吳曉　趙均?！↑S志剛　楊立軍

摘 要 推導(dǎo)出了雙模量梁剪切彈性模量的表達(dá)式，采用材料力學(xué)原理證明了雙模量梁中性軸位置與作用在梁上的橫向外載荷無(wú)關(guān).在考慮剪切變形的基礎(chǔ)上，采用Timoshenko梁理論研究了雙模量梁的彎曲變形問(wèn)題，利用奇異函數(shù)得到了雙模量梁在橫向外載荷作用下的撓曲線通式.以雙模量簡(jiǎn)支梁為例，給出了考慮剪切效應(yīng)對(duì)雙模量簡(jiǎn)支梁彎曲變形影響時(shí)的判別式，討論分析了剪切效應(yīng)對(duì)雙模量簡(jiǎn)支梁彎曲變形的影響.

關(guān)鍵詞 剪切效應(yīng)；雙模量；梁；彎曲變形；Timoshenko；奇異函數(shù)；中性軸

中圖分類號(hào) O341 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼 A 文章編號(hào) 1000-2537（2015）04-0063-05

Abstract The expression of shear elastic modulus of bimodulous beam was given， and that lateral loads acting on bimodulous beams have no effect on the position of the neutral axis was proved. Based on consideration of shear deformation， bending deformation of bimodulous beam was studied by Timoshenko beam theory and the deflection expression of bimodulous beam under lateral loads was deduced. The determinant of considering shear effect on bimodulus beam bending deformation was given， and the influence of shear effect on bending deformation of bimodulous beam was discussed by examples.

Key words shear effect； bimodulous； beam； bending deformation； Timoshenko； singularity function； neutral axis； elastic modulus

在實(shí)際工程中，許多工程結(jié)構(gòu)由雙模量材料制成，即由拉壓彈性模量不同的材料制成.鑄鐵、金屬合金和混凝土等材料都具有拉壓彈性模量不同的雙模量特性，已有文獻(xiàn)對(duì)雙模量結(jié)構(gòu)在外載荷作用下的變形進(jìn)行了計(jì)算分析.文獻(xiàn)[1～2]采用有限元法分析了雙模量材料板的變形， 文獻(xiàn)[3]采用細(xì)觀力學(xué)研究了雙模量泡沫材料等效彈性模量， 文獻(xiàn)[4]研究了雙模量材料的本構(gòu)關(guān)系， 文獻(xiàn)[5～8]對(duì)雙模量材料結(jié)構(gòu)彎曲及扭轉(zhuǎn)變形進(jìn)行了計(jì)算分析，文獻(xiàn)[9]研究了雙模量梁的彎曲變形，但是沒(méi)有研究剪切效應(yīng)對(duì)雙模量梁的彎曲變形影響；文獻(xiàn)[10]證明了軸向載荷對(duì)雙模量梁中性軸位置有較大影響.基于上述因素，本文給出了雙模量梁剪切彈性模量的表達(dá)式，證明了橫向外載荷對(duì)雙模量梁的中性軸位置無(wú)影響，并采用Timoshenko梁理論研究了雙模量梁的彎曲變形，分析討論了剪切變形效應(yīng)對(duì)雙模量梁彎曲變形的影響.

1 剪切彈性模量表達(dá)式

2 確定中性軸位置

由于雙模量梁在外載荷作用下彎曲時(shí)，會(huì)形成彈性模量不同的拉伸區(qū)和壓縮區(qū)，由彈性理論可知雙模量梁彎曲時(shí)的應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系為

由式（17）和式（20）可知當(dāng)c→∞時(shí)，即為忽略剪切效應(yīng)時(shí)雙模量簡(jiǎn)支梁在均布載荷或集中載荷作用下中點(diǎn)的撓度，這說(shuō)明本文推導(dǎo)雙模量梁的撓曲線通式是正確的.從以上算例可知，本文在考慮剪切變形的基礎(chǔ)上，采用Timoshenko梁理論研究了雙模量梁的彎曲變形問(wèn)題，通過(guò)奇異函數(shù)得到了雙模量梁在橫向外載荷作用下的撓曲線通式，利用雙模量梁在橫向外載荷作用下的撓曲線通式可以方便計(jì)算出雙模量梁的彎曲撓度.對(duì)表1進(jìn)行分析可知有機(jī)玻璃雙模量材料簡(jiǎn)支梁在均布載荷作用下當(dāng)hl≤17時(shí)，可以忽略剪切變形的影響；對(duì)表2進(jìn)行分析可知有機(jī)玻璃雙模量材料簡(jiǎn)支梁在集中載荷作用下hl≤16時(shí)，可以忽略剪切變形的影響.

5 結(jié)論

通過(guò)上述推導(dǎo)證明與實(shí)例分析可知：

（1）得出了雙模量梁剪切彈性模量的表達(dá)式.

（2）采用材料力學(xué)原理證明了雙模量梁中性軸位置與作用在梁上的橫向外載荷無(wú)關(guān).

（3）在考慮剪切變形的基礎(chǔ)上，采用Timoshenko梁理論研究了雙模量梁的彎曲變形問(wèn)題，利用奇異函數(shù)可以方便得到雙模量梁在橫向外載荷作用下的撓曲線通式.

（4）對(duì)表1進(jìn)行分析可知有機(jī)玻璃雙模量材料簡(jiǎn)支梁在均布載荷作用下當(dāng)hl≤17時(shí)，可以忽略剪切變形的影響；對(duì)表2進(jìn)行分析可知有機(jī)玻璃雙模量材料簡(jiǎn)支梁在集中載荷作用下當(dāng)接近hl≤16時(shí)，可以忽略剪切變形的影響.

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（編輯 陳笑梅）