筅江蘇省南通市通州灣三余中學　施春輝

善辟蹊徑，優(yōu)化解題——例談必要條件在解題中的運用

筅江蘇省南通市通州灣三余中學施春輝

眾所周知，化歸與轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學中重要的思想方法之一，也是高考重點考查的方法之一.而大多數(shù)考題或者是大家的解題習慣多是實施等價轉(zhuǎn)化，即尋找題目求解的充要條件，很少涉及不等價轉(zhuǎn)化.其實，在尋找充要條件即實施等價轉(zhuǎn)化有困難時，也可以先找出使結論成立的必要條件，然后再驗證其充分性即可.

一、善用必要條件求參數(shù)值

例1設a∈R，若x>0時，均有［（a-1）x-1］（x2-ax-1）≥0，則a=________.

解析：當x>0時，不等式［（a-1）x-1］（x2-ax-1）≥0恒成立的必要條件是當x=2時成立，即［2（a-1）-1］（22-2a-1）≥0，得（2a-3）2≤0.又（2a-3）2≥0，故（2a-3）2=0，解得a=（經(jīng)檢驗，符合題意）.

點評：本例若按常規(guī)思路，機械地令f（x）=［（a-1）x-1］（x2-ax-1），把問題看作f（x）≥0在（0，+∞）上的恒成立問題，然后用解決恒成立問題的常規(guī)思路求解，過程煩瑣，難以繼續(xù)，甚至半途而廢，而利用必要條件縮小范圍，避免了不必要的討論，簡潔輕巧.

二、善用必要條件求參數(shù)的范圍

例2設函數(shù)f（x）=ln（x+1）+a（x2-x），其中a∈R.

（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）極值點的個數(shù)，并說明理由；

（Ⅱ）若坌x>0，f（x）≥0成立，求實數(shù)a的取值范圍.

解析：（Ⅰ）略.

（Ⅱ）解法一（參考答案）：函數(shù)f（x）=ln（x+1）+a（x2-x），坌x>0都有f（x）≥0成立，等價于ln（x+1）+a（x2-x）≥0恒成立.

（1）當x=1時，ln2≥0，則a∈R.

（2）當x>1時，因為x2-x>0，所以等價于+a≥ 0圳a≥圳max；令h（x）=x-ln（x+1），當x∈（0，+∞）時，h′（x）=1->0，h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，因此，當x∈（0，+∞）時，h（x）>h（0）=0，x-ln（x+1）>0，所以ln（x+1）1時，+∞），-∈（-∞，0），則只需a≥0.

（3）當00均有l(wèi)n（x+1）

綜上可知：坌x>0，都有f（x）≥0成立，只需取交集得0≤a≤1即可，故所求a的取值范圍是0≤a≤1.

點評：等價轉(zhuǎn)化尤其是分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值一直是高考命題的一個落點，且圍繞著母函數(shù)ex≥x+1即x≥ln（x+1）的考題屢屢出現(xiàn)，如2010年全國卷高考理科第22題，2011年湖北卷高考理科第21題，2015年山東卷高考第21題等.所以針對這種趨勢，關于三步走法，有可能走不通了，尤其是導數(shù)等于零時方程的根不方便求解，后續(xù)的列表調(diào)查，得出結論就難以求解，這就需要咱們通過構造函數(shù)，多次求導，以達目標.訓練學生挖掘知識結合的深度與廣度，拓展學生思維，同時鍛煉學生知難而進、逢山開道、遇水搭橋的意志品質(zhì).

解法二（利用必要條件）：設函數(shù)f（x）=ln（x+1）+ a（x2-x），因為f（0）=0，所以要使坌x>0，都有f（x）≥0成立，只需函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增即可（求出范圍之后，要對這個范圍之外的取值進行分析驗證），于是只需坌x>0，f′（x）=+a（2x-1）≥0成立即可.

于是取交集得0≤a≤1.

又當a>1時，g（0）<0，x2>0，所以函數(shù)f（x）在（0，x2）單調(diào)遞減，而f（0）=0，則當x∈（0，x2）時，f（x）<0，不符合題意；（驗證的重要性）

當a<0時，設h（x）=x-ln（x+1），當x∈（0，+∞）時，h′（x）=1->0，h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，因此，當x∈（0，+∞）時，h（x）>h（0）=0，ln（x+1）1-時，ax2+（1-a）x< 0，此時（fx）<0，不符合題意.

綜上可知：坌x>0，都有f（x）≥0成立，只需0≤a≤1即可，故所求a的取值范圍是0≤a≤1.

點評：此類問題一般從兩個方面進行：一是直接求解，對參數(shù)a進行討論，通過函數(shù)單調(diào)性，明確參數(shù)的范圍；二是分離參數(shù)，分離后再研究相應函數(shù)的性質(zhì).學生容易出錯的地方是：只根據(jù)f（0）=0和f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，求出a的取值范圍是0≤a≤1.殊不知f（x）在（0，+∞）上不單調(diào)遞增，也有f（x）≥0恒成立的情況出現(xiàn)，所以這樣解是不夠完備的，故這樣求出a的取值范圍之后必須再予以驗證其他范圍的a都不合適才行.

三、善用必要條件探求存在性問題

例3已知函數(shù)f（x）=x3+1-a）x2-3ax+b.

（1）求（fx）的單調(diào)區(qū)間；

（2）是否存在實數(shù)對（a，b），使得不等式-1≤（fx）≤1對x∈［0，］恒成立？若存在，試求出所有的實數(shù)對（a，b）；若不存在，請說明理由.

解析：（1）①當a=-1時，f（x）的遞增區(qū)間為（-∞，+∞），無遞減區(qū)間；

②當a>-1時，f（x）的遞增區(qū)間為（-∞，-1）和（a，+∞），遞減區(qū)間為（-1，a）；

③當a<-1時，f（x）的遞增區(qū)間為（-∞，a）和（-1，+∞），遞減區(qū)間為（a，-1）.

（注：也可由g（a）=a3+3a2-9a-6a+6+5=（a-1）（a2+4a-5-6）≤0得a≥1）

點評：本例第（2）問常規(guī)思路是分a≤0，0

（注：也可通過作出不等式組所表示的區(qū)域獲得答案）

以上幾道例題有一定難度，而善于利用必要條件，可以達到化繁為簡，化難為易，避免了分類討論，實現(xiàn)大題小做.因此，利用必要條件解題，可以縮小參數(shù)范圍，開闊解題思路，優(yōu)化解題過程，提高數(shù)學素養(yǎng)，提升思維品質(zhì).F