李創(chuàng)第，尉霄騰,王磊石，鄒萬杰

(1.廣西大學(xué)土木建筑工程學(xué)院， 廣西南寧530004；2.廣西科技大學(xué)土木建筑工程學(xué)院， 廣西柳州545006)

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積分型粘彈性阻尼器耗能結(jié)構(gòu)瞬態(tài)響應(yīng)的精確解

李創(chuàng)第1,2，尉霄騰1,王磊石1，鄒萬杰2

(1.廣西大學(xué)土木建筑工程學(xué)院， 廣西南寧530004；2.廣西科技大學(xué)土木建筑工程學(xué)院， 廣西柳州545006)

摘要：為建立積分型粘彈性阻尼器耗能結(jié)構(gòu)的精確設(shè)計方法，對單自由度結(jié)構(gòu)在任意激勵和非零初始條件下的時域瞬態(tài)響應(yīng)精確解進行了系統(tǒng)研究。首先采用線性粘彈性阻尼器的一般積分型精確分析模型，用微分積分方程實現(xiàn)了單自由度結(jié)構(gòu)的時域非擴階精確建模；然后采用傳遞函數(shù)法，直接在耗能結(jié)構(gòu)非擴階空間上獲得了變頻耗能結(jié)構(gòu)在任意激勵和非零初始條件下位移與速度時域瞬態(tài)響應(yīng)的解析表達式；最后，基于此精確解得到了結(jié)構(gòu)在平穩(wěn)Kanai-Tajimi譜隨機地震激勵下響應(yīng)方差的解析表達式。通過與擴階復(fù)模態(tài)法結(jié)果的對比分析，驗證了所獲精確解的正確性和簡易性，表明建立了適用于單自由度積分型粘彈性阻尼器耗能結(jié)構(gòu)的優(yōu)效解析方法。

關(guān)鍵詞：傳遞函數(shù)法；一般積分型模型；瞬態(tài)響應(yīng)精確解；隨機響應(yīng)精確解

0引言

橡膠支座基礎(chǔ)隔震[1]和耗能減震是目前兩種最為成熟有效的被動控制技術(shù)。線性粘彈性阻尼器是一種性能優(yōu)良的耗能裝置，在抗震工程中應(yīng)用廣泛。

一般積分型模型[2-3]是粘彈性阻尼器的最一般模型，其他模型如復(fù)模量模型[4]、分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)模型[5-7]、一般微分型及其近似模型[2]等均為該模型的近似或無限逼近。

目前粘彈性耗能變頻結(jié)構(gòu)的分析方法主要分為擴階精確法和非擴階近似法兩類。擴階精確法針對廣義Maxwell[8]、GHM[9]、分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)Kelvin[10]等易于擴階粘彈性近似模型，利用擴階復(fù)模態(tài)法獲得結(jié)構(gòu)響應(yīng)解析解。因物理意義不明確，變量個數(shù)劇增，計算效率低，使該方法難以用于耗能結(jié)構(gòu)基于反應(yīng)譜的設(shè)計與研究。

非擴階近似法主要是模態(tài)應(yīng)變能法[11]和取結(jié)構(gòu)基頻的強行振型解耦法[12-13]，但近似法采用阻尼器頻域建模方式，使耗能結(jié)構(gòu)方程并不嚴(yán)格適用于地震和強風(fēng)等非簡諧激勵的時域分析，且采用較多近似假設(shè)，使其精度和適用范圍有待提高[14-16]。

針對傳統(tǒng)方法的不足，本文力求得出兼顧精確和效率的優(yōu)效方法。傳遞函數(shù)法不用擴階運動方程，可直接獲得一般粘滯阻尼對稱線性定常系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)矩陣的精確解，但尚未見該方法用于粘彈性阻尼變頻非定常結(jié)構(gòu)的研究。基于傳遞函數(shù)法，本文成功獲得了單自由度積分型粘彈性阻尼器耗能結(jié)構(gòu)的精確設(shè)計方法，通過與復(fù)模態(tài)方法對比，驗證了該方法的正確性與簡易性。

1運動方程

設(shè)置一般線性粘彈性阻尼器的單自由度結(jié)構(gòu)的動力方程可表示為：

粘彈性阻尼器作用力p(t)與位移x(t)的一般積分型本構(gòu)關(guān)系為[17]：

式中：kp和h(t)分別為阻尼器的平衡模量和松弛函數(shù)。

故單自由度一般線性粘彈性阻尼器耗能結(jié)構(gòu)的時域動力方程均可精確表示為：

(1)

方程(1)具有一般性，既可表示任意單自由度線性粘彈性阻尼器耗能結(jié)構(gòu)方程，也可表示任意單自由度線性粘彈性材料組合結(jié)構(gòu)方程[18]。

2結(jié)構(gòu)瞬態(tài)響應(yīng)的傳遞函數(shù)法

2.1結(jié)構(gòu)特征值分析

對運動方程(1)取拉氏變換，得：

也即：

(2)

其中，

(3)

結(jié)構(gòu)的特征值方程即為：

D(s)=0。

(4)

由式(4)可得出結(jié)構(gòu)的N=2+n個特征值sj，包括有1對共軛復(fù)特征值和n個實特征值。

2.2傳遞函數(shù)解析式

由于結(jié)構(gòu)特征值sj為傳遞函數(shù)的極點，故傳遞函數(shù)可展開為：

(5)

所以

由洛必達法則，計算常數(shù)ηj為：

(6)

又因

故有

(7)

2.3結(jié)構(gòu)位移和速度瞬態(tài)響應(yīng)的解析解

由式(2)、式(3)和式(5) 、式(7)可得：

對以上兩式進行拉氏變換，可得

式中，δ(t)為狄拉克函數(shù)。

對于t>0時，結(jié)構(gòu)位移與速度響應(yīng)可進一步表示為：

(8)

(9)

式中，aj(t)表示由初始條件產(chǎn)生的響應(yīng)影響，且

(10)

顯然，對于零初始條件，aj(t)=0，(j=1～N)。

結(jié)構(gòu)響應(yīng)解析解表達式(10)完全類似于粘滯阻尼結(jié)構(gòu)用經(jīng)典復(fù)模態(tài)法所獲得的響應(yīng)表達式，可視粘滯阻尼定常結(jié)構(gòu)經(jīng)典復(fù)模態(tài)法在粘彈性耗能變頻結(jié)構(gòu)的推廣。

3解析解的驗證分析

對比單自由度廣義Maxwell粘彈性阻尼減震結(jié)構(gòu)響應(yīng)的復(fù)模態(tài)法分析結(jié)果，驗證本文方法的正確性。

3.1單自由度廣義Maxwell阻尼減震結(jié)構(gòu)方程

圖1　單自由度廣義Maxwell阻尼器耗能結(jié)構(gòu)Fig.1　SDOF (single degree of freedom)energy dissipation structure withgeneralized Maxwell damper

(11)

3.2本文方法結(jié)果

由式(4)，結(jié)構(gòu)特征值方程為：

(12)

根據(jù)式(12)可得結(jié)構(gòu)2+n個特征值sj。

由式(6)，計算常數(shù)ηj為：

(13)

則在零初始條件下，由式(8)結(jié)構(gòu)的位移和速度響應(yīng)分別為：

(14)

(15)

3.3復(fù)模態(tài)法結(jié)果

令中間變量：

則運動方程(11)可擴階為如下一階狀態(tài)方程組：

(16)

式中：

z(t)=[x(t),v(t),r1(t),…,rn(t)]T，

方程(16)的特征根方程及特征根所對應(yīng)右、左復(fù)模態(tài)向量方程分別為：

det[Iλj+A]=0，

(17)

[Iλj+A]φj=0，

[Iλj+A]Tψj=0。

由數(shù)學(xué)歸納法不難驗證特征值方程式(12)與特征值方程式(17)完全一致，即λj=sj。同時，可求出右、左復(fù)模態(tài)向量分別為：

(18)

(19)

由式(18)、式(19)和式(13)不難驗證：

(20)

(21)

式中： φ1j和φ2j分別為φj的第一、二個分量。

對比式(14)、式(15)和式(20)、式(21)知，兩種方法計算結(jié)果完全相同，但本文方法計算簡便，適用范圍更廣。

4耗能結(jié)構(gòu)平穩(wěn)隨機地震響應(yīng)的精確解

式中：ωg、ξg分別表示場地土的卓越頻率和阻尼比；S0為基巖上白噪聲的譜強度因子。

由式(8)、式(9)，有：

故：

由復(fù)模態(tài)理論[19]，可以獲得z(t)的協(xié)方差函數(shù)為：

其中：

由式(16)可得：

令τ=0，得結(jié)構(gòu)的位移、速度響應(yīng)的方差分別為：

E[x2(t)]=Cx(0)，

5算例分析

圖2　計算簡圖Fig.2　Calculation diagram

對于如圖2所示的質(zhì)量為m，剛度為k，阻尼為c的單自由度廣義Maxwell阻尼減震結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)所在地區(qū)的抗震設(shè)防烈度為I=8度(0.2 g)。計算參數(shù)為：結(jié)構(gòu)質(zhì)量m=1kg，結(jié)構(gòu)剛度k=300N/m，阻尼比取ξ0=0.05，結(jié)構(gòu)自振頻率ω0=20s-1；兩個并聯(lián)的Maxwell阻尼器性能參數(shù)分別為：平衡模量kG=100N/m，松弛時間倒數(shù)μ1=10s-1，μ2=15s-1，單元阻尼系數(shù)分別取c01=18、24、30、36N·s/m，c02=12、16、20、24N·s/m。采用中等堅硬度土壤參數(shù)，場地土的卓越頻率和阻尼比分別取ωg=16.5s-1，ξg=0.8，譜強度S0=0.013 87m2/s3。所得特征值示于表1；所得計算常數(shù)ηj示于表2；系統(tǒng)位移方差和速度響應(yīng)方差示于表3。

表1　特征根計算結(jié)果

表2　ηj計算結(jié)果

表3　響應(yīng)方差計算結(jié)果

表1、表2給出了結(jié)構(gòu)特征值及計算參數(shù)ηj的計算結(jié)果；由表3所示結(jié)果可知，隨著阻尼器的單元阻尼系數(shù)增大，阻尼耗能結(jié)構(gòu)的位移和速度響應(yīng)方差有減小的趨勢，表明適當(dāng)調(diào)整阻尼器的阻尼單元性能參數(shù)，可以減小結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)劇烈程度，使結(jié)構(gòu)響應(yīng)更趨于平穩(wěn)；計算結(jié)果與實際情況相符，驗證了本文分析方法的可行性。

8結(jié)論

本文對一般積分型單自由度粘彈性阻尼耗能減震結(jié)構(gòu)在任意激勵和非零初始條件下的瞬態(tài)響應(yīng)精確解進行了系統(tǒng)研究。首先采用線性粘彈性阻尼器一般積分型精確分析模型，用微分積分方程實現(xiàn)了結(jié)構(gòu)的時域非擴階精確建模；然后采用傳遞函數(shù)法，直接在耗能結(jié)構(gòu)非擴階空間上獲得了變頻耗能結(jié)構(gòu)在任意激勵和非零初始條件下位移與速度時域瞬態(tài)響應(yīng)的解析表達式；基于廣義Maxwell阻尼器模型，通過對比傳統(tǒng)經(jīng)典擴階復(fù)模態(tài)法的分析求解過程與所得響應(yīng)解析表達式，驗證了該精確解的正確性和簡易性。此振動機理將為建立耗能變頻結(jié)構(gòu)精確的振型分解反應(yīng)譜法提供分析路徑。最后，基于結(jié)構(gòu)瞬態(tài)響應(yīng)的精確解，得到了結(jié)構(gòu)在Kanai-Tajimi譜平穩(wěn)隨機地震激勵下的響應(yīng)方差的解析表達式，并通過算例反映了阻尼器參數(shù)對結(jié)構(gòu)響應(yīng)隨機特性的影響，驗證了本文方法的可行性。本文為一般積分型單自由度粘彈性阻尼耗能結(jié)構(gòu)瞬態(tài)響應(yīng)與隨機響應(yīng)的分析研究提供了一條有效途徑，同時為一般積分型多自由度粘彈性阻尼耗能結(jié)構(gòu)瞬態(tài)響應(yīng)與隨機響應(yīng)的分析奠定了一定的理論基礎(chǔ)。

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(責(zé)任編輯唐漢民梁健)

Exact transient response solution of energy dissipation structure with internal viscoelastic damper

LI Chuang-di1,2, WEI Xiao-teng1, WANG Lei-shi1, ZOU Wan-jie2

(1.College of Civil Engineering and Architecture, Guangxi University, Nanning 530004, China;

2.Department of Civil Engineering, Guangxi University of Science and Technology, Liuzhou 545006, China)

Abstract:In order to establish an accurate design method for general linear viscoelastic damping energy dissipation structures, a systematically research on the time domain transient response exact solution of structure that have single degree of freedom was conducted under arbitrary excitation and non-zero initial condition. A general integral accurate analysis model of linear viscoelastic damper was adopted, and a precise non-extended order model in time domain of structure that had SDOF(single degree of freedom) was created by applying the differential-integral equation. The transient displacement and velocity response analytical expressions of variable frequency energy dissipation structure in time domain under arbitrary excitation and non-zero initial condition were obtained directly in non-extended order space of energy dissipation structure using the transfer function method. The analytical expression of response variance of structure that met with stationary random seismic excitation of Kanai-Tajimi spectrum was established by applying the exact solution obtained in this paper. It is proved that this exact solution is correct and simple, compared with the consequences obtained by employing the complex model method of extended order, which suggests that an effective analytical solution has been built and the solution is applicable to general linear viscoelastic damping energy dissipation structures of SDOF.

Key words:transfer function method; general integral model; exact solution of transient response; exact solution of random response

中圖分類號：TU311.3

文獻標(biāo)識碼：A

文章編號：1001-7445(2016)01-0083-08

doi:10.13624/j.cnki.issn.1001-7445.2016.0083

通訊作者：李創(chuàng)第(1964—)，男，廣西柳州人，廣西科技大學(xué)教授，博士； E-mail：lichuangdi1964@163.com。

基金項目：國家自然科學(xué)基金資助項目(51468005)；廣西自然科學(xué)基金項目(2014GXNSFAA118315)；廣西科技大學(xué)創(chuàng)新團隊支持計劃項目

收稿日期：2015-04-20；

修訂日期：2015-11-24

引文格式：李創(chuàng)第，尉霄騰,王磊石,等.積分型粘彈性阻尼器耗能結(jié)構(gòu)瞬態(tài)響應(yīng)的精確解[J].廣西大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2016，41(1)：83-90.