過程中的心路歷程，充分暴露數(shù)學(xué)知識(shí)生態(tài)的“孕育、生長”過程，重新創(chuàng)造和恢復(fù)知識(shí)的活力。對(duì)學(xué)生而言，這種重新創(chuàng)造知識(shí)的活動(dòng)就是課堂學(xué)習(xí)的核心。這是因?yàn)椤叭酥挥性趧?chuàng)造文化的活動(dòng)中才能成為真正意義上的人，也只有在文化活動(dòng)中，人才能獲得真正的‘自由’?！盵27]第三，以數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過程為載體，突出數(shù)學(xué)觀念、思想、方法的抽象與概括，厘清數(shù)學(xué)家進(jìn)行數(shù)學(xué)研究的科學(xué)態(tài)度、信念品質(zhì)、價(jià)值判斷和審美追求，加強(qiáng)數(shù)學(xué)人文精神的理解與感悟。文化因素是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過程中最具有吸引力的一部分內(nèi)容，是調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)情感因素最直接、最有效的動(dòng)因。以此驅(qū)動(dòng)教學(xué)使學(xué)習(xí)者的情感、意志、品質(zhì)以及感知、思維、想象得到廣泛的熏陶，拓展學(xué)習(xí)者的精神空間，實(shí)現(xiàn)精神超越，促進(jìn)學(xué)習(xí)者的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成與發(fā)展，完美學(xué)習(xí)者人格品質(zhì)。具體地，教育形態(tài)的數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)體現(xiàn)出如下的存在狀態(tài)。

1.描述狀態(tài)

傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教材中的基本概念、基本原理以及公式、法則是借助于判斷式的數(shù)學(xué)語言進(jìn)行闡釋的。由數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)術(shù)語和經(jīng)過加工的自然語言構(gòu)成的數(shù)學(xué)語言是數(shù)學(xué)抽象的產(chǎn)物，是表達(dá)數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)概括內(nèi)容的媒介，也是展現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)證明的基本工具，是課堂教學(xué)過程中師生交流的基本方式。數(shù)學(xué)語言具有確定性、簡潔性的特點(diǎn)，同時(shí)也具有抽象性的特點(diǎn)，數(shù)學(xué)語言的抽象性往往會(huì)導(dǎo)致學(xué)生識(shí)別、理解、轉(zhuǎn)換、構(gòu)造、操作、組織以及表達(dá)等方面的語言障礙。[28]也恰恰是這種抽象的數(shù)學(xué)對(duì)象的形式化表示或課堂上形式化分析往往成為數(shù)學(xué)是枯燥的源泉。因此，純粹的判斷式的數(shù)學(xué)語言表述的數(shù)學(xué)知識(shí)難免缺少靈氣、缺少親和力，無法給學(xué)生掌控自己的行為提供有效的借鑒，更難以召喚學(xué)生作為課堂教學(xué)過程中的主體而主動(dòng)參與其中。判斷式的闡釋是思維的結(jié)果；描述性的闡釋則意味著思維的開始。處于描述狀態(tài)的數(shù)學(xué)知識(shí)既是啟發(fā)學(xué)生想象力的動(dòng)力，又是學(xué)生進(jìn)行創(chuàng)造性活動(dòng)的基礎(chǔ)。因此，數(shù)學(xué)知識(shí)從判斷式的闡釋狀態(tài)轉(zhuǎn)化為描述性的闡釋狀態(tài)是數(shù)學(xué)知識(shí)教育形態(tài)化不可缺少的一個(gè)重要環(huán)節(jié)。

教育形態(tài)的數(shù)學(xué)知識(shí)的描述性從語言的角度應(yīng)體現(xiàn)出生動(dòng)、準(zhǔn)確、精煉、形象直觀；從知識(shí)的角度來看，體現(xiàn)出知識(shí)自然的融合性、豐富性，揭示出新舊知識(shí)的聯(lián)系，展現(xiàn)出清晰而又合理的網(wǎng)絡(luò)知識(shí)結(jié)構(gòu)；從思維的角度來看則又體現(xiàn)出重要的化歸思想，即借助于數(shù)學(xué)中極其豐富的對(duì)立統(tǒng)一關(guān)系以及類比關(guān)系，如正與負(fù)、變與不變、曲與直、有限與無限、特殊與一般等，化抽象為具體、化繁為簡、化難為易、化未知為已知、化不熟悉為熟悉；從效果來看，這種描述性則要體現(xiàn)出親和性、激勵(lì)性、啟發(fā)性。由此可以使學(xué)生的行為價(jià)值判斷具體化，更具有可操作性，因而可以成為學(xué)生學(xué)習(xí)行為的指南。

2.開放狀態(tài)

系統(tǒng)的開放狀態(tài)是指系統(tǒng)總存在于一定的環(huán)境之中，并且與作為環(huán)境的其他系統(tǒng)進(jìn)行著物質(zhì)、能量、信息的交換，在這種交換過程中，系統(tǒng)經(jīng)歷著從低級(jí)到高級(jí)、從簡單到復(fù)雜，從無序到有序不斷優(yōu)化的動(dòng)態(tài)發(fā)展過程。如前所述，教育形態(tài)的數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)的構(gòu)成要素既具有客觀性，又具有主觀性，是客觀與主觀的統(tǒng)一體。作為系統(tǒng)，結(jié)構(gòu)決定要素，要素對(duì)結(jié)構(gòu)具有選擇性。教育形態(tài)的數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)具有相對(duì)靜止的穩(wěn)定結(jié)構(gòu)，但在課堂教學(xué)中，它又處于動(dòng)態(tài)的演化發(fā)展過程中。因此，教育形態(tài)的數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)的開放性首先是指該系統(tǒng)能夠與學(xué)生的認(rèn)知系統(tǒng)、意識(shí)系統(tǒng)、情感系統(tǒng)、心理系統(tǒng)等進(jìn)行信息交流；其次，在教學(xué)過程中，為了更好實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，根據(jù)實(shí)際需求，系統(tǒng)內(nèi)的要素可以隨時(shí)進(jìn)行調(diào)整，達(dá)到多元化開放的效果?；跀?shù)學(xué)在自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)的廣泛應(yīng)用，該系統(tǒng)還可以輻射到學(xué)習(xí)者熟知的文學(xué)、藝術(shù)、音樂、建筑、軍事、經(jīng)濟(jì)、生命、法律等各個(gè)領(lǐng)域，由此可以為課堂對(duì)話提供極其豐富的信息資源。

3.對(duì)話狀態(tài)

教育形態(tài)的數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)的綜合性為課堂教學(xué)引發(fā)對(duì)話提供了客觀基礎(chǔ)。無論從數(shù)學(xué)哲學(xué)、數(shù)學(xué)真理、數(shù)學(xué)史的角度看，還是從數(shù)學(xué)語言、數(shù)學(xué)概念以及數(shù)學(xué)證明等層面分析都揭示出數(shù)學(xué)具有對(duì)話特征。而描述性狀態(tài)的數(shù)學(xué)知識(shí)又使其向?qū)υ挔顟B(tài)轉(zhuǎn)化成為可能?！皩?duì)話”原意是指人與人之間以語言為中介的談話，作為一項(xiàng)教學(xué)原則，這里的“對(duì)話”已超出了語言本身的界限，它體現(xiàn)的是教學(xué)過程中的一種精神和理念，是對(duì)話雙方各自向?qū)Ψ匠ㄩ_精神和彼此接納，是一種真正意義上的精神平等與溝通，是心靈與心靈的交流與碰撞，是對(duì)傳統(tǒng)教學(xué)中“學(xué)生主體說”、“教師主導(dǎo)說”、“課堂講授論”的根本超越。

各種才能、智力都有其發(fā)展的情感環(huán)境作支撐，情感是人對(duì)客觀世界的一種特殊的反應(yīng)形式，是主體對(duì)客體是否符合自己的需要的態(tài)度、感受、體驗(yàn)等心理狀態(tài)。積極健康的情感，良好的情感環(huán)境可以激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，是學(xué)生進(jìn)行創(chuàng)造性學(xué)習(xí)活動(dòng)不可缺少的因素。學(xué)生的情感在很大程度上決定著學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)能量的強(qiáng)弱，影響調(diào)節(jié)學(xué)習(xí)活動(dòng)的速度和持續(xù)時(shí)間的長短。在教學(xué)過程中，學(xué)習(xí)者對(duì)其所接受內(nèi)容的感覺都有一個(gè)潛意識(shí)化、本能化或相關(guān)意識(shí)麻木的變化趨勢(shì)，使其在對(duì)話初期的新鮮感、好奇感慢慢淡化。因此，在對(duì)話過程中，首先體現(xiàn)出教師所解說的語言、思想與學(xué)習(xí)者的感覺、接受水平的一致性、相適應(yīng)性；其次，通過對(duì)話適時(shí)地調(diào)整學(xué)習(xí)者的情緒，刺激他（她）們理智的熱情，開放他（她）們的心靈，由此激發(fā)學(xué)生積極參與對(duì)話的強(qiáng)烈愿望；第三，通過對(duì)話，引發(fā)學(xué)習(xí)者自由想象，使學(xué)習(xí)者真正體驗(yàn)到成功獲取新知識(shí)的愉悅感。事實(shí)證明，這種愉悅感會(huì)誘使學(xué)習(xí)者尋找新的問題，進(jìn)行新一輪的探索，以期享受之前激情得以釋放的滋味，形成良性循環(huán)；第四，打破傳統(tǒng)教學(xué)過程中單一的教學(xué)模式，采取靈活多樣的教學(xué)方法，實(shí)施多元對(duì)話。既要突出教師與學(xué)生之間的對(duì)話，又要強(qiáng)調(diào)學(xué)生與學(xué)生、學(xué)生與上述的知識(shí)系統(tǒng)以及學(xué)生與自身的對(duì)話，多渠道地彰顯學(xué)生的個(gè)性，體現(xiàn)出多主體、多層次、多角度的對(duì)話狀態(tài)，使得數(shù)學(xué)課堂教學(xué)真正地走向民主，成為師生互動(dòng)的多邊活動(dòng)。

參考文獻(xiàn)：

[1]P.J戴維斯，R.赫什.王前，于曉群等譯.數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)[M].南京：江蘇教育出版社，1991，78.

[2]張奠宙.關(guān)于數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)和教育形態(tài)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2002,11，（2）：1-4.

[3]張奠宙.教育數(shù)學(xué)是具有教育形態(tài)的數(shù)學(xué)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2005,14（3）：1-4.

[4]蘇帆.關(guān)于學(xué)科數(shù)學(xué)與科學(xué)數(shù)學(xué)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2007,16（1）：34-36.

[5]李渺，俞平等.高中數(shù)學(xué)教師知識(shí)結(jié)構(gòu)的特征研究[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2007,16（2）55-59.

[6]黃毅英，許世紅.數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容知識(shí)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2009,18（1）5-9.

[7]肖春梅，俞平等.實(shí)習(xí)教師知識(shí)對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的影響研究[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2009,18（1）：34-36.

[8]沈文選,吳仁芳.走進(jìn)教育數(shù)學(xué)—四議數(shù)學(xué)教育與教育數(shù)學(xué)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2009，18（4）：5-8.

[9]汪會(huì)玲，劉曉玫.中學(xué)數(shù)學(xué)教師知識(shí)結(jié)構(gòu)的調(diào)查與分析[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2008,17（6）：52-55.

[10]方勤華.理解教師數(shù)學(xué)知識(shí)的“交互建構(gòu)模型”[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2010,19（3）：73-74.

[11]柳笛，美國數(shù)學(xué)教師學(xué)科內(nèi)容知識(shí)的研究述評(píng)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2010,19（6）：74-77.

[12]李渺，寧連華.數(shù)學(xué)教師內(nèi)容知識(shí)（MPCK）的構(gòu)成成分表現(xiàn)形式及其意義[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2011,20（2）：10-14.

[13]黃毅英，數(shù)學(xué)觀研究綜述，數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)[J].2002，11（1）1-7.

[14]J.N.Kapur著，王慶人譯.數(shù)學(xué)家談數(shù)學(xué)本質(zhì)[M].北京大學(xué)出版社1989.4，157.

[15]徐利治，王前．?dāng)?shù)學(xué)哲學(xué)、數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育的結(jié)合─數(shù)學(xué)教育改革的一個(gè)重要方向[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，1994，3（1）：3－8．

[16]胡小松，朱德全.論數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的邏輯起點(diǎn)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2000，9（2）：33-36.

[17]吳文俊.世界著名數(shù)學(xué)家傳記 [M].科學(xué)出版社（北京）1995，1220.

[18][美]莫里茲，數(shù)學(xué)的本性[M].朱劍英編譯.大連理工大學(xué)出版社，2008，4.

[19]J.N.Kapur著，王慶人譯.數(shù)學(xué)家談數(shù)學(xué)本質(zhì)[M].北京大學(xué)出版社1989.4，28.

[20]吳增生.數(shù)學(xué)思想方法及其教學(xué)策略初探.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào), 2014,23(3)：11-15.

[21][英]拉卡托斯.證明與反駁[M].康宏逵譯.上海譯文出版社，1987.10.2.

[22]王光明.高效數(shù)學(xué)教學(xué)行為的歸因[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2010，19（5）：75－79．

[23]黃秦安.數(shù)學(xué)文化觀念下的數(shù)學(xué)素質(zhì)教育[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2001,10（3）：12-17.

[24]龐學(xué)光.唯理性教育及其超越 [M].天津社會(huì)科學(xué)院出版社1992.12.

[25]馬克思，恩格斯.《馬克思、恩格斯》選集（第二卷）[M].北京：人民出版社，1975.

[26]王光明.數(shù)學(xué)教育需要重視的兩個(gè)問題[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2005，14（1）：31-33．

[27]恩斯特·卡西爾.人論[M].上海譯文出版社，1985，5.

[28]吳友昌.數(shù)學(xué)語言障礙初探 [J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2002,11（2）：68-70.

[29]胡殿順等.數(shù)學(xué)教學(xué)走向?qū)υ抂J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2008,17（3）：11-13.

Constitution,Features and Forms of State
of Mathematics Knowledge in the Form of Education

FU Xi-lian1，ZHANG Yu-feng2，F(xiàn)ENG Bin-lu3，TAN Cheng-bo1，ZHANG Yao-ming1

(1.Shandong University of Technology,Zibo 255049,China；2.China University of Mining and Technology,Xuzhou 221116,China；3.Weifang University，Weifang 261061, China)

Mathematics knowledge is the basic elements in the contents taught by mathematics teachers,It is the key point in the teaching process how to transfer mathematics knowledge to contents in educational forms;This artide analyzed the necessary elements of mathematics knowledge on class from three angles of mathematical ontology and epistemology,history of mathematics and methodology of mathematics;The scientific and reasonable selection and setting of the mathematics knowledge is the foundation and premise of the mathematic knowledge education formation;As a form of education,mathematics knowledge system should have features of entirety, process and hierarchy;In the course of classroom,mathematics knowledge in the form of education should be designed tomade it showthe state ofdescription,open and dialog.

mathematics knowledge;educational state;mathematics history;methodology;philosophy of mathematics;mathematics culture.

G424

A

1671-4288(2016)05-0001-08

責(zé)任編輯：王家忠

2016-09-01

中國礦業(yè)大學(xué)重點(diǎn)培育教改項(xiàng)目（項(xiàng)目編號(hào)：2015CG04）

付夕聯(lián)（1964-），男，山東平度人，山東理工大學(xué)教授，主要從事數(shù)學(xué)方法論與數(shù)學(xué)教育研究。