●馮回祥

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學(xué)習(xí)邏輯知識(shí)，運(yùn)用基本規(guī)律
——例談“邏輯思維的基本規(guī)律”在小學(xué)數(shù)學(xué)中的運(yùn)用

●馮回祥

一、邏輯思維基本規(guī)律的內(nèi)容

邏輯思維的基本規(guī)律，內(nèi)容包括同一律、矛盾律、排中律和充足理由律。它是客觀世界相對(duì)穩(wěn)定性在思維活動(dòng)中的反映，是進(jìn)行正確思維的必要條件。它們的共同要求是在思維過(guò)程中，必須保持思維的確定性，不自相矛盾，不含糊其辭。在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，教師使學(xué)生學(xué)會(huì)遵守這些思維的基本規(guī)律，掌握并運(yùn)用這些規(guī)律進(jìn)行思考，做到概念明確，判斷恰當(dāng)，推理有邏輯性，論述有說(shuō)服力，是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，培養(yǎng)與發(fā)展其數(shù)學(xué)能力的基本前提與有效途徑。

（一）同一律。在同一思維過(guò)程中，每一思想都必須與其自身保持同一。即在同一論證過(guò)程中，概念和判斷必須保持同一性，也就是確定性，它的公式是：A是A。這里的“A”是指概念或判斷?！癆是A”是說(shuō)在同一思維過(guò)程中，A這個(gè)概念或判斷無(wú)論重復(fù)或使用多少次，自身始終不變，前后一致，保持確定。

在數(shù)學(xué)思考過(guò)程中，必須遵守同一律，否則會(huì)造成邏輯混亂或錯(cuò)誤。如，“整除”的概念是說(shuō)，“數(shù)a除以數(shù)b，除得的商正好是整數(shù)而沒(méi)有余數(shù)，就說(shuō)a能被b整除”。這一概念的組成部分是：①被除數(shù)是整數(shù)；②除數(shù)是非0的自然數(shù)；③商是整數(shù)；④余數(shù)是0。因此，由36÷9=4，商是整數(shù)，余數(shù)為0，從而可以斷定36能被9整除。但是，由3.6÷0.9=4，商是整數(shù)，余數(shù)為0，也斷定3.6能被0.9整除就錯(cuò)了。這是由于前一個(gè)判斷與其組成部分是同一的，而后一個(gè)判斷與其組成部分不統(tǒng)一，即被除數(shù)和除數(shù)是小數(shù)。因此后者是錯(cuò)誤的判斷，其根本原因是混淆了“整數(shù)”與“除盡”這兩個(gè)不同的概念。同一律要求的同一是對(duì)象、時(shí)間、關(guān)系三者的同一。若針對(duì)同一對(duì)象，在不同時(shí)間或不同關(guān)系下，人們使用的概念或判斷發(fā)生變化，這不能看成是違反了同一律，而是屬于時(shí)間不同或關(guān)系不同的兩個(gè)思維過(guò)程。

（二）矛盾律。在同一思維過(guò)程中，一個(gè)思想不能既是自身又是對(duì)自身的否定。它的公式是“A不是”。

在數(shù)學(xué)思維過(guò)程中必須遵守矛盾律。例如，兩個(gè)數(shù)相等與不相等不能認(rèn)為同時(shí)成立，兩直線相交與不相交也不能認(rèn)為同時(shí)成立。因?yàn)楦鶕?jù)矛盾律，兩數(shù)相等與不相等，其中必有一個(gè)判斷是錯(cuò)誤的。兩直線相交與不相交，其中也必有一個(gè)判斷是錯(cuò)誤的。

在同一思維過(guò)程中，對(duì)某一對(duì)象除了兩個(gè)互相矛盾的判斷外，還可能有第三種判斷。因此矛盾律指出，不僅這兩個(gè)矛盾（對(duì)立）的判斷不能同真，還可能兩個(gè)判斷都為假。例如，對(duì)某一實(shí)數(shù)a，除了兩個(gè)互相矛盾的判斷“a＞0”或“a＜0”外，還可能有第三種判斷“a= 0”。因此，當(dāng)“a=0”為真時(shí)，則“a＞0”和“a＜0”這兩個(gè)判斷都為假。

由此可見(jiàn)，矛盾律只指出兩個(gè)互相對(duì)立的判斷是不相容的，其中至少有一為假，但沒(méi)有指出哪一個(gè)為假，也沒(méi)有指明究竟只有一假還是兩個(gè)都為假，因而我們不能用矛盾律來(lái)判定某一判斷是真。

（三）排中律。在同一思維過(guò)程中，互相矛盾關(guān)系的判斷中必有一個(gè)為真。它的公式是“或是A，或是”。

（四）充分理由律。充足理由律的內(nèi)容是：“任何真實(shí)判斷，都必須有充足理由作為依據(jù)?！币簿褪钦f(shuō)，正確的判斷必須有充足理由。它的公式是，所以有B是因?yàn)橛蠥。也可以說(shuō)，A是B的充足理由。

在數(shù)學(xué)學(xué)科中，充足理由律要求我們必須以數(shù)學(xué)的已知概念和公理以及由此推導(dǎo)出來(lái)的定理、公式作為根據(jù)進(jìn)行推理判斷。

解答數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行正確判斷也必須有充足的理由，否則會(huì)造成錯(cuò)誤。

例如，設(shè)a=b（b≠0）

兩邊乘a得：a2=ab

兩邊減去b2得：a2-b2= ab-b2

兩邊因式分解得：（a+b）（a-b）= b （a-b）

兩邊除以（a-b）得：a+b=b

由a=b得：2b=b

兩邊除以b得：2=1

顯然，所得結(jié)果是錯(cuò)誤的，錯(cuò)誤的原因在于以（a-b）除等式兩邊。因?yàn)閍=b?a-b=0，用0除等式兩邊，理由就不充足了，因?yàn)樵诔ㄋ闶嚼?，除?shù)是不為0的。

二、數(shù)學(xué)中違反邏輯思維規(guī)律的錯(cuò)誤案例及分析

（一）違反同一律。即“同一思維過(guò)程中的概念、判斷不確定”，具體表現(xiàn)是“偷換概念”（或者叫“混淆概念”）和“偷換論題”）的邏輯錯(cuò)誤。

1.同一思維過(guò)程中，概念不確定的邏輯錯(cuò)誤

所謂概念不確定是指概念的內(nèi)涵、外延不同一。就是說(shuō)，在同一思維過(guò)程中，不加說(shuō)明地用一個(gè)完全不相同的概念去代替原有的概念進(jìn)行推理和證明（即“偷換概念”），或者用一個(gè)相近、類(lèi)似的概念去代替原有的概念進(jìn)行推理和證明（即混淆概念）。

例如，利用商不變的規(guī)律進(jìn)行如下計(jì)算：840÷50=84÷5=16……4，我們知道，840÷50=84÷5，84÷5=16……4，這兩個(gè)等式都是成立的，但840÷50≠16……4。

上面連等式中，前面一個(gè)等式反映的是等號(hào)兩邊算式的商相等，而后一個(gè)等式則是反映算式中被除數(shù)、除數(shù)、商和余數(shù)之間的關(guān)系，這是兩個(gè)完全不同的概念，這里出現(xiàn)錯(cuò)誤是由于“偷換概念”，違反了同一律所致。

2.同一思維過(guò)程中，判斷不確定的邏輯錯(cuò)誤

判斷不確定是指判斷的組成部分不同一，即在同一思維過(guò)程中，不加說(shuō)明地用一個(gè)完全不同的判斷去代替原有的判斷。如前面提到的由3.6÷0.9= 4，商是整數(shù)，余數(shù)為0，從而斷定3.6能被0.9整除就是這方面的例子。

判斷不確定的另一種情況是，在同一思維過(guò)程中，判斷的論題不同一。如，講長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)概念時(shí)，有的教師對(duì)學(xué)生說(shuō)：“長(zhǎng)方形的一周，就是長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)”，并用手指沿著長(zhǎng)方形的黑板畫(huà)一圈；在推導(dǎo)公式時(shí)又說(shuō)：“長(zhǎng)方形四條邊的和，就是長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)?！逼鋵?shí)，長(zhǎng)方形的一周或四條邊都是形，都沒(méi)有涉及量。“邊長(zhǎng)”“一周的長(zhǎng)”說(shuō)的才是量，而量是要通過(guò)度量才能知其大小。邊與邊長(zhǎng)、一周與一周的長(zhǎng)是性質(zhì)完全不同的概念，不能混淆不清，這屬于“偷換概念”的錯(cuò)誤，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中比較常見(jiàn)。

又如，以前的教材是這樣給“距離”下定義的：從直線外一點(diǎn)到一條直線所畫(huà)的垂線段叫這點(diǎn)到這條直線的距離。定義的概念是符合某一條件的一條線段，而被定義為的概念卻是“距離”?！熬€段”是幾何圖形，“距離”卻是度量的長(zhǎng)度，形與量不同一。新課標(biāo)教材注意到了定義要符合邏輯規(guī)律，因此對(duì)“距離”的定義表述為：“從直線外一點(diǎn)到這條直線所畫(huà)的垂直線段最短，它的長(zhǎng)度叫做這點(diǎn)到直線的距離?！?/p>

（二）違反矛盾律。違反矛盾律的錯(cuò)誤就是既肯定又否定，即兩個(gè)互相否定的判斷都成立，我們熟知的古代寓言楚人“自相矛盾”就是這種情況。例如，角的大小與邊的長(zhǎng)短沒(méi)有關(guān)系。

新人教版《數(shù)學(xué)》四年級(jí)上冊(cè)教材，對(duì)角的描述是：“從一點(diǎn)引出兩條射線所組成的圖形叫做角?！痹凇敖堑亩攘俊焙竺妗白鲆蛔觥庇幸坏谰毩?xí)題：“量出下面兩個(gè)角的度數(shù)，并比較它們的大小。你發(fā)現(xiàn)了什么？”該題意在引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并深化認(rèn)識(shí)“角的大小與兩邊叉開(kāi)的大小有關(guān)，與兩邊的長(zhǎng)短無(wú)關(guān)”的道理，強(qiáng)化對(duì)角的特征的理解。我們不妨把“角的定義”和此題的“發(fā)現(xiàn)”綜合起來(lái)考慮，筆者認(rèn)為，既然角的邊是射線，射線本無(wú)長(zhǎng)短可言，角的邊又哪來(lái)的長(zhǎng)、短呢？一方面說(shuō)“角的邊是射線”，同時(shí)又說(shuō)“角的大小與邊的長(zhǎng)短沒(méi)有關(guān)系”，對(duì)“角的邊是射線”加以否定，豈不自相矛盾？有悖矛盾律，因此，這道題是不妥當(dāng)?shù)摹?/p>

（三）違反排中律。違反排中律的邏輯錯(cuò)誤是“模棱兩可”或“含混不清”。

例如，在整數(shù)范圍內(nèi)，對(duì)數(shù)a作“a既不是奇數(shù)也不是偶數(shù)”的判斷就違反了排中律。因?yàn)樵谡麛?shù)范圍內(nèi)，“a為奇數(shù)”和“a為偶數(shù)”是具有矛盾關(guān)系的判斷。但如果超出整數(shù)范圍，則這兩個(gè)判斷就是對(duì)立關(guān)系的判斷，那么以上的判斷就沒(méi)有違反排中律。如當(dāng)a是一個(gè)小數(shù)或分?jǐn)?shù)時(shí)，則a既不是奇數(shù)也不是偶數(shù)。

（四）違反充足理由律。古人云：“持之有故，言之有理。”這說(shuō)的是論證要有充足的理由，如果論證“理由不充分”或是“虛假理由”，那就會(huì)導(dǎo)致出現(xiàn)違反充足理由律的邏輯錯(cuò)誤。

下面是理由不充分的例子。

例1.四年級(jí)判斷題：412÷58=7……5（）。此題有不少學(xué)生出現(xiàn)判斷錯(cuò)誤。究其原因，學(xué)生說(shuō)：“由于只認(rèn)為余數(shù)5比除數(shù)58小，那么這道題的計(jì)算結(jié)果當(dāng)然就是正確的?！?/p>

在有余數(shù)的除法中，余數(shù)比除數(shù)小，計(jì)算結(jié)果并不一定正確。余數(shù)比除數(shù)小只是計(jì)算正確的必要條件，而不是充分條件。由此可見(jiàn)，理由不充分就會(huì)導(dǎo)致推斷錯(cuò)誤。

由上例可知，如果判斷B真，論斷A是B的必要條件，但由B不足以推出論斷A真，則B不是A的充分條件，這時(shí)候，我們稱由B推出論斷A真的理由不充分，即缺少條件。

例2.若a= k·b，則b能被a整除。這個(gè)推斷缺少a、b為整數(shù)，k為自然數(shù)的條件。又如，∵（a+b）是偶數(shù)，且a、b是整數(shù)，∴a、b都是偶數(shù)。此推斷缺少條件a×b是偶數(shù)。

舉一個(gè)虛假理由的例子。

虛假理由是指在判斷B和論斷A中，B不是A的充分條件，且A亦不是B的必要條件，即A和B沒(méi)有因果關(guān)系。

例3∵a是奇數(shù)，b是偶數(shù)

∴a與b互質(zhì)

此推斷中，理由和結(jié)論之間不存在因果關(guān)系。

三、數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)注意的邏輯問(wèn)題

（一）注意數(shù)學(xué)概念的同一性

我們?cè)诮虒W(xué)時(shí)，對(duì)一些重要的數(shù)學(xué)概念，都要讓學(xué)生明確它們的內(nèi)涵和外延，并在這個(gè)確定的、同一的意義上反復(fù)使用它。這樣，在整個(gè)思維過(guò)程中，才能避免發(fā)生混亂，產(chǎn)生歧義。

值得注意的是，對(duì)教材中出現(xiàn)的某些容易引起混淆的概念，要注意及時(shí)地進(jìn)行比較和區(qū)別。

例如，現(xiàn)行小學(xué)數(shù)學(xué)教材關(guān)于長(zhǎng)方體有這樣兩段敘述：一是，建立長(zhǎng)方體的概念即“長(zhǎng)方體的6個(gè)面都是長(zhǎng)方形（特殊情況有兩個(gè)相對(duì)的面是正方形）”；二是，建立正方體的概念即“長(zhǎng)、寬、高都相等的長(zhǎng)方體叫做正方體（也叫立方體）”。

顯見(jiàn)，上面兩次所提到的“長(zhǎng)方體”的概念是不一致的。前一個(gè)“長(zhǎng)方體”，由于最多只限“兩個(gè)相對(duì)的面是正方形”，因此并不包含正方體，而后一個(gè)“長(zhǎng)方體”確實(shí)包括“正方體”在內(nèi)的。因此它們的內(nèi)涵、外延是不一致的，容易引起學(xué)生理解上的混淆。

（二）注意教學(xué)用語(yǔ)的嚴(yán)謹(jǐn)性

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要盡可能避免把日?？谡Z(yǔ)以及不準(zhǔn)確規(guī)范的語(yǔ)言帶到課堂上，這樣的例子在教學(xué)中是很常見(jiàn)的。

例如，有的教師這樣提問(wèn)：“同學(xué)們，這個(gè)等腰三角形的兩腰相等嗎？”腰正是對(duì)等腰三角形而言的，一般三角形只稱邊，只有等腰三角形才把兩條相等的邊稱為腰。既然是兩腰，就一定相等，否則就違反了矛盾律。因此，這樣的提問(wèn)是錯(cuò)誤的。

又如，當(dāng)學(xué)生忘了寫(xiě)出單位名稱（計(jì)量單位），或忘了給單位名稱加括號(hào)時(shí)，教師常說(shuō)“不要丟掉名數(shù)”或“不要忘了給名數(shù)加上括號(hào)”等。這種說(shuō)法是把計(jì)量單位與名數(shù)混淆起來(lái)了，是不正確的。

再如，有的教師對(duì)學(xué)生這樣提問(wèn)“平行四邊形的對(duì)邊是否為平行線”，還有的對(duì)學(xué)生說(shuō)“長(zhǎng)方形的兩條邊都是平行線”“帶有一個(gè)單位名稱的數(shù)叫做單名數(shù)”等等，這些語(yǔ)言表述都是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?。因此，教師在教學(xué)中應(yīng)充分注重自己的教學(xué)語(yǔ)言規(guī)范化，符合邏輯思維的基本規(guī)律，在此基礎(chǔ)上，對(duì)學(xué)生進(jìn)行嚴(yán)格要求，這樣才有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性。

（三）注意構(gòu)題的合理性

數(shù)學(xué)新課標(biāo)中明確提出，通過(guò)數(shù)學(xué)教學(xué)達(dá)到掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、訓(xùn)練數(shù)學(xué)基本技能、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)基本思想、積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的要求。由于數(shù)學(xué)基本技能的訓(xùn)練在數(shù)學(xué)教學(xué)中有著極其重要的作用，所以歷來(lái)受到廣大教師的高度重視。不少教師還針對(duì)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和關(guān)鍵內(nèi)容，有針對(duì)性地編選一些課內(nèi)課外練習(xí)及專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練，這對(duì)鞏固與加深學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解與掌握是非常必要的。在編擬習(xí)題時(shí)，除了注意把握好習(xí)題的針對(duì)性、層次性和形式的多樣性外，注重習(xí)題編擬的科學(xué)性是極為重要的。這就要求我們?cè)诰帞M時(shí)構(gòu)題必須符合邏輯思維的基本規(guī)律，避免發(fā)生以下類(lèi)似錯(cuò)誤：

例如，已知一個(gè)三角形各邊邊長(zhǎng)分別為2cm、3cm、5cm，另一個(gè)三角形各邊邊長(zhǎng)分別為4cm、5cm、10cm，求這兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)。

上例中出現(xiàn)了三角形兩邊之和等于或小于第三邊長(zhǎng)的謬誤，顯然與三角形的性質(zhì)相矛盾。

又如，某工地運(yùn)來(lái)水泥和黃沙210噸，其中水泥占總數(shù)的1/5，以后又運(yùn)來(lái)一些水泥，這時(shí)水泥占總數(shù)的1/3，以后又運(yùn)來(lái)水泥多少噸？題中兩次出現(xiàn)總數(shù)這一概念，其中后一個(gè)究竟是指原來(lái)的總數(shù)，還是指后來(lái)的總數(shù)，內(nèi)涵不明確，模棱兩可，這種歧義的產(chǎn)生違背了排中律。

作為一名數(shù)學(xué)教師，不僅需要扎實(shí)的數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)理論知識(shí)，還應(yīng)學(xué)習(xí)與掌握一些必要的邏輯思維的基本理論和方法，這不僅是提高自己專(zhuān)業(yè)素質(zhì)和教學(xué)能力的一個(gè)重要方面，而且更是發(fā)展學(xué)生邏輯思維能力，提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的有力保障。

（作者單位：華中科技大學(xué)附屬小學(xué)）

責(zé)任編輯嚴(yán)芳