文_陳鍇（北京理工大學(xué) 機械與車輛學(xué)院，北京 100081）

北京軌道交通系統(tǒng)結(jié)構(gòu)與整體連通性分析

文_陳鍇（北京理工大學(xué) 機械與車輛學(xué)院，北京 100081）

為定量分析軌道交通系統(tǒng)整體連通性受單個站點的影響提出方法。在Space-L拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中，從全局網(wǎng)絡(luò)效率計算入手，比較單一節(jié)點失效后全局網(wǎng)絡(luò)效率與原始全局網(wǎng)絡(luò)效率的變化情況，從而對各站點對整個系統(tǒng)連通性的影響進行評價。在分析比較各站點復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)參數(shù)及相對位置后，得出結(jié)論：單個站點對整個系統(tǒng)連通性的影響主要與其在網(wǎng)絡(luò)中的相對位置有關(guān)；位于末端支路與環(huán)狀結(jié)構(gòu)交匯處的站點對連通性影響最大，這些站點一旦失效，將可能導(dǎo)致整條線路崩潰。

交通規(guī)劃；軌道交通系統(tǒng)；復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)；連通性；整體網(wǎng)絡(luò)效率

軌道交通線網(wǎng)的結(jié)構(gòu)與性能一直是國內(nèi)外研究的熱點。李海峰等將軌道交通的網(wǎng)絡(luò)分為放射形軌道交通網(wǎng)絡(luò)、“環(huán)+放射形”軌道交通網(wǎng)絡(luò)、方格形軌道交通網(wǎng)絡(luò)和遍布整個城市的軌道交通網(wǎng)絡(luò)等【1】。沈景炎提出，盡管每座城市線網(wǎng)的構(gòu)架各有特點，但總體上可以歸納為由放射形線網(wǎng)、設(shè)置環(huán)線的線網(wǎng)和棋盤式等基本功能單元組合而成【2】。

但現(xiàn)有的研究往往集中在城市中心區(qū)域的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，忽略了軌道交通線網(wǎng)末端對整體網(wǎng)絡(luò)連通性的影響。如圖1，北京市的軌道交通線網(wǎng)可以視為較為典型的“環(huán)+放射形”軌道交通網(wǎng)絡(luò)。截止至2016年5月，北京市軌道交通系統(tǒng)共有站點277座，其中位于四環(huán)外的站點共142座，占總數(shù)的51.3%；其中位于環(huán)狀結(jié)構(gòu)外的末端支路站點111座，占總數(shù)的40.1%。

這些末端支路站點的存在使得軌道交通線網(wǎng)的功能更加完善，與此同時，由于居住與就業(yè)不匹配導(dǎo)致的早晚高峰大規(guī)模通勤使得部分線路負(fù)荷度過高，最高甚至達(dá)到144%。以地鐵5號線天通苑南站、天通苑站和天通苑北站為例。這些站點所在區(qū)域土地開發(fā)性質(zhì)較為單一，以住宅為主，缺乏就業(yè)機會。因此在早晚高峰，形成了巨大的通勤交通，并呈現(xiàn)出明顯的潮汐交通流向【3】。因此早晚高峰這些站點內(nèi)普遍存在擁擠和旅客滯留的情況。當(dāng)擁擠和滯留達(dá)到一定程度時，節(jié)點功能失效，從而會對整個網(wǎng)絡(luò)的連通性產(chǎn)生負(fù)面影響。

本文通過搭建北京市軌道交通網(wǎng)絡(luò)模型，利用全局網(wǎng)絡(luò)效率分析了地鐵網(wǎng)絡(luò)末端結(jié)構(gòu)對整體連通性的影響。

軌道交通系統(tǒng)與復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)及研究途徑

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)是具有眾多節(jié)點以及特定功能的特殊網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，它擁有一定的幾何性質(zhì)以及相應(yīng)的統(tǒng)計規(guī)律。因此，統(tǒng)計物理和圖論都是研究這種共性的有效工具。

從圖論角度來講，網(wǎng)絡(luò)是指由一個點集和一個邊集組成的相互關(guān)聯(lián)的圖【6】，且中的每條邊都有的一對點與之對應(yīng)。如果任意與對應(yīng)同一條邊，則稱為無向網(wǎng)絡(luò)，否則為有向網(wǎng)絡(luò)；如果任意，則稱為無權(quán)網(wǎng)絡(luò)，否則為加權(quán)網(wǎng)絡(luò)。

從統(tǒng)計物理學(xué)的角度來看，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)可以視作一個包含大量相互作用個體的復(fù)雜系統(tǒng)。它將個體抽象為節(jié)點，將個體間的相互作用抽象為邊，通過研究網(wǎng)路的物理參數(shù)進而了解系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和運動方式。

軌道交通網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建

基于北京市軌道交通系統(tǒng)的物理連接，以276個站點為節(jié)點（其中機場2號航站樓站、機場3號航站樓站視為一個站點），各站點間實際直接連通的地鐵線路為邊，采用Space-L法構(gòu)建復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)。構(gòu)建結(jié)果如圖2。根據(jù)圖示，可以較為清晰地將站點劃分為環(huán)狀結(jié)構(gòu)內(nèi)部站點和環(huán)狀結(jié)構(gòu)外的末端支路站點。

在構(gòu)建過程中，遵循以下原則：

1. 任意直接連通節(jié)點可互為出發(fā)地和目的地，將整個網(wǎng)絡(luò)抽象為無向網(wǎng)絡(luò)；

2. 不考慮城市軌道交通中的各條線路的全天運用車組數(shù)、發(fā)車時間以及各線路發(fā)車間隔差異等因素，即不考慮網(wǎng)絡(luò)中連接權(quán)重問題，將整個網(wǎng)絡(luò)抽象為無權(quán)網(wǎng)絡(luò)；

3. 不考慮站間距差異，任意相鄰兩站間距視為相等；

4. 換乘站不重復(fù)計數(shù)。為方便相關(guān)參數(shù)計算，本文同時構(gòu)建了鄰接矩陣表示該網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。其中（1）

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的基本統(tǒng)計特征

目前在文獻(xiàn)中出現(xiàn)的幾何量有：度分布、最短路徑、相關(guān)系數(shù)、聚類系數(shù)、邊密度、介數(shù)、平均度等等。它們分別描述復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)不同方面的結(jié)構(gòu)特點，可以比較全面的描述復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的內(nèi)在特征。其中較為基本的統(tǒng)計特征有：度(degree distribution)、平均路徑長度(average pathlength)。

度與度分布

節(jié)點度是衡量節(jié)點在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中重要性的指標(biāo)，節(jié)點的度值表示與相鄰的節(jié)點數(shù)目。一般情況下，節(jié)點度值越高，該節(jié)點在網(wǎng)絡(luò)中的重要性越高。網(wǎng)絡(luò)上所有節(jié)點的平均值稱為網(wǎng)絡(luò)平均度，記為。

圖2 北京軌道交通系統(tǒng)拓?fù)鋱D

網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點度的分布情況可以用分布函數(shù)進行表示。

根據(jù)定義統(tǒng)計得到北京市軌道交通系統(tǒng)276個站點的度值，平均度值為2.29。部分節(jié)點度值如表1：

表1 部分節(jié)點度值

整個網(wǎng)絡(luò)度分布結(jié)果如圖3：

圖3 網(wǎng)絡(luò)度分布

根據(jù)以上統(tǒng)計結(jié)果，我們可以看出，度值為2的節(jié)點占絕大多數(shù)。這是由于城市軌道交通線路的特殊性決定的，城市軌道交通網(wǎng)絡(luò)的延伸都是以線的形式增加的，除了始發(fā)站外，其他車站節(jié)點都是以度值2的形式增加的【7】。根據(jù)文獻(xiàn)[8]，目前與2010年相比，平均度值有較大程度的提高，這意味著北京市軌道交通系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)的環(huán)狀結(jié)構(gòu)內(nèi)的網(wǎng)絡(luò)密集度在逐漸增大，這與北京市軌道交通系統(tǒng)的實際情況基本相符。

平均路徑長度

平均路徑長度即網(wǎng)絡(luò)中任意兩點間最短距離的平均值，即：（2）

其中，表示網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點個數(shù)，表示任意兩節(jié)點、間的距離。利用pajek軟件計算得北京市軌道交通系統(tǒng)平均最短路徑為14.39，較2010年有所下降。這體現(xiàn)了隨著網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部的不斷優(yōu)化，換乘更加便捷。

網(wǎng)絡(luò)連通性評價

評價參數(shù)的選擇

在大多數(shù)文獻(xiàn)中，一般選用平均路徑長度作為評價網(wǎng)絡(luò)連通性的指標(biāo)。其評價方法為網(wǎng)絡(luò)平均路徑越短，網(wǎng)絡(luò)連通性越好，反之則連通性越差。但針對軌道交通系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)，這種評價方法存在一定的問題。由于軌道交通網(wǎng)絡(luò)中往往存在較大比例的度值為1或2的節(jié)點，當(dāng)部分節(jié)點被破壞，網(wǎng)絡(luò)中出現(xiàn)孤立點時，只能計算網(wǎng)絡(luò)中最大連通子圖平均路徑長度。此時平均最短路徑減小，這與連通性降低的事實相悖。

因此，這里我們引入網(wǎng)絡(luò)效率這一參數(shù)對網(wǎng)絡(luò)連通性進行評價。在無權(quán)網(wǎng)絡(luò)中，我們定義兩個節(jié)點之間的距離的倒數(shù)為兩個節(jié)點間的效率，即：（3）

當(dāng)兩節(jié)點間不連通時，兩節(jié)點間路徑長度趨近于正無窮，則兩節(jié)點間效率為（4）

針對整個網(wǎng)絡(luò)，我們定義整個網(wǎng)絡(luò)中任意兩個節(jié)點間效率的平均值為全局網(wǎng)絡(luò)效率(Global Efficiency)即：（5）

類似的，針對局部網(wǎng)絡(luò)，我們定義局部網(wǎng)絡(luò)效率（Local Efficiency）為（6）

其中是節(jié)點的臨近組成的網(wǎng)絡(luò)。

此處引用Crucitti P.文中的圖例【4】，試比較兩種評價指標(biāo)在網(wǎng)絡(luò)存在孤立點的情況下參數(shù)的不同，如下圖4所示：

圖4 Crucitti P.文中的圖例Fig.4 The legend of Crucitti P.

上兩圖中G1、G2，節(jié)點數(shù)目完全相同，僅邊數(shù)存在差異，G2中有孤立點，因而只能計算G2最大連通子圖的平均最短路徑長度。利用公式（2）計算，得到L1=1.3， L2=1。根據(jù)計算結(jié)果，G2連通性優(yōu)于G1的結(jié)論與實際情況不符。利用公式（5）計算得，。所得結(jié)論與事實相符合。

因此利用網(wǎng)絡(luò)效率能夠更準(zhǔn)確的反映城市軌道交通網(wǎng)絡(luò)連通可靠性。網(wǎng)絡(luò)全局效率反映了整個網(wǎng)絡(luò)的連通性強弱，網(wǎng)絡(luò)全局效率與網(wǎng)絡(luò)的連通可靠性呈正相關(guān)；當(dāng)網(wǎng)絡(luò)中部分節(jié)點失效后，全局網(wǎng)絡(luò)效率降低。

網(wǎng)絡(luò)效率計算

本文為分析軌道交通網(wǎng)絡(luò)末端結(jié)構(gòu)對網(wǎng)絡(luò)整體連通性的影響，逐一模擬了針對單一站點的攻擊，比較單一節(jié)點受到攻擊后，整體網(wǎng)絡(luò)效率的變化情況。主要工作通過MATLAB完成，核心代碼如下：

A=sparse(A);

ShortPath=graphallshortestpaths(A);

E=1./ShortPath;

E(E==inf)=0;

Eglob=(1/(length(A)*(length(A)-1)))*sum(sum(E))

圖5 全局網(wǎng)絡(luò)效率的分布

表2 西直門萬壽路兩站點的比較

其中表示網(wǎng)絡(luò)鄰接矩陣及其稀疏矩陣，表示基于算法求得的全部平均最短路徑矩陣，表示全局網(wǎng)絡(luò)效率。

依照以上算法計算得正常狀態(tài)下北京市軌道交通系統(tǒng)全局網(wǎng)絡(luò)效率為0.1029，并逐一計算276個節(jié)點分別失效狀態(tài)下，全局網(wǎng)絡(luò)效率變化情況。計算依照各節(jié)點度值分類整理，如圖5：

顯然，雖然節(jié)點度值是表征網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點重要性的主要參數(shù)，但單一節(jié)點對整體網(wǎng)絡(luò)效率的影響大小主要與節(jié)點的相對位置有關(guān)。例如，在整個網(wǎng)絡(luò)中，西直門節(jié)點度值最高，但它的失效對于整體網(wǎng)絡(luò)效率的影響卻小于節(jié)點度值為2的萬壽路站。這里我們用任意節(jié)點失效對應(yīng)的整體網(wǎng)絡(luò)效率與初始網(wǎng)絡(luò)效率的差值所占百分比表示對整體網(wǎng)絡(luò)連通性的影響程度。見（表2）

在前文我們提到，北京市軌道交通系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)是典型的“環(huán)+放射形”結(jié)構(gòu)。如圖6，從網(wǎng)絡(luò)整體來看，將末端支路上的節(jié)點和環(huán)狀結(jié)構(gòu)內(nèi)節(jié)點分別用不同顏色標(biāo)記，并比較其對整體網(wǎng)絡(luò)效率的影響?？梢暂^為明顯地看到，環(huán)狀結(jié)構(gòu)內(nèi)部節(jié)點對整體網(wǎng)絡(luò)效率影響較為平均且相對較?。荒┒酥飞系墓?jié)點對整體網(wǎng)絡(luò)效率的影響則波動較大，其中部分節(jié)點對整體網(wǎng)絡(luò)效率影響非常明顯。（圖6）

在同一線路中，單一節(jié)點對網(wǎng)絡(luò)的連通性的影響呈波浪形浮動。以地鐵一號線及八通線為例，各點對整體網(wǎng)絡(luò)效率的影響如圖7：

如圖所示，該線路對整體網(wǎng)絡(luò)效率的影響最大的兩點分別為公主墳和大望路站。分析比較節(jié)點在整個網(wǎng)絡(luò)的位置不難發(fā)現(xiàn)，兩點均處于環(huán)狀結(jié)構(gòu)與放射線結(jié)構(gòu)交匯位置。同時發(fā)現(xiàn)：在末端支路結(jié)構(gòu)中，越靠近環(huán)狀結(jié)構(gòu)的節(jié)點對整體網(wǎng)絡(luò)影響越大。這是由于環(huán)狀結(jié)構(gòu)內(nèi)部節(jié)點間相互聯(lián)系較為緊密，單一節(jié)點失效后，其他節(jié)點間最短路徑不會出現(xiàn)很大變化。結(jié)合實際情況體現(xiàn)在，環(huán)狀結(jié)構(gòu)中任意站點由于各種原因崩潰，乘客均可以較為容易找到替代路線，利用軌道交通系統(tǒng)完成出行。相反，末端支路上節(jié)點失效將導(dǎo)致孤立節(jié)點的出現(xiàn)，孤立節(jié)點越多對整體網(wǎng)絡(luò)連通性影響越大。結(jié)合實際情況，即末端結(jié)構(gòu)上的站點一旦崩潰，則可能導(dǎo)致靠外的線路全部癱瘓。

圖6 網(wǎng)絡(luò)上單個節(jié)點失效對網(wǎng)絡(luò)連通性的影響

圖7 單一線路上單個節(jié)點失效對網(wǎng)絡(luò)連通性的影響

結(jié)語

（1）本文基于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論和北京市軌道交通系統(tǒng)實際情況，引入整體網(wǎng)絡(luò)連通效率這一參數(shù)更加準(zhǔn)確地評價網(wǎng)絡(luò)連通性；通過比較單個站點失效狀態(tài)下與原始網(wǎng)絡(luò)連通效率的變化情況，分析單一站點對網(wǎng)絡(luò)連通性的影響大小。

（2）通過比較節(jié)點度值和節(jié)點位置對全局網(wǎng)絡(luò)效率的影響，得出以下結(jié)論：站點對網(wǎng)絡(luò)連通性的影響主要與站點的相對位置有關(guān)；通過對不同位置站點的比較發(fā)現(xiàn)，靠近環(huán)狀結(jié)構(gòu)的末端支路站點對網(wǎng)絡(luò)連通性影響最大。

（3）針對這一結(jié)構(gòu)性問題，相應(yīng)的應(yīng)急預(yù)案及可替代的公共交通方式是必要的。

（4）下一步需要研究的問題包括：結(jié)合實際客流人數(shù)和站點距離建立有權(quán)網(wǎng)絡(luò)，討論其對網(wǎng)絡(luò)連通性的影響；結(jié)合節(jié)點崩潰的傳播及恢復(fù)過程，研究軌道交通系統(tǒng)中結(jié)構(gòu)對網(wǎng)絡(luò)連通性的影響。

[1] 李海峰，王煒．軌道交通網(wǎng)絡(luò)形態(tài)研究[J]．規(guī)劃師，2006，22(5)：85-88．

[2] 沈景炎．城市軌道交通線網(wǎng)規(guī)劃的結(jié)構(gòu)形態(tài)基本線形和交點計算[J]．城市軌道交通研究，2008，11(6)：5-10．

[3] 張朝峰,張秀媛. 地鐵末端周邊區(qū)域通勤客流分布和出行方式選擇[J]. 都市快軌交通,2009,(04)：26-29.

[4] Crucitti P, Latora V, Marchiori M, et al. Error and attack tolerance of complex networks[J]. Nature, 2000, 406(6794)：542-542.

[5] Holme P, Kim B J, Yoon C N, et al. Attack vulnerability of complex networks.[J]. Physical Review E Statistical Nonlinear & Soft Matter Physics, 2002, 65(5)：634-634.

[6] 吳金閃,狄增如. 從統(tǒng)計物理學(xué)看復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究[J]. 物理學(xué)進展,2004,(01)：18-46.

[7] 王云琴. 基于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論的城市軌道交通網(wǎng)絡(luò)連通可靠性研究[D]. 北京交通大學(xué), 2008.

[8] 羅金龍, 曹成鉉, 許琰,等. 北京、上海和廣州地鐵網(wǎng)絡(luò)演化分析[J]. 山東科學(xué), 2013, 26(1)：74-80.