唐波電子工程學(xué)院 504教研室， 合肥 230037

寬帶認(rèn)知雷達(dá)低峰均比波形快速設(shè)計(jì)算法

唐波*
電子工程學(xué)院 504教研室， 合肥 230037

發(fā)射波形設(shè)計(jì)是寬帶認(rèn)知雷達(dá)系統(tǒng)的關(guān)鍵技術(shù)。為了提高寬帶認(rèn)知雷達(dá)系統(tǒng)對(duì)距離擴(kuò)展目標(biāo)的檢測(cè)性能，建立了目標(biāo)檢測(cè)模型，分析了系統(tǒng)的檢測(cè)性能,在此基礎(chǔ)之上研究了基于最大輸出信干噪比(SINR)的低峰均比(PAR)波形設(shè)計(jì)算法。通過(guò)將原波形優(yōu)化問(wèn)題等效為接收權(quán)值與低峰均比波形的聯(lián)合優(yōu)化問(wèn)題，同時(shí)利用循環(huán)優(yōu)化的思想，提出了一種低峰均比波形快速設(shè)計(jì)算法。相比于現(xiàn)有的梯度法以及凸優(yōu)化算法，該算法所設(shè)計(jì)的恒模波形信干噪比與二者相當(dāng)，但算法實(shí)現(xiàn)難度明顯變小，計(jì)算復(fù)雜度明顯降低。仿真結(jié)果證實(shí)了算法的有效性。

寬帶認(rèn)知雷達(dá)； 距離擴(kuò)展目標(biāo)； 波形設(shè)計(jì)； 低峰均比(PAR)波形； 輸出信干噪比(SINR)； 循環(huán)優(yōu)化

認(rèn)知雷達(dá)是一種能夠感知和理解復(fù)雜電磁環(huán)境并在此基礎(chǔ)之上進(jìn)行推理決策的新體制雷達(dá)系統(tǒng)[1-2]，是未來(lái)雷達(dá)系統(tǒng)的重要發(fā)展方向之一，近年來(lái)在國(guó)內(nèi)外引起了巨大的關(guān)注。在認(rèn)知雷達(dá)系統(tǒng)中，基于所感知的環(huán)境以及目標(biāo)先驗(yàn)知識(shí)設(shè)計(jì)發(fā)射波形是關(guān)鍵技術(shù)之一，有助于顯著地提高系統(tǒng)在復(fù)雜環(huán)境中的目標(biāo)檢測(cè)、參數(shù)估計(jì)、跟蹤及識(shí)別性能[3-8]。

寬帶認(rèn)知雷達(dá)是指發(fā)射大帶寬信號(hào)的認(rèn)知雷達(dá)系統(tǒng)。寬帶雷達(dá)系統(tǒng)具有很高的距離分辨率，相比于窄帶雷達(dá)系統(tǒng)在目標(biāo)成像以及識(shí)別等方面具有明顯的優(yōu)勢(shì)[9]。與此同時(shí)，很多目標(biāo)的尺寸超過(guò)了系統(tǒng)距離分辨單元的大小，不能再視作點(diǎn)目標(biāo)，因此雷達(dá)視線方向上的多個(gè)強(qiáng)目標(biāo)散射點(diǎn)回波就會(huì)分布在多個(gè)距離單元中。在寬帶雷達(dá)系統(tǒng)中，這類目標(biāo)又被稱為距離擴(kuò)展目標(biāo)[10-11]。為了提高寬帶認(rèn)知雷達(dá)系統(tǒng)對(duì)于距離擴(kuò)展目標(biāo)的檢測(cè)性能，系統(tǒng)設(shè)計(jì)發(fā)射波形時(shí)必須恰當(dāng)?shù)剡x擇優(yōu)化準(zhǔn)則。目前有2種準(zhǔn)則可用于設(shè)計(jì)面向檢測(cè)性能最優(yōu)的認(rèn)知雷達(dá)發(fā)射波形。其中第1種優(yōu)化準(zhǔn)則引入了信息論中的相對(duì)熵概念[12-14]。當(dāng)發(fā)射波形使得2類假設(shè)概率密度分布之間的相對(duì)熵達(dá)到最大時(shí)，則系統(tǒng)的檢測(cè)性能可以漸近地達(dá)到最優(yōu)。第2種則基于最大化輸出信干噪比(SINR)來(lái)優(yōu)化發(fā)射波形[15-19]。然而基于最大輸出信干噪比的現(xiàn)有波形設(shè)計(jì)方法大都僅考慮了波形的發(fā)射能量約束。在工程實(shí)際中，為了能夠使得雷達(dá)發(fā)射機(jī)工作在飽和狀態(tài)以便發(fā)揮其最大效能，同時(shí)為了避免放大器的非線性使得發(fā)射波形失真，通常要求雷達(dá)發(fā)射波形具有較低的峰均比(Peak-to-Average Power Ratio, PAR)或者恒定包絡(luò)[20-21]。因此實(shí)際系統(tǒng)設(shè)計(jì)發(fā)射波形時(shí)還必須考慮波形的峰均比約束。文獻(xiàn)[18]研究了基于最大化輸出信干噪比的寬帶認(rèn)知雷達(dá)恒模波形設(shè)計(jì)方法，并提出了一種基于梯度下降法的波形優(yōu)化算法。文獻(xiàn)[19]則利用半正定松弛(Semidefinite Relaxation, SDR)以及凸優(yōu)化算法來(lái)設(shè)計(jì)使得輸出信干噪比最大的恒模波形。然而需要指出的是，梯度下降法以及凸優(yōu)化算法只能設(shè)計(jì)恒模波形，不能設(shè)計(jì)任意峰均比約束下的雷達(dá)發(fā)射信號(hào)。此外，這2種算法運(yùn)算量很大，難以設(shè)計(jì)長(zhǎng)碼波形，進(jìn)而影響寬帶認(rèn)知雷達(dá)系統(tǒng)的最大作用距離。

本文建立了寬帶認(rèn)知雷達(dá)的目標(biāo)檢測(cè)模型，分析了系統(tǒng)的檢測(cè)概率和虛警概率。為了改善系統(tǒng)檢測(cè)性能，在此基礎(chǔ)之上研究了基于最大化輸出信干噪比的低峰均比波形設(shè)計(jì)算法，并提出了一種快速設(shè)計(jì)算法。該算法所設(shè)計(jì)的波形檢測(cè)性能與現(xiàn)有算法相當(dāng)，但復(fù)雜度明顯降低。

1 信號(hào)模型

將寬帶認(rèn)知雷達(dá)的發(fā)射信號(hào)記為s(t)。如果雷達(dá)天線波束內(nèi)存在目標(biāo)，如圖 1所示，雷達(dá)回波信號(hào)y(t)可以寫為

(1)

式中：τ1為距離雷達(dá)最近的目標(biāo)散射點(diǎn)雙程延時(shí)；τ2為距離雷達(dá)最遠(yuǎn)的目標(biāo)散射點(diǎn)雙程延時(shí)，即目標(biāo)徑向尺寸約為c(τ2-τ1)/2，c為光速；h(τ)為目標(biāo)沖激響應(yīng)；n(t)為外部干擾和接收機(jī)噪聲。為方便后續(xù)處理，對(duì)雷達(dá)回波信號(hào)y(t)進(jìn)行模數(shù)轉(zhuǎn)換，將其變?yōu)閿?shù)字信號(hào)，記為y，并注意到目標(biāo)回波為沖激響應(yīng)與發(fā)射信號(hào)的卷積，則不難得出

y=h?s+n

(2)

式中：h為長(zhǎng)度為P的目標(biāo)沖激矢量，P為目標(biāo)散射點(diǎn)數(shù)，取決于目標(biāo)徑向尺寸以及系統(tǒng)距離分辨率；s為經(jīng)過(guò)離散化后的發(fā)射波形，長(zhǎng)度為L(zhǎng)；n為長(zhǎng)度為(L+P-1)的噪聲及干擾矢量；?為卷積運(yùn)算符。根據(jù)卷積運(yùn)算定義，不難得出y又可寫為

圖1 寬帶認(rèn)知雷達(dá)目標(biāo)檢測(cè)示意圖

Fig.1 Illustration of wideband cognitive radar detection

y=Hs+n

(3)

式中：H為(L+P-1)×L維卷積矩陣，其表達(dá)式為

(4)

當(dāng)雷達(dá)天線波束內(nèi)不存在目標(biāo)時(shí)，則雷達(dá)回波信號(hào)可以寫為

y=n

(5)

基于以上結(jié)果，可以建立如下的二元假設(shè)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ陀糜跈z測(cè)雷達(dá)回波中是否存在目標(biāo)：

(6)

為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，假設(shè)目標(biāo)沖激矢量h為確定矢量(非隨機(jī))，n服從均值為0、協(xié)方差矩陣為R的復(fù)高斯分布，則目標(biāo)回波y在兩類假設(shè)下的概率密度函數(shù)可以分別寫為

(7)

P(y|H1)=

(8)

利用似然比檢驗(yàn)[22]，不難得出最優(yōu)檢測(cè)器為

(9)

式中：T為門限。

在H0假設(shè)下，檢測(cè)器服從均值為0、方差為sHHHR-1Hs/2的高斯分布，因此虛警概率滿足

(10)

式中：erfc(·)為余補(bǔ)誤差函數(shù)，是x的單調(diào)遞減函數(shù)，其表達(dá)式為

(11)

在H1假設(shè)下，檢測(cè)器服從均值為sHHHR-1·Hs、方差為sHHHR-1Hs/2的高斯分布，因此檢測(cè)概率為

(12)

利用式(10)，目標(biāo)檢測(cè)概率可以進(jìn)一步寫成

(13)

式中：erfc-1(·)為余補(bǔ)誤差函數(shù)的逆函數(shù)。由于erfc(x)隨著x單調(diào)遞減，因此目標(biāo)檢測(cè)概率PD是輸出信干噪比

SINR=sHHHR-1Hs

(14)

的單調(diào)遞增函數(shù)，故而輸出信干噪比的大小直接關(guān)乎系統(tǒng)檢測(cè)性能的優(yōu)劣。接下來(lái)討論如何設(shè)計(jì)波形s使得輸出信干噪比最大。

實(shí)際系統(tǒng)中雷達(dá)發(fā)射信號(hào)的能量總是有限的。不失一般性，假設(shè)發(fā)射信號(hào)的能量不超過(guò)L，即

sHs≤L

(15)

在認(rèn)知雷達(dá)系統(tǒng)的波形設(shè)計(jì)中，假設(shè)已有目標(biāo)和環(huán)境的先驗(yàn)知識(shí)[23]，因此能量約束下的波形設(shè)計(jì)問(wèn)題可以建模為

s.t.sHs≤L

(16)

很明顯，當(dāng)雷達(dá)發(fā)射信號(hào)僅受限于發(fā)射能量時(shí)，最優(yōu)發(fā)射波形為

s=(HHR-1H)

(17)

由于工程實(shí)際需要，設(shè)計(jì)發(fā)射波形時(shí)需要考慮雷達(dá)波形的低峰均比約束，其中峰均比定義為

(18)

式中：s(l)為波形s的第l個(gè)采樣。

考慮峰均比約束后，寬帶認(rèn)知雷達(dá)的發(fā)射波形設(shè)計(jì)可以建模為如下的優(yōu)化問(wèn)題：

s.t. PAR(s)≤γ,sHs≤L

(19)

不難發(fā)現(xiàn)1≤PAR(s)≤L。當(dāng)γ=1時(shí)，s為恒包絡(luò)信號(hào)；當(dāng)γ=L時(shí)，則峰均比約束為冗余約束，上述優(yōu)化問(wèn)題的解為式(17)。由于峰均比約束高度非凸，因此很難求得式(19)的全局最優(yōu)解。

2 波形快速設(shè)計(jì)算法

為了能夠設(shè)計(jì)碼長(zhǎng)較長(zhǎng)的低峰均比發(fā)射波形并減小波形設(shè)計(jì)運(yùn)算量，下面給出一種快速設(shè)計(jì)方法。首先證明式(19)中的優(yōu)化問(wèn)題與式(20)等價(jià)：

s.t. PAR(s)≤γ,sHs≤L

(20)

式(20)是一個(gè)發(fā)射波形s與接收權(quán)值w的聯(lián)合優(yōu)化問(wèn)題，但約束條件只與發(fā)射波形s有關(guān)，而與權(quán)值w無(wú)關(guān)。不難看出式(20)存在無(wú)窮多解，這是因?yàn)槿绻?wopt, sopt)是式(20)的可行解，則(αwopt, sopt)也是可行解，即權(quán)值w的尺度變化不影響目標(biāo)函數(shù)的取值。此外，當(dāng)波形s固定時(shí)，最優(yōu)權(quán)值w可以通過(guò)如下優(yōu)化問(wèn)題獲得:

(21)

將Hs等效為導(dǎo)引矢量，則式(21)與陣列信號(hào)處理中經(jīng)典的最小方差無(wú)失真響應(yīng)(MinimumVarianceDistortlessResponse，MVDR)[24]是等價(jià)的，即式(21)等價(jià)于

s.t.wHHs=1

(22)

可以定義如下拉格朗日乘子函數(shù)求解式(22)中的優(yōu)化問(wèn)題:

F(λ)=wHRw+λ(wHHs-1)

(23)

式中：λ為拉格朗日乘子。

將式(23)對(duì)w求導(dǎo)并令求導(dǎo)結(jié)果為0，并注意到權(quán)值w的尺度變化不影響目標(biāo)函數(shù)的取值，可得式(21)的最優(yōu)解為

wopt=R-1Hs

(24)

且目標(biāo)函數(shù)最大值為sHHHR-1Hs。因此通過(guò)一步優(yōu)化，可以將式(20)中的聯(lián)合優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為式(19)中的優(yōu)化問(wèn)題，故而式(20)與式(19)等價(jià)。

可以使用循環(huán)優(yōu)化方法[21,25]求解式(20)中的聯(lián)合優(yōu)化問(wèn)題，即每一次迭代中，將其分解為兩個(gè)相對(duì)獨(dú)立的優(yōu)化問(wèn)題：① 固定波形s(i)優(yōu)化權(quán)值w(i)；② 固定權(quán)值w(i)優(yōu)化低峰均比波形s(i+1)。很明顯，第①步優(yōu)化結(jié)果由式(24)給出。接下來(lái)討論第②步優(yōu)化的求解方法。在第②步優(yōu)化中，需要求解如下優(yōu)化問(wèn)題：

s.t. PAR(s)≤γ,sHs≤L

(25)

注意到式(25)目標(biāo)函數(shù)的分母與波形s無(wú)關(guān)，故可以將其簡(jiǎn)化為

s.t. PAR(s)≤γ,sHs≤L

(26)

記v(i)=HHw(i)。如果γ=1(恒定包絡(luò)約束)，則利用基本代數(shù)不等式，可得出

(27)

當(dāng)且僅當(dāng)

s(l)=exp(j∠v(i)(l))

(28)

時(shí)不等號(hào)成立。

式中：v(i)(l)為v(i)的第l個(gè)元素；∠v(i)(l)為v(i)(l)的相位。即最優(yōu)解為

s(i+1)=exp(j∠v(i))

(29)

如果γ≠1，則可證明式(26)與下面的優(yōu)化問(wèn)題等價(jià)：

s.t. PAR(s)≤γ,sHs≤L

(30)

很明顯

(31)

將式(30)的最優(yōu)解記作s(i+1)，并記

(32)

如果φ0≠0，則

以及

(33)

與s(i+1)的最優(yōu)性相矛盾，因此式(30)的最優(yōu)解必然滿足

(34)

故而式(26)與式(30)等價(jià)。此時(shí)便可以利用文獻(xiàn)[26]中的最近鄰迭代算法求得式(30)的最優(yōu)解。

綜上，寬帶認(rèn)知雷達(dá)系統(tǒng)的低峰均比波形設(shè)計(jì)算法可以總結(jié)如下：

步驟1 i=0，初始化波形s(i)。

步驟2 i=i+1，利用式(24)計(jì)算w(i)以及利用最近鄰迭代得到s(i+1)，計(jì)算輸出信干噪比SINR(i+1)。

注意到v(i)=HHw(i)=HHR-1Hs(i)，因此如果能夠事先計(jì)算好HHR-1H，則可以進(jìn)一步減少本算法的運(yùn)算量。

與文獻(xiàn)[18]中的梯度下降法以及文獻(xiàn)[19]中的凸優(yōu)化算法相比，本算法實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單，且能夠設(shè)計(jì)任意峰均比約束下的雷達(dá)波形。在設(shè)計(jì)恒模波形時(shí)，本算法每一步迭代的運(yùn)算量可以控制在O(L2)的量級(jí)，遠(yuǎn)低于梯度法O(L3)的運(yùn)算量以及凸優(yōu)化算法O(L4.5)的運(yùn)算量，且對(duì)存儲(chǔ)的要求很低，能夠設(shè)計(jì)很長(zhǎng)的碼長(zhǎng)。

3 數(shù)值仿真與分析

為驗(yàn)證算法的有效性，考慮信號(hào)帶寬為100MHz的寬帶認(rèn)知雷達(dá)系統(tǒng)，波形采樣后的長(zhǎng)度L=50，目標(biāo)占據(jù)的距離單元數(shù)P=20，目標(biāo)沖激響應(yīng)如圖2所示。干擾及接收機(jī)噪聲n采用一階自回歸(AR)過(guò)程建模，AR過(guò)程的相關(guān)系數(shù)ρ=0.9。

圖2 目標(biāo)沖激響應(yīng)

Fig.2 Target impulse response

圖3為本文算法所設(shè)計(jì)的波形信干噪比隨著迭代次數(shù)的變化曲線，其中采用隨機(jī)生成的偽正交相位編碼信號(hào)作為算法的初始值，迭代截止門限ε=10-6?？梢钥闯?，本文算法收斂很快，收斂后輸出信干噪比約為6.16dB，接近于能量約束下的最大信干噪比(約為6.41dB)。而采用相同帶寬的線性調(diào)頻(LinearFrequencyModulation,LFM)信號(hào)，輸出信干噪比僅為0dB。

圖3 本文算法信干噪比(SINR)隨著迭代次數(shù)的變化曲線

Fig.3 Convergence of SINR of proposed algorithm against iteration number

為了比較本文算法與文獻(xiàn)[18-19]所提的梯度法以及凸優(yōu)化算法，采用與圖3相同的仿真參數(shù)，圖4以及圖5分別給出了100次獨(dú)立蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)下3種算法的計(jì)算耗時(shí)(Inteli5-4200MCPU，4G內(nèi)存)及輸出信干噪比直方分布圖，其中本文算法平均用時(shí)僅需0.007 5s，平均信干噪比為6.10dB，梯度法平均用時(shí)0.195s，平均信干噪比為6.10dB，凸優(yōu)化算法平均用時(shí)0.795s，平均信干噪比為6.27dB?？梢钥闯?，本文算法與梯度法的性能相當(dāng)，稍劣于凸優(yōu)化算法，但是算法耗時(shí)遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于凸優(yōu)化算法。

圖4 3種算法用時(shí)比較

Fig.4 Comparison of run-time of three algorithms

圖5 3種算法輸出信干噪比比較

Fig.5 SINR comparison of three algorithms

另外，在該計(jì)算機(jī)上凸優(yōu)化算法所設(shè)計(jì)的波形長(zhǎng)度L不能超過(guò)300，當(dāng)碼長(zhǎng)L超過(guò)500時(shí)梯度法難以收斂，而對(duì)于本文算法，僅需要2s左右的時(shí)間就能設(shè)計(jì)碼長(zhǎng)超過(guò)1 000的恒模波形。

最后，圖6為不同峰均比約束下所設(shè)計(jì)的波形信干噪比，可以看出，當(dāng)峰均比增加時(shí)，由于式(19)中的可行解集合區(qū)域更大，因此波形的輸出信干噪比會(huì)有所增加。同時(shí)圖中結(jié)果也表明，當(dāng)γ=2時(shí)，所設(shè)計(jì)波形的輸出信干噪比非常接近能量約束下的最大輸出信干噪比。

圖6 輸出信干噪比與峰均比的關(guān)系

Fig.6 Relationship between SINR and PAR

4 結(jié) 論

建立了寬帶認(rèn)知雷達(dá)的信號(hào)模型，分析了系統(tǒng)的檢測(cè)概率和虛警概率，研究了任意峰均比約束下基于最大輸出信干噪比的波形設(shè)計(jì)問(wèn)題。通過(guò)將原有波形優(yōu)化問(wèn)題等價(jià)為權(quán)值以及波形的聯(lián)合優(yōu)化問(wèn)題，并利用循環(huán)優(yōu)化的思想，提出了一種能夠用于改善距離擴(kuò)展目標(biāo)檢測(cè)性能的低峰均比波形快速設(shè)計(jì)算法。相比于梯度法以及凸優(yōu)化算法，本文算法所設(shè)計(jì)的恒模波形與它們性能相當(dāng)，但是實(shí)現(xiàn)難度明顯更小，計(jì)算復(fù)雜度明顯降低，有更強(qiáng)的實(shí)用性。

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唐波 男， 博士， 講師。主要研究方向： 自適應(yīng)雷達(dá)信號(hào)處理及波形設(shè)計(jì)。

Tel: 0551-65927461

E-mail: tangbo06@gmail.com

Received： 2015-01-27； Revised： 2015-04-23； Accepted： 2015-05-05； Published online： 2015-05-25 09:54

URL： www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20150525.0954.003.html

Foundation items： National Natural Science Foundation of China (61201379); Anhui Provincial Natural Science Foundation (1208085QF103， 1608085MF123)

*Corresponding author. Tel.： 0551-65927461 E-mail: tangbo06@gmail.com

Efficient design algorithm of low PAR waveform for widebandcognitive radar

TANG Bo*

Lab504,ElectronicEngineeringInstitute,Hefei230037,China

Transmit waveform design is a key technique in wideband cognitive radar. In order to improve the detection performance of range spread targets for wideband cognitive radar system, a target detection model is established. Then the detection performance associated with the signal model is analyzed. Afterward, the design method of low peak-to-average power ratio (PAR) waveform is studied based on maximizing signal-to-interference-plus-noise ratio (SINR). In the development of the proposed algorithm, the original waveform optimization problem is tackled by considering its equivalent form, which is a joint design problem of low PAR waveform and receiving filter. Based on the idea of cyclic optimization, an efficient design method for low PAR waveform is proposed. The output SINR of the designed constant envelope waveform is similar to that of the existing gradient descent method and convex optimization method. However, the proposed algorithm is much easier to implement and has considerably lower computational complexity. The effectiveness of the proposed algorithm is verified by the numerical simulations.

wideband cognitive radar; range spread target; waveform design; low peak to average power ratio (PAR) waveform; signal to interference plus noise ratio (SINR); cyclic optimization

2015-01-27；退修日期：2015-04-23；錄用日期：2015-05-05； < class="emphasis_bold">網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間：

時(shí)間： 2015-05-25 09:54

www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20150525.0954.003.html

國(guó)家自然科學(xué)基金 (61201379)； 安徽省自然科學(xué)基金 (1208085QF103， 1608085MF123)

.Tel.： 0551-65927461 E-mail: tangbo06@gmail.com

唐波． 寬帶認(rèn)知雷達(dá)低峰均比波形快速設(shè)計(jì)算法[J]． 航空學(xué)報(bào), 2016, 37(2): 688-694. TANG B. Efficient design algorithm of low PAR waveform for wideband cognitive radar[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2016, 37(2): 688-694.

http://hkxb.buaa.edu.cn hkxb@buaa.edu.cn

10.7527/S1000-6893.2015.0125

V243.2；TN959.73

： A

： 1000-6893(2016)02-0688-07

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