單永志， 韋常柱， 孟秀云， 解靜， 徐良臣

(1.哈爾濱建成集團(tuán)有限公司，黑龍江，哈爾濱 150030；2. 哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，黑龍江，哈爾濱 150001；3. 北京理工大學(xué) 宇航學(xué)院，北京 100081；4. 中國人民解放軍第二炮兵裝備研究院，北京 100094)

基于最優(yōu)解析解的機(jī)載布撒武器彈道優(yōu)化

單永志1，2， 韋常柱2， 孟秀云3， 解靜4， 徐良臣1

(1.哈爾濱建成集團(tuán)有限公司，黑龍江，哈爾濱 150030；2. 哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，黑龍江，哈爾濱 150001；3. 北京理工大學(xué) 宇航學(xué)院，北京 100081；4. 中國人民解放軍第二炮兵裝備研究院，北京 100094)

為解決機(jī)載布撒武器射程有限，而防空體系的攔截距離則不斷增大，投彈載機(jī)被擊落的風(fēng)險越來越大的問題，本文建立了機(jī)載布撒武器縱向平面內(nèi)滑翔飛行運動方程，并基于最優(yōu)控制理論構(gòu)造了約束布撒武器末端速度和飛行距離的性能指標(biāo)泛函，然后根據(jù)哈密爾頓原理推導(dǎo)了最優(yōu)滑翔彈道參數(shù)的解析形式. 通過與直接打靶+SQP算法的數(shù)值直接優(yōu)化方法進(jìn)行對比分析，驗證了本文所研究的解析形式最優(yōu)彈道參數(shù)求解方法具有更高的計算效率和精度.

機(jī)載布撒武器；最遠(yuǎn)滑翔彈道；最優(yōu)控制；解析形式

機(jī)載布撒武器是一種中遠(yuǎn)程投放的制導(dǎo)武器，它能在敵防空火力區(qū)域之外投放、攜帶多種子彈藥，屬于高精度、模塊化的多用途航空制導(dǎo)攻擊武器[1]. 機(jī)載布撒武器主要用于攻擊敵機(jī)場跑道、停機(jī)坪上的飛機(jī)、技術(shù)兵器陣地、電力設(shè)施、集群武裝人員等各類面目標(biāo). 由于機(jī)載布撒武器一般無動力裝置，必須依靠大升阻比彈體實現(xiàn)遠(yuǎn)距離滑翔攻擊. 在進(jìn)行滑翔彈道設(shè)計時需要考慮各種因素，如射程遠(yuǎn)、飛行時間短、終點需滿足開艙拋撒子彈藥條件等，同時還需要考慮工程實現(xiàn)的可能性，如舵面偏轉(zhuǎn)角、法向過載、攻角等不宜過大. 在設(shè)計彈道時應(yīng)盡可能綜合考慮各種因素，從而得到能滿足各方面要求的最佳彈道.

機(jī)載布撒器無動力飛行彈道一般分為3段[2]：穩(wěn)定段、中制導(dǎo)段、末導(dǎo)段.

由于中制導(dǎo)段滑翔彈道方案決定了機(jī)載布撒武器的最大射程，因此為滿足系統(tǒng)性能指標(biāo)對射程的要求，需要研究能夠?qū)崿F(xiàn)無動力最遠(yuǎn)距離滑翔的彈道優(yōu)化設(shè)計方案，以實現(xiàn)射程最大化. 彈道優(yōu)化方法主要分為直接法與間接法[3]. 間接法是利用由變分法、極大值原理等得到的最優(yōu)條件來求解動態(tài)優(yōu)化問題，求解精度較高，但是需要推導(dǎo)最優(yōu)解、存在兩點邊值問題并且約束處理困難等. 直接法采用參數(shù)化方法將連續(xù)空間的最優(yōu)控制問題求解轉(zhuǎn)化為一個非線性規(guī)劃問題，通過數(shù)值求解非線性規(guī)劃問題來獲得最優(yōu)軌跡. 相對于間接法其應(yīng)用更為廣泛，而且有很多不同算法，但是直接法存在計算速度慢、初值敏感度高等缺點. 無論直接法還是間接法，二者在工程應(yīng)用中都存在一些問題，尤其是用于機(jī)載布撒器這類需要根據(jù)戰(zhàn)場動態(tài)實時生成最優(yōu)軌跡的快速打擊武器，因此目前軌跡優(yōu)化理論在機(jī)載布撒器上的應(yīng)用較少.

劉莉等[4]根據(jù)布撒器的飛行彈道特點，建立了滑翔方案彈道的優(yōu)化設(shè)計模型，采用優(yōu)化設(shè)計方法對其進(jìn)行了彈道優(yōu)化設(shè)計，在此基礎(chǔ)上針對機(jī)載投放的不確定性問題，提出了建立方案彈道數(shù)據(jù)庫的解決方案，并對數(shù)據(jù)庫的精度和效率進(jìn)行了分析；陳琦等[5]針對滑翔制導(dǎo)炮彈提出一種不確定飛行環(huán)境下的彈道優(yōu)化方法以降低方案彈道對各類隨機(jī)干擾的敏感度，推導(dǎo)了不確定飛行環(huán)境下的彈道優(yōu)化模型，利用Chebyshev偽譜法將彈道優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換為非線性規(guī)劃問題，在此基礎(chǔ)上采用內(nèi)點算法獲得了方案彈道的最優(yōu)解，對隨機(jī)干擾有很好的抑制效果；田曉麗等[6]提出了一種滑翔增程火箭彈最優(yōu)化彈道的求解算法，針對計算模型求解規(guī)模較大的問題，給出了用分布式并行集群計算服務(wù)器求解的進(jìn)程調(diào)度方法.

針對機(jī)載布撒器需要動態(tài)實時生成最優(yōu)彈道的需求，本文基于最優(yōu)控制理論推導(dǎo)了機(jī)載布撒武器滑翔彈道最大射程控制參數(shù)的解析解——最優(yōu)彈道傾角，然后結(jié)合準(zhǔn)平衡滑翔條件得到對應(yīng)最優(yōu)彈道傾角的攻角，進(jìn)而得到最大射程彈道. 仿真結(jié)果表明該方法計算速度快，并且不依賴初值，具有很強(qiáng)的在線彈道優(yōu)化能力.

1 最優(yōu)控制問題的數(shù)學(xué)描述

機(jī)載布撒武器最優(yōu)滑翔彈道的優(yōu)化研究過程是根據(jù)給定的技術(shù)指標(biāo)，建立彈體的運動方程，并選擇主要設(shè)計參數(shù)，構(gòu)造性能指標(biāo)泛函，運用現(xiàn)代控制理論求解最優(yōu)參數(shù)，最終形成飛行彈道.

基于最優(yōu)控制理論設(shè)計最優(yōu)滑翔彈道，主要包括以下幾方面問題：

① 系統(tǒng)的狀態(tài)方程，即系統(tǒng)的動態(tài)描述，對于連續(xù)系統(tǒng)，其狀態(tài)方程一般為

(1)

式中：X(t)為n維狀態(tài)向量；u(t)為γ維控制向量；f[·]為n維向量函數(shù).

② 容許的控制域，在實際問題中，控制向量u(t)往往不可能在γ維歐氏空間內(nèi)任意取值，而是有所限制，即要求控制u(t)滿足某一約束條件

(2)

在γ維歐氏空間中，所有滿足式(2)的點u(t)的集合記為

(3)

其中U稱為控制域，出自控制域U的控制u(t)，即u(t)∈U，稱為容許控制.

③ 始端和終端條件，應(yīng)該明確始端t0、X(t0)和終端tf、X(tf)的取值范圍. 如果t0、X(t0)給定，則稱為固定始端；如果t0固定，X(t0)是任意的，則稱為自由始端. 如果X(t0)需滿足某約束條件，其取值在某一集合內(nèi)

(4)

則稱為可變始端. 類似地，終端條件有固定終端、自由終端和可變終端3種情況. 實際控制問題可能是它們的某種組合.

④ 性能指標(biāo)，性能指標(biāo)是最優(yōu)化的具體體現(xiàn)，即要求什么狀態(tài)達(dá)到最優(yōu)，如能量最省、時間最短等. 對于連續(xù)系統(tǒng)，綜合型性能指標(biāo)的表達(dá)式為

(5)

2 滑翔彈道最優(yōu)解析解推導(dǎo)

由于最優(yōu)控制的解析解求解過程比較復(fù)雜，需要對彈體運動模型進(jìn)行適當(dāng)簡化，將彈體的俯仰通道模型簡化后建立狀態(tài)方程組，該簡化模型中包括距離、高度和速度等狀態(tài)變量，模型中還包含描述過載、姿態(tài)角的方程.

(6)

(7)

積分以外的部分為終端指標(biāo)函數(shù)，即對終點的要求，被積函數(shù)為動態(tài)指標(biāo)函數(shù)，這是從t0時刻到終點時刻tf整個過程中要求最優(yōu)的指標(biāo). 積分號前有負(fù)號，是因為最優(yōu)控制是求積分指標(biāo)的最小值，加負(fù)號后代表求其最大值.

首先根據(jù)目標(biāo)函數(shù)，寫出哈密爾頓函數(shù)為

(8)

哈密爾頓函數(shù)只與積分號里面的項有關(guān)，與積分號外的約束項無關(guān)，為了求解最優(yōu)控制規(guī)律，設(shè)置了伴隨因子λ，λ為關(guān)于模型狀態(tài)量y，v的動態(tài)變化的系數(shù). 對哈密爾頓函數(shù)求相應(yīng)狀態(tài)變量的導(dǎo)數(shù)，可以得到相應(yīng)的伴隨方程.

伴隨方程為

(9)

(10)

對積分號外的約束項求導(dǎo)，可以得到伴隨因子λ的終端條件，得到在中段結(jié)束時λ的值.

終端條件為

(11)

(12)

(13)

伴隨方程中的λy,λv必須滿足終端條件，通過求解微分方程可得λy,λv的解析解. 由伴隨方程和端點條件解得

(14)

(15)

其中a1為待定常數(shù).

由于

(16)

故

(17)

對哈密爾頓函數(shù)求導(dǎo)，求出關(guān)于θ的H的最小值，

(18)

(19)

將θ=tan-1(λvg/v-λy)代入λ值得

(20)

其中a1為待定的未知常數(shù)，可任意取值，根據(jù)調(diào)試結(jié)果，a1可以根據(jù)c1[v-v(tf)]中的v(tf)的變化來取不同值，從而對末段速度進(jìn)行約束.

由于最優(yōu)彈道傾角表達(dá)式(20)是隱式表達(dá)式，所以本文采用二分法對其進(jìn)行求解，最終得到最優(yōu)彈道傾角θ*.

最后，基于準(zhǔn)平衡滑翔條件

(21)

由升力系數(shù)CL得到當(dāng)前彈道傾角下對應(yīng)的攻角值，最終可獲得最遠(yuǎn)射程滑翔彈道.

3 基于直接打靶法+SQP算法的彈道優(yōu)化

為對比分析最優(yōu)解析解得到的彈道，本文基于直接打靶法+SQP算法進(jìn)行了機(jī)載布撒器的彈道優(yōu)化，直接打靶法+SQP算法的優(yōu)化模型如下：

① 控制量.

控制量為在飛行時間[0，tf]內(nèi)的21個離散攻角和總飛行時間：u=[α1α2… α13tf].

② 目標(biāo)函數(shù).

即所要得到的優(yōu)化彈道的性能指標(biāo)(射程最遠(yuǎn))：J=-x .

③ 過程約束.

飛行過程約束主要為法向過載約束：0.5≤N≤1.5.

通過限制法向過載來控制彈道的“跳躍”程度，約束范圍越寬松跳躍程度越激烈、機(jī)動范圍越大，反之則否.

④ 終端約束.

飛行終端約束選為高度，令-2m≤Hf≤2m.

對終端高度進(jìn)行限制主要是考慮到仿真時很難實現(xiàn)Hf=0，因此放寬終端高度范圍.

4 仿真分析

如前文所述，調(diào)整系數(shù)c1即可得到對應(yīng)于不同速度下的彈道傾角指令，進(jìn)而控制飛行彈道. 由式(17)可知，系數(shù)c1越大，終端速度越接近設(shè)計速度，反之則否.

采用某型機(jī)載布撒器物理參數(shù)[7]，利用第1節(jié)推導(dǎo)得到的最優(yōu)解，終端速度設(shè)計為192m/s，令c1=1，進(jìn)行投放高度6km、投放初速250m/s、彈道傾角為0°初始條件下的最大射程優(yōu)化，并與基于直接打靶+SQP方法得到的最大射程彈道進(jìn)行對比. 其中參考軌跡為軌跡優(yōu)化初值彈道. 仿真結(jié)果如圖1～圖6所示.

3條軌跡參數(shù)對比見表1.

由仿真結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)：

① 由于采用準(zhǔn)平衡滑翔條件，基于最優(yōu)解析解得到的彈道傾角(約為-6°，因此在t=0時刻彈道傾角有突變)及法向過載變化很小，因此相較于直接打靶+SQP方法，飛行高度與速度變化平穩(wěn)；

表1 軌跡參數(shù)對比

② 基于最優(yōu)解析解得到的最大射程為51.62 km，略小于SQP方法得到的射程；

③ 基于最優(yōu)解析解的彈道計算時間(0.44 s)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于SQP方法(25.88 s).

綜上可知，基于最優(yōu)解析解進(jìn)行軌跡優(yōu)化既能得到與SQP方法相近的最大射程，又具有SQP方法所不能達(dá)到的很快的計算速度，便于彈上在線軌跡優(yōu)化的實現(xiàn).

5 結(jié) 論

根據(jù)最優(yōu)控制理論推導(dǎo)了機(jī)載布撒器最大射程滑翔問題的最優(yōu)性條件，利用哈密爾頓原理對最優(yōu)條件進(jìn)行數(shù)值求解. 仿真結(jié)果表明，基于最優(yōu)控制獲得解析解是快速求解機(jī)載布撒器最優(yōu)滑翔彈道的一種有效方法. 本文的研究結(jié)果對其他類型的彈道優(yōu)化設(shè)計有一定參考價值，對機(jī)載布撒器的總體設(shè)計及閉環(huán)近似最優(yōu)滑翔制導(dǎo)律設(shè)計也具有重要意義.

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(責(zé)任編輯：劉雨)

Trajectory Optimization for Airborne Dispenser Based on Analytical Solution

SHAN Yong-zhi1，2， WEI Chang-zhu2， MENG Xiu-yun3， XIE Jing4， XU Liang-chen1

(1.Harbin Jiancheng Group Co. Ltd， Harbin，Heilongjiang 150030， China; 2.School of astronautics,Harbin Institute of Technology， Harbin， Heilongjiang 150001， China; 3.School of Mechatronical Engineering， Beijing Institute of Technology， Beijing 100081， China; 4.The Second Artillery Equipment Research Institute of PLA， Beijing 100094， China)

The airborne dispenser is an effective air-ground weapon possessing standoff strike ability. However its strike range is very limit, and it has to take higher risk to be intercepted with the range of air defense system increasing, so it is essential to study the theory and application of longest glide trajectory optimization for unpowered airborne dispenser. By using optimal control theory, the optimal glide flight kinematics and dynamics equations in the vertical plane were established to make performance function for final velocity and flight range control, and the analytical result of optimal glide trajectory could be obtained based on Hamilton’s principle. Compared with direct-shooting and SQP, the results show that this analytical-based method can get a optimal trajectory with a higher calculation efficiency and precision.

airborne dispenser; longest gliding trajectory; optimal control; analytical form

2015-07-16

國家自然科學(xué)基金資助項目(60217289)

單永志(1963—)，男，博士，教授，E-mail:abcd@sina.com.

V 211

A

1001-0645(2016)12-1228-05

10.15918/j.tbit1001-0645.2016.12.004