楊鎖昌，張寬橋，李寶晨，張凱

(軍械工程學(xué)院 導(dǎo)彈工程系，河北 石家莊 050003)

導(dǎo)航、制導(dǎo)與控制

反坦克導(dǎo)彈帶落角約束滑模導(dǎo)引律研究*

楊鎖昌，張寬橋，李寶晨，張凱

(軍械工程學(xué)院 導(dǎo)彈工程系，河北 石家莊 050003)

為增大反坦克導(dǎo)彈終端落角，提高戰(zhàn)斗部的毀傷效能，基于終端滑?？刂评碚?，及彈目相對運(yùn)動模型，選取彈目相對速度偏角作為滑模面，同時引入落角約束項，結(jié)合快速冪次趨近律，推導(dǎo)出了一種帶落角約束的滑模導(dǎo)引律。采用有限時間控制理論對導(dǎo)引律的穩(wěn)定性和有限時間收斂特性進(jìn)行了證明。最后基于彈道仿真，將該導(dǎo)引律與帶落角約束的偏置比例導(dǎo)引律進(jìn)行了對比仿真分析，結(jié)果表明該導(dǎo)引律能夠滿足制導(dǎo)精度和末端落角約束的要求，脫靶量更小，落角控制精度更高，魯棒性更強(qiáng)。

導(dǎo)引律；落角約束；相對速度偏角；有限時間收斂；終端滑?？刂?；快速冪次趨近律

0 引言

反坦克導(dǎo)彈是用于打擊坦克、步兵戰(zhàn)車等裝甲目標(biāo)的利器，為了提高反坦克導(dǎo)彈的毀傷效能，在確保對目標(biāo)的精確打擊的情況下，要求彈頭以一定的落角擊中目標(biāo)，因此，在反坦克導(dǎo)彈末制導(dǎo)律的設(shè)計中必須考慮落角約束的問題。

自Kim等人首次在導(dǎo)引律中考慮落角約束問題以來，一些學(xué)者基于不同的理論方法提出了許多帶落角約束的導(dǎo)引律，主要包括最優(yōu)導(dǎo)引律、滑模變結(jié)構(gòu)導(dǎo)引律、改進(jìn)的比例導(dǎo)引律以及其他類型的導(dǎo)引律[1]。基于最優(yōu)控制理論推導(dǎo)出的最優(yōu)導(dǎo)引律不受性能指標(biāo)和終端約束條件的限制，在理想情況下制導(dǎo)性能最佳，但依賴于各種假設(shè)和簡化，魯棒性較差[2-3]。改進(jìn)的比例制導(dǎo)律，包括變系數(shù)比例導(dǎo)引律和偏置比例導(dǎo)引律等，結(jié)構(gòu)形式簡單，對測距、測速信息等要求不高，易于工程實現(xiàn)，但對于導(dǎo)引信息準(zhǔn)確度要求較高，抗干擾能力差[4-5]。

由于滑模變結(jié)構(gòu)控制在滑動模態(tài)對系統(tǒng)參數(shù)攝動和外界干擾具有不變性，因此，被廣泛用于導(dǎo)引律的設(shè)計中。文獻(xiàn)[6]基于滑?？刂评碚摵蚅yapunov穩(wěn)定性理論，提出了一種帶落角約束的滑模變結(jié)構(gòu)導(dǎo)引律，并對抖振現(xiàn)象進(jìn)行削弱，但只對固定目標(biāo)進(jìn)行了仿真分析。

傳統(tǒng)滑?？刂品椒ㄟx取線性滑模面，當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)到達(dá)滑模面后會漸進(jìn)趨近于平衡點，但不能保證有限時間收斂。終端滑?？刂品椒軌?qū)崿F(xiàn)系統(tǒng)狀態(tài)的有限時間收斂，且相比傳統(tǒng)滑模控制方法具有更好的收斂性能[7]。文獻(xiàn)[8-11]采用終端滑模控制理論設(shè)計了帶落角約束的滑模導(dǎo)引律，并實現(xiàn)了系統(tǒng)狀態(tài)的有限時間收斂。上述文獻(xiàn)所設(shè)計的滑模導(dǎo)引律均選取彈目視線角速率或者彈目相對運(yùn)動距離與視線角速率的乘積作為滑模面，但在制導(dǎo)末段，隨著彈目距離的減小視線角速率會急劇增大，進(jìn)而會產(chǎn)生很大的控制指令。針對這個問題，文獻(xiàn)[12-13]選取彈目相對速度偏角作為滑模面，對導(dǎo)引律進(jìn)行設(shè)計，取得了良好的制導(dǎo)效果，但沒有對落角約束問題進(jìn)行研究。

本文基于終端滑?？刂品椒?，選取包含彈目相對速度偏角和落角約束項的滑模面切換函數(shù)，結(jié)合快速冪次趨近律，設(shè)計了一種帶落角約束的滑模導(dǎo)引律，將目標(biāo)機(jī)動視為有界干擾，采用有限時間控制理論對導(dǎo)引律的有限時間收斂特性進(jìn)行了證明，并利用飽和函數(shù)法削弱抖振。仿真結(jié)果表明所設(shè)計導(dǎo)引律在命中精度、落角約束、抖振抑制等方面具有良好的制導(dǎo)性能。

1 問題描述

反坦克導(dǎo)彈的落角約束問題是在縱向平面內(nèi)分析的，因此，本文僅對俯仰通道進(jìn)行分析。假設(shè)導(dǎo)彈和目標(biāo)均視為在平面運(yùn)動的質(zhì)點，圖1給出了導(dǎo)彈和目標(biāo)的相對運(yùn)動關(guān)系。

圖1 縱向平面內(nèi)彈目相對運(yùn)動關(guān)系Fig.1 Missile-target motion model in longitudinal plane

在圖1中，M表示導(dǎo)彈；T表示目標(biāo)；vm為導(dǎo)彈的速度；θm為導(dǎo)彈的彈道傾角；am為導(dǎo)彈運(yùn)動的法向加速度；vt為目標(biāo)的速度；θt為目標(biāo)的航跡傾角；at為目標(biāo)運(yùn)動的法向加速度；r為彈目之間相對距離；q為彈目視線角；vr為彈目相對運(yùn)動速度，即vr=vm-vt；ar為彈目相對運(yùn)動的法向加速度；ηr為彈目相對速度偏角，即彈目相對速度方向與彈目視線之間的夾角。規(guī)定所有角度逆時針方向為正，反之為負(fù)。

根據(jù)圖1中彈目相對運(yùn)動幾何關(guān)系，可得彈目相對運(yùn)動方程：

(1)

導(dǎo)彈的終端落角也稱為攻擊角，是制導(dǎo)末端導(dǎo)彈與目標(biāo)速度矢量之間的夾角。對于具體的落角約束的制導(dǎo)問題，落角約束可以轉(zhuǎn)化為視線角滿足q(tf)=qd的問題[14]。在制導(dǎo)過程中，當(dāng)彈目距離較小時，導(dǎo)引頭會進(jìn)入盲區(qū)，導(dǎo)彈按照慣性飛向目標(biāo)。設(shè)導(dǎo)引頭作用的最小距離為r0，則方程(2)中的時變參量r(t)應(yīng)滿足r(t) ≥r0。

2 預(yù)備知識

為便于下文對導(dǎo)引律有限時間收斂特性的分析和證明，首先對有限時間控制理論進(jìn)行簡要介紹。

考慮如下非線性系統(tǒng):

(2)

式中：f:U0×R→Rn在U0×R上連續(xù)；U0是原點x=0的一個開鄰域。

引理2[16]對于系統(tǒng)(2)，若存在連續(xù)、正定函數(shù)V(x)滿足

(3)

式中：a,b>0；0<γ<1。

則系統(tǒng)狀態(tài)到達(dá)穩(wěn)定點的時間t取決于初值x(0)=x0，且滿足不等式

(4)

3 帶落角約束滑模導(dǎo)引律的設(shè)計

3.1 導(dǎo)引律的推導(dǎo)

為增強(qiáng)制導(dǎo)系統(tǒng)的魯棒性，基于滑模控制理論對導(dǎo)引律進(jìn)行設(shè)計，針對彈目視線角速率在制導(dǎo)末段變化劇烈的問題，同時考慮落角約束，選取如下終端滑模面

(5)

式中：k1>0；0<α<1；qd為期望落角。

由圖1可以看出，q=θr+ηr，若ηr= 0，即q=θr，則彈目相對速度方向和彈目視線方向一致，導(dǎo)彈能夠命中目標(biāo)，且彈道較為平直。因此，滑模面第1項保證了導(dǎo)彈命中目標(biāo)的要求，并且能夠獲得較為平直的彈道；滑模面第2項為落角約束項，能夠保證落角約束的要求。

導(dǎo)彈的末制導(dǎo)時間是有限的，因此需要使制導(dǎo)系統(tǒng)狀態(tài)在有限時間內(nèi)快速趨近于滑模面。系統(tǒng)狀態(tài)快速到達(dá)滑模面，導(dǎo)彈就能夠及早的以較為平直的彈道飛行目標(biāo)，能有效提高制導(dǎo)性能?；谏鲜隹紤]，選取快速冪次趨近律

(6)

式中：k3,k4>0；0<β<1。

由圖1彈目相對運(yùn)動關(guān)系可知

ar=amcos(q-ηr-θm)-atcos(q-ηr-θt)，

(7)

且

(8)

結(jié)合式(7)和式(8)可得

(9)

對式(5)進(jìn)行微分得

(10)

將式(9)代入式(10)，然后結(jié)合式(6)可得

(11)

將式(11)整理后可得帶落角約束的導(dǎo)引律

(12)

(13)

式(13)中存在分母項cos(q-ηr-θm)，對其非奇異性進(jìn)行分析如下：

由圖1可知

vr=vmcos(q-θm-ηr)-vtcos(q-θt-ηr),

(14)

變換后得

vmcos(q-θm-ηr)=vr+vtcos(q-θt-ηr)≥vr-vt.

(15)

彈目交戰(zhàn)的過程中，導(dǎo)彈速度遠(yuǎn)大于目標(biāo)速度，則彈目相對速度要大于目標(biāo)速度，即vr-vt>0，而vm≠ 0，因此式(12)是非奇異的。

式(13)中還有未知量vr和ηr，其計算過程如下：

由彈目運(yùn)動方程(1)的第1式和第2式，可得

(16)

對式(16)求解后得

(17)

3.2 穩(wěn)定性和有限時間收斂特性分析

選取Lyapunov函數(shù)：

V=s2,

(18)

對式(18)求導(dǎo)后可得，并將導(dǎo)引律(13)代入得

(19)

由Lyapunov穩(wěn)定性理論可知，系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的。引理1可知，導(dǎo)引律(13)是有限時間收斂的，即在有限時間內(nèi)系統(tǒng)狀態(tài)能夠收斂到滑模面s=0。式(19)可寫為如下形式:

(20)

由引理2可得到系統(tǒng)收斂時間

(21)

導(dǎo)引律(13)中含有符號函數(shù)sgns，會產(chǎn)生抖振現(xiàn)象，采用高增益連續(xù)函數(shù)s/(|s| +δ)代替符號函數(shù)可有效削弱抖振，因此，導(dǎo)引律的形式可變?yōu)?/p>

(22)

式中：δ> 0，為一個較小的數(shù)，一般稱為邊界層厚度或消顫因子[17]。

為方便敘述，將所設(shè)計帶落角約束的有限時間收斂終端滑模導(dǎo)引律(finite-time convergent terminal sliding mode guidance law,FCTSM)。

4 仿真分析

為驗證本文所提導(dǎo)引律的有效性，將其引入某型反坦克導(dǎo)彈模型中，進(jìn)行數(shù)字仿真分析。導(dǎo)彈的落角約束要求是通過縱向彈道方案實現(xiàn)的，橫向彈道方案采用傳統(tǒng)的比例導(dǎo)引律。在慣性坐標(biāo)系下，選取導(dǎo)彈發(fā)射點為坐標(biāo)原點，導(dǎo)彈初始位置為(0, 0, 0)m，目標(biāo)沿Ox軸負(fù)方向機(jī)動，初始位置為(2 500, 0, 0)m，初始速度為10 m/s。導(dǎo)彈在Ox方向運(yùn)動至1 000 m時進(jìn)入末制導(dǎo)段，并設(shè)該時刻為仿真開始時間t=0 s。t>0 s時，目標(biāo)開始做加速運(yùn)動，加速度為5 m/s2，目標(biāo)速度達(dá)到20 m/s時開始做勻速運(yùn)動。設(shè)定落角約束為-60°。

為更好地分析本文導(dǎo)引律的制導(dǎo)性能，在仿真中還引入了文獻(xiàn)[5]所提帶落角約束的偏置比例導(dǎo)引律(bias proportional navigation guidance law, BPN)

(23)

仿真實驗結(jié)果如表1和圖2～5所示。

表1 2種導(dǎo)引律制導(dǎo)效果比較Table 1 Comparisons of guidance performance between two laws

圖2 彈目縱向相對運(yùn)動軌跡Fig.2 Missile-target longitudinal trajectories

圖3 導(dǎo)彈俯仰角曲線Fig.3 Pitching angle curves of missile

圖4 導(dǎo)彈攻角曲線Fig.4 Attack angle curves of missile

圖5 縱向平面內(nèi)導(dǎo)彈法向過載曲線Fig.5 Normal overload curves of missile in longitudinal plane

由表1可以看出，在2種導(dǎo)引律作用下，末制導(dǎo)時間差別不大，但FCTSM的脫靶量、落角偏差和末端攻角都明顯小于BPN，并且BPN的脫靶量和落角偏差都較大。因此，可以說明在FCTSM作用下，導(dǎo)彈能夠滿足命中精度和落角約束的要求，并且FCTSM的制導(dǎo)性能要明顯優(yōu)于BPN。

由圖2可以看出，F(xiàn)CTSM的彈道軌跡在制導(dǎo)初段較為彎曲，且彈道高度高于BPN，在制導(dǎo)末端彈道較為平直，這是由于FCTSM能夠使導(dǎo)彈傾角較早的滿足期望落角要求，實現(xiàn)俯仰角在制導(dǎo)段結(jié)束前收斂到期望落角。從圖3可以看出，在FCTSM的作用下，導(dǎo)彈俯仰角能夠有效時間內(nèi)收斂到期望落角。從圖4和圖5可以看出BPN的攻角和過載在末端逐漸增大，這說明導(dǎo)彈在制導(dǎo)末端需要產(chǎn)生大的攻角(過載)用來調(diào)節(jié)彈道成形。分析原因主要是BPN隨著剩余飛行時間的減少，期望落角沒有達(dá)到期望值，導(dǎo)致導(dǎo)引律中落角約束項急劇增大，使得控制指令增大，使得導(dǎo)彈法向過載逐漸增加。而FCTSM的末端攻角逐漸收斂至零，這是由于FCTSM能夠保證落角有限時間收斂到期望值，使導(dǎo)彈在末制導(dǎo)段結(jié)束前達(dá)到期望落角，并且由于滑模變結(jié)構(gòu)的不變性，落角在末端基本保持不變，因此，導(dǎo)彈在末端彈道較為平直，大大減小了需用過載。從圖4和圖5中還可以看出，F(xiàn)CTSM對抖振進(jìn)行了很好的抑制，沒有出現(xiàn)抖振現(xiàn)象，并且針對機(jī)動目標(biāo)表現(xiàn)出了良好的魯棒性。

綜上所述，對于打擊機(jī)動目標(biāo)，本文所設(shè)計的導(dǎo)引律FCTSM，能夠使制導(dǎo)系統(tǒng)狀態(tài)在有限時間內(nèi)收斂到平衡點，系統(tǒng)沒有抖振，并且其制導(dǎo)性能明顯優(yōu)于BPN，驗證了所設(shè)計導(dǎo)引律的有效性和魯棒性。

5 結(jié)束語

本文針對反坦克導(dǎo)彈終端落角約束問題，選取終端滑模面，包含相對速度偏角和落角約束項，設(shè)計了一種帶落角約束的滑模導(dǎo)引律，對其有限時間收斂特性進(jìn)行了分析和證明，并對抖振現(xiàn)象進(jìn)行了削弱，引入導(dǎo)彈模型中進(jìn)行對比仿真，檢驗了該導(dǎo)引律的有效性和優(yōu)越性。所提導(dǎo)引律制導(dǎo)形式簡單，易于工程實現(xiàn)，不僅可以運(yùn)用于反坦克導(dǎo)彈，還能用于反艦導(dǎo)彈等制導(dǎo)武器，具有較廣的適用范圍。

[1] 蔡洪，胡正東，曹淵. 具有終端角度約束的導(dǎo)引律綜述[J]. 宇航學(xué)報，2010, 31(2):345-323. CAI Hong, HU Zheng-dong, CAO Yuan. A Survey of Guidance Law with Terminal Impact Angle Constraints[J]. Journal of Astronautics, 2010, 31(2):345-323.

[2] RATNOO A, GHOSE D. State Dependent Riccati Equation Based Guidance Law for Impact Angle Constrained Trajectories[J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics，2009, 2(1): 20-326.

[3] TAUB I, SHIMA T. Intercept Angle Missile Guidance under Time Varying Acceleration Bounds[J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2013, 36(1): 83-96.

[4] RATNOO A, GHOSE D. Impact Angle Constrained Guidance Against Nonstationary Nonmaneuvering Targets[J]. Journal of Guidance, Control and Dynamics, 2010, 33(1): 269-275.

[5] 高峰，唐勝景，師嬌，等. 一種基于落角約束的偏置比例制導(dǎo)律[J]. 北京理工大學(xué)學(xué)報，2014, 34(3):277-282. GAO Feng, TANG Sheng-jing, SHI Jiao, et al. A Bias Proportional Navigation Guidance Law Based on Terminal Impact Angle Constraint[J]. Transactions of Beijing Institute of Technology, 2014, 34(3): 277-282.

[6] 張亞松，任宏光，吳震，等. 帶落角約束的滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律研究[J]. 電光與控制，2012, 19(1):66-68. ZHANG Ya-song, REN Hong-guang, WU Zhen, et al. On Sliding Mode Variable Structure Guidance Law with Terminal Angular Constraint[J]. Electronics Optics & Control, 2012,19(1):66-68.

[7] 穆朝絮，余星火，孫長銀. 非奇異終端滑?？刂葡到y(tǒng)相軌跡和暫態(tài)分析[J]. 自動化學(xué)報，2013, 39(6):902-908. MU Chao-xu, YU Xing-huo, SUN Chang-yin. Phase Trajectory and Transient Analysis for Nonsingular Terminal Sliding Mode Control Systems[J]. Acta Automatica Sinica, 2013, 39(6): 902-908.

[8] SACHIT R, DEBASISH G. Terminal Impact Angle Constrained Guidance Laws Using Variable Structure Systems Theory[J]. IEEE Transactions on Control Systems Technology, 2013(99):1-10.

[9] 周慧波，宋申民，劉海坤. 具有攻擊角度約束的非奇異終端滑模導(dǎo)引律設(shè)計[J]. 中國慣性技術(shù)學(xué)報，2014, 22(5):606-611, 618. ZHOU Hui-bo, SONG Shen-min,LIU Hai-kun. Nongsingular Terminal Sliding Mode Guidance Law with Impact Angle Constraint[J]. Journal of Chinese Inertial Technology, 2014, 22(5):606-611,618.

[10] 熊少鋒，王衛(wèi)紅，王森. 帶攻擊角度約束的非奇異快速終端滑模制導(dǎo)律[J]. 控制理論與應(yīng)用，2014, 31(3): 269-278. XIONG Shao-feng, WANG Wei-hong, WANG Sen. Nonsingular Fast Terminal Sliding-Mode Guidance Law with Intercept Angle Constraint[J]. Control Theory & Applications, 2014, 31(4):269-278.

[11] KUMAR S R, RAO S, GHOSE D. Nonsingular Terminal Sliding Mode Guidance with Impact Angle Constraints[J]. Journal of Guidance, Control and Dynamics, 2014, 37(4): 1114-1130.

[12] 郭鴻武，林維松，劉明俊. 基于相對速度偏角的變結(jié)構(gòu)導(dǎo)引律[J]. 宇航學(xué)報，2001, 22(3):33-37. GUO Hong-wu, LIN Wei-song, LIU Ming-jun. A Variable Structure Guidance Law Based on Relative Velocity Deflection Angle[J]. Journal of Astronautics, 2001, 22(3):33-37.

[13] 林嘉新，趙永濤，胡云安. 基于零化相對速度偏角的變結(jié)構(gòu)末制導(dǎo)律設(shè)計[J]. 海軍工程學(xué)院學(xué)報，2009, 24(6): 646-650. LIN Jia-xin, ZHAO Yong-tao, HU Yun-an. Design of a Variable Structure Terminal Guidance Law Based on Relative Velocity Deflection angle[J]. Journal of Naval University of Engneering, 2009, 24(6):646-650.

[14] 刁兆師，單家元. 帶末端攻擊角約束連續(xù)有限時間穩(wěn)定制導(dǎo)律[J]. 宇航學(xué)報，2014, 35(10):1141-1149. DIAO Zhao-shi, SHAN Jia-yuan. Continuous Finite-Time Stabilization Guidance Law for Terminal Impact Angle Constrainted Flight Trajectory[J]. Journal of Astronautics, 2014, 35(10): 1141-1149.

[15] 洪奕光，程代展. 非線性系統(tǒng)的分析與控制[M]. 北京：科學(xué)出版社，2005. HONG Yi-guang,CHENG Dai-zhan.Nonlinear System Analysis and Control[M].Beijing:Science Press,2005.

[16] YU S H, YU X H, SHIRINZADEH B Y, et al. Continuous Finite-Time Control for Robotic Manipulators with Terminal Sliding Mode[J]. Automatica, 2005, 41(11): 1957-1964.

[17] 賈慶忠，劉永善，劉藻珍. 電視制導(dǎo)侵徹炸彈落角約束變結(jié)構(gòu)反演制導(dǎo)律設(shè)計[J]. 宇航學(xué)報，2008, 29(1):208-214. JIA Qing-zhong, LIU Yong-shan, LIU Zao-zhen. Variable-Structure Back Stepping Guidance Law with Terminal Angular Constraint for Video Guided Penetrating Bomb[J]. Journal of Astronautics, 2008, 29(1): 208-214.

Sliding Mode Guidance Law with Impact AngleConstraint for Antitank Missile

YANG Suo-chang, ZHANG Kuan-qiao, LI Bao-chen, ZHANG Kai

(Ordnance Engineering College, Missile Engineering Department, Hebei Shijiazhuang 050003, China)

To increase the terminal impact angle to enhance the damage efficiency of the warhead, a sliding mode guidance law with impact angle constraint based on terminal sliding mode control theory and missile-to-target motion model is proposed. The guidance law selects relative velocity deflection angle and impact angle constraint as the sliding mode surface, and combines with the fast power reaching law. The stability and finite-time convergent feature of the guidance law is proved with the finite-time control theory. Finally, the law is compared with bias proportional navigation guidance law with impact angle constraint based on trajectory simulation. Simulation results show that the designed guidance law can meet the requirement of guidance precision and terminal impact angel constraint, and has less miss distance, higher impact angle control accuracy, and stronger robustness.

guidance law; impact angle constraint; relative velocity deflection; finite-time convergence; terminal sliding mode control; fast power reaching law

2015-09-10；

2016-04-30

楊鎖昌(1969-)，男，河北定州人。教授，博士，主要研究方向為精確制導(dǎo)理論與技術(shù)。

10.3969/j.issn.1009-086x.2016.06.007

TJ761.1+2;TJ765

A

1009-086X(2016)-06-0037-06

通信地址：050003 河北省石家莊市和平西路97號導(dǎo)彈工程系

E-mail：yangsuochang_jx@sina.com