卞世元， 劉先增， 焦 陽， 張 俊, 4

(1. 安徽工業(yè)大學機械工程學院， 安徽 馬鞍山 243032; 2. 天津大學機械工程學院， 天津 300072;3. 南京工藝裝備制造有限公司， 江蘇 南京 211178; 4. 福州大學機械工程及自動化學院， 福建 福州 350116)

計入結構柔性和邊界條件的內齒圈面內振動分析

卞世元1， 劉先增2， 焦 陽3， 張 俊1, 4

(1. 安徽工業(yè)大學機械工程學院， 安徽 馬鞍山 243032; 2. 天津大學機械工程學院， 天津 300072;3. 南京工藝裝備制造有限公司， 江蘇 南京 211178; 4. 福州大學機械工程及自動化學院， 福建 福州 350116)

采用彈性力學方法推導內齒圈的運動微分方程， 用攝動法求解無約束條件下內齒圈的固有頻率和振型函數(shù)， 并通過消除永年項獲得了含約束條件下的內齒圈面內振動頻率的解析表達式. 以某汽車變速箱中的內齒圈為例， 運用所獲的解析式計算了該齒圈的面內振動頻率， 其結果與前人研究中的有限元仿真及模態(tài)實測數(shù)據(jù)吻合較好. 表明所提理論模型具有較高的計算精度， 能準確揭示內齒圈的振動特性. 最后， 依托所建理論模型， 分析內齒圈結構柔性和內、 外約束條件對其面內振動特性的影響. 計算結果表明， 內齒圈面內振動頻率隨外約束剛度的增大而增大， 且當內齒圈所有外約束的剛度之和不變時， 降低單個外約束的剛度也即增大外約束的數(shù)目可小幅度地降低齒圈的面內振動頻率； 相比于外約束， 內約束數(shù)目和剛度對內齒圈面內振動頻率影響較小， 隨著內約束數(shù)目和剛度的增加， 同一節(jié)徑數(shù)下的內齒圈面內振動頻率呈緩慢增大趨勢. 嚙合相位變化時， 面內振動模式的固有頻率變化較大.

行星齒輪； 內齒圈； 結構柔性； 邊界條件； 固有頻率

0 引言

為提高行星輪系的功重比， 工程中常采用柔性內齒圈的設計方案. 此舉不僅可有效減輕輪系質量， 還可借助內齒圈的柔性來提升輪系的均載性能[1]. 作為系統(tǒng)振動能量傳遞的主要路線和關鍵節(jié)點， 輪系各構件間的動態(tài)載荷往往經由內齒圈傳至機體， 故內齒圈的柔性及由此激起的諧振可能會加劇系統(tǒng)的振動， 而輪系的振動和噪聲又是影響系統(tǒng)可靠性、 壽命及操作環(huán)境的關鍵因素. 已有研究表明， 對于薄緣內齒圈或具有浮動行星輪的系統(tǒng)， 內齒圈的柔性對系統(tǒng)動態(tài)特性影響顯著[2]. 因此， 從抑制系統(tǒng)振動、 降低傳動噪聲的角度考慮， 在行星輪系的動態(tài)分析及設計中必須計入內齒圈振動特性的影響. 圍繞行星輪系的動力學問題， 學術界開展了大量研究， 內容涉及動力學建模、 固有特性分析、 動態(tài)響應求解、 振動噪聲抑制等多個方面[3]. 這其中， 動力學建模和固有特性分析是進行后續(xù)動力性能研究及減振降噪的基礎.

Kahraman等[4-6]運用有限元法相繼建立了行星輪系的準靜態(tài)和動態(tài)受力模型， 分析了內齒圈柔性對齒輪應力、 各行星輪間載荷分配以及系統(tǒng)動態(tài)特性的影響. 然而， 上述有限元模型雖計及內齒圈對系統(tǒng)受力特性的影響， 但其對內齒圈邊界條件的處理過于簡單， 僅將內齒圈輪緣表面全部節(jié)點按固定約束處理， 這與內齒圈的實際安裝工況有一定出入. 由于有限元模型的分析精度取決于對邊界條件的正確處理， 因此， 上述簡化必然會降低系統(tǒng)動態(tài)特性預測的準確性. Tanna等[7-8]從柔性內齒圈自身振動特性出發(fā)， 建立了用于預測該構件自由振動特性的有限元模型， 得出了內齒圈自由振動下的4種典型振動模式， 并進一步探討了不同約束方式及結構簡化對內齒圈固有特性的影響. 此后， 他們又進一步分析了設計參數(shù)對內齒圈自由振動特性的影響規(guī)律[9]. 但是， Tanna等人的研究并未考慮輪系中行星輪對內齒圈的約束， 也未計及機體對內齒圈外輪緣的周向約束， 而僅對內齒圈外輪緣作簡單的徑向約束處理. 顯然， 上述約束處理與內齒圈的真實邊界條件相差甚遠， 其相關結論也不宜直接應用于輪系的動態(tài)分析和設計.

Kim等[10]研究了恒轉速薄圓環(huán)的非線性自由振動. Metrikine和Forbes等[11-12]對旋轉移動載荷作用下的光滑彈性圓環(huán)進行了振動分析. Wu和Cooley等[13-14]將內齒圈處理為在一定約束作用下的光滑彈性圓環(huán)， 并對其進行了振動分析. 在此基礎上， Parker等[15]進一步探討了移動變剛度彈簧約束下光滑圓環(huán)的振動穩(wěn)定性問題. 此后， Parker又將該模型延伸至行星輪系的動力學研究， 相繼建立了計入支承約束的柔性內齒圈的振動模型以及包含柔性內齒圈的行星輪系動力學模型， 并分別對內齒圈和行星輪系的振動特性進行了探討[16-18]. 上述研究中， 文[13]將內齒圈的邊界條件視為兩組動態(tài)激勵， 并采用一組連續(xù)分布且正交的內外彈簧約束來模擬其邊界條件. 然而， 由于內齒圈內外約束的數(shù)目即行星輪個數(shù)與外輪緣上花鍵齒的數(shù)目一般并不相同， 故該文將內外約束表征為若干正交彈簧且認為內外約束剛度相同的做法與實際不相符. 并且， 上述研究也未就內外約束的數(shù)目及約束強度對內齒圈振動特性的影響作進一步探討.

本研究從實際設計角度出發(fā)， 明確不同構型方案(如行星輪個數(shù))下內齒圈的安裝結構(如輪緣厚度、 花鍵齒的個數(shù)及尺寸)對內齒圈乃至輪系振動特性的影響， 對設計具有優(yōu)良動態(tài)性能的行星傳動裝置具有重要的工程意義. 為實現(xiàn)這一目標， 在結構設計階段采用有限元法無疑是時間成本較高的一種措施； 相反， 若能借助解析模型揭示出相關設計參數(shù)對內齒圈振動特性的影響規(guī)律， 并初步給出主要設計參數(shù)的選擇區(qū)間， 則可大大減少結構參數(shù)優(yōu)選的工作量. 基于這一考量， 擬采用彈性力學方法建立綜合考慮行星輪嚙合約束和花鍵套支承約束的柔性內齒圈的動力學模型， 通過對內齒圈結構柔性和邊界條件的量化處理， 揭示內齒圈結構參數(shù)、 內外約束的數(shù)目和強度對其振動特性的影響規(guī)律， 希冀為后續(xù)的行星輪系動態(tài)設計和性能優(yōu)化提供初步的力學計算依據(jù).

1 動力學模型

為降低建模和數(shù)學處理難度， 將行星內齒圈簡化為如圖1所示的具有等效內外半徑并同時受內外約束的光滑彈性圓環(huán)(薄壁圓環(huán)理論). 由有限元模態(tài)分析并經數(shù)據(jù)回歸知， 當光滑彈性圓環(huán)的內、 外徑分別取為行星內齒圈的分度圓和外緣半徑時， 其自由振動特性與真實內齒圈的振動特性非常貼近. 有鑒于此， 后續(xù)建模和分析中將上述光滑彈性圓環(huán)的內、 外徑分別設為行星內齒圈的分度圓半徑rr和輪緣外徑ro， 并設定彈性圓環(huán)的中性層半徑為r.

對直齒行星傳動而言， 內齒圈一般僅作平面振動， 故假設圓環(huán)截面在變形過程中仍保持平面(見圖1)， 且始終與其自身軸線相垂直， 僅考察圓環(huán)的平面內振動. 由彈性力學理論可知， 上述圓環(huán)的變形狀態(tài)可由中性層軸線上各點沿r、θ方向的切向位移分量u和徑向位移分量w所確定， 其中：u、w均為θ和t的函數(shù)， 并可寫為u(θ,t)和w(θ,t). 為清晰計， 后續(xù)如不做特別說明，u(θ,t)和w(θ,t)一律簡寫為u和w.

由行星輪系的運行工況知， 行星內齒圈同時受行星輪嚙合力和機體支承力的約束. 不妨將內齒圈與行星輪間的嚙合力視為內約束， 而將內齒圈與機體間的支承力視為外約束. 其中： 內約束以一組沿內嚙合副理論嚙合線方向并與綜合平均嚙合剛度等效的線性彈簧表征， 其與徑向線之間的夾角設為γ， 彈簧數(shù)目由嚙合副數(shù)目決定； 外約束以一組分布于圓環(huán)外緣且與實際支承剛度等同的正交線性彈簧表征， 其方向分別取為圓環(huán)上約束點的切向和徑向， 其正交彈簧組的數(shù)目由內齒圈的實際安裝結構確定. 顯然， 經上述定義的內、 外約束剛度均為約束位置的函數(shù). 不失一般性， 分別以d(θ)、l(θ)表征內外約束剛度的分布特性， 而以kp、kh表征內、 外約束的強度， 則內、 外約束剛度分別為kpd(θ)和khl(θ). 其中：kp、kh又可進一步分解為沿切向和徑向的kpu、kpw和khu、khw. 清晰起見， 圖中僅示出外約束剛度的分解示意.

針對圖1所示的行星內齒圈等效力學模型， 可取該光滑彈性圓環(huán)的任一微元段進行研究. 圖2列出了彈性圓環(huán)任一微元段的受力狀況[2,19].

圖中:Fu、Fw分別為內齒圈微元段所受的切向力和徑向力. 由圖2并結合彈性力學相關理論， 可導出行星內齒圈沿切向和徑向的運動微分方程為：

(1)

(2)

因設定行星內齒圈僅作平面振動， 故由彈性力學理論可知存在：

(3)

聯(lián)立式(1)～(3)可得行星內齒圈的運動微分方程：

(4)

式中：M、L為微分算子， 且有：

(5)

不妨令：khu=δ1kh，khw=δ2kh，kp=δ3kh， 則有：

(6)

(7)

式中：L1為算子， 且有：

(8)

其中：g、h均為位置θ的函數(shù)， 且有：

(9)

2 振動特性分析

針對式(7)表征的行星內齒圈運動微分方程， 可采用攝動法求解其無約束條件下的固有頻率及振型函數(shù).

不妨設定行星內齒圈的振型函數(shù)為u*(θ,t)=u*(θ)ei ω t， 為方便表述， 省略上標“*”， 將其簡寫為u(θ,t)=u(θ)ei ω t并代入式(7)， 可得內齒圈的特征值方程：

(10)

由攝動法， 可將u、ω2展開為ε的冪級數(shù)：

(11)

將式(11)代入式(10)并省略高階項， 可得：

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

式中：δkj為克羅內克函數(shù)， 其數(shù)學表述為：

(17)

將式(14)代入式(16)， 并化簡可得：

(18)

(19)

由ε1， 即式(13)的可解性條件， 可寫出：

(20)

考慮到ein θ可按歐拉公式展開為三角函數(shù)的組合， 且三角函數(shù)在區(qū)間[0, 2π]上存在積分正交性， 同時注意到g、h均為θ的函數(shù)， 故可將g(θ)、h(θ)函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)形式， 從而與ein θ形式統(tǒng)一.g(θ)、h(θ)的傅里葉級數(shù)展開形式為：

(21)

式中：gm、hm為g(θ)、h(θ)的傅里葉系數(shù).

由式(9)可知，g、h為d(θ)、l(θ)的函數(shù)， 故采用同樣方法進一步將d(θ)、l(θ)展開為：

(22)

式中：dm、em為d(θ)、l(θ)的傅里葉系數(shù)， 且有：

(23)

將式(21)～(23)代入式(20)， 化簡并組裝后可得：

(24)

式中：D為厄米特算子；I為單位矩陣；λn為特征值；an為對應的特征向量， 且有：

(25)

式(24)的特征值問題為：

(26)

求解式(26)可得方程(24)的特征值：

(27)

式中：i=1, 2， 且當i=1時“±”取“+”，i=2時， “±”取“-”.

將式(27)代入式(24)后， 可進一步求出特征向量an， 進而得到an, 1以及an, 2的值， 最后通過式(15)可確定u0.

式(27)表明，λni中包含g、h的傅里葉展開系數(shù)項， 進一步由式(23)可知，λni為內、 外約束剛度分布d、l的函數(shù). 以下將推導λni與內、 外約束剛度分布特性之間的函數(shù)關系.

不失一般性， 對行星內齒圈的相關參數(shù)作如下設定：

1) 內齒圈模數(shù)為m， 齒數(shù)為z， 齒根圓半徑為rf， 輪緣外徑為ro， 齒寬為b0；

2) 內齒圈與np個周向均布的行星輪相嚙合， 其綜合平均嚙合剛度為kp， 各嚙合副的重合度為εrp；

3) 內齒圈通過nh個均布的機械連接(花鍵、 銷釘?shù)?與機體相連， 各連接處剛度設為kh， 且其對應的圓心角設為εh.

經上述設定后， 行星內齒圈的內、 外約束剛度分布特性d(θ)、l(θ)可表示為：

(28)

將d(θ)、l(θ)在θ的負半軸上作偶延拓， 可將式(28)按傅里葉級數(shù)展開， 可得：

(29)

寫成復數(shù)形式為：

(30)

由上式可得：

(31)

將式(31)代入式(23)， 并聯(lián)立式(27)， 可得：

(32)

上式中， 系數(shù)C1、C2為：

(33)

其中：C3=sin(2npnδp)，C4=sin(2nhnδh).

將式(32)代入式(24)， 可得特征向量：

(34)

再由振型歸一化條件〈Mu0,u0〉=1， 可得：

(35)

進而可得無約束下內齒圈振動位移函數(shù)為：

(36)

式(32)、 (36)分別給出了無約束情況下行星內齒圈的振動頻率和位移函數(shù). 為考慮內、 外約束對振動特性的影響， 還應在上述兩式基礎上， 進一步計入ε1式中的頻率修正項. 因此， 將式(36)代入式(13)， 可得：

(37)

代入各算子， 可得式(37)右端兩項為：

(38)

(39)

式中：C6=δ1+n2δ2，C7=δ3cosγ+n2δ3sinγ.

經過量綱還原可得計入內、 外約束邊界的行星內齒圈的面內振動頻率為：

(40)

式中：ρ為內齒圈的線密度;r為內齒圈中性層半徑;E為彈性模量;Jz為等效圓環(huán)截面繞其自身軸線的轉動慣量;ν為泊松比.

3 算例分析與模型驗證

為方便比較， 不妨以文[20]中的某汽車變速箱中內齒圈為例， 結構參數(shù)如下：z=78， 模數(shù)m=1.55 mm， 內徑da=121.00 mm， 外徑ro=135.56 mm， 行星輪個數(shù)np=4， 花鍵齒數(shù)h=15， 外輪緣鍵角寬t=6°， 齒寬b0=30.73 mm， 內剛度kp=60 MN·m-1， 外剛度kh=20 MN·m-1. 采用基于上述彈性力學模型推導的計入內、 外約束的內齒圈面內振動方程分析其振動特性.

由上述參數(shù)可進一步計算出頻率修正項b1， 將其代入式(40)即得內齒圈面內振動頻率. 考慮到低頻特性對輪系振動特性的影響較大， 僅給出內齒圈前6階面內振動的結果， 即節(jié)徑數(shù)為2到7的面內彎曲振動固有頻率， 如表1所示. 為清晰計， 表1進一步給出了文獻[20]中的有限元模態(tài)分析結果和模態(tài)試驗結果.

由表1可見， 上述理論計算頻率與模態(tài)試驗和有限元結果相比較， 誤差約0～6%. 驗證了該理論模型的合理以及適用性， 從而可用于后續(xù)的參數(shù)影響分析. 誤差主要來源于有限元模型和理論模型的齒廓、 材料特性和邊界條件等與真實齒輪之間存在微小的差別.

表1 面內彎曲固有頻率Tab.1 The natural frequencies of the in-plane bending

4 參數(shù)影響分析

以表1參數(shù)為基準值， 運用本文所建理論模型， 考察內齒圈結構柔性及邊界條件對內齒圈面內振動的影響.

首先分析齒圈結構柔性對面內振動的影響. 為直觀計， 不妨以內齒圈輪緣厚度來表征齒圈的結構柔性. 篇幅所限， 僅給出輪緣厚度δ在[4, 7.2] mm變化時， 齒圈1、 2階面內彎曲振動頻率的變化， 其結果如圖3所示.

由圖3可見， 在其他參數(shù)不變時， 隨著內齒圈輪緣厚度的增大， 同一節(jié)徑下的面內彎曲振動頻率顯著增大. 換言之， 內齒圈的結構柔性可有效降低其面內彎曲振動頻率.

接下來考察外約束剛度對內齒圈面內振動的影響. 圖4所示為內齒圈與機體間的單個外約束剛度kh在[107, 108]N·m-1間變化時第1、 2階面內彎曲振動頻率的變化.

圖4表明， 隨著外約束剛度的增大， 同一節(jié)徑數(shù)下的內齒圈面內振動頻率呈緩慢的單調遞增趨勢. 對比圖3、 4可知， 內齒圈面內振動頻率受其輪緣厚度(結構柔性)的影響更加明顯， 而受外約束剛度的影響程度則相對較弱. 因此可以推斷， 在行星輪結構設計中， 可在保證內齒圈與機體間的約束強度前提下適當增大輪緣厚度以提高內齒圈面內振動頻率.

再來考察外約束總剛度不變時約束數(shù)目的影響. 不防定義外約束總剛度為Kh， 且Kh=nh×kh， 則計算可得上述算例中Kh=0.3 GN·m-1. 當Kh不變時， 外約束數(shù)目nh對內齒圈面內振動特性的影響如圖5所示.

由圖5可見， 當內齒圈所有外約束剛度之和Kh不變時， 外約束數(shù)目的增多將導致面內振動頻率的緩慢降低， 且降低的速度隨著外約束數(shù)目的增大而放緩.

最后分析內約束數(shù)目和內約束剛度對內齒圈面內振動的影響. 仍以n=2、n=3為例， 其面內振動頻率的變化規(guī)律如圖6、 7所示.

從圖6可知， 其他條件不變時， 隨著內約束數(shù)目的增多， 內齒圈的面內振動頻率呈緩慢增大趨勢， 但增幅很小. 相應地， 圖7亦表明內約束剛度對內齒圈面內振動頻率也有輕微影響， 隨著內約束剛度的增大， 齒圈振動頻率呈單調遞增趨勢. 將圖6、 7與圖4、 5對比可以發(fā)現(xiàn)， 相比于內約束， 外約束的數(shù)目和剛度對內齒圈面內振動的影響更為明顯， 且內約束的數(shù)目和強度主要取決于行星輪布局和輪系基本參數(shù)設計， 因此在進行該類傳動系統(tǒng)的動態(tài)設計和分析時， 應著重關注內齒圈的安裝方式及其對輪系振動的影響.

6 結語

1) 將真實內齒圈結構簡化為光滑彈性圓環(huán)、 將行星輪嚙合約束和內齒圈安裝約束處理為彈簧約束進而采用彈性力學方法建立內齒圈面內振動方程的思路是可行的， 基于所提理論模型的解析計算結果與有限元和實驗數(shù)據(jù)吻合較好， 可準確揭示內齒圈的面內振動特性.

2) 有別于傳統(tǒng)的有限元方法， 將內齒圈內外約束的具體結構表征為具有相應力學性能的彈簧約束的邊界條件處理方案, 可極大提升建模和分析的效率. 此外， 可通過對外約束彈簧兩正交方向上剛度的調整來模擬不同的齒圈安裝方式(如花鍵、 銷釘、 法蘭或過盈)， 從而極大地提升了模型的適應性， 為后續(xù)計入內齒圈柔性的行星輪系動力學分析提供了一種新的解決方案.

3) 內齒圈面內振動頻率受其結構柔性的影響顯著， 隨著結構柔性的增加， 各階面內振動頻率呈明顯單調遞增趨勢.

4) 內齒圈的外約束剛度和數(shù)目對其面內振動具有一定的影響， 約束剛度的增大將導致內齒圈面內振動頻率的增高， 而外約束總剛度不變時約束數(shù)目的增多將使得內齒圈面內振動頻率呈緩慢降低趨勢. 因此， 在內齒圈的安裝方式選擇和動態(tài)設計時應考慮這一特性.

5) 相較于外約束， 內約束對內齒圈面內振動的影響較弱， 隨著內約束數(shù)目和剛度的增大， 內齒圈各階面內振動頻率緩慢增大， 但增幅較小.

6) 內、 外約束的數(shù)目、 剛度及內約束位置均對內齒圈的振動特性產生影響. 相對而言， 內齒圈面內彎曲振型較剛體運動振型和面外彎曲振型更易受到邊界條件(安裝工況)的影響.

7) 面外彎曲和擺動模式受內約束位置的影響較小， 而面內彎曲模式受內約束位置的影響最大.

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(責任編輯： 沈蕓)

In-plane vibration analysis of ring gear with considerations for structural flexibility and boundary conditions

BIAN Shiyuan1, LIU Xianzeng2, JIAO Yang3, ZHANG Jun1, 4

(1. College of Mechanical Engineering, Anhui University of Technology, Ma’anshan, Anhui 243032, China;2. School of Mechanical Engineering, Tianjing University, Tianjing 300072, China;3. Nanjing Technical Equipment Manufacture Co LTD, Nanjing, Jiangsu 211178, China;4. College of Mechanical Engineering and Automation, Fuzhou University, Fuzhou, Fujian 350116, China)

The differential equation of motion for the ring gear is derived and solved, leading to an analytical expression for the natural frequency of in-plane vibration. The proposed model is then applied to a ring gear in an automobile transmission gearbox to formulate the in-plane vibration characteristics and validated by numerical and experimental results in previous research, indicating the present model can be applied for further parameter studies. The effects of structural flexibilities as well as boundary conditions on in-plane vibration properties are investigated with the purpose of providing some useful information for planetary gear train designers. The studies show that the rim thickness affects the vibration frequencies significantly and the external constrains have a ‘stronger’ influence on the vibration frequencies than the internal constrains. It is suggested that more attentions should be made on the installing of ring gear to achieve good dynamic performance.

planetary gears; ring gear; structural flexibility; boundary conditions; natural frequency

10.7631/issn.1000-2243.2016.05.0694

1000-2243(2016)05-0694-09

2016-01-11

張俊(1981-)， 教授， 主要從事機械傳動、 機械系統(tǒng)動力學和機器人機構學研究， zhang_jun@tju.edu.cn

國家自然科學基金資助項目(50905122， 51375013)； 安徽省自然科學基金資助項目(1208085ME64)； 安徽工業(yè)大學研究生創(chuàng)新基金資助項目(2014055)

TH132.4

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