姜立標(biāo)　何家壽

(華南理工大學(xué) 機(jī)械與汽車工程學(xué)院, 廣東 廣州 510640)

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兩輪自平衡代步車控制策略及動(dòng)力學(xué)仿真*

姜立標(biāo)何家壽

(華南理工大學(xué) 機(jī)械與汽車工程學(xué)院, 廣東 廣州 510640)

摘要：針對(duì)兩輪自平衡代步車自平衡控制和轉(zhuǎn)向控制的問題,提出了基于自適應(yīng)差分進(jìn)化算法(ADE)的自抗擾控制(ADRC)策略和改進(jìn)的比例-積分-微分(PID)控制策略.首先應(yīng)用拉格朗日公式法,基于廣義坐標(biāo)下非完整動(dòng)力學(xué)Routh方程,建立兩輪自平衡代步車的非線性數(shù)學(xué)模型.然后為自平衡控制部分設(shè)計(jì)自抗擾控制策略,運(yùn)用自適應(yīng)差分進(jìn)化算法進(jìn)行參數(shù)整定,并為轉(zhuǎn)向控制部分設(shè)計(jì)融合安排過渡過程(TD)的PID控制策略.最后應(yīng)用虛擬樣機(jī)技術(shù),通過Adams軟件建立整車動(dòng)力學(xué)模型,并結(jié)合Matlab/Simulink控制策略模型進(jìn)行聯(lián)合仿真.結(jié)果表明,文中所提出的控制策略能有效地實(shí)現(xiàn)姿態(tài)控制,調(diào)節(jié)速度快,控制精度高,并且具有較強(qiáng)的抗干擾能力.

關(guān)鍵詞：兩輪自平衡代步車;數(shù)學(xué)模型;自抗擾控制;自適應(yīng)差分進(jìn)化算法;動(dòng)力學(xué)仿真

兩輪自平衡代步車是一種兩輪同軸分布、由兩個(gè)電機(jī)獨(dú)立驅(qū)動(dòng)、能自動(dòng)保持姿態(tài)平衡的輪式倒立擺結(jié)構(gòu)[1].由于受非完整約束作用,兩輪自平衡代步車具有非常強(qiáng)的非線性、時(shí)變、不穩(wěn)定、耦合特性.其控制系統(tǒng)包括自平衡控制和轉(zhuǎn)向控制兩大部分,如何在不同狀態(tài)下保持整車自平衡是設(shè)計(jì)控制策略的關(guān)鍵[2].

針對(duì)該問題,目前國內(nèi)外常用的控制算法有以下幾大類:①模糊控制[3- 4],但模糊控制規(guī)則一般難以整定;②遺傳算法控制[5- 6],但由于計(jì)算量大,不適用于實(shí)時(shí)控制,主要用于離線整定或優(yōu)化;③神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制[7- 8],通常需要根據(jù)大量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來訓(xùn)練網(wǎng)絡(luò),算法計(jì)算量較大;④比例-積分-微分(PID)控制技術(shù)[9],其在實(shí)際中應(yīng)用最廣泛,但存在超調(diào)量大、調(diào)節(jié)速度慢、抗干擾能力較弱的缺點(diǎn).自抗擾控制(ADRC)是從經(jīng)典PID控制技術(shù)演變而來、不依賴于被控對(duì)象精確模型、能取代PID控制的實(shí)用控制技術(shù),具有控制精度高、超調(diào)量小、抗干擾能力強(qiáng)、適用范圍廣等優(yōu)點(diǎn)[10-11],但目前在兩輪自平衡代步車控制上的應(yīng)用很少.為此,文中基于自抗擾控制技術(shù)設(shè)計(jì)兩輪自平衡代步車控制策略,提出了其參數(shù)整定方法,并進(jìn)行動(dòng)力學(xué)仿真驗(yàn)證試驗(yàn).

1兩輪自平衡代步車的數(shù)學(xué)建模

考慮到整車結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性并且其能量消耗主要集中在車輪和車體上,文中進(jìn)行以下假設(shè)以簡化模型[12]:左右車輪參數(shù)完全相同;車輪處于純滾動(dòng)、無滑動(dòng)工況;忽略車輪與地面及車軸之間的摩擦損耗;忽略電機(jī)轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能及損耗.

1.1　空間坐標(biāo)系

兩輪自平衡代步車空間坐標(biāo)系包括地坐標(biāo)OG(XG,YG,ZG)和車身坐標(biāo)OB(XB,YB,ZB),如圖1所示.地坐標(biāo)XG指向正東,YG指向正南,ZG指向重力加速度的負(fù)方向.車身坐標(biāo)原點(diǎn)OB為車軸的中心,XB由OB指向車輛前進(jìn)方向,YB由OB指向右輪輪心,ZB由OB指向車體重心.

圖1　空間坐標(biāo)系　Fig.1　Space coordinate system

1.2　動(dòng)力學(xué)模型

兩輪自平衡代步車在純滾動(dòng)時(shí)存在以下非完整約束[13]:

(1)

式中,x、y分別為OB在OG坐標(biāo)系中沿X軸、Y軸的坐標(biāo)值,δ為車體轉(zhuǎn)向角(XB與XG的夾角),D為左、右輪中心之間的距離,R為車輪半徑,θL、θR分別為左、右車輪角位移.

兩輪的平動(dòng)動(dòng)能:

(2)

式中,mW為車輪質(zhì)量.

兩輪的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能:

(3)

式中,JW、JWZ分別為車輪繞YB、ZG軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.

車體的平動(dòng)動(dòng)能:

(4)

式中,mB為車體質(zhì)量,L為車體質(zhì)心到車軸中心的距離,θ為車體傾角(ZB與ZG的夾角).

車體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能:

(5)

式中,JBY、JBZ分別為車體繞YB、ZB軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.

以車軸高度處為零勢(shì)能點(diǎn),車體勢(shì)能

VB=mBgLcosθ

(6)

式中,g為重力加速度.

取系統(tǒng)狀態(tài)變量

q=[xyδθθRθL]T

(7)

則拉格朗日函數(shù)為

(8)

根據(jù)拉格朗日公式法,應(yīng)用廣義坐標(biāo)下非完整動(dòng)力學(xué)Routh方程,得

(9)

式(1)可寫為F(q)Z=03×3,則F(q)的零空間

(10)

(11)

式中,v為車速(車軸中心OB在XB軸上的速度分量值).

對(duì)6個(gè)狀態(tài)變量分別求導(dǎo)數(shù)和偏導(dǎo)數(shù),將求得的結(jié)果按階數(shù)合并整理,動(dòng)力學(xué)方程變?yōu)?/p>

(12)

k1=mBL2sin2θ+2JWZ+JBZ,k2=mBL2+JBY,k3=mWR2+

mBR2/4+JW,k4=mBRLcosθ/2,k5=mBR2/4,

式(12)兩邊同時(shí)左乘ZT,可消去非完整約束項(xiàng):

(13)

重新選取系統(tǒng)狀態(tài)變量

(14)

系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)方程最終可變?yōu)?/p>

(15)

Z(1:4,1:3)表示由矩陣Z的1~4行及1~3列組成的子矩陣，Cθ和Cδ分別為自平衡控制和轉(zhuǎn)向控制所需力矩.

2兩輪自平衡代步車控制策略設(shè)計(jì)

整車控制策略如圖2所示,考慮到控制性能好壞及算法的可操作性,自平衡部分設(shè)計(jì)基于自適應(yīng)差分進(jìn)化算法整定的自抗擾控制技術(shù),轉(zhuǎn)向部分采用融合安排過渡過程的PID控制技術(shù),兩部分控制力矩按式(15)分配疊加后輸入給代步車.

圖2　整車控制策略示意圖　Fig.2 　Schematic diagram of control strategy of the whole vehicle

2.1　自抗擾控制概述

自抗擾控制主要由安排過渡過程(TD)、擴(kuò)張狀態(tài)觀測器(ESO)、非線性控制律(NCL)組成[10],如圖3所示.它能實(shí)現(xiàn)各種擾動(dòng)估計(jì)和誤差補(bǔ)償,快速、無超調(diào)地跟蹤目標(biāo)值,并且不要求被控對(duì)象具有精確的數(shù)學(xué)模型.

圖3　自抗擾控制原理　Fig.3　Principle of ADRC

假定某二階不確定被控對(duì)象為

(16)

TD根據(jù)目標(biāo)值v0安排過渡過程v1并提取出微分信號(hào)v2:

(17)

式中,r1、h為可調(diào)參數(shù),fhan(v1-v0,v2,r1,h)為最速控制綜合函數(shù).

ESO根據(jù)控制輸入u和系統(tǒng)輸出y,估計(jì)出對(duì)象狀態(tài)值z(mì)1、z2以及總和擾動(dòng)值z(mì)3.

(18)

式中,β1、β2、β3為可調(diào)參數(shù),fal(e,*,h)為非線性組合函數(shù).

NCL根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)誤差e1、e2及擾動(dòng)估計(jì)值補(bǔ)償來確定最終控制值u:

(19)

式中,r2、h2為可調(diào)參數(shù).

根據(jù)文獻(xiàn)[10],當(dāng)采樣步長h一定時(shí),自抗擾控制器參數(shù)除了補(bǔ)償因子b,其他通?？扇∫韵轮?r1=10-4h-2,β1=h-1,β2=3-1h-2,β3=32-1h-3,r2=0.5/h2,h2=5h.

假設(shè)兩輪自平衡代步車參數(shù)為:mB=80 kg,mW=2.5 kg,R=0.2 m,D=0.7 m,JW=0.05 kg·m2,JWZ=0.306 2 kg·m2,JBY=21.6 kg·m2,JBZ=3.866 7 kg·m2,L=0.9 m.根據(jù)以上控制算法建立Simulink控制模型,然后進(jìn)行10°傾斜角度階躍輸入下的自平衡控制仿真實(shí)驗(yàn),通過試湊法確定參數(shù)b的大致范圍為[-5.00,-0.05],仿真結(jié)果如圖4所示.從圖可見,兩個(gè)邊界值下系統(tǒng)都能夠收斂并大致跟隨傾斜角度和傾斜角速度的過渡過程值；當(dāng)b=-5.00時(shí),超調(diào)量過大,震蕩次數(shù)多;當(dāng)b=-0.05時(shí),系統(tǒng)能夠緊緊跟隨過渡過程值,但傾斜角速度無法獲得穩(wěn)定值.因此,有必要在該范圍內(nèi)對(duì)參數(shù)b進(jìn)行整定優(yōu)化.

圖4　邊界值下的自平衡控制階躍仿真結(jié)果Fig.4　Step simulation results of self-balancing control with boundary values

2.2　基于自適應(yīng)差分進(jìn)化算法的自抗擾參數(shù)整定

目前國內(nèi)外關(guān)于自抗擾控制技術(shù)參數(shù)整定方法的研究較多,可分為在線整定和離線整定兩大類[14],但應(yīng)用自適應(yīng)差分進(jìn)化算法進(jìn)行參數(shù)整定的相關(guān)研究幾乎沒有.

自適應(yīng)差分進(jìn)化算法是模擬自然界優(yōu)勝劣汰進(jìn)化規(guī)律的一種隨機(jī)啟發(fā)式搜索算法,可動(dòng)態(tài)跟蹤當(dāng)前搜索情況,以調(diào)整其搜索策略,具有較強(qiáng)的全局收斂能力和魯棒性,主要包含變異、交叉、選擇3個(gè)子算法[15].

(1)變異操作.從第G代種群中隨機(jī)選擇個(gè)體R1和R2進(jìn)行差分操作,是整個(gè)算法的核心;然后與當(dāng)代種群中最優(yōu)個(gè)體Best進(jìn)行求和,得出變異后的第G+1代種群VG+1.

(20)

式中:G為進(jìn)化代數(shù);p為變異因子,可在一定范圍[pmin,pmax]內(nèi)隨機(jī)改變.

(2)交叉操作.將變異后的個(gè)體VG+1與當(dāng)代個(gè)體xG進(jìn)行二項(xiàng)分布雜交,生成雜交后的種群CG+1.

(21)

式中:jrand為1~N之間的隨機(jī)整數(shù);Gmax為最大進(jìn)化代數(shù);c為交叉因子,取值范圍為[cmin,cmax],它隨著迭代次數(shù)的增加而增加,有利于提升算法的優(yōu)化能力.

(3)選擇操作.采用競爭方式進(jìn)行個(gè)體選擇,如果交叉后新個(gè)體CG+1的適應(yīng)度值比當(dāng)代個(gè)體xG的適應(yīng)度值小,則保留新個(gè)體;否則保留原始個(gè)體.

(22)

式中,ff(·)為適應(yīng)度函數(shù).

整個(gè)算法的自適應(yīng)體現(xiàn)在變異因子和交叉因子的自適應(yīng)調(diào)節(jié)上,循環(huán)迭代執(zhí)行以上3個(gè)子算法,即可在一定空間范圍內(nèi)搜索出最優(yōu)解.

為了保證控制精度,防止控制能量過大,采用系統(tǒng)誤差e(t)和誤差變化率de(t)的絕對(duì)值以及控制輸入u(t)的平方對(duì)時(shí)間的積分作為參數(shù)選取的性能指標(biāo).為限制超調(diào),采用懲罰功能,一旦產(chǎn)生超調(diào),則將誤差作為主要性能指標(biāo),將目標(biāo)函數(shù)定義為

(23)

式中,T為仿真時(shí)長,w1、w2、w3、w4為相應(yīng)權(quán)值,且w4?w1.

設(shè)定自適應(yīng)差分進(jìn)化算法進(jìn)化代數(shù)G為100,種群大小為50,變異因子范圍為[0.8,1.2],交叉因子范圍為[0.6,0.7],目標(biāo)函數(shù)權(quán)值w1=w2=0.5,w3= 0.001,w4=100,補(bǔ)償因子b的整定過程如圖5所示.可見,經(jīng)過將近10代的進(jìn)化后,目標(biāo)函數(shù)就達(dá)到最小值,此時(shí)b=-0.130 3,即為參數(shù)整定的最優(yōu)值.重新進(jìn)行10°傾斜角度階躍輸入下的自平衡控制仿真實(shí)驗(yàn),結(jié)果如圖6所示.與整定前的結(jié)果相比,傾斜角度和傾斜角速度的實(shí)際值與安排的過渡過程值更接近,系統(tǒng)調(diào)節(jié)速度更快,超調(diào)量更小.

圖5　參數(shù)整定過程Fig.5　Parameter tuning process

圖6　最優(yōu)值下的自平衡控制階躍仿真結(jié)果Fig.6　Step simulation result of self-balancing control of best value

設(shè)定PID參數(shù)KP=2 000、KI=500、KD=300進(jìn)行20°角度階躍輸入下的轉(zhuǎn)向控制仿真實(shí)驗(yàn),結(jié)果如圖7所示.從圖可見,在相同的PID參數(shù)下,融合了安排過渡過程的PID控制能緊跟著過渡過程值,比傳統(tǒng)PID控制超調(diào)量小得多,收斂速度更快,控制精度更高.多次實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,PID參數(shù)并不限于實(shí)驗(yàn)中設(shè)定的值,即使隨意設(shè)定一組PID參數(shù),也可以得到以上結(jié)論.

圖7　轉(zhuǎn)向控制階躍仿真結(jié)果Fig.7　Step simulation results of steering control

3基于Matlab和Adams的聯(lián)合仿真

為驗(yàn)證所提控制策略的實(shí)際控制效果,應(yīng)用虛擬樣機(jī)技術(shù)并結(jié)合Matlab和Adams進(jìn)行仿真試驗(yàn),模擬實(shí)車運(yùn)行工況.

Adams建模在保證質(zhì)心位置和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不變的情況下可對(duì)模型的結(jié)構(gòu)進(jìn)行改變[16].因此,文中對(duì)模型進(jìn)行以下簡化:將底盤結(jié)構(gòu)簡化為車軸模型,駕駛員簡化為擺桿模型,輪胎簡化為經(jīng)典彈性圓環(huán)狀梁模型,路面簡化為平整二維(2D)路面模型.

整車模型如圖8所示,輪胎模型和路面模型通過修改Adams/car自帶的“Fiala”輪胎模型和“2D_Flat”路面模型的屬性文件得到,以獲得與實(shí)際情況更接近的仿真結(jié)果.

圖8　整車動(dòng)力學(xué)模型　Fig.8　Dynamic model of the whole vehicle

根據(jù)實(shí)車約束情況,在擺桿與車軸中心之間施加固定副約束;車軸兩端與兩車輪中心施加旋轉(zhuǎn)副約束,并在兩個(gè)旋轉(zhuǎn)副上施加驅(qū)動(dòng)力矩,路面與地面之間施加固定副約束.

輸入變量為左、右車輪驅(qū)動(dòng)力矩,輸出變量為擺桿質(zhì)心相對(duì)Y、Z軸的轉(zhuǎn)角及轉(zhuǎn)動(dòng)角速度、相對(duì)X軸的位移及速度,如圖9所示.

圖9　輸入和輸出變量Fig.9　The input and output variables

為了盡可能模擬兩輪自平衡代步車前進(jìn)、后退、自平衡控制及轉(zhuǎn)向運(yùn)動(dòng)工況,設(shè)定初始狀態(tài)x0=[0,0,0,0,0,0,0]T進(jìn)行±10°傾斜角度和±20°轉(zhuǎn)向角度跟蹤實(shí)驗(yàn),并在仿真第8秒對(duì)傾斜角度施加幅值為10°、時(shí)長為0.1 s的角度干擾,得到的聯(lián)合仿真結(jié)果如圖10所示.

圖10　自平衡控制和轉(zhuǎn)向控制的聯(lián)合仿真結(jié)果Fig.10　Co-simulation results of self-balancing control and steering control

可見,在自平衡控制中代步車能跟蹤預(yù)先安排的過渡過程值保持姿態(tài)平衡,雖然從局部放大圖可以看到稍微有點(diǎn)超調(diào),并且穩(wěn)定狀態(tài)曲線不是很平滑,但受干擾后能迅速保持自平衡,抗干擾能力很強(qiáng).在轉(zhuǎn)向控制中進(jìn)行角度跟蹤時(shí)出現(xiàn)小幅度振蕩現(xiàn)象,但基本上能跟蹤過渡過程信號(hào)值.考慮到現(xiàn)實(shí)控制中轉(zhuǎn)向控制精度要求沒有自平衡控制高,所以該仿真結(jié)果足以滿足實(shí)際要求.

4結(jié)論

文中針對(duì)兩輪自平衡代步車的自平衡控制和轉(zhuǎn)向控制策略進(jìn)行研究,基于廣義坐標(biāo)下非完整動(dòng)力學(xué)Routh方程,運(yùn)用拉格朗日公式法建立了整車非線性數(shù)學(xué)模型;基于該模型自平衡控制部分提出了經(jīng)自適應(yīng)差分進(jìn)化算法整定后的自抗擾控制策略,而基于轉(zhuǎn)向控制部分提出了融合安排過渡過程的改進(jìn)PID控制策略,并通過Simulink仿真證實(shí)了控制策略的有效性;最后應(yīng)用虛擬樣機(jī)技術(shù),通過Adams軟件建立了整車動(dòng)力學(xué)簡化模型,并結(jié)合Matlab/Simulink控制策略模型進(jìn)行了聯(lián)合仿真.結(jié)果表明，文中所提控制策略能有效實(shí)現(xiàn)自平衡控制和轉(zhuǎn)向操作,并且系統(tǒng)調(diào)節(jié)速度快,精度高,具有較強(qiáng)的抗干擾能力.文中所提出的控制策略需要整定的參數(shù)少,算法簡單,在兩輪自平衡代步車控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)和應(yīng)用上有具一定的參考價(jià)值.

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Control Strategy and Dynamic Simulation of

Two-Wheeled Self-Balancing Vehicle

JIANGLi-biaoHEJia-shou

(SchoolofMechanicalandAutomotiveEngineering,SouthChinaUniversityofTechnology,Guangzhou510640,Guangdong,China)

Abstract:Aiming at the problems of the self-balancing control and steering control of two-wheeled self-balancing vehicles, an active disturbance rejection control (ADRC) strategy on the basis of the adaptive differential evolution (ADE) algorithm and an improved proportion-integral-derivative (PID) control strategy are proposed. Firstly, on the basis of the nonholonomic dynamic Routh equation in generalized coordinates, a nonlinear mathematical model of two-wheeled self-balancing vehicles is constructed by using the Lagrange formula. Then, an ADRC strategy whose parameters are adjusted by means of the ADE algorithm is designed for the self-balancing control, and a PID control strategy combining tracking differentiator (TD) is designed for the steering control. Finally, a dynamic model of the whole vehicle is constructed through the Adams software by applying the virtual prototype technology, and a co-simulation is performed by combining the Matlab/Simulink control strategy model. The results show that the proposed control strategies can effectively keep the gesture control with a high adjusting speed, a high control precision and a strong capacity of resisting disturbance.

Key words:two-wheeled self-balancing vehicle; mathematical model; active disturbance rejection control; adaptive differential evolution algorithm; dynamic simulation

doi：10.3969/j.issn.1000-565X.2016.01.002

中圖分類號(hào)：TP273

作者簡介：姜立標(biāo)(1965-),男,博士,副教授,主要從事車輛系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)與電子控制研究.E-mail:jlb620620@163.com

*基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(50975091);廣東省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(9451064101003049);廣州市花都區(qū)科信局2013 年重大科技攻關(guān)項(xiàng)目(HD132D-002)

收稿日期：2015-04-07

文章編號(hào)：1000-565X(2016)01- 0009- 07

Foundation items： Supported by the National Natural Science Foundation of China(50975091) and the Natural Science Foundation of Guangdong Province(9451064101003049)