筅湖南省株洲縣第五中學(xué)　方厚良

談數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之?dāng)?shù)學(xué)抽象與培養(yǎng)*

筅湖南省株洲縣第五中學(xué)方厚良

一、問(wèn)題提出

抽象作為一個(gè)概念，在日常生活和教育教學(xué)中被人們按自己的理解經(jīng)常使用著，譬如，對(duì)不好把握和不易理解的東西說(shuō)它太抽象了，教學(xué)要注意由具體到抽象等，這里面存在對(duì)抽象理解的混亂、誤解，所以需要澄清認(rèn)識(shí).現(xiàn)代漢語(yǔ)詞典（商務(wù)印書館版，1978）的詞條解釋是：①?gòu)脑S多事物中，舍棄個(gè)別的、非本質(zhì)的屬性，抽出共同的本質(zhì)屬性，叫抽象，是形成概念的必要手段.②不能具體經(jīng)驗(yàn)到的，籠統(tǒng)的；空洞的.從中看出，日常對(duì)抽象的認(rèn)識(shí)大多屬于解釋②.對(duì)于釋義①，抽象主要屬于哲學(xué)范疇，是人類認(rèn)識(shí)世界的一種科學(xué)方法和一種思維活動(dòng)，中學(xué)數(shù)學(xué)一線教師雖然在日常教學(xué)中不斷運(yùn)用數(shù)學(xué)抽象，但對(duì)（數(shù)學(xué)）抽象的內(nèi)涵、特征、方法等的認(rèn)識(shí)相對(duì)來(lái)說(shuō)還是比較薄弱的，由于缺乏必要的理論學(xué)習(xí)，大都停留在個(gè)人經(jīng)驗(yàn)、無(wú)意識(shí)的運(yùn)用層面，這必然影響數(shù)學(xué)教學(xué)的效率.特別的，普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂提出了“六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”，其中就包括數(shù)學(xué)抽象（其余五個(gè)是邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、運(yùn)算能力、直觀想象、數(shù)據(jù)分析），作為課標(biāo)修訂工作兩大重點(diǎn)突破之一（修訂組長(zhǎng)王尚志教授語(yǔ)），對(duì)今后的高中數(shù)學(xué)教學(xué)提出了新要求，需要一線教師主動(dòng)加強(qiáng)學(xué)習(xí)，適應(yīng)這種變化和要求.

基于上述分析，本文從數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)視角來(lái)探討數(shù)學(xué)抽象的相關(guān)含義、思想、方法、特征，并對(duì)如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)談些個(gè)人看法.

二、作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)抽象

1.抽象、科學(xué)抽象與數(shù)學(xué)抽象

抽象是把研究的事物從某種角度看待的本質(zhì)屬性抽取出來(lái)進(jìn)行考察的思維方法.抽象是思維的基礎(chǔ)，只有具備了一定的抽象能力，才能使人們從感性認(rèn)識(shí)中獲得事物本質(zhì)特征，從而上升到理性認(rèn)識(shí).

科學(xué)抽象必須具備客觀性、實(shí)在性和可檢驗(yàn)性，是客觀事物所具有的某種屬性、關(guān)系的真實(shí)反映，不是空洞的、荒謬的和神秘的虛構(gòu).科學(xué)抽象是借助概念、范疇的運(yùn)動(dòng)所進(jìn)行的思維活動(dòng).所有科學(xué)，物理的、化學(xué)的、生物的……都有屬于自己特點(diǎn)的抽象.

數(shù)學(xué)作為一門科學(xué)，除了具有抽象的一般共性外，它又有屬于自己特殊的性質(zhì).文［1］認(rèn)為，數(shù)學(xué)抽象是指從研究對(duì)象或問(wèn)題中抽取出數(shù)量關(guān)系或空間形式而舍棄其他屬性對(duì)其進(jìn)行考察的方法.文［2］將數(shù)學(xué)抽象解釋為：數(shù)學(xué)抽象就是指由具體事物中抽取出量的方面、屬性或關(guān)系.并從哲學(xué)范疇，將量與質(zhì)作比較，指出質(zhì)的問(wèn)題構(gòu)成各門自然科學(xué)的特定研究對(duì)象，而數(shù)學(xué)所從事的正是純粹的量的研究.史寧中教授在文［3］說(shuō)：我們認(rèn)為這種抽象（思維運(yùn)動(dòng)中的抽象）不僅可以在感性具體和理性具體之間搭建思維的橋梁，也可以在此理性具體與彼理性具體之間搭建思維的橋梁，前者必須依賴于感性具體，而后者則不必依賴于感性具體.針對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展所依賴的抽象而言，我們稱前者為第一次抽象，稱后者為第二次抽象.雖然這兩次抽象有著程度上的差異，但總體上可以認(rèn)為，第一次抽象有利于發(fā)現(xiàn)新的知識(shí)，而第二次抽象有利于合理地解釋那些發(fā)現(xiàn)了的知識(shí).

梳理抽象、科學(xué)抽象和數(shù)學(xué)抽象間關(guān)系，有利于我們更好理解相關(guān)概念，有利于我們更好理解數(shù)學(xué)抽象，并為教學(xué)提供指導(dǎo).

2.具體、抽象與概括

要更好理解（數(shù)學(xué)）抽象，有必要探討與之緊密相關(guān)的另外兩個(gè)概念，即具體和概括.

具體是指對(duì)客觀存在著的各種事物或認(rèn)識(shí)中的整體的反映，是特定事物多方面屬性、特點(diǎn)、聯(lián)系和關(guān)系的統(tǒng)一.具體和抽象是一對(duì)哲學(xué)范疇，是人們認(rèn)識(shí)過(guò)程中的兩個(gè)不同方面，也是兩種不同的科學(xué)思維方法，二者既是對(duì)立的又是統(tǒng)一的，并在一定條件下相互轉(zhuǎn)化.在日常一般語(yǔ)義中，將具體視為抽象的反義詞.課程標(biāo)準(zhǔn)在“教學(xué)建議”中提出：由于數(shù)學(xué)高度抽象的特點(diǎn)，注重體現(xiàn)基本概念的來(lái)龍去脈，在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從具體事例抽象出數(shù)學(xué)概念的過(guò)程，在初步運(yùn)用中逐步理解概念的本質(zhì).

文［1］指出：概括是把抽象出來(lái)的若干事物的共同屬性歸結(jié)出來(lái)進(jìn)行考察的思維方法，以抽象為基礎(chǔ)，是抽象的發(fā)展.抽象可以僅涉及一個(gè)對(duì)象，而概括則涉及一類對(duì)象.從不同角度考察同一事物會(huì)得到不同性質(zhì)的抽象，而概括則必須從多個(gè)對(duì)象的考察中尋找共同的相通性質(zhì).文［1］進(jìn)一步指出：抽象思維側(cè)重分析、提煉，概括思維則側(cè)重歸納、綜合.數(shù)學(xué)中的每一個(gè)概念都是對(duì)一類事物的多個(gè)對(duì)象通過(guò)觀察分析，抽象出每個(gè)對(duì)象的各種屬性，再通過(guò)歸納概括出各個(gè)對(duì)象的共同屬性而形成的.概括是一種尋求共性的思維，概括能力越強(qiáng)，所得的結(jié)論就越深刻，越明確.

在某種意義上，主要是從思維活動(dòng)的連續(xù)性看，人的認(rèn)識(shí)是從具體到抽象再到概括，又回到具體的一個(gè)不斷提升、循環(huán)的過(guò)程（不是機(jī)械簡(jiǎn)單重復(fù)）.

3.作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)抽象

在“高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂中若干問(wèn)題”這篇文章中，鮑建生教授談到這次課標(biāo)修訂聚焦數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)問(wèn)題，介紹了我國(guó)數(shù)學(xué)教育從三大能力到四基四能再到六個(gè)核心素養(yǎng)的發(fā)展過(guò)程，并指出數(shù)學(xué)抽象有以下四個(gè)方面的表現(xiàn)：形成數(shù)學(xué)概念和規(guī)則、形成數(shù)學(xué)命題與模型、形成數(shù)學(xué)方法與思想、形成數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與體系.這有利于我們把握高中數(shù)學(xué)課程改革的發(fā)展方向和突破重點(diǎn)，使我們對(duì)作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)抽象的學(xué)習(xí)要求、研究的內(nèi)容和解決的問(wèn)題等有初步了解.

史寧中教授對(duì)數(shù)學(xué)抽象有很多獨(dú)到深刻的見(jiàn)解，作為“義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（修訂稿）”組長(zhǎng)，他對(duì)數(shù)學(xué)抽象的看法自然也影響到本次普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的修訂工作.在文［4］，史老提出數(shù)學(xué)的三大基本思想，即抽象、推理和模型.史老認(rèn)為，抽象有兩個(gè)層次，一個(gè)是直觀描述，另一個(gè)是符號(hào)表達(dá).指出第一次抽象是有物理背景的，用自然語(yǔ)言表達(dá)的，這種抽象具體、直觀，容易創(chuàng)造，但是也容易有反例；第二次抽象的特點(diǎn)是符號(hào)化，符號(hào)化的特點(diǎn)是挑不出毛病，嚴(yán)謹(jǐn)，但是抽象，沒(méi)有物理背景.建議必須知道第一次抽象，老師在講課時(shí)也必須講第一次抽象，講具體的背景，不要遨游于一大堆抽象的符號(hào)之間，要有感性認(rèn)識(shí)，要建立起直觀來(lái)，有了直觀，才能判斷.在史老另一篇文章“漫談數(shù)學(xué)的基本思想”中，史老對(duì)三大數(shù)學(xué)基本思想又作了這樣的解說(shuō)：抽象是把與數(shù)學(xué)有關(guān)的知識(shí)引入數(shù)學(xué)內(nèi)部；推理促進(jìn)數(shù)學(xué)內(nèi)部的發(fā)展；模型是溝通數(shù)學(xué)與外部世界的橋梁.將數(shù)學(xué)抽象定性為數(shù)學(xué)的基本思想，有利于我們從思想層面進(jìn)一步認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)抽象的重要性，理解為什么將數(shù)學(xué)抽象納入數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，同時(shí)，史老的建議也給數(shù)學(xué)抽象從教學(xué)操作層面提供了寶貴指導(dǎo).

徐利治教授對(duì)數(shù)學(xué)抽象不僅有深刻的治學(xué)經(jīng)驗(yàn)感悟積累，還對(duì)數(shù)學(xué)抽象的問(wèn)題進(jìn)行了較為系統(tǒng)的理論研究.在“談?wù)勎业囊恍?shù)學(xué)治學(xué)經(jīng)驗(yàn)”中，徐老將其數(shù)學(xué)治學(xué)經(jīng)驗(yàn)概括為五句話：一是培養(yǎng)興趣，二是追求簡(jiǎn)易，三是重視直觀，四是學(xué)會(huì)抽象，五是不怕計(jì)算.（后來(lái)徐老又加了第六句“愛(ài)好文學(xué)”）在談“學(xué)會(huì)抽象”時(shí)，徐老說(shuō)抽象是達(dá)到數(shù)學(xué)模式簡(jiǎn)易性目標(biāo)的必要手段和過(guò)程，并指出數(shù)學(xué)抽象包括有四個(gè)步驟，即（1）觀察實(shí)例，（2）抓住共性，（3）提出概念，（4）構(gòu)建系統(tǒng)或框架（理論）.將之與課標(biāo)修訂提出的數(shù)學(xué)抽象表現(xiàn)比較，不難發(fā)現(xiàn)二者之間的相似性和聯(lián)系.徐老與其合作者對(duì)數(shù)學(xué)抽象問(wèn)題研究，據(jù)文［2］在第三章“數(shù)學(xué)抽象的方法與抽象度分析法”介紹，主要表現(xiàn)在三個(gè)方面：首先是關(guān)于數(shù)學(xué)抽象的定性分析，即從抽象的內(nèi)容、方法與量度這樣幾個(gè)方面指明了數(shù)學(xué)抽象的特殊性；其次，提出了關(guān)于數(shù)學(xué)抽象的若干方法論原則；最后給出了數(shù)學(xué)抽象的定量分析即抽象度分析法.一方面，徐老從認(rèn)識(shí)論意義上對(duì)數(shù)學(xué)抽象，特別是數(shù)學(xué)抽象的層次性進(jìn)行分析，創(chuàng)造性地提出“數(shù)學(xué)抽象度”概念對(duì)數(shù)學(xué)抽象層次性進(jìn)行數(shù)量刻畫，為數(shù)學(xué)抽象的（定量）研究開創(chuàng)了新的路徑，提供了有價(jià)值的方法，也為數(shù)學(xué)抽象的教學(xué)提供理論依據(jù)；另一方面，通過(guò)徐老的現(xiàn)身說(shuō)法，為數(shù)學(xué)抽象能學(xué)會(huì)、能學(xué)好提供了成功榜樣，激勵(lì)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)抽象.

三、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的幾點(diǎn)想法

1.以數(shù)學(xué)核心概念形成為重點(diǎn)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)抽象

重視“雙基”教學(xué)是我國(guó)數(shù)學(xué)教育的優(yōu)良傳統(tǒng)，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是在掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)上在數(shù)學(xué)活動(dòng)中逐步形成的.從數(shù)學(xué)抽象的四個(gè)“表現(xiàn)”（形成數(shù)學(xué)概念和規(guī)則、形成數(shù)學(xué)命題與模型、形成數(shù)學(xué)方法與思想、形成數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與體系）看，數(shù)學(xué)概念又是最基本的.大家都知道，概念是思維的單元和細(xì)胞，概念組成命題，命題形成判斷，數(shù)學(xué)方法和思想是數(shù)學(xué)知識(shí)在更高層次上的抽象和概括.重視概念教學(xué)，提升概念教學(xué)水平，其中最切實(shí)的是抓數(shù)學(xué)核心概念形成的教學(xué)，選取學(xué)生熟悉的典型實(shí)例，提供豐富材料，讓學(xué)生經(jīng)歷完整的數(shù)學(xué)抽象過(guò)程，熟悉數(shù)學(xué)抽象的“基本套路”，在概念形成的學(xué)習(xí)中學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)抽象.下面給出概念形成的過(guò)程框架，供大家教學(xué)參考：

辨別（刺激模式）→分化（各種屬性）→類化（共同屬性）→抽象（本質(zhì)屬性）→檢驗(yàn)（確認(rèn)）→概括（形成概念）→形式化（符號(hào)表達(dá)）.

把上述框架與史寧中教授關(guān)于數(shù)學(xué)抽象兩層次提法比較，可以大致這樣劃分：從辨別到概括為第一次抽象，表現(xiàn)為用自然語(yǔ)言表達(dá)的直觀描述；概括后到形式化，完成符號(hào)表達(dá)為第二次抽象.

2.以數(shù)學(xué)思維方法教育為核心，提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力

作為思維的基礎(chǔ)和一種基本而重要的思維方法，數(shù)學(xué)抽象在數(shù)學(xué)教育的價(jià)值主要體現(xiàn)在數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練方面，所以掌握數(shù)學(xué)抽象的方法和原則，努力提高學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力是培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象這一核心數(shù)學(xué)素養(yǎng)的關(guān)鍵.

概念形成是主要是從感性具體到理性具體的第一次數(shù)學(xué)抽象，除此外，利用由彼理性具體到此理性具體的第二次抽象，還可以用弱抽象與強(qiáng)抽象的方法構(gòu)造出新的數(shù)學(xué)概念.弱抽象也叫“概念擴(kuò)張式抽象”，指由原型中選取某一特征或側(cè)面加以抽象，從而形成比原型更為普遍、更為一般的概念，并使前者成為后者的特例，它遵循“特性分離一般化原則”，例如，由“全等形”的概念出發(fā)，通過(guò)分離出“形狀相似”與“面積相等”的特性，就可分別獲得較為一般的“相似形”和“等積形”的概念；再譬如，人教A版必修1映射概念是通過(guò)對(duì)函數(shù)概念的弱抽象得出的；強(qiáng)抽象也叫“概念強(qiáng)化式抽象”，指通過(guò)引入新特征強(qiáng)化原型來(lái)完成抽象，從而獲得新概念，新概念是原概念的特例，強(qiáng)抽象遵循“關(guān)系定性特征化原則”，例如，由平行四邊形概念出發(fā)，通過(guò)引入“鄰邊相等”或“一個(gè)角為直角”的特性，分別獲得較為特殊的棱形和矩形的概念.事實(shí)上，在形成數(shù)學(xué)命題和模型時(shí)，弱抽象和強(qiáng)抽象也是非常有用的.

史寧中教授主張“思維方法的教育=數(shù)學(xué)思想+思維經(jīng)驗(yàn)”，所以要特別重視利用數(shù)學(xué)抽象形成數(shù)學(xué)方法和思想，或者說(shuō)，對(duì)數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想的教學(xué)要真正實(shí)現(xiàn)“過(guò)程教育”，讓學(xué)生親身經(jīng)歷、實(shí)際操作，在不斷地?cái)?shù)學(xué)抽象過(guò)程中提升數(shù)學(xué)抽象能力.譬如，“坐標(biāo)法的三步曲”，通過(guò)對(duì)典型案例的探討，抽象概括出用坐標(biāo)法解決幾何問(wèn)題的三個(gè)基本步驟：

第一步：建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)和方程表示問(wèn)題中的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題；

第二步：通過(guò)代數(shù)運(yùn)算，解決代數(shù)問(wèn)題；

第三步：把代數(shù)運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.

類似的有向量法解決幾何問(wèn)題的“三步曲”，它們將不同數(shù)學(xué)對(duì)象通過(guò)數(shù)學(xué)抽象搭橋，通過(guò)數(shù)學(xué)抽象完成問(wèn)題變更與表征，最終抽象概括出數(shù)學(xué)方法.

3.以經(jīng)典數(shù)學(xué)抽象故事為案例，使學(xué)生喜歡數(shù)學(xué)抽象

數(shù)學(xué)史上有許多經(jīng)典數(shù)學(xué)抽象故事，生動(dòng)而智慧，如哥尼斯堡七橋問(wèn)題、笛卡爾與坐標(biāo)法、微積分發(fā)明的英德之爭(zhēng)等，將數(shù)學(xué)家們進(jìn)行的數(shù)學(xué)抽象進(jìn)行“再現(xiàn)”，故事的隱喻性較易讓人感受到數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)的長(zhǎng)處、優(yōu)點(diǎn)和有力武器，從而改變數(shù)學(xué)枯燥、難學(xué)、乏味的印象，用數(shù)學(xué)抽象的內(nèi)在魅力使學(xué)生從內(nèi)心深處喜歡上數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué).案例的操作可以結(jié)合具體數(shù)學(xué)內(nèi)容在課上穿插進(jìn)行，也可以組織興趣小組以校本課程開發(fā)形式開展.

四、結(jié)束語(yǔ)

數(shù)學(xué)的抽象性是數(shù)學(xué)的三大特征之一，數(shù)學(xué)抽象達(dá)到的程度大大超過(guò)其他學(xué)科，在一定程度造成了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的困難，所以不能為抽象而抽象，史寧中教授說(shuō)得好：數(shù)學(xué)的表達(dá)是符號(hào)的，但教學(xué)應(yīng)當(dāng)是物理的；數(shù)學(xué)的證明是形式的，但教學(xué)應(yīng)當(dāng)是直觀的；數(shù)學(xué)的體系是公理的，但教學(xué)應(yīng)當(dāng)是歸納的.對(duì)于我們一線教師，進(jìn)一步需做的工作包括：結(jié)合具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容和學(xué)生，如何選擇恰當(dāng)物理的、實(shí)例背景？怎樣直觀？設(shè)計(jì)怎樣的活動(dòng)進(jìn)行歸納？等等.另外，新的高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)還沒(méi)有正式出臺(tái)，雖然提出了數(shù)學(xué)抽象這一數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，但課標(biāo)對(duì)數(shù)學(xué)抽象的界定與要求及如何在教學(xué)中落實(shí)等還有不明確、需探討的東西，這可能不是朝夕之功，需多方面的參與和努力.

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*本文為湖南省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃2015年度基礎(chǔ)教育研究課題“普通高中數(shù)學(xué)教材的心理化研究”（課題編號(hào)：XJK015CZXX074，主持人：方厚良）的研究成果之一.