李文會，劉鵬程，李中超

（1.中國地質(zhì)大學(xué)（北京）能源學(xué)院，北京 100083；2.中國石化中原油田分公司勘探開發(fā)研究院，河南 濮陽 457001）

變表皮系數(shù)試井解釋模型建立及應(yīng)用

李文會1，劉鵬程1，李中超2

（1.中國地質(zhì)大學(xué)（北京）能源學(xué)院，北京 100083；2.中國石化中原油田分公司勘探開發(fā)研究院，河南 濮陽 457001）

目前大部分試井?dāng)?shù)學(xué)模型將表皮系數(shù)視為常數(shù)，然而這僅是一種簡化的處理。在實際生產(chǎn)過程中，注入或產(chǎn)出的流體可能沖刷巖石顆粒或者攜帶雜質(zhì)顆粒進(jìn)入地層，因此表皮系數(shù)是隨時間變化的。文中將受影響區(qū)域的平均滲透率定義為一個時間的函數(shù)，利用經(jīng)典表皮系數(shù)的定義，建立了表皮系數(shù)與時間的關(guān)系式，稱之為變表皮系數(shù)；將該變表皮系數(shù)代替?zhèn)鹘y(tǒng)試井解釋模型內(nèi)視為常數(shù)的表皮系數(shù)，建立變表皮系數(shù)試井解釋數(shù)學(xué)模型；利用拉普拉斯變換求解出該模型在拉氏空間內(nèi)的解，并利用Stehfest數(shù)值反演計算出實空間的解；做出無量綱井壁壓力和壓力導(dǎo)數(shù)隨時間變化的雙對數(shù)圖，并分析了變表皮系數(shù)表達(dá)式中各參數(shù)對無量綱井壁壓力及壓力導(dǎo)數(shù)的影響。文中利用勝利油田勝2區(qū)塊一口井的實測試井?dāng)?shù)據(jù)進(jìn)行實例分析，說明了該模型的適用性。

試井解釋；變表皮系數(shù)；污染區(qū)域滲透率；典型曲線；模型

0　引言

表皮系數(shù)是用來表征近井地帶受到污染程度大小的參數(shù)，由此引起近井地帶產(chǎn)生的附加壓力降稱為表皮效應(yīng)［1-3］。引起表皮效應(yīng)的因素有很多，包括鉆井過程中鉆井液的侵入、射孔的不完善、壓裂、酸化等［4-5］。

在現(xiàn)今的試井解釋數(shù)學(xué)模型中，通常將表皮系數(shù)視為常數(shù)［6-7］，對于大部分生產(chǎn)井，這樣做可以滿足工程計算要求。然而，對于某些高滲井和儲層膠結(jié)程度不高的井，在生產(chǎn)過程中近井地帶壓力梯度大，流體流速快，可以將鉆井過程中侵入的鉆井液及未膠結(jié)的砂粒沖刷帶入井筒，此過程增大了近井地帶的滲透率，降低了表皮系數(shù)［8］；對于某些低滲透井，在生產(chǎn)和注水過程中，由于流體流動速度較慢，地層中的微粒逐漸堆積在近井地帶，隨時間推移，表皮系數(shù)逐漸增大。因此，在上述這些情況下，表皮系數(shù)往往是隨時間變化的，且變化較明顯，將表皮系數(shù)視為常數(shù)是不合適的，可能會導(dǎo)致錯誤的試井解釋結(jié)果［9-10］。

本文將近井地帶的滲透率視為時間的函數(shù)，從表皮系數(shù)的定義出發(fā)，建立起變表皮試井解釋數(shù)學(xué)模型，并對該模型求解，繪制了無量綱壓力以及無量綱壓力導(dǎo)數(shù)圖版，補充了試井理論中表皮系數(shù)的內(nèi)容。

1　定義變表皮系數(shù)

將污染區(qū)域的平均滲透率視為時間的函數(shù)，其變化規(guī)律為：早期，因為較細(xì)的顆粒容易被沖刷帶入井筒中或堆積在近井地帶，污染區(qū)域平均滲透率變化速度較快；隨時間推移，這種顆粒越來越少，滲透率的變化也越來越慢；最后，污染區(qū)域平均滲透率趨近于常數(shù)。借鑒Fair［11］對于變井筒儲集系數(shù)的處理，該規(guī)律為

式中：Ks為污染區(qū)域平均滲透率，μm2；Ksi為污染區(qū)域初始（t=0）時刻平均滲透率，μm2；vi為滲透率初始遞變速率，d-1；t為時間，d；β為常數(shù)（β<1）。

則污染區(qū)域滲透率變化趨勢如圖1、圖2所示。

由圖1可知，當(dāng)vi為定值時，β控制了Ksi/Ks的極限值，即：

當(dāng)β值為正值時，代表Ks逐漸增大；β為負(fù)值時，代表Ks逐漸降低；且β的絕對值越大，代表Ks最終變化程度越明顯。

由圖2可知，當(dāng)β為定值時，vi決定了Ksi/Ks趨近極限值的時間，vi越大，Ksi/Ks趨近極限值1-β的時間越短，曲線越陡，說明Ks的遞變速度越快。

式（1）中通過定義β和vi參數(shù)來描述污染區(qū)域的滲透率恢復(fù)特征，表皮系數(shù)的定義：

式中：S為表皮系數(shù)；K為地層平均滲透率，μm2；rs為污染區(qū)域半徑，m；rw為井筒半徑，m。

假設(shè)污染區(qū)域半徑不變，即rs為定值，不妨定義初始時刻（t=0）的表皮系數(shù)Si為

Si為常數(shù)，而S是時間的函數(shù)（因為Ks是時間的函數(shù)），可以利用Ks與Ksi的關(guān)系建立起S與Si的關(guān)系，聯(lián)立式（1）、式（3）和式（4），得到：

2　建立并求解數(shù)學(xué)模型

2.1模型假設(shè)條件

假設(shè)平面無限大，厚度為h的均質(zhì)地層中有一口生產(chǎn)井以q的速度生產(chǎn)，原始地層壓力為pi，井底流壓為pwf，儲層滲透率為K，孔隙度為φ，井筒半徑為rw，流體黏度為μ，流體體積系數(shù)為B，綜合壓縮系數(shù)為ct，表皮系數(shù)為S，井筒儲集系數(shù)為C，儲層中發(fā)生達(dá)西徑向滲流。所有參數(shù)單位均為SI制。

2.2數(shù)學(xué)模型建立

其中：pD為無量綱壓力；pwD為無量綱井壁壓力；tD為無量綱時間；rD為無量綱半徑；CD為無量綱井筒儲集系數(shù)；viD為無量綱滲透率初始遞變速率；rsD為無量綱污染半徑。

流動早期，井筒儲集效應(yīng)明顯，地面產(chǎn)出液全部或大部分是由井筒內(nèi)儲集的流體供應(yīng)的，這時的流動并未完全波及到儲層，此時可將表皮系數(shù)視為常數(shù)Si；當(dāng)井筒儲集效應(yīng)逐漸減弱，地層滲流速度增大，流動完全波及到儲層，此時的表皮系數(shù)應(yīng)為變量S。

Rammy等［12］認(rèn)為，井筒儲集效應(yīng)結(jié)束時間為

式中：tαD為井筒儲集效應(yīng)結(jié)束時的無量綱時間。

據(jù)此，建立的無量綱數(shù)學(xué)模型，控制方程為

初始條件為

外邊界條件為

內(nèi)邊界條件為

1）當(dāng)tD＜tαD時

2）當(dāng)tD≥tαD時

利用Laplace變換，得到方程組在拉氏空間的解為

由計算結(jié)果繪制的無量綱井壁壓力與無量綱時間的雙對數(shù)圖見圖3—5。各圖中所取的Si值為相同的4組值，分別為1，5，10，20。由圖3—5可知，Si的值越大，無量綱井壁壓力曲線簇的值越大，無量綱壓力導(dǎo)數(shù)的峰值也越高。

3.1β對無量綱井壁壓力的影響

取ln rsD=40，viD=0.000 01，CD=10，畫出實空間pwD及dpwD/d ln tD與tD的雙對數(shù)圖（見圖3）。

圖3a中共取了3組β值，分別為-0.5，0，0.5。β值的大小反映了污染區(qū)域平均滲透率最終的恢復(fù)程度，β越大，Ksi/Ks越小，最終的表皮系數(shù)S越小。在圖3中，β為正值時，pwD先減小，待S穩(wěn)定后緩慢增加，壓力導(dǎo)數(shù)曲線會出現(xiàn)負(fù)值，故在雙對數(shù)圖上不連續(xù)，且Si越大，出現(xiàn)負(fù)值的范圍越大，曲線“開口”越大；β為負(fù)值，pwD先快速增加，待S穩(wěn)定后緩慢增加，壓力導(dǎo)數(shù)曲線會出現(xiàn)第2個峰值，且Si越大，曲線峰值越高；β為0時表

式中：k0，k1分別為修正的零階和一階貝塞爾方程；s為拉普拉斯變換的復(fù)變量。

式（12）可通過stehfest［13］數(shù)值反演，得到實空間的井壁壓力。

3　計算結(jié)果分析

示表皮系數(shù)為常數(shù)，壓力導(dǎo)數(shù)曲線在出現(xiàn)第1個峰值后逐漸趨于0.5。

當(dāng)取ln rsD=40，β=-0.3，CD=10時，畫出實空間pwD及dpwD/d ln tD與無量綱時間tD的雙對數(shù)圖 （見圖4）。圖4取了3組viD值，分別為0.0001，0.00001，0.000001。viD的大小反映了Ks變化速度的快慢，viD越大，則Ks變化速度越快，S的變化速度也越快。在圖4中，則為viD越大，pwD上升速度越快，壓力導(dǎo)數(shù)曲線出現(xiàn)第2個峰值（β為負(fù)值）或“開口”（β為正值）的時間越早，但當(dāng)Si和β值不變時，不同viD值的壓力曲線最終匯聚成為一條曲線，壓力導(dǎo)數(shù)曲線最終也會回歸到0.5。

3.3rsD對pwD的影響

當(dāng)取viD=0.000 05，β=-0.3，CD=10時，畫出實空間pwD及dpwD/dlntD與tD的雙對數(shù)圖（見圖5）。

圖5取了3組rsD值，分別為10，100，1 000。rsD的值反映了污染區(qū)域面積的大小，rsD越大，污染區(qū)域越大，在地層中可被流體沖刷或堆積的污染顆粒越多，最終的表皮系數(shù)S變化也越明顯。

在圖5中，rsD越大，pwD上升幅度越大，且最終pwD的值也越大，壓力導(dǎo)數(shù)曲線的第2個峰值（β為負(fù)值）或“開口”（β為正值）也越大。由圖5中還可以知道，rsD對于pwD的影響程度較小，尤其對于較大的Si的影響更小。這是因為污染半徑一般不會超過6 m［14］，故污染半徑的變化范圍較小，在進(jìn)行實例分析時，可以忽略污染半徑的影響。

4　實例分析

以勝利油田勝2區(qū)ST2-0-608井11-5小層進(jìn)行的壓力降落試井?dāng)?shù)據(jù)為例，油層厚度h為5.6 m，原油黏度μ為4.2 mPa·s，體積系數(shù)B為1.10 m3/m3，井筒半徑rw為0.1 m，日產(chǎn)油量q為450 m3，綜合壓縮系數(shù)ct為8.9×10-4MPa-1。試井過程中井底流壓始終大于原油泡點壓力，故生產(chǎn)過程為單相油流。用本文提出的模型制作的典型曲線與試井實測數(shù)據(jù)擬合的結(jié)果見圖6。

典型曲線中參數(shù)分別為：viD=0.001，β=0.7，CD=100，Si=9.0，rsD=40。選取某一擬合點在2張圖中對應(yīng)的坐標(biāo)分別為（18，4.66）和（106，5.12）。

計算儲層的參數(shù)分別為

根據(jù)圖6計算的污染區(qū)域初始滲透率為 0.75 μm2，該儲層的滲透率應(yīng)為0.75/（1-β）=2.5 μm2，與后期經(jīng)過反復(fù)認(rèn)識得到的結(jié)果2.8 μm2基本一致，說明此次的計算結(jié)果基本正確。

從圖6及以上計算的數(shù)據(jù)可以看出，由于試井時流體流速較快，且地層滲透率較大，產(chǎn)生清潔效應(yīng)導(dǎo)致井周圍污染物被沖刷進(jìn)入井筒［8，15］，表皮系數(shù)降低，表皮系數(shù)隨時間的變化規(guī)律如圖7所示。

從圖7及滲透率的計算結(jié)果可知，該井Ksi僅為0.75 μm2，表皮系數(shù)高達(dá)9.0，然而隨生產(chǎn)時間增加，滲透率逐漸恢復(fù)到2.5 μm2，表皮系數(shù)也趨近于0。

若是后續(xù)對該井進(jìn)行配產(chǎn)及相關(guān)作業(yè)，如果沒有考慮井周圍表皮系數(shù)變化，可能會導(dǎo)致油井配產(chǎn)過小或造成一些不必要的施工作業(yè)，造成經(jīng)濟損失。

5　結(jié)論

1）本文建立了考慮變表皮系數(shù)的滲流數(shù)學(xué)模型，該模型通過定義2個參數(shù)β和viD來刻畫表皮系數(shù)與時間的關(guān)系，實例分析證明應(yīng)用該參數(shù)是合理的。

2）利用拉普拉斯變換求解本文模型，做出無量綱井壁壓力和壓力導(dǎo)數(shù)隨無量綱時間變化的雙對數(shù)圖，并分析了變表皮系數(shù)表達(dá)式中各參數(shù)對無量綱井壁壓力及壓力導(dǎo)數(shù)的影響。

3）井筒儲集效應(yīng)在早期段考慮，此時的流動沒有完全擴展至地層，故可近似將此時段的表皮系數(shù)視為常數(shù)，當(dāng)井筒儲集效應(yīng)結(jié)束后，將表皮系數(shù)視為變量。

4）利用勝利油田一口井的實測試井?dāng)?shù)據(jù)進(jìn)行實例分析，說明該模型的適用性。本文提出的數(shù)學(xué)模型在繪制壓力導(dǎo)數(shù)圖版時，因為拉普拉斯解是一個分段函數(shù)，且存在無量綱壓力下降的情況，故壓力導(dǎo)數(shù)曲線會出現(xiàn)不光滑以及出現(xiàn)負(fù)值的情況，但并不影響應(yīng)用。

［1］El-KHATIB N A F.Evaluation of formation damage from transient pressureanalysis：unsteady state skin factor［R］.SPE 140961，2011.

［2］BAHADORI A.Prediction of skin factor and pseudo-steady state horizontal wells productivity for various drainage areas［R］.SPE 156278，2012.

［3］SUN D，LI B，GLADKIKH M，et al.Comparison of skin factors for perforated completions calculated with computational-fluid-dynamics software and the Karakas-Tariq Semianalytical Model［J］.SPE Drilling &Completion，2013，28（1）：21-33.

［4］安永生，柳文莉，祁香文.射孔完井參數(shù)對水平井產(chǎn)量的影響［J］.斷塊油氣田，2011，18（4）：520-523.

［5］PATIO E A L，AGUDELO A J N，MEJíA J M，et al.Study of formation skin caused by changes in pore pressure using a coupled simulator［C］//ISRM Conference on Rock Mechanics for Natural Resources and Infrastructure-SBMR 2014.Goiania，Brazil：International Society for Rock Mechanics，2014.

［6］YILDIZ T.Assessment of total skin factor in perforated wells［J］.SPE Reservoir Evaluation&Engineering，2006，9（1）：61-76.

［7］李元生，李相方，藤賽男，等.考慮非均質(zhì)及表皮因子的一點法試井資料處理方法［J］.斷塊油氣田，2013，20（2）：258-261.

［8］葉芳春.試井?dāng)?shù)據(jù)中可變表皮和排污效應(yīng)［J］.試采技術(shù)，1991，12 （1）：15-22.

［9］嚴(yán)濤，汪龍杰.變表皮系數(shù)在氣井試井解釋中的應(yīng)用［J］.海洋石油，2006，26（3）：46-50.

［10］陳健，黃炳光，王怒濤，等.變表皮系數(shù)在凝析氣井產(chǎn)能試井中的應(yīng)用［J］.重慶科技學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版），2010，15（3）：39-40.

［11］FAIR W B，Jr.Pressure buildup analysis with wellbore phase redistribution［J］.SocietyofPetroleumEngineersJournal，1981，21（2）：259-270.

［12］RAMEY H J，KUMAR A，GULATI M S.Gas well test analysis under water-driveconditions［M］.NewYork：AmericanGasAssociation，1973：95-97.

［13］STEHFEST H.Algorithm 368：numerical inversion of Laplace transforms［J］.Communications of the ACM，1970，13（1）：47-49.

［14］MOHAMED I M，BLOCK G I，ABOU-SAYED O A，et al.Flow rate dependent skin in water disposal injection well：case study［C］//48th US Rock Mechanics.Minneapolis，MN，USA：Geomechanics Symposium. American Rock Mechanics Association，2014：1-9.

［15］LARSEN L，KVILJO K.Variable-skin and cleanup effects in well-test data［J］.SPE Formation Evaluation，1990，5（3）：272-276.

（編輯楊會朋）

Establishment and application of well testing model considering variable skin factor

LI Wenhui1，LIU Pengcheng1，LI Zhongchao2
（1.School of Energy Resources，China University of Geosciences，Beijing 100083，China；2.Research Institute of Exploration and Development，Zhongyuan Oilfield Company，SINOPEC，Puyang 457001，China）

At present，skin factor is regarded as a constant in most of mathematical models of well test，but this is only a simplified treatment.In the actual production process，fluid of injection or production may scour rock particles or carrying particles into formation，hence，the actual skin factor changes with time.The average permeability of damaged area is defined as a time function in this paper.Using the traditional definition of skin factor，the relationship between the skin factor and time is established，and this skin factor is called variable skin factor.The variable skin factor is introduced to replace the constant skin factor in traditional well test interpretation models，then a new model considering variable skin factor is established.This model can be solved by Laplace transformation in Laplace domain，after that the solution is inversed by the method of stehfest numerical inversion.The dimensionless wellbore pressure and pressure derivative changes with dimensionless time plots are drawn by double logarithm，and the effects of all the parameters on the variable skin factor expression are analyzed on the dimensionless wellbore pressure and pressure derivative. Finally，the welltesting data in Sheng-2 Block，ShengliOilfield，are carried to prove the applicability of the model.

well testing interpretation；variable skin factor；polluted region permeability；typical curve；model

國家科技重大專項課題“稠油油藏、致密油藏提高采收率與發(fā)展趨勢”（2016ZX05016-006）、“超高壓有水氣藏動態(tài)變化規(guī)律研究”（2016ZX05015-002）

TE319

A

10.6056/dkyqt201604018

2015-10-10；改回日期：2016-05-11。

李文會，男，1991年生，在讀碩士研究生，從事滲流力學(xué)方面的實驗和理論研究。E-mail：lpc@cugb.edu.cn。

引用格式：李文會，劉鵬程，李中超.變表皮系數(shù)試井解釋模型建立及應(yīng)用［J］.斷塊油氣田，2016，23（4）：492-496.

LI Wenhui，LIU Pengcheng，LI Zhongchao.Establishment and application of well testing model considering variable skin factor［J］.Fault-Block Oil&Gas Field，2016，23（4）：492-496.