趙恒博，吳凈潔

(1.青島理工大學(xué)琴島學(xué)院，山東 青島 266106；2.青島市公路管理局，山東 青島 266114)

單位移動力偶作用下靜定結(jié)構(gòu)的影響線

趙恒博1，吳凈潔2

(1.青島理工大學(xué)琴島學(xué)院，山東 青島 266106；2.青島市公路管理局，山東 青島 266114)

影響線的繪制及應(yīng)用是結(jié)構(gòu)力學(xué)中的一個(gè)重要內(nèi)容，它與結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)密切相關(guān).目前各教材中只講解了單位力移動時(shí)影響線的繪制及應(yīng)用.當(dāng)利用影響線求解的結(jié)構(gòu)中，出現(xiàn)力偶作用時(shí)，計(jì)算就出現(xiàn)困難。為解決此問題，以虛功原理為基礎(chǔ)，以機(jī)動法為輔助，推導(dǎo)出單位移動力偶作用下靜定結(jié)構(gòu)的影響線函數(shù)一般式，并給出繪制影響線的步驟.此方法擴(kuò)大了影響線的應(yīng)用范圍，可作為教材的補(bǔ)充，也給結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)帶來方便.

影響線；單位移動力偶；虛功原理；靜定結(jié)構(gòu)

影響線是研究移動荷載作用的基本方法，是結(jié)構(gòu)力學(xué)課程的一個(gè)重要組成部分.利用影響線可以得到內(nèi)力包絡(luò)圖，這一內(nèi)容是土木結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中的重要工具，在吊車梁、樓蓋的連續(xù)梁和橋梁的設(shè)計(jì)中應(yīng)用廣泛[1-3].一般意義上的影響線表示當(dāng)單位集中荷載沿結(jié)構(gòu)移動時(shí)，某一指定截面處的某一量值變化規(guī)律的圖形[4-5].作影響線的方法主要有靜力法和機(jī)動法，機(jī)動法相對簡單，應(yīng)用也比較廣泛.關(guān)于影響線的應(yīng)用，各教材中均有講解利用影響線求解集中荷載及均布荷載作用下的結(jié)構(gòu).而關(guān)于集中力偶作用下，結(jié)構(gòu)中各量值的求解并未提及，所以給初學(xué)者的學(xué)習(xí)帶來困難.

現(xiàn)有的解決方法主要是把力偶看作一對集中荷載，具體按照集中荷載作用時(shí)的方法計(jì)算[6-8].這個(gè)方法可行，但是比較麻煩不夠直觀，而且一對集中荷載的作用位置如果安排不恰當(dāng)容易出現(xiàn)錯誤.為解決此問題以虛功原理為基礎(chǔ)，研究單位移動力偶作用下的影響線，推導(dǎo)單位移動力偶作用時(shí)的影響線函數(shù)一般式，并總結(jié)求解步驟.此計(jì)算方法可作為教學(xué)的補(bǔ)充，也可為結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)人員提供方便[9-10].

1 基本原理

作靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力或支反力影響線有兩種基本方法，靜力法和機(jī)動法.靜力法以荷載的作用位置x為變量，通過靜力平衡方程，確定所求支反力或內(nèi)力的影響函數(shù)，并作出影響線[11-12].該方法適用范圍廣，但是對于比較復(fù)雜的結(jié)構(gòu)來說計(jì)算相當(dāng)繁瑣.機(jī)動法以虛功原理為依據(jù)，通過撤除約束、虛設(shè)單位位移的方法，得出位移圖，即影響線的形狀[4-5].也就是說，把作支反力或內(nèi)力影響線的靜力學(xué)問題，轉(zhuǎn)化為作位移圖形的幾何問題.這種方法較方便，故采用此方法作單位移動力偶作用下的影響線.

機(jī)動法求單位移動集中荷載作用下靜定結(jié)構(gòu)的影響線的基本步驟:

(1)撤去與Z相應(yīng)的約束，代以約束力Z，并設(shè)為正方向，結(jié)構(gòu)成為一個(gè)自由度的幾何可變體；

(2)給體系以剛體運(yùn)動的虛位移，使沿Z的正方向產(chǎn)生單位位移δZ＝1，形成虛位移圖即δP圖；

(3)通過幾何關(guān)系求出δP圖中各豎距的數(shù)值，即Z的影響線；

(4)橫坐標(biāo)以上圖形，影響系數(shù)取為正，反之為負(fù).[11-13]

2 單位移動力偶作用下簡支梁的影響線

以虛功原理為依據(jù)，根據(jù)機(jī)動法的基本思路，從求支反力、剪力及彎矩影響線三個(gè)方面，對單位移動力偶作用下簡支梁的影響線進(jìn)行研究[14].并推導(dǎo)單位移動力偶作用時(shí)影響線函數(shù)一般式.

2.1 求支反力FB的影響線

圖1 單位移動力偶作用下的簡支梁Fig.1 Simply supported beam under the action of the mobile unit couple

如圖1所示單位力偶M＝1在簡支梁AB上移動，尺寸如圖所示.求支反力FB的影響線.按照機(jī)動法的步驟，先撤去與FB對應(yīng)的約束支桿B，用正方向的FB來代替；接下來給體系以虛位移，令沿FB正方向的位移為單位位移，即δB＝1，形成虛位移如圖2所示.

由剛體系的虛功原理，列虛功方程:FBδB－M·α

α即虛位移圖的轉(zhuǎn)角，也就是與單位力偶相應(yīng)的廣義虛位移，稱作力偶行走線的角位移.

FB＝α＝表示FB的影響線函數(shù)為α，由此可得FB的影響線如圖3所示.

2.2 求剪力FQC的影響線

圖1所示求單位力偶M＝1在簡支梁AB上移動時(shí)，C點(diǎn)剪力FQC的影響線.同樣先撤去與FQC相應(yīng)的約束，即將C截面變?yōu)槎ㄏ蛑ё儆靡粚αQC來代替此約束；并沿FQC的正方向給體系以虛位移，令與FQC對應(yīng)的位移δC＝1；根據(jù)定向支座的性質(zhì)，知發(fā)生位移后C截面左右兩側(cè)的位移圖線平行，從而形成虛位移如圖4所示.

可見FQC的影響線函數(shù)為-β，同樣為虛位移圖的轉(zhuǎn)角，即力偶行走線的角位移.得FQC的影響線如圖5所示.

圖2 求FB時(shí)的虛位移圖Fig.2 Virtual displacement diagram of FB

圖3 FB的影響線Fig.3 Influential line of FB

圖4 求FQC的虛位移圖Fig.4 Virtual displacement diagram of FQC

圖5 FQC的影響線Fig.5 Influential line of FQC

2.3 求彎矩MC的影響線

求圖1所示單位力偶M＝1在簡支梁AB上移動時(shí)，C點(diǎn)彎矩MC的影響線.先撤去與MC對應(yīng)的約束，即將C截面變?yōu)殂q約束，再用一對力偶MC來代替；并沿MC的正方向使體系產(chǎn)生虛位移，令與MC對應(yīng)的位移＝γ＋θ＝1；根據(jù)幾何關(guān)系得虛位移如圖6所示.

圖6 求MC的虛位移圖Fig.6 Virtual displacement diagram of MC

圖7 MC的影響線Fig.7 Influential line of MC

可見當(dāng)M＝1在C截面的左右移動時(shí)，MC的影響線函數(shù)分別為γ、-θ，同樣為虛位移圖的轉(zhuǎn)角，也就是力偶行走線的角位移.圖7即為MC的影響線.

2.4 形成一般式

設(shè)所求影響線量值為Z，δZ為沿Z正方向的單位位移，α即虛位移圖的轉(zhuǎn)角，也是與單位力偶M＝ 1相應(yīng)的角位移.假設(shè)M＝1以順時(shí)針轉(zhuǎn)為正，轉(zhuǎn)角α以逆時(shí)針轉(zhuǎn)為正，列虛功方程:

可見單位移動力偶作用下某量值的影響線函數(shù)為虛位移圖的轉(zhuǎn)角，即單位移動集荷載作用時(shí)該量值影響線的斜率.

3 單位移動力偶作用下靜定多跨梁的影響線

以上結(jié)論對于靜定多跨梁同樣適用，撤去一個(gè)約束后，各桿段在虛位移圖中的轉(zhuǎn)角(以逆時(shí)針轉(zhuǎn)為正)，即該桿段的影響線函數(shù)[15].接下來以一個(gè)靜載力偶作用下的靜定多跨梁為例，利用影響線求量值MK.如圖8所示.

圖8 靜定多跨梁Fig.8 Statically determinate multi span beam

依照機(jī)動法將K截面換為鉸，用一對MK來代替，沿MK正方向給出單位虛位移，形成虛位移圖如圖9所示.

圖9 求MK的虛位移圖Fig.9 Virtual displacement diagram of MK

圖10 MK的影響線Fig.10 Influential line of MK

虛位移圖中各段的轉(zhuǎn)角(以逆時(shí)針轉(zhuǎn)為正)即各桿段MK的影響線函數(shù)，圖10為單位移動力偶作用下MK的影響線.且圖8所示力偶作用下MK的值為:

可見通過畫單位移動力偶作用下的影響線，來求靜載力偶作用下的量值，非常方便，該方法值得推廣.

4 結(jié)論

利用機(jī)動法求單位移動力偶作用下靜定結(jié)構(gòu)Z量值影響線的步驟為:

1)撤去與Z相應(yīng)的約束，用約束力Z來代替.

2)使體系沿Z的正方向產(chǎn)生單位位移，并畫虛位移圖.

3)虛位移圖中各桿段轉(zhuǎn)角(以逆時(shí)針轉(zhuǎn)為正)，即單位移動力偶作用下的影響線函數(shù).由此可畫出單位移動力偶作用下的影響線.

一般式為Z(x)＝α(x)，單位移動力偶M＝1以順時(shí)針轉(zhuǎn)為正，α以逆時(shí)針轉(zhuǎn)為正.由于靜定結(jié)構(gòu)的虛位移圖為直線，可見單位移動力偶作用下的影響線在各段內(nèi)影響線函數(shù)為常數(shù).這與力偶在一個(gè)幾何不變體系(剛片)內(nèi)可任意移動，而不改變該體系靜定的外部約束力相吻合.

以上作單位移動力偶作用下靜定結(jié)構(gòu)影響線的方法，可作為結(jié)構(gòu)力學(xué)教學(xué)影響線部分內(nèi)容的補(bǔ)充.并且擴(kuò)大了影響線的應(yīng)用范圍，使利用影響線進(jìn)行靜載力偶作用下靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算變得簡單，為結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)計(jì)算帶來方便.

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(責(zé)任編輯:付強(qiáng)，張陽，李建忠，羅敏；英文編輯:周序林)

Influence Lines of statically determinate structures under the action of the mobile unit couple

ZHAO Heng-bo1，WU Jing-jie2
(1.Qindao College，Qingdao Technology University，Qingdao 266106，P.R.C.；2.Qingdao Highway Administration，Qingdao 266114，P.R.C.)

The drawing and application of the Influence Line is an important part in structural mechanics，which is closely related to the structural design.At present，this part is only explained under the condition of unit moving load in current teaching materials.It is difficult to get the solution in the structure using the Influence Line when the couple appears.In order to solve this problem，based on the principle of virtual work，coupled with Kinematics Method，this paper deduces the general formula of the Influence Line in the statically determinate structure under the action of the mobile unit couple，and the drawing processes of the Influence Line is given.This method expands the application range of the Influence Line，and can be used as a supplement to the teaching materials，and it also brings convenience to the structural design.

Influence Line；mobile unit couple；principle of virtual work；statically determinate structure

O342

A

2095-4271(2016)06-0696-06

10.11920/xnmdzk.2016.06.018

2016-08-08

趙恒博(1982-)，女，漢族，山東省臨清人，講師.研究方向:從事工程力學(xué)方向的研究.E-mail:17825538＠qq.com.

青島市公路管理局課題研究采購項(xiàng)目(T-20141114-095)