宋英

三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式我們比較熟悉，但對(duì)一些公式所反映的對(duì)稱(chēng)性并不熟悉。下面我們來(lái)看看函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸和對(duì)稱(chēng)中心吧。

一、軸對(duì)稱(chēng)

定理一 如果函數(shù)y=f（x）滿足f（x+a）=f（x-a）或f（x）=f（2a-x），函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱(chēng)。

證明：設(shè)函數(shù)y=f（x）的圖象上的任意一點(diǎn)為P（x，y），點(diǎn)P關(guān)于直線x=a的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)p（2a-x，y），顯然有y=f（x）。

說(shuō)明點(diǎn)p（2a-x，y）也在函數(shù)的圖象上。

由點(diǎn)P的任意性，說(shuō)明函數(shù)y=f（x）圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱(chēng)。

例如：三角函數(shù)誘導(dǎo)公式cos（2kπ-x）=cosx，k∈Z，函數(shù)y=cosx的圖象對(duì)稱(chēng)軸為x=kπ，k∈Z；sin（2kπ+π-x）=sinx，k∈Z，函數(shù)y=sinx的圖象對(duì)稱(chēng)軸為x=kπ+ ，k∈Z。

二、中心對(duì)稱(chēng)

定理二 如果函數(shù)y=f（x）滿足y=f（2a-x）=-f（x）或=f（a-x）=-f（a+x）函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（a，0）成中心對(duì)稱(chēng)。

證明：設(shè)函數(shù)y=f（x）的圖象上的任意一點(diǎn)為P（x，y），點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)（a，0）的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)p（2a-x，-y）

由f（2a-x）=-f（x），則-y=f（2a-x）

說(shuō)明點(diǎn)p（2a-x，-y）也在函數(shù)y=f（x）的圖象上。點(diǎn)P的任意性，說(shuō)明函數(shù)y=f（x）圖象關(guān)于點(diǎn)（a，0）成中心對(duì)稱(chēng)。

例如：三角函數(shù)誘導(dǎo)公式sin（2kπ-x）=-sinx，k∈Z就說(shuō)明y=sinx的函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)（a，0）成中心對(duì)稱(chēng)；由cos（2kπ+π-x）=-cosx，k∈Z，說(shuō)明函數(shù)y=cosx圖象關(guān)于點(diǎn)（kπ+ ，0）成中心對(duì)稱(chēng)。

應(yīng)用上述結(jié)論就比較容易解決人教版數(shù)學(xué)必修四教材第70頁(yè)的第17題：

1.用描點(diǎn)法畫(huà)出函數(shù)y=sinx，x∈0， 的圖象。

2.如何根據(jù)第1小題并應(yīng)用正弦函數(shù)的性質(zhì)得出函數(shù)y=sinx，x∈0，2π的圖象？

編輯 溫雪蓮