李 勇

(中國科學(xué)院國家天文臺(tái),北京 100012)

晷影測(cè)年：以陶寺疑似圭尺為例

李 勇

(中國科學(xué)院國家天文臺(tái),北京 100012)

2002年山西襄汾陶寺城址出土一件殘長(zhǎng)171.8厘米,且有43個(gè)色段端點(diǎn)的漆木桿,疑似標(biāo)注中天日影的圭尺。為此,文章構(gòu)建了普適的僅由晷影數(shù)據(jù)(或刻度)求解圭表觀測(cè)年代的模型。該模型功能較強(qiáng),能將未知的表高、圭表間距及太陽位置、觀測(cè)誤差等參數(shù)同時(shí)解出,可廣泛用于圭表測(cè)年問題。為求陶寺漆桿的觀測(cè)年代,設(shè)定可允許的最大高度角誤差為0.1°,設(shè)定表高80～250 cm、圭表間距0～200 cm,步長(zhǎng)1 cm；所求年代范圍為BC 2201-BC 1901,步長(zhǎng)0.001 d。將這些參數(shù)和色段端點(diǎn)的數(shù)據(jù)代入模型處理,并考慮大氣折射的影響,結(jié)果表明,色段端點(diǎn)中最少有67%與日影無關(guān),故目前判斷其為觀測(cè)日影的圭尺尚存困難。

考古天文學(xué) 圭尺 陶寺 中天觀測(cè) 年代

近年來考古學(xué)的發(fā)展日新月異,天文考古也有了長(zhǎng)足的進(jìn)步。2003年中國山西省發(fā)現(xiàn)世界最古老的天文觀象臺(tái)遺址——陶寺觀象臺(tái)。陶寺遺址、遺物又成了天文史的研究熱點(diǎn)。席澤宗院士曾指出：“陶寺天文觀測(cè)遺跡的發(fā)現(xiàn),是中國考古天文學(xué)的真正開端”[1]。

隨著天文考古研究的深入,2002年在山西襄汾陶寺城址中期王墓IIM22的頭端墓室東南角出土了一件漆桿IIM22:43,殘長(zhǎng)171.8厘米,受到關(guān)注,其功能引起學(xué)者們的猜測(cè)[2- 6]。它由43個(gè)色段端點(diǎn)組成,疑似測(cè)量日影的圭尺,這些色段端點(diǎn)用于標(biāo)識(shí)日影。史載周公立表測(cè)晷影于陽城,歷代重視,數(shù)千年不衰,圭表也成為中國古代重要的天文測(cè)量工具。李淳風(fēng)在《隋書天文志》說到立表測(cè)晷影可“正位辨方,定時(shí)考閏”。針對(duì)陶寺漆桿,在沒有立表,桿體又殘損的情況下,如何利用這些疑似日影的位置獲知其可能的觀測(cè)年代,卻成了擺在研究者面前的大難題。

考古學(xué)真實(shí)地揭示了歷史的發(fā)展及細(xì)節(jié),天文學(xué)的發(fā)展又實(shí)現(xiàn)了某些歷史天象的重演。目前,日月行星的運(yùn)動(dòng)規(guī)律已完全被掌握,在千年尺度上再現(xiàn)其運(yùn)動(dòng)歷程成為可能。正是在此背景下,人們才開始探索陶寺觀象臺(tái)及漆桿這類疑難的年代問題。為使天文學(xué)在考古研究中更為有效地發(fā)揮作用,本文試圖探索一種普適的僅據(jù)圭尺(甚至殘存圭尺)上的日影標(biāo)志(或記錄)來求解觀測(cè)年代等相關(guān)參數(shù)的方法。其目的在于通過定量研究立表測(cè)影問題,建立各觀測(cè)參數(shù)間的內(nèi)在聯(lián)系,包括表高、觀測(cè)年代、這些標(biāo)志中有多少確系日影等,由此考察晷影觀測(cè)的細(xì)節(jié),進(jìn)而判斷該漆桿測(cè)日影用途的可能性。

1 研究方法

目前,多項(xiàng)研究認(rèn)為陶寺漆桿疑似測(cè)日影的圭尺(在古代圭表測(cè)日影的系統(tǒng)中,直立的竿稱為表,南北水平放置、量度影長(zhǎng)的尺稱為圭或圭尺),但若想沿此思路定量求解該圭尺的觀測(cè)細(xì)節(jié)及年代則極為困難。事實(shí)上,在現(xiàn)今的計(jì)算機(jī)和大數(shù)據(jù)時(shí)代,天文歷算早已發(fā)展成重要的技術(shù)手段用于破解考古天文中的某些疑難雜癥,陶寺疑似圭尺問題也不例外。從科學(xué)上講,疑似圭尺問題得以求解的理論依據(jù)在于：

(1)早已建立的“誤差理論”。晷影觀測(cè),或言圭表測(cè)影,其天文學(xué)內(nèi)涵為測(cè)量太陽中天時(shí)的地平高度。該測(cè)量系統(tǒng)的誤差方程可表示為：

觀測(cè)值-計(jì)算值=min

根據(jù)天文歷算方法,可獲取任意時(shí)刻行星際天體的位置,當(dāng)然也包括太陽每天中天時(shí)的地平高度。因本文只涉及單一天體——太陽,及相應(yīng)的周年周期,處理起來相對(duì)方便。具體操作時(shí),本工作就是比對(duì)太陽逐日中天時(shí)地平高度的“計(jì)算值”(由天文歷算計(jì)算而得)和疑似圭尺上的日影數(shù)據(jù),并將其換算成太陽高度數(shù)據(jù)——即“觀測(cè)值”間的關(guān)系。代入上式即可建立其誤差方程,如果它們間的差足夠小,就可認(rèn)定這些觀測(cè)值或疑似觀測(cè)值為真——真實(shí)的觀測(cè)值。這就是誤差理論的核心,它表明通過日影數(shù)據(jù)本身即可真實(shí)而客觀地判斷“色段端點(diǎn)是否為日影”的真?zhèn)?當(dāng)然這需要計(jì)算出在所考年代區(qū)間內(nèi)每天太陽中天的高度并與觀測(cè)值逐一比較。換句話說如果已知了這些觀測(cè)數(shù)據(jù)就等價(jià)于獲得本文求解出的一切,包括觀測(cè)方法、觀測(cè)年代、觀測(cè)日期和各種參數(shù),因?yàn)檫@一切都是特定的,顯然也是客觀存在的。由此可見,針對(duì)此類研究對(duì)象,可供人們推測(cè)的余地其實(shí)并不大。

問題在于人們通常只熟悉通過解析式求解一維問題,若解析式中的未知參數(shù)過多,經(jīng)常困擾研究工作的深入,好在“疊代法”的采用恰能處理這類多個(gè)未知數(shù)的難題。

(2)“疊代法”的應(yīng)用?！隘B代法”其實(shí)并不新鮮,它類似以前常說的“待定系數(shù)法”。這類參數(shù)在計(jì)算機(jī)程序設(shè)計(jì)時(shí)稱之為“循環(huán)變量”,它的本質(zhì)就是在給定范圍后,通過規(guī)定步長(zhǎng),然后將該范圍內(nèi)的每一值都逐一代入算式計(jì)算,進(jìn)行求解工作,通過比對(duì)其與已知值的關(guān)系,從而求解出這一“循環(huán)變量”的真值。就本文而言我們涉及更為復(fù)雜的多重循環(huán)計(jì)算,變量包括表高H、圭表間距L等。但不管如何復(fù)雜,“疊代法”終能保證工作的繼續(xù)。

(3)計(jì)算機(jī)大顯身手的“窮舉法”。例如在研究從A地到達(dá)B地的途徑問題時(shí),“窮舉法”就是將所有可能的道路都通行一遍,最后可根據(jù)需要提供出諸如兩地最近的道路、需時(shí)最少的道路等,問題的答案只有經(jīng)過“窮舉”才能精準(zhǔn)得到。早期在面對(duì)參數(shù)眾多的復(fù)雜問題時(shí),研究者苦于循環(huán)計(jì)算的工作量過大,導(dǎo)致人力無法完成。以上“誤差理論”和“疊代法”得以實(shí)現(xiàn)均離不開計(jì)算。當(dāng)代計(jì)算機(jī)的應(yīng)用,可極大提高計(jì)算效率,實(shí)現(xiàn)“窮舉”目的,使眾多的未知參數(shù)可在求解過程中逐一捕獲。試想如果一個(gè)研究者不采用計(jì)算機(jī),而是通過從SKYMAP等軟件中讀出觀測(cè)地每天的太陽中天時(shí)刻,再查出中天時(shí)相應(yīng)的太陽地平高度,然后將漆桿上每個(gè)色段端點(diǎn)換算成地平高度與其進(jìn)行比對(duì),加之表高未知、尺端有殘等,這一切均要通過疊代和循環(huán)處理,逐步進(jìn)行……如此繁復(fù)的工作或許窮盡畢生精力也不易完成。

綜上所述,處理陶寺疑似圭尺問題就是此類研究中難度較大的真實(shí)案例和樣本,本工作的研究表明這類問題將不再是科學(xué)的疑難問題和遺留問題。

以上就是本文求解工作的科學(xué)本質(zhì)。

具體的解算方法可描述如下：圖1為圭尺中天觀測(cè)日影的示意圖,A、B為漆桿(圭尺)兩端,H為表高,L為立表與圭端距離,Xi為端點(diǎn)A距某色段端點(diǎn)的長(zhǎng)度。如果陶寺漆桿(或圭尺)上的色段端點(diǎn)確系某年內(nèi)中天日影的觀測(cè)記錄,則求解其觀測(cè)時(shí)間就是考古實(shí)際工作中所遇問題,其難度在于：(1)表高H未知；(2)圭尺從哪端(A或B)計(jì)量未知；(3)L長(zhǎng)度未知,不能輕易認(rèn)為L(zhǎng)=0,更何況該漆桿A端有殘缺,L的設(shè)定正是考慮到更為一般的情況。嚴(yán)格說來,對(duì)A端而言L=圭表間距+漆桿殘損部分的長(zhǎng)度,而將漆桿倒置后,對(duì)B端而言,L=圭表間距。設(shè)定L的優(yōu)點(diǎn)還在于：用1個(gè)值合并考慮2個(gè)不確定值,從而減少未知數(shù)的個(gè)數(shù)。如圖L+Xi=影長(zhǎng),這樣的設(shè)定顯然也包含L=0的情況,即立表位于圭端的情況；(4)各刻度的觀測(cè)日期未知。

圖1 陶寺漆桿中天觀測(cè)日影示意圖(A、B間虛線表示漆桿)

要深入分析和求解圭尺的觀測(cè)時(shí)間,就得借助天文歷算方法反演歷史時(shí)期的逐日太陽中天位置。為此筆者針對(duì)已知多組日影標(biāo)志(數(shù)據(jù))專門設(shè)計(jì)了求解觀測(cè)時(shí)間的模型,包括精確求解出與各數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的觀測(cè)日期,同時(shí)還可解出表高H、尺與表的距離L等相關(guān)參數(shù)。計(jì)算采用長(zhǎng)周期的DE 406歷表,而地球自轉(zhuǎn)長(zhǎng)期變化數(shù)值ΔT則取自Stephenson等2004年的研究結(jié)果[7,8]。

陶寺古觀象臺(tái)遺址位于北緯35.882°,東經(jīng)111.499°。漆桿上各色段端點(diǎn)的數(shù)據(jù)見表1,其量度的起點(diǎn)就是漆桿兩端A、B。本文對(duì)這兩種情況分別求解,圖1所示系從A點(diǎn)計(jì)量日影的情況；若從B端計(jì)量,則需將漆桿前后倒置。

表1 陶寺漆桿各色段端點(diǎn)距漆桿端點(diǎn)A、B的長(zhǎng)度Xi值

注： A列數(shù)據(jù)取自何駑文[6],系從A依次量度A距各色段端點(diǎn)的長(zhǎng)度。B列數(shù)據(jù)則從B點(diǎn)計(jì)量,則各端點(diǎn)距=AB間距-A列值=171.80-A列Xi值,但序號(hào)須顛倒(因漆桿已倒置),即將序號(hào)43值變?yōu)樾蛱?hào)1值,序號(hào)42值變?yōu)樾蛱?hào)2值,類推到序號(hào)1值變?yōu)樾蛱?hào)43值。這樣處理保證影長(zhǎng)=L+Xi。例如,倒置后A列的序號(hào)1端則到了B列的序號(hào)43端點(diǎn),此時(shí)它距B的距離Xi=171.80-1.50=170.30 cm；同理A列序號(hào)43端點(diǎn)成了B列序號(hào)1端點(diǎn),其值Xi=171.80-171.80=0.00。

本文只涉及太陽中天時(shí)地平視位置的計(jì)算,太陽視位置的計(jì)算細(xì)節(jié)可參閱天文書刊,這里只講述如何利用它來求解圭尺色段上的端點(diǎn)確為日影位置時(shí)所對(duì)應(yīng)的最佳觀測(cè)日期及年代,其具體方案如下：

我們?cè)O(shè)定可允許的最大高度角誤差為0.1°,并篩選出Def< 0.1°的結(jié)果。計(jì)算時(shí)需輸入的參數(shù)有：表高H取80～250 cm,表底距圭端L取0～200 cm,作循環(huán)計(jì)算時(shí)取H和L的增量步長(zhǎng)均為1 cm；所求年Year的范圍：首年-2200.0,末年-1900.0,計(jì)算步長(zhǎng)=0.001 d(即1.44 min)；43個(gè)色段端點(diǎn)所表示的刻度值Xi；觀測(cè)中心的地理經(jīng)緯度；最大角度誤差等。將以上數(shù)據(jù)代入程序并運(yùn)行即可。本文規(guī)定：在誤差(Def< 0.1°)范圍內(nèi),針對(duì)每個(gè)表高值,(1)以年內(nèi)符合條件的色段端點(diǎn)(即證實(shí)為日影)多者為佳；(2)若色段端點(diǎn)數(shù)相等,再以累計(jì)的角度誤差和Sum小者為佳。由此得到的觀測(cè)日期序列即為最佳結(jié)果。程序設(shè)計(jì)時(shí)考慮了大氣折射改正。至于色段的顏色是否具有特殊考古學(xué)等含義,本文不做討論。

2 結(jié) 果

具體而言,對(duì)于某表高值H,首先,取待定循環(huán)參數(shù)L和所求年Year,并在BC 2201-BC 1901年內(nèi)的每一天地方時(shí)中午附近,每隔1.44 min計(jì)算一次太陽在地平坐標(biāo)系中的位置,并求解相對(duì)于某色段端點(diǎn)Xi的Def值；其次,按上文的規(guī)定,當(dāng)Def<0.1°時(shí),與某Xi相應(yīng)的結(jié)果被記錄下來,包括日期、時(shí)刻和太陽的高度角(E),隨著一次次的疊代計(jì)算,取年內(nèi)Def值最小的那一次為該Xi對(duì)于某年的最佳結(jié)果,當(dāng)該年計(jì)算完畢后,即得出該年合計(jì)可觀測(cè)到的Xi數(shù)(須滿足Def<0.1°),以及誤差和Sum值；最后,列出具有最多觀測(cè)Xi和最小Sum值的年份。經(jīng)過對(duì)H循環(huán)計(jì)算,這樣就獲得了針對(duì)每個(gè)H值的最佳觀測(cè)年(Year),及相應(yīng)立表與圭尺的距離(L)、可觀測(cè)到的最大色段端點(diǎn)數(shù)(Numbers)、各色段端點(diǎn)與真實(shí)日影的誤差和(Errors)和表示每個(gè)色段端點(diǎn)作為日影的平均誤差(Average)。圖2(圖3)給出了從A(B)端計(jì)量漆桿色段端點(diǎn)的針對(duì)表高H的最佳結(jié)果。

圖2 從A端計(jì)量漆桿色段端點(diǎn)的最佳求解結(jié)果

由于采用復(fù)雜的多重疊代求解,需要較長(zhǎng)計(jì)算時(shí)間,本文的設(shè)定已有所簡(jiǎn)化,例如作疊代循環(huán)時(shí)H和L的步長(zhǎng)均取為1 cm,若取0.5 cm,則時(shí)間即擴(kuò)大1倍,同樣若時(shí)間步長(zhǎng)(即1.44 min)再減小,計(jì)算的年代區(qū)間(BC 2201～BC 1901)再擴(kuò)大,則計(jì)算時(shí)間還會(huì)更長(zhǎng)。即使如此,1臺(tái)微機(jī)仍需工作1500小時(shí)以上才能完成。為此,實(shí)際操作時(shí)可采用多臺(tái)微機(jī)聯(lián)合求解。

圖3 從B端計(jì)量漆桿色段端點(diǎn)的最佳求解結(jié)果

從圖2-3中可見,當(dāng)H在120～220 cm范圍內(nèi),L通常隨H的增加而加大；觀測(cè)年份的起伏較大,當(dāng)H>230 cm時(shí),似從-2200趨向-2100,但此時(shí)觀測(cè)到色段端點(diǎn)數(shù)卻較少。當(dāng)H在170～200 cm時(shí)(從A端計(jì)量),或在200 cm前后(從B端計(jì)算)時(shí),可觀測(cè)到的確系日影的色段端點(diǎn)較多。誤差和通常隨觀測(cè)到的色段端點(diǎn)數(shù)增加而加大,但無明顯趨勢(shì)。

綜合圖2- 3,表2給出了10個(gè)最佳求解結(jié)果。表明：在給定的范圍內(nèi)無論H、L、Year取何值,無論是從A端還是B端計(jì)量,這些色段中至多只有14個(gè)端點(diǎn)確系晷影。

表2 用疊代法求解陶寺漆桿測(cè)日影的10個(gè)最佳觀測(cè)年及其他參數(shù)1)

1) No為序號(hào),Type指計(jì)量端點(diǎn),H為表高,L為尺端距表的距離,單位cm,Year為年,Nu為符合條件的色段端點(diǎn)數(shù),Sum指累計(jì)角度誤差,單位為度。

表3列出表2中序號(hào)1- 3的詳細(xì)結(jié)果,包括H、L和Year諸值,太陽的地平高度E,相關(guān)色段端點(diǎn)序號(hào)NXi的觀測(cè)日期、時(shí)間,觀測(cè)的誤差Def及累計(jì)色段端點(diǎn)數(shù)Nu,包括與0.1°誤差相對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)度值Max和總誤差Sum等。

表3 用疊代法求解漆桿測(cè)日影的最佳3解1)

續(xù)表3

1) No為序號(hào),Type指計(jì)量端點(diǎn),H為表高,L為尺端距表的距離,單位cm,觀測(cè)時(shí)刻用Year、M、D、Hour表示年、月、日和時(shí)刻,E指太陽的地平高度,單位為度,Def為色段端點(diǎn)序號(hào)Xi的誤差,單位為度和cm,其中Def(cm)=H× [cot(E-Def(D))-cot(E)],將誤差換算成長(zhǎng)度,Max(cm)為與0.1°誤差相應(yīng)的長(zhǎng)度。Nu為符合誤差條件(Def<0.1°)的總色段端點(diǎn)數(shù),Sum指累計(jì)角度誤差,單位為度。

表3所列的3個(gè)解中,No 1- 2的年代均為BC 2098,兩者都觀測(cè)到14個(gè)色段端點(diǎn),均從A端計(jì)量,但H和L參數(shù)不同,前者比后者小約20 cm,且前者的誤差和稍小。No 3系從B端計(jì)量,H、L參數(shù)與No 2相近,觀測(cè)年份為BC 2192,早于另2個(gè)解約100年。

綜上所述,在本文所設(shè)定的各參數(shù)邊界條件下,陶寺漆桿最少有67%的色段端點(diǎn)與日影無關(guān),故目前判斷它是用于觀測(cè)日影的圭尺尚存困難。

所謂67%的端點(diǎn)與日影無關(guān),表明在表3所列的最佳年份內(nèi)任一天的中天日影與這67%的端點(diǎn)(即表3中序號(hào)NXi以外端點(diǎn))其地平高度角相差都大于0.1°。誤差小于等于0.1°的端點(diǎn)見表3的NXi列,在各自的最佳觀測(cè)日(日期和時(shí)間亦見表3)其實(shí)際高度角誤差為Def(D),換算成長(zhǎng)度單位則為Def(cm)。同時(shí),表3還給出與最大高度差0.1°所對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)度為Max(cm),顯見Def(cm) ≤Max(cm)。若改變其中的任意參數(shù),則與日影無關(guān)的色段端點(diǎn)將多于67%。

所以就陶寺漆桿而言,除非另有充分證據(jù)證明該漆桿上確有部分色段端點(diǎn)標(biāo)注日影,那么本文的求解不僅可確定這些端點(diǎn)的序號(hào)(見表3的NXi列),還可得出其相應(yīng)的最佳觀測(cè)年代為BC 2098,及其他相關(guān)參數(shù)(詳見表3)。

3 幾點(diǎn)討論

3.1 關(guān)于計(jì)算方法

立表測(cè)影在中國歷史悠久,影響深遠(yuǎn),逐步演變成古代一項(xiàng)極重要的天文基礎(chǔ)測(cè)量方法?！对窔v志》記元代曾立四丈高表測(cè)日影,目的在于推定《授時(shí)歷》歷元——至元十七年(1280年)的冬至?xí)r刻[9]。這是作為有史可查的天文歷史事件,年代已知,數(shù)據(jù)保存完整。但作為早期的、考古事件的立竿測(cè)影,往往數(shù)據(jù)不存,年代模糊,甚至立表不在,測(cè)量細(xì)節(jié)不明,就遠(yuǎn)沒有如此幸運(yùn)。本文構(gòu)建了由日影中天觀測(cè)數(shù)據(jù)求解其最佳觀測(cè)年代的普適方法,從而揭開了定量研究此類天文考古疑難問題的序幕。對(duì)多個(gè)未知數(shù)問題只有通過疊代方法求解,別無他法。求解時(shí)通過天象計(jì)算獲取太陽中天位置,通過疊代法化解多個(gè)未知數(shù)問題,通過最小二乘法求出最佳觀測(cè)時(shí)間及相應(yīng)表高、圭表距、觀測(cè)日期、太陽位置、觀測(cè)誤差等重要參數(shù)。

因H、L、Year等邊界條件均不確定,只能經(jīng)過大量的疊代運(yùn)算給出完整解的譜系。這是一個(gè)功能強(qiáng)大的針對(duì)無立表、殘存日影數(shù)據(jù)不完整的圭尺年代計(jì)算系統(tǒng),代價(jià)是需占用較多計(jì)算時(shí)間。而一旦某些邊界條件(參數(shù))能確定,則相應(yīng)解的范圍將大大縮小?？傊?邊界條件越確定,解就越確定。最佳解不全是真解(真解指當(dāng)時(shí)真實(shí)的觀測(cè)時(shí)間),真解必為最佳解。因?yàn)槿暨@些色段端點(diǎn)真是晷影,它必然滿足最佳解的設(shè)定,故最佳解可看作是真解的重要參照。

本工作從而深度破解此前難以想象的晷影測(cè)年問題。限于篇幅文中只提供了以表高H值(范圍80～ 250 cm)為引數(shù)的最佳解。當(dāng)然,要想獲得更為精細(xì)的結(jié)果,可將疊代時(shí)間的步長(zhǎng)(本文取1.44 min)、H和L的步長(zhǎng)(本文取1 cm)減小。此外,Year、H和L的求解區(qū)間亦可作調(diào)整或放大。這樣的參數(shù)修改對(duì)模型處理十分方便。例如,文中設(shè)定表高H的范圍為80～ 250 cm,就主要參照了漆桿的長(zhǎng)度。

此外,若最佳解中色段端點(diǎn)(晷影數(shù)據(jù))的符合率(Nu/N值)較低,即可判斷出這些數(shù)據(jù)(或色段端點(diǎn))不全是晷影。由此可見,本法亦可用于對(duì)太陽中天觀測(cè)的排除。

3.2 關(guān)于測(cè)量方式

(1)圭表一體或許不是最佳測(cè)量方式

通常圭、表相連,組成一體。《隋書·天文志》稱“梁天監(jiān)中,祖暅造八尺銅表,其下與圭相連。圭上為溝,置水,以取平正。揆測(cè)日晷,求其盈縮”[10]。可見最遲在祖氏時(shí)期就已造出一體的高精度測(cè)日影圭表。但更早期如何,圭表分離似亦很正常。

因觀測(cè)的細(xì)節(jié)不明,本文討論兩種情況,即：漆桿上的日影分別從A、B兩端計(jì)量影長(zhǎng),同時(shí)允許表與圭尺間有距離L的存在,這樣的處理實(shí)際已涵蓋圭表一體(即L=0)等眾多的情況,更具一般性。實(shí)際上據(jù)圖2、圖3,最佳解僅有1次出現(xiàn)在L=0時(shí)：系從A端計(jì)量,表高H=84 cm,此時(shí)觀測(cè)年份為BC 1912,Nu=11,Sum=0.396。此外,對(duì)表2中序號(hào)1的最佳解而言,有14個(gè)色段端點(diǎn)為日影,且平均每個(gè)端點(diǎn)的誤差為0.055°。若取L=0,其他參數(shù)不變,則得：Nu=5、Sum=0.335,表明只有5個(gè)端點(diǎn)與日影有關(guān),且每個(gè)端點(diǎn)的平均誤差為0.067°,顯見這一結(jié)果構(gòu)不成最佳解。當(dāng)然,還有一種可能就是漆桿上的端點(diǎn)本與日影無關(guān)。

(2)參數(shù)L的設(shè)定覆蓋了圭表一體、圭表分離及移桿或翻桿的多種測(cè)量方式

考慮到方法的普適性,本文設(shè)定參數(shù)L取0～ 200 cm,這樣的處理兼顧了圭表采用各種位置關(guān)系進(jìn)行觀測(cè)的情況,首先,L的設(shè)定充分保留了各種可能,結(jié)果解出L=0,則圭表必為一體；L≠0則必為圭表分離(當(dāng)然須注意A端有殘損,即使L≠0,如果L=A端所殘的長(zhǎng)度,它仍為一體),此外它還包括可能的移桿或復(fù)桿測(cè)量。當(dāng)然,若有充分證據(jù)證明圭表一體,模型中亦可直接取L=0,從而簡(jiǎn)化求解。

例如,百度百科中的“圭表”條就明確有“最早出現(xiàn)的圭表當(dāng)然都是表?xiàng)U與土圭彼此分離的簡(jiǎn)易形制”。何況實(shí)際研究時(shí)已有學(xué)者為保證圭表可測(cè)量到冬至日影,提出了移桿測(cè)量[2,6]和翻桿測(cè)量[4]的設(shè)想。為此本文接受這一觀點(diǎn),引入?yún)?shù)L(相當(dāng)于1根沒有讀數(shù)、長(zhǎng)度在0～ 200 cm間可調(diào)的桿子),完全實(shí)現(xiàn)移桿或翻桿的功能,只是在細(xì)節(jié)處理上更精準(zhǔn),方便操作。例如,表2中的結(jié)果：No.1就解出當(dāng)表高為176 cm時(shí),漆桿需移桿151 cm,才滿足最多的14個(gè)端點(diǎn)可觀測(cè)到,且誤差和最小,此時(shí)得出的最佳觀測(cè)年BC 2098。本文的處理只是將這一問題進(jìn)一步量化。

表3給出的3個(gè)最佳解中,均沒有冬至日影(其時(shí)公歷約1月7日左右),有端點(diǎn)的觀測(cè)日期出現(xiàn)在冬至前后約7日。說明漆桿的端點(diǎn)與冬至不匹配,換言之,若要保證某色段端點(diǎn)的觀測(cè)日期恰是冬至,則其他可觀測(cè)到的端點(diǎn)就要減少?；蛟S這也暗示漆桿的端點(diǎn)與日影無關(guān)。

(3)到底圭、表是否一體求解即見分曉

盡管通常情況下所見表、圭一體,但也不能排除兩者可能的分離。就本問題而言,到底圭、表分離與否,最終還須通過太陽中天觀測(cè)的歷史重建及相應(yīng)的證據(jù)(即表1的數(shù)據(jù)Xi值)來判定。實(shí)際上,研究工作應(yīng)盡可能多地包含各種可能,而不應(yīng)“選擇性執(zhí)法”。因陶寺立表全無,研究者無從知曉其體位如何,更不用說是否一體,對(duì)此更一般情形,處理時(shí)只要增列參數(shù)L即可。因?yàn)榍蠼饨Y(jié)果自會(huì)揭曉圭、表到底一體否,這也是本法的神奇處。

L充其量只是一個(gè)待定參數(shù),無論圭、表是否一體,最佳解均能反演出該漆桿真實(shí)的觀測(cè)細(xì)節(jié),包括如表3所列各相關(guān)參數(shù)及相應(yīng)的日期、年代等,而解出的參數(shù)L值即可對(duì)此做出判斷,即通常情況下L=0為圭、表一體,L≠0即為圭、表分離。從本質(zhì)上講,觀測(cè)數(shù)據(jù)的存在,也就從客觀上限定或確定了觀測(cè)方法,我們的工作就是將其科學(xué)地反演出來。正是由于通過端點(diǎn)數(shù)據(jù)能準(zhǔn)確求出參數(shù)L值,研究時(shí)預(yù)設(shè)表、圭一體反而不妥,更何況根據(jù)考古發(fā)掘報(bào)告,A處有殘,若該漆桿是圭尺,則A并不是真正的圭端。對(duì)于從A端計(jì)量而言,即使求解結(jié)果中L≠0,仍可能圭、表一體,因?yàn)榇藭r(shí)的L值或許正是漆桿A端所殘缺的長(zhǎng)度。另外,從數(shù)學(xué)上講,一體亦可看作是分離的特例,即兩者相距為0。

綜上所述,設(shè)置參數(shù)L并求解之,即完美地解決了圭表是否一體這一問題。

3.3 關(guān)于最大高度角誤差

設(shè)定太陽中天時(shí)最大高度角誤差為0.1°,其含義是當(dāng)由天文歷表計(jì)算所得的當(dāng)日太陽中天高度角與色段端點(diǎn)所表示的高度角之差不大于0.1°時(shí),就可認(rèn)為該色段端點(diǎn)為當(dāng)日真實(shí)日影的觀測(cè)值,0.1°只是允許誤差的上限,它通常只與滿足條件的結(jié)果中精度較差的“日影”有關(guān),而結(jié)果中其他“日影”的精度則完全可能遠(yuǎn)高于0.1°。例如對(duì)最優(yōu)解(表3序號(hào)1)而言,色段中有14個(gè)端點(diǎn)可認(rèn)定為日影,誤差和為0.707°,平均誤差為0.05°,小于設(shè)定的0.1°,其中最小誤差為0.008°(換算成圭尺上的長(zhǎng)度為0.07 cm),最大誤差為0.096°(0.97 cm)。

通常天文觀測(cè)精度都是以角度計(jì)量的。對(duì)于圭表測(cè)影而言,因測(cè)量的高度差(角度)與圭尺上的長(zhǎng)度呈非線性關(guān)系,即同樣是0.1°的高度差反映在圭尺的不同位置其表示的長(zhǎng)度并不相同。以《周髀算經(jīng)》為例,立8尺表,冬至影長(zhǎng)13.5尺,夏至影長(zhǎng)1.6尺,據(jù)影長(zhǎng)數(shù)據(jù)可得冬至?xí)r太陽的中天高度=arctan(8/13.5)=30.6507°,夏至則為arctan (8/1.6)=78.6901°,若觀測(cè)誤差為0.1°,則冬至?xí)r與該誤差相應(yīng)的長(zhǎng)度為abs{8尺×[cot (30.6507±0.1)-cot 30.6507]}=0.054尺=0.54寸；同理,夏至為0.15寸。其他節(jié)氣時(shí)0.1°所對(duì)應(yīng)的誤差長(zhǎng)度則界于這兩值之間?？梢娡瑯邮?.1°的誤差,若換算成長(zhǎng)度的話,則冬至的誤差約為夏至?xí)r的3倍多。上述計(jì)算中若將表高換成2 m,則0.1°的觀測(cè)誤差,在冬至?xí)r相應(yīng)的圭面長(zhǎng)度為1.35 cm、夏至?xí)r的長(zhǎng)度則為0.36 cm。

另一方面,我們的前期研究表明,元代98次測(cè)影的標(biāo)準(zhǔn)誤差為4.06’(0.07°),其中最大誤差為6.35’(0.11°)[9],鑒于此,再考慮到陶寺遺址的年代早于BC 2000,其觀測(cè)精度應(yīng)弱于元代的觀測(cè),故本文將其值設(shè)定為0.1°。值得一提,陶寺漆桿還存在一個(gè)問題,即不少端點(diǎn)的間距過近,最小僅0.5 cm,平均為4 cm。我們所設(shè)0.1°時(shí)也考慮了實(shí)際情況,例如表3所得端點(diǎn)的誤差范圍Def(cm)為0.07～ 1.29 cm,其中大者即超過了最小的色段長(zhǎng)度,故0.1°的設(shè)定不能再大了。當(dāng)然若再減小導(dǎo)致的直接結(jié)果是可認(rèn)定為日影的端點(diǎn)更少。當(dāng)然若改變0.1°值,對(duì)最優(yōu)解的判定及本文的結(jié)論影響不大。

3.4 與觀象臺(tái)關(guān)系

通常認(rèn)定陶寺圭尺比認(rèn)定陶寺觀象臺(tái)更方便。一方面,漆桿尚存,而觀象臺(tái)頂多只是遺址,地上建筑無存。另一方面,漆桿僅需假設(shè)不同色段端點(diǎn)是用以表示太陽中天觀測(cè)的日影,即使立表不存,一端缺失,仍難不住我們的求解。而另一方面,觀象臺(tái)若成立,則需要一系列假設(shè)：(1)該夯土結(jié)構(gòu)的原始建筑曾用于“日出山頂”觀測(cè)；(2)該建筑的觀測(cè)縫方位與夯土的柱縫方位相同；(3)四千年來,通過觀測(cè)縫所觀測(cè)的東邊塔兒山的地形地貌未發(fā)生變化,即由觀測(cè)中心通過觀測(cè)縫所觀測(cè)到的山頂?shù)仄礁叨冉俏醋?。這些因素都會(huì)影響解的不確定性。

當(dāng)然,以太陽為觀測(cè)對(duì)象的陶寺觀象臺(tái)與陶寺圭尺均可能成立。就觀測(cè)難度而言,圭尺測(cè)晷影較易,此時(shí)太陽中天,影南北向,無須考慮方位角,且觀測(cè)時(shí)間在正午附近,易于把握,目的在于建立影長(zhǎng)與時(shí)節(jié)的聯(lián)系。而通過觀象臺(tái)測(cè)日出山頂,難度稍大。觀測(cè)太陽到此位置的時(shí)間,需守候觀測(cè),目的可能在于獲取祭祀等活動(dòng)的時(shí)間。以上所說也反映出中天測(cè)影可能年代更早。我們先期的研究曾得觀象臺(tái)的最佳觀測(cè)年代當(dāng)在BC 1956年[11]。本文的研究表明,漆桿最少有67%的端點(diǎn)與日影無關(guān)。除非有新證據(jù)證明某些色段端點(diǎn)確是中天時(shí)的日影標(biāo)志,若此我們可求出這些色段端點(diǎn),及其最佳觀測(cè)年BC 2098,早于觀象臺(tái)約140余年。因圭尺采用的觀測(cè)設(shè)備更為原始簡(jiǎn)單,而觀象臺(tái)就復(fù)雜多了,它不僅結(jié)構(gòu)龐大,建造不易,還需要一個(gè)觀測(cè)中心(觀測(cè)者的觀測(cè)位置),故圭尺早于觀象臺(tái)亦好理解。通過獨(dú)立求解,兩者年代似能互洽,相互印證,這難道是巧合？實(shí)際上,圭尺求解系統(tǒng)是在觀象臺(tái)的求解系統(tǒng)基礎(chǔ)上開發(fā)而成,就解算過程而言,前者遠(yuǎn)比后者復(fù)雜,未知參數(shù)更多。

1 江曉原, 陳曉中, 伊世同等. 山西襄汾陶寺城址天文觀測(cè)遺跡功能討論[J]. 考古, 2006， (11): 81～94.

2 何駑. 山西襄汾陶寺城址中期王級(jí)大墓IIM22出土漆桿“圭尺”功能試探[J]. 自然科學(xué)史研究, 2009, 28(3): 261～276.

3 Yong Li, Xiao-Chun Sun. Gnomon shadow lengths recorded in the Zhoubi Suanjing: the earliest meridian observations in China？[J].ResearchinAstronomyandAstrophysics, 2009， 9(12): 1377～1386.

4 黎耕, 孫小淳. 陶寺IIM22漆桿與圭表測(cè)影[J]. 中國科技史雜志, 2010, 31(4): 363～372.

5 徐鳳先, 何駑.“日影千里差一寸”觀念起源新解 [J]. 自然科學(xué)史研究, 2011, 30(2): 151～169.

6 何駑. 陶寺圭尺補(bǔ)正 [J]. 自然科學(xué)史研究, 2011, 30(3): 278～287.

7 Morrison L V, Stephenson F R. Historical values of the Earth’s clock error deltat T and the calculation of eclipses[J].JournalfortheHistoryofAstronomy, 2004, 35(2): 327～336.

8 Morrison L V,Stephenson F R. Addendum: Historical values of the Earth’s clock error[J].JournalfortheHistoryofAstronomy, 2005, 36(3): 339.

9 李勇.《授時(shí)歷》歷元時(shí)刻的獲取[J]. 天文學(xué)報(bào), 2013, 54(6): 569～580.

10 魏征,等. 隋書[M]. 北京: 中華書局， 1973. 524.

11 李勇. 世界最早的天文觀象臺(tái)——陶寺觀象臺(tái)及其可能的觀測(cè)年代[J]. 自然科學(xué)史研究, 2010,29(3): 259～270.

Observing the Year with a Sundial Shadow:The Painted Pole from Taosi as an Example

LI Yong

(NationalAstronomicalObservatories,ChineseAcademyofSciences,Beijing100012,China)

In 2002, the remains of a painted lacquer pole 171.8 cm long marked with 43 colored sections was unearthed at Taosi in Shanxi Province. It has been suggested that it was a ruler used to measure the shadow of the sun when in transit. For this reason this paper designs a universal model to solve the year only from the shadow data of the sun after meridian observation. The model is powerful, as it can be used to derive unknown parameters, such as the height of the pole, the length between the pole and ruler, and observation errors, and also can be widely used in sundial chronology problems. In order to obtain the observing year of this painted pole, we set 0.1 degree as the maximum allowed error of elevation, a height of 80-250 cm for the pole, 0-200 cm for the distance between the pole and the ruler, and steps of 1 cm. We then set the years for between 2201 BC to 1901 BC, its steps 0.001 day, and put all the parameters and data of the 43 colored sections into the model, taking into consideration the influence of atmospheric refraction. Results indicating that at least 67% of the color sections have nothing to do with the shadows of the sun, cast doubt on the theory that the painted pole from Taosi was a ruler used to record the shadows of the sun.

astroarchaeology, ruler to measure the shadows of the sun, Taosi, meridian observation, observing year

2016- 02- 22；

2016- 07- 08 作者簡(jiǎn)介：李勇，1963年生，四川渠縣籍，研究員，研究方向?yàn)樘煳哪甏鷮W(xué)、天文歷法、天文考古學(xué)、天文地球動(dòng)力學(xué)等。基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金資助(項(xiàng)目批準(zhǔn)號(hào)：11403062)

N092∶P1- 092

A

1000- 0224(2016)04- 0383- 12