李長龍， 高世橋， 牛少華， 劉海鵬

(北京理工大學(xué) 爆炸科學(xué)與技術(shù)國家重點實驗室，北京 100081)

微諧振器縱向振動熱彈性耦合分析

李長龍， 高世橋， 牛少華， 劉海鵬

(北京理工大學(xué) 爆炸科學(xué)與技術(shù)國家重點實驗室，北京 100081)

對微諧振器在縱向振動時的熱彈性耦合進(jìn)行分析，以懸臂梁為基礎(chǔ)，在環(huán)境溫度為300 K時，對熱彈性本構(gòu)方程進(jìn)行數(shù)值求解，對在縱向振動過程中產(chǎn)生的溫度、受熱彈性耦合的影響產(chǎn)生的頻率漂移、熱彈性阻尼進(jìn)行分析. 分析結(jié)果發(fā)現(xiàn)，在縱向振動過程中，懸臂梁在前3階振動模態(tài)下，溫度變化量隨著振動模態(tài)的升高而增大，在3階振動模態(tài)時，溫度變化量約為1.5 K；受熱彈性耦合影響，頻率漂移比首先隨著梁長的增加而迅速增加，然后穩(wěn)定在1.67×10-4附近；熱彈性阻尼最大值約為1.0×10-4. 然后，使用COMSOL Multiphysics 軟件對懸臂梁進(jìn)行熱彈性耦合仿真，并對數(shù)值結(jié)果進(jìn)行驗證. 結(jié)果表明，仿真結(jié)果與理論計算結(jié)果相吻合.

微陀螺儀； 縱向振動；熱彈性耦合；頻率漂移；COMSOL

在MEMS領(lǐng)域，設(shè)計具有高品質(zhì)因子或低能量損耗的諧振器是設(shè)計MEMS器件的關(guān)鍵因素. 在微機(jī)械能量損失機(jī)制中存在外部能量損耗與內(nèi)部能量損耗兩種主要形式. 外部能量損耗如空氣阻尼，是由于在非真空環(huán)境中，周圍環(huán)境氣體與器件相互作用而導(dǎo)致的能量損失[1]. 內(nèi)部能量損耗包括晶格缺陷、熱彈性阻尼等，主要是由于材料的內(nèi)耗造成[2-3]. 隨著MEMS封裝技術(shù)的發(fā)展，氣體阻尼對MEMS器件的影響越來越小. 內(nèi)部能量損耗成為影響MEMS器件性能的主要機(jī)制. 在內(nèi)部能量損耗中，熱彈性阻尼成為限制高品質(zhì)因子的微諧振器的主要因素.

熱彈性阻尼是由諧振器在振動過程中拉伸和壓縮產(chǎn)生的不可逆的熱流而導(dǎo)致的. 材料在拉伸應(yīng)力下溫度升高，而在壓縮應(yīng)力下溫度降低. 在材料內(nèi)部形成溫度梯度，為實現(xiàn)結(jié)構(gòu)的熱平衡，需要能量去調(diào)節(jié)溫度梯度. 用來調(diào)節(jié)熱平衡的能量是由機(jī)械能轉(zhuǎn)化而成，而且這種轉(zhuǎn)化是不可逆的. 在調(diào)節(jié)內(nèi)部熱平衡時能量損失的過程稱為熱彈性阻尼[4]. 只要材料的熱膨脹系數(shù)不為零，在結(jié)構(gòu)振動時就會有熱彈性阻尼的存在. 因此，熱彈性阻尼的研究成為MEMS器件阻尼研究的重點之一.

目前，關(guān)于熱彈性阻尼，國內(nèi)外一些學(xué)者已經(jīng)對其進(jìn)行了研究. Zener[5]最初引入熱彈性阻尼的概念，并提出黏彈性固體中熱彈性弛豫時間的概念.

Lifshitz及Rouckes[6]對Zener的理論進(jìn)行了修正，推導(dǎo)出熱彈性阻尼的精確解，

本文基于上述分析，對微諧振器在縱向振動過程中的熱彈性損耗進(jìn)行了研究. 本文以微陀螺儀敏感元件-懸臂梁為基礎(chǔ)，首先建立熱彈性耦合的控制方程；其次，分析懸臂梁在縱向振動過程中的溫度分布、熱彈性阻尼和由于熱彈性耦合造成的諧振頻率的漂移；最后對其進(jìn)行建模，利用COMSOLMultiphysics進(jìn)行仿真分析，并對理論推導(dǎo)的值進(jìn)行驗證.

1 熱彈性耦合控制方程

陀螺模型如圖1所示，將驅(qū)動梳齒簡化成懸臂梁模型，如圖2所示，尺寸為0≤x≤l,-b/2≤y≤b/2. 梁的長度方向為x軸，寬度和厚度方向分別為y和z軸. 懸臂梁最初處于零應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)，并且梁上溫度處為T0.

由熱彈性體本構(gòu)方程及熱力學(xué)傅里葉定律可得熱彈性耦合方程為［11］

(1)

式中：T為溫度；cV為比定容熱容；λ,μ為拉梅常數(shù).

方程(1)為各向同性體三維熱彈性耦合方程. 使用耦合方法解方程，評估熱彈性耦合對懸臂梁縱向振動的影響. 微陀螺采用的是細(xì)長梁，根據(jù)歐拉-伯努利梁理論，假設(shè)微梁在縱向振動過程中橫截面積保持為平面，并且忽略橫向變形. 對于縱向振動問題，所以得變量都依賴于x軸. 將縱向振動時應(yīng)變與位移的關(guān)系εx=?ux/?x，εy=-ν?ux/?x，εz=-ν?ux/?x代入到方程(1)中得

(2)

假設(shè)溫度和位移都是時間諧振形式:

(3)

式中θ為溫度變化量.

將方程(3)帶入到(2)中，得

(4)

對方程(4)進(jìn)行變換可得位移的偏微分方程.

(5)

其中

對偏微分方程(5)進(jìn)行求解，得

(6)

式中：±rm(m=1，2)是方程Ar4+Br2+C=0的根；Lm，Nm(m=1，2) 為常數(shù).

溫度的變化量為

(7)

其中hm=

將邊界條件分別代入位移與溫度方程可得出關(guān)于頻率的方程為

(8)

方程(8)是超正定方程，通過求解以上方程，可以求得熱彈性耦合下的固有頻率ω.

以上通過耦合方法計算出微梁在縱向振動時的溫度變化與熱彈性阻尼，下面根據(jù)非耦合方法計算懸臂梁在振動過程中的溫度變化和能量損耗. 對于Si材料，熱彈性耦合系數(shù)為10-5量級，意味著懸臂梁的彈性振動非耦合運(yùn)動方程可以用來求解位移和溫度. 懸臂梁縱向振動的位移為

(9)

(10)

懸臂梁的熱邊界條件為固定端絕熱，自由端等溫.

將機(jī)械邊界條件代入到式(9)中得

(11)

縱向振動位移為

(12)

將式(12)代入到式(4)中的熱動態(tài)方程得

(13)

推導(dǎo)出在縱向振動過程中的溫度變化為

(14)

其中A，B為常數(shù)，

將熱邊界條件代入式(14)，得A=B=0，則

(15)

假設(shè)在每個振動周期內(nèi)損失的能量全部是由調(diào)節(jié)熱傳導(dǎo)引起的，即損耗的能量都轉(zhuǎn)化為熱能，則損失的能量為

(16)

每個振動周期內(nèi)的機(jī)械能為

(17)

懸臂梁在縱向振動過程中的熱彈性阻尼為

(18)

縱向振動時熱彈性阻尼與梁長的關(guān)系為

(19)

2 數(shù)值計算

陀螺儀所采用的材料為Si，環(huán)境溫度為300 K. 在數(shù)值計算與仿真中的參數(shù)值如表1所示.

表1 各物理參數(shù)的定義

縱向振動時梁在不同位置處的位移與溫度值如圖3所示. 從圖中看出溫度在懸臂梁的固定端達(dá)到最大值，在自由端為0. 并且在前3階振動模態(tài)下，溫度變化量隨著振動頻率的升高而增大，在3階模態(tài)時，溫度變化量增加到1.5 K左右.

由于振動過程中溫度的產(chǎn)生，則梁的固有頻率產(chǎn)生漂移. 頻率漂移比δ=(ωr-ω)/ω如圖4所示. 其中ωr通過對方程(12)進(jìn)行數(shù)值解得出. 由圖可見，頻率漂移比隨著梁長的增加而增加，最初迅速上升，隨著梁長的增加，頻率漂移比逐漸趨于水平值，近似于1.67×10-4. 由此得出頻率漂移比是尺度相關(guān)的參數(shù)，隨著梁長的增加，溫度對其影響逐漸降低并趨于穩(wěn)定. 結(jié)果表明溫度對振動的穩(wěn)定性造成影響，并導(dǎo)致微結(jié)構(gòu)剛度產(chǎn)生變化，使得固有頻率產(chǎn)生漂移.

圖5所示為懸臂梁熱彈性阻尼與頻率的關(guān)系，最大值為9.89×10-5，此時頻率為7×1011Hz. 圖6為熱彈性阻尼在不同固有頻率處的熱彈性阻尼.

從圖6可以得出，在不同固有頻率時，熱彈性阻尼具有相同的最大值，約為10-4，但熱彈性阻尼最大值時的梁長隨著固有頻率的升高而增加.

對由非耦合方法和耦合方法計算得出的熱彈性阻尼進(jìn)行對比，結(jié)果如圖7所示.

從圖中可以看出，兩種方法計算出的結(jié)構(gòu)彼此類似，在極值點處，由耦合方法計算得到的熱彈性阻尼比非耦合方法計算的值較小. 是由于使用非耦合方法，不考慮彈性振動和溫度的相互耦合作用，忽略了熱彈性耦合項.

3 有限元仿真

利用COMSOL多物理場耦合軟件對懸臂梁進(jìn)行熱彈性有限元仿真，微梁模型長寬厚分別為595，30，5 μm，自由端為熱絕緣，其他端面為熱等溫狀態(tài). 圖8為前3階縱向振動仿真結(jié)果. 從仿真結(jié)果可知，溫度在固定端達(dá)到最大值，并且隨著振動模態(tài)的增高而增加. 云圖代表在振動時的溫度分布.

為分析微梁不同位置處的溫度分布，對懸臂梁進(jìn)行路徑分析，選取微梁不同路徑，結(jié)果如圖9所示.

由圖9可知，1階模態(tài)時，懸臂梁溫度從固定端到自由端溫度連續(xù)變化并逐漸降低，在自由端為0. 由于自由端處于熱等溫狀態(tài)，與外部存在熱交換，自由端一直處于熱平衡狀態(tài). 在高階頻率處，溫度發(fā)生正弦變化. 縱向振動時，固定端溫度升高約3 K，不同固有頻率處，固定端溫升存在較小的擾動.

分別計算無耦合時的固有頻率ω，熱彈性耦合時的固有頻率ωr，得出頻率漂移比以及熱彈性阻尼與梁長的關(guān)系. 結(jié)果如圖10所示.

由圖10可知，仿真得出的頻率漂移比與理論計算值有類似的結(jié)果，穩(wěn)定在1.8×10-3. 熱彈性阻尼最大值約為2.2×10-4，與理論計算結(jié)果吻合.

4 結(jié) 論

本文對懸臂梁在環(huán)境溫度為300 K時，縱向振動情況下的能量耗散情況進(jìn)行了分析. 采用理論與仿真的方法對熱彈性損耗機(jī)制進(jìn)行研究，結(jié)果發(fā)現(xiàn)：

① 在低頻振動時，溫度變化量沿著x方向逐漸降低，在自由端變化量為0. 熱彈性阻尼在低頻下隨著頻率的升高而增加. 縱向振動情況下，當(dāng)振動頻率達(dá)到臨界頻率約為7×1011時，熱彈性阻尼達(dá)到最大值，最大值為9.89×10-5. 當(dāng)超過臨界頻率在高頻振動時，熱彈性阻尼隨著頻率的增加而減小.

② 在縱向振動時，不同振動模態(tài)下，由振動產(chǎn)生的溫度約為3 K左右，振動模態(tài)不同，懸臂梁固定端的溫度擾動不同.

③ 在環(huán)境溫度為300 K時，經(jīng)計算和仿真得知，熱彈性阻尼隨著梁長的增加而升高，當(dāng)超過一定長度時，隨之增高而降低，因此，可以通過調(diào)節(jié)梁的幾何尺寸來調(diào)節(jié)熱彈性阻尼.

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Wang Honggang. The theory of thermoelastic[M]. Beijing: Tsinghua University Press, 1989. (in Chinese)

(責(zé)任編輯：劉雨)

Analysis on Thermoelastic Damping of Micro Resonators from Longitudinal Vibration

LI Chang-long， GAO Shi-qiao， NIU Shao-hua， LIU Hai-peng

(State Key Laboratory of Explosion Science and Technology， Beijing Institute of Technology， Beijing 100081， China)

The thermoelastic coupling of micro resonators from the longitudinal vibration mode was analyzed. And constitutive equations of thermoelastic coupling were deduced based on the cantilever beam at the surrounding temperature of 300 K. The temperature resulted from longitudinal vibration, the frequency shift ratio and thermoelastic damping were analyzed. The results demonstrate that in the process of the first three longitudinal vibrations, the temperature vibration increases with the vibration modes. And in the third mode, the temperature vibration is about 1.5 K. The frequency shift ratio sharply increases with the beam length firstly, and then the curve gradually approaches the horizontal line at a fixed value close to 1.67×10-4. Peak value of thermoelastic damping is about 1.0×10-4. At last, the COMSOL multiphysics was used to simulate the thermoelastic coupling of the cantilever beam to verify the numerical results. The results show that the simulation results are coincided with the theoretical results.

micro-gyroscope; the longitudinal vibration; thermoelastic coupling; frequency shift; COMSOL

2015-06-15

國家“八六三”計劃項目(2013AA041104)

李長龍(1989—)，男，博士生，E-mail:xiaolong_joy@163.com；高世橋(1961—)，男，教授，博士生導(dǎo)師，E-mail:gaoshq@bit.edu.cn.

O 327

A

1001-0645(2016)12-1237-06

10.15918/j.tbit1001-0645.2016.12.006