李徐鈺，魏朝陽(yáng)，徐文東，邵建達(dá)

(中國(guó)科學(xué)院上海光學(xué)精密機(jī)械研究所，上海 201800)

隨動(dòng)壓力分布下的非球面拋光去除函數(shù)

李徐鈺，魏朝陽(yáng)*，徐文東，邵建達(dá)

(中國(guó)科學(xué)院上海光學(xué)精密機(jī)械研究所，上海 201800)

考慮去除函數(shù)對(duì)數(shù)控小工具拋光光學(xué)元件精度的影響，提出了如何根據(jù)需要加工的非球面參數(shù)以及拋光盤(pán)參數(shù)得到最優(yōu)去除函數(shù)的方法。由于計(jì)算非球面上去除函數(shù)的核心是準(zhǔn)確獲得拋光盤(pán)與鏡面間的動(dòng)態(tài)壓力分布，本文提出利用有限元法仿真拋光盤(pán)與非球面間的壓力分布，并結(jié)合經(jīng)典 Preston 方程與行星運(yùn)動(dòng)模型來(lái)得到非球面不同位置處的去除函數(shù)。 基于隨動(dòng)壓力分布模型，分析了瀝青盤(pán)拋光非球面時(shí)在不同拋光位置處去除函數(shù)的變化。在曲率半徑為1 000 mm的球面上進(jìn)行了去除函數(shù)驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)。結(jié)果表明：基于本文理論得到的去除函線(xiàn)型更接近實(shí)際情況，皮爾遜系數(shù)達(dá)到了 0.977。本文提出的方法可以方便地調(diào)整加工位置來(lái)得到相應(yīng)的壓力分布，實(shí)現(xiàn)去除函數(shù)的優(yōu)化，對(duì)提高加工效率與精度有實(shí)際指導(dǎo)意義。

非球面拋光；隨動(dòng)壓力分布；變曲率去除函數(shù)；有限元法

1 引 言

隨著現(xiàn)代天文系統(tǒng)、高精度光刻系統(tǒng)等前沿領(lǐng)域的飛速發(fā)展，對(duì)于大口徑、高陡度非球面光學(xué)元件的需求也大大增加。由于表面曲率存在變化，非球面元件的加工相比于平面元件以及球面元件的加工要困難的多，如何提高其加工效率與精度是如今超精密光學(xué)加工的一個(gè)關(guān)鍵課題。

目前國(guó)內(nèi)外非球面光學(xué)元件的加工主要依靠計(jì)算機(jī)控制表面成型(CCOS)，常用的精加工方法有數(shù)控小磨頭拋光[1]，離子束拋光[2]，磁流變拋光[3]，應(yīng)力盤(pán)拋光[4]，激光拋光等[5]。不管是哪種技術(shù)，高精度的面形測(cè)量技術(shù)、符合實(shí)際的去除函數(shù)以及精確快速的駐留時(shí)間求解算法是提高加工精度的關(guān)鍵。僅從加工的角度來(lái)考慮，提高去除函數(shù)的準(zhǔn)確性是核心，也是限制該方法加工能力的瓶頸。國(guó)防科技大學(xué)的宋辭[6]針對(duì)磁流變加工非球面的去除函數(shù)進(jìn)行了理論建模，并提出了線(xiàn)性與非線(xiàn)性補(bǔ)償工藝；C.Wang[7]利用有限元分析仿真了氣囊拋光在平面上的靜態(tài)去除函數(shù)并進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證；國(guó)防科技大學(xué)的聶徐慶[8]利用有限單元法取代橋模型進(jìn)行分析的光順工藝的結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合。對(duì)于小磨頭拋光工藝，以往分析去除函數(shù)時(shí)，均按壓力均勻分布來(lái)處理，北京理工大學(xué)的董志超[9]利用有限元分析仿真了平面瀝青盤(pán)的去除函數(shù)，發(fā)現(xiàn)整個(gè)拋光盤(pán)的壓力分布呈現(xiàn)中間高，兩側(cè)低的形狀，依據(jù)此理論得到的去除函數(shù)經(jīng)過(guò)反復(fù)實(shí)驗(yàn)修正后與實(shí)際去除函數(shù)在峰值去除率和體積去除率上的誤差均保持在5%以?xún)?nèi)。Kim[10]提出了在拋光盤(pán)夾層中附加非牛頓流體的材料，使拋光盤(pán)兼顧了非球面加工對(duì)于低頻面形的適應(yīng)性以及高頻誤差的平滑作用。由于非球面元件相對(duì)于平面元件的自由度很高，而且其表面具有一定的曲率，因此在不同的非球面上或同一非球面的不同位置處的壓力分布都會(huì)發(fā)生變化。常用的有限元分析軟件雖然可以分析受力分布，但難以總結(jié)出非球面上不同位置的分布規(guī)律，因此對(duì)分析動(dòng)態(tài)的壓力分布以及將其應(yīng)用到實(shí)際加工有諸多不變。

本文利用MATLAB軟件并結(jié)合有限單元法建立數(shù)學(xué)模型，并進(jìn)行仿真計(jì)算，將得到的壓力分布以及去除函數(shù)變化數(shù)學(xué)化，可以便于根據(jù)需要加工的非球面參數(shù)以及拋光盤(pán)參數(shù)仿真得到動(dòng)態(tài)的去除函數(shù)。加工平面或球面元件時(shí)，可以自始至終都用一個(gè)去除函數(shù)就可完成加工，而加工非球面時(shí)第一步需選擇合適的加工參數(shù)。本文介紹了如何根據(jù)具體鏡面，調(diào)整公轉(zhuǎn)半徑參數(shù)來(lái)得到最優(yōu)的去除函數(shù)。針對(duì)瀝青盤(pán)拋光非球面，仿真了去除函數(shù)隨徑向加工位置的變化趨勢(shì)。針對(duì)在瀝青盤(pán)上附著聚氨酯拋光墊加工非球面這一工況，在曲率半徑為1 000 mm的球面上進(jìn)行了去除函數(shù)驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)。本文所做工作均是分析去除函數(shù)的輪廓特征，去除效率受外界環(huán)境影響較大，因此去除效率需要根據(jù)加工實(shí)驗(yàn)反演校正。

2 理論背景

數(shù)控小磨頭拋光的去除函數(shù)理論研究中，最經(jīng)典的方程是Preston方程：

(1)

其中p(x,y)為小磨頭與元件表面接觸的壓力分布，v(x,y)為小磨頭上一參考點(diǎn)與元件表面的相對(duì)速度的分布，K則是取決于材料性質(zhì)，溫度，拋光液濃度等參數(shù)的環(huán)境系數(shù)。

前人在研究去除函數(shù)性質(zhì)時(shí)，通常近似認(rèn)為壓力是均勻分布的，但實(shí)際上由于非球面加工中，與拋光盤(pán)接觸的面并不是平面，所以這種近似會(huì)帶來(lái)不小的誤差，也會(huì)大大降低小磨頭拋光這一環(huán)節(jié)的加工精度，為之后的磁流變，離子束的精修帶來(lái)更大的工作量。本文提出在進(jìn)行壓力分布仿真計(jì)算時(shí)，將拋光層近似當(dāng)作是彈性體，利用有限單元法進(jìn)行仿真。

3 去除函數(shù)分析的有限單元法

有限單元法建模分為單元分割，整體剛度矩陣建立，邊界條件添加，最終計(jì)算幾個(gè)步驟。立體結(jié)構(gòu)的分割單元通常有六面體單元、四面體單元以及等參數(shù)單元這幾類(lèi)，為方便建模，本文選取正六面體單元進(jìn)行建模。六面體單元及局部坐標(biāo)系如圖1所示。

圖1 正六面體示意圖Fig.1 Diagram of cube element

在六面體單元上建立局部坐標(biāo)系。令(ξ,η,ζ)為歸一化局部坐標(biāo)系，它們滿(mǎn)足式(2)關(guān)系：

(2)

其中d為所劃分立方體的邊長(zhǎng)，根據(jù)圖中各個(gè)頂點(diǎn)的標(biāo)號(hào)定義形狀函數(shù)為:

(i=1,2,…,8).

(3)

該單元的位移函數(shù)可以表示成形狀函數(shù)的線(xiàn)性疊加，疊加系數(shù)是對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)位移量:

(4)

位移函數(shù)的意義是可以將整個(gè)單元的位移近似地用頂點(diǎn)位移線(xiàn)性表示，而相應(yīng)的形狀函數(shù)值則表示為對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的“權(quán)重”，這也是有限單元法可以轉(zhuǎn)化為矩陣運(yùn)算的基礎(chǔ)。單元應(yīng)變向量可以寫(xiě)成式(5)：

(5)

其中B為幾何矩陣，δe為單元頂點(diǎn)位移向量：

B=[B1B2B3B4B5B6]

(6)

而根據(jù)著名的胡克定律[11]，單元的應(yīng)力與應(yīng)變之間應(yīng)滿(mǎn)足式(7)的關(guān)系：

{σ}={σxσyσzτxyτyzτxz}=Dε,

(7)

其中D為單元的彈性矩陣，其值僅取決于材料本身，E為彈性模量，μ為泊松比。根據(jù)虛功方程，在一定的虛位移向量Δδ下，有式(8)：

ΔδT·F=?Δεσdxdydz=ΔδT?BTDBdxdydz,

(8)

很容易由式(8)得到如下關(guān)系:

F=Kδ=?BTDBdxdydz·δ,

(9)

其中K稱(chēng)為單元?jiǎng)偠染仃?，有限單元法的核心思想就是先?gòu)建單元?jiǎng)偠染仃嚕賹⑵湔铣烧w剛度矩陣，分析整體結(jié)構(gòu)的位移與受力。對(duì)于正六面體單元，根據(jù)式(9)推導(dǎo)得K：

(10)

其中對(duì)于任意的Kij都有如下的形式：

(11)

k33、k22與k11的形式類(lèi)似，而其余項(xiàng)與k12的形式類(lèi)似。構(gòu)建整體剛度矩陣時(shí)對(duì)所有的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行編號(hào)，然后寫(xiě)成類(lèi)似式(9)的形式，將所有單元中對(duì)應(yīng)的分量都加入整體矩陣中，求和就可以得到整體剛度矩陣。本文選擇對(duì)圓柱形拋光盤(pán)進(jìn)行分析，采用圖2所示的劃分方式，從拋光盤(pán)中心向外根據(jù)網(wǎng)格參數(shù)進(jìn)行計(jì)數(shù)，只有當(dāng)一個(gè)單元的所有頂點(diǎn)都在圓內(nèi)時(shí)，才將此單元列入計(jì)算。

圖2 拋光盤(pán)單元?jiǎng)澐諪ig.2 Element division of polishing pad

接下來(lái)便根據(jù)邊界條件修改式(9),此時(shí)的邊界條件可近似表示如下：

(1) 拋光盤(pán)最下面一層的節(jié)點(diǎn)的z方向位移分布與和其接觸的非球面的局部面形相吻合；

(2) 拋光盤(pán)最上面一層所有節(jié)點(diǎn)的z方向位移相同；

(3) 根據(jù)整體的受力平衡有，上表面的節(jié)點(diǎn)受到總體向下的拋光力F，下表面節(jié)點(diǎn)受到總體向上的拋光力F。

邊界條件有多種添加方法，本文采用的是乘大數(shù)法以及罰函數(shù)法，條件(1)、(2)采用乘大數(shù)法，而條件(3)采用罰函數(shù)法進(jìn)行添加。放大系數(shù)的選取要經(jīng)過(guò)反復(fù)考量，以免使計(jì)算精度不夠。

4 結(jié)果與分析

4.1 受力分布仿真結(jié)果

由于拋光非球面時(shí)需要考慮表面的適應(yīng)能力，因此拋光盤(pán)不宜選取的太大或硬度太高，此處選取聚氨酯作為拋光材料，拋光盤(pán)半徑為15 mm，厚度為8 mm。將頂點(diǎn)曲率半徑為2 000 mm，偏心率e2為1的拋物非球面作為分析對(duì)象，分析位置定在頂點(diǎn)處，由于本文側(cè)重點(diǎn)在于分析去除函數(shù)的相對(duì)變化，因此Preston方程中的常系數(shù)設(shè)為1，具體的值需要根據(jù)實(shí)際實(shí)驗(yàn)去除量來(lái)調(diào)整。得到的拋光盤(pán)下表面的壓力分布如圖 3所示?？梢钥吹接捎谶x取的是凸非球面，因此在中心位置的壓力較大，而邊緣位置的壓力較小。在加工過(guò)程中去除函數(shù)往往是對(duì)一個(gè)平面元件經(jīng)過(guò)實(shí)驗(yàn)得到，相對(duì)于平面元件上拋光盤(pán)相對(duì)均勻的壓力分布，非球面上由非均勻壓力所產(chǎn)生的去除函數(shù)肯定與去除函數(shù)點(diǎn)實(shí)驗(yàn)得到的結(jié)果有較大差別。

圖3 頂點(diǎn)處壓力分布Fig.3 Pressure distribution in vertex

4.2 去除函數(shù)仿真優(yōu)化

小磨頭拋光通常采用的是行星模式[12]，磨頭的運(yùn)動(dòng)由公轉(zhuǎn)和自轉(zhuǎn)復(fù)合組成。此處根據(jù)通常的加工參數(shù)，設(shè)置公轉(zhuǎn)速度為πr/s,自轉(zhuǎn)速度設(shè)置為2πr/s，公轉(zhuǎn)半徑為8 mm，得到的去除函數(shù)如圖4(a)所示，再將自轉(zhuǎn)速度設(shè)置為-2πr/s，公轉(zhuǎn)半徑保持8 mm不變，得到的去除函數(shù)如圖4(b)所示。不難發(fā)現(xiàn)采用公自轉(zhuǎn)方向相反的加工模式并將公自轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)速比控制在-1/2較為合適，此時(shí)可以獲得更高的去除率，得到的去除函數(shù)輪廓也更接近高斯分布。為了分析在小磨頭加工非球面時(shí)公轉(zhuǎn)半徑對(duì)去除函數(shù)的影響，將公自轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)速比設(shè)置為-1/2，偏心距從0 mm到14 mm每隔2 mm取值，再將得到的去除函數(shù)沿x方向的數(shù)據(jù)取出，得到圖5。

圖4 公轉(zhuǎn)半徑為8 mm去除函數(shù)Fig.4 TIF with revolution radius of 8 mm

圖5 去除函數(shù)輪廓隨公轉(zhuǎn)半徑演變Fig.5 Evolution of TIF profile varies with radius of revolution

從圖中可以看出當(dāng)偏心距接近于0 mm時(shí)，去除函數(shù)呈現(xiàn)近似M型分布，而當(dāng)偏心距接近8 mm 時(shí)，去除函數(shù)慢慢向高斯型分布靠近，當(dāng)偏心距大于8 mm時(shí)，去除函數(shù)又開(kāi)始變回M型分布，因此6～10 mm是偏心距最優(yōu)的選擇范圍。另外，可以很直觀地發(fā)現(xiàn)，在此范圍內(nèi)的去除體積率也是最高的，兼具了加工精確性與高效率。利用本文方法可以方便地根據(jù)具體要加工的非球面面形調(diào)整偏心距與公自轉(zhuǎn)比等參數(shù)，從而得到理想的近高斯型的去除函數(shù)。

4.3 非球面上去除函數(shù)變化

由于大曲率、高陡度的非球面與拋光盤(pán)接觸部分的曲率隨加工位置變化明顯，因此分析出去除函數(shù)隨加工位置的變化趨勢(shì)是提高修形精度的關(guān)鍵。由于采用瀝青拋光的去除函數(shù)較采用聚氨酯拋光更加穩(wěn)定，且容易去除高頻誤差，得到更好的表面粗糙度結(jié)果，因此利用瀝青直接拋光非球面也是實(shí)際加工中經(jīng)常用的工序。通常在拋光非球面時(shí)會(huì)將瀝青盤(pán)制作成與頂點(diǎn)部分相吻合的類(lèi)球面曲面形狀，這樣可以減小由于表面彎曲導(dǎo)致的瀝青斷裂的風(fēng)險(xiǎn)，但是由于非球面不同位置的曲率不同，因此在頂點(diǎn)處貼合的很好的瀝青盤(pán)，到了其他位置將會(huì)與局部面形有微小出入。由于瀝青的彈性模量達(dá)到GPa級(jí)別，故微米級(jí)別的面形差也會(huì)對(duì)壓力分布產(chǎn)生明顯的影響。選取頂點(diǎn)曲率半徑為1 500 mm的拋物面作為分析對(duì)象，拋光層選取瀝青，厚度為6 mm，公轉(zhuǎn)半徑設(shè)置為8 mm，公自轉(zhuǎn)比為-1/2，在徑向0～400 mm間每隔50 mm選取一個(gè)加工位置。將去除函數(shù)的徑向輪廓進(jìn)行比對(duì)，就可以得到圖6。

圖6 去除函數(shù)輪廓隨徑向距離演變曲線(xiàn)Fig.6 Evolution curves of TIF profile varies with radial distances

從圖6可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)加工位置從頂點(diǎn)處向400 mm徑向位置移動(dòng)時(shí)，去除函數(shù)的徑向輪廓由高斯型轉(zhuǎn)向接近M型，主要原因是隨著加工位置向外移動(dòng)，局部曲率半徑在變大，因此瀝青表面與非球面表面的面形差趨于凹形，導(dǎo)致靠近公轉(zhuǎn)中心的壓力變小，去除函數(shù)形成了中間低，兩側(cè)高的形狀。

4.4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果比對(duì)

為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文理論的適用性，在4 mm厚的瀝青層下附加一層2 mm厚的聚氨酯拋光墊，拋光盤(pán)半徑為15 mm，附加0.15 MPa的氣缸壓強(qiáng)。由于本文側(cè)重于分析局部面形變化對(duì)拋光壓力分布的影響，考慮到實(shí)驗(yàn)成本與效率，將拋光盤(pán)制作成平面形狀，實(shí)驗(yàn)工件選取曲率半徑為1 000 mm的凹球面，面形數(shù)據(jù)利用輪廓儀測(cè)量得到，掃描方向沿球面的徑向方向，去除函數(shù)實(shí)驗(yàn)中選取的公轉(zhuǎn)速率為60 r/min，自轉(zhuǎn)速率為100 r/min，偏心距為8 mm，經(jīng)過(guò)3 min的去除。將打點(diǎn)之后的球面面形數(shù)據(jù)記錄下來(lái)，與實(shí)驗(yàn)前的面形數(shù)據(jù)作差，并進(jìn)行歸一化處理，同時(shí)根據(jù)本文提出的有限單元法得到該拋光盤(pán)在球面上的壓力分布，進(jìn)而得到仿真的去除函數(shù)，同時(shí)仿真得到將壓力均勻分布情況下的去除函數(shù)，將歸一化處理之后的結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行比對(duì)，就得到了圖7。

圖7 去除函數(shù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.7 Experiment results of TIF

可以發(fā)現(xiàn)在偏心距為8 mm時(shí)，實(shí)驗(yàn)得到的去除函數(shù)在中心位置有凹陷，呈現(xiàn)M型分布，而根據(jù)均勻分布得到的去除函數(shù)則呈現(xiàn)高斯型分布，利用本文理論計(jì)算得到的去除函數(shù)也呈現(xiàn)了M型分布，顯示了在線(xiàn)型分布上的一致性。

為了定量描述結(jié)果的相似性，引入了皮爾遜相關(guān)系數(shù)來(lái)描述數(shù)據(jù)的相關(guān)性。皮爾遜相關(guān)系數(shù)

定義如下：

(12)

經(jīng)過(guò)計(jì)算得到均勻分布下的皮爾遜系數(shù)為0.965，而基于本文理論仿真得到的去除函數(shù)的皮爾遜系數(shù)為0.977，優(yōu)于均勻分布的結(jié)果。說(shuō)明了本文理論對(duì)由于壓力分布改變導(dǎo)致的局部面形變化的去除函數(shù)優(yōu)化方面有一定效果。

5 結(jié) 論

基于有限單元法分析了非球面的小磨頭拋光中拋光壓力的分布情況，并基于雙轉(zhuǎn)子行星模型模擬了相應(yīng)的去除函數(shù)，通過(guò)更改參數(shù)發(fā)現(xiàn)公轉(zhuǎn)半徑是影響去除函數(shù)性能的最主要參數(shù)，經(jīng)過(guò)一系列運(yùn)算得出在拋光盤(pán)半徑為15 mm時(shí)，公轉(zhuǎn)半徑最佳為6～10 mm，此時(shí)去除函數(shù)具有類(lèi)高斯型式。分析了瀝青拋光盤(pán)在非球面上不同加工位置處的去除函數(shù)。針對(duì)常用的在瀝青拋光盤(pán)上附著聚氨酯拋光墊的拋光方法，在曲率半徑為1 000 mm的球面鏡片上進(jìn)行了去除函數(shù)實(shí)驗(yàn)。結(jié)果表明基于本文理論仿真得到的去除函數(shù)在線(xiàn)型與相關(guān)性上更接近實(shí)際結(jié)果。此處未考慮拋光材料在拋光過(guò)程中的流變性，后續(xù)工作以此為切入點(diǎn)展開(kāi)。本文為小磨頭非球面拋光提供了一種方便、快捷的優(yōu)化去除函數(shù)方法，對(duì)于提高加工效率與精度有實(shí)際的指導(dǎo)意義。

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Tool influence function in aspheric polishing under dynamic pressure distribution

LI Xu-yu, WEI Chao-yang*, XU Wen-dong, SHAO Jian-da

(ShanghaiInstituteofOpticsandFineMechanics,ChineseAcademyofSciences,Shanghai201800,China) *Correspondingauthor,E-mail:siomwei@siom.ac.cn

By taking the effect of Tool Influence Function(TIF) used in the NC program on the polishing accuracy for optical elements into account, the method how to obtain the optimized TIF based on the aspheric parameters to be polished and polishing pad parameters is proposed. As the key to calculate the TIF of aspheric elements is to obtain accurately the dynamic pressure distribution between polishing pad and mirror, this paper analyzes the pressure distribution between polishing pad and mirror by finite element method and obtains the TIFs in different positions on the aspheric surface by classic Preston equation and planet motion. The variation tendency of the pitch polishing pad in polishing an aspheric element is analyzed in different polishing positions based on the dynamic pressure distribution model. The TIF spot experiment is carried out on an aspheric element with a curvature of 1 000 mm. The result shows that the shape of TIF simulated by the theory introduced in the paper is more similar with that of the actual situation, and the Pearson correlation coefficient reaches 0.977. It concludes that the method can obtain the pressure distribution conveniently by changing the parameter of polishing position and can optimize the TIFs, which provides a theoretical basis for improving polishing efficiency and polishing accuracy.

aspheric polishing; dynamic pressure distribution; curvature-changing tool influence function; Finite element method

2016-10-21；

2016-11-17.

中國(guó)科學(xué)院青年創(chuàng)新促進(jìn)會(huì)科研基金資助項(xiàng)目；國(guó)家重大科技專(zhuān)項(xiàng)資助項(xiàng)目

1004-924X(2016)12-3061-07

TH703；TN305.2

:Adoi:10.3788/OPE.20162412.3061

李徐鈺(1992-)，男，江蘇常州人，博士研究生，2014年于東南大學(xué)獲得學(xué)士學(xué)位,主要研究先進(jìn)非球面制造與檢測(cè)技術(shù)。E-mail: jsczlixuyu@sina.cn

魏朝陽(yáng)(1980-)，男，副研究員，碩士生導(dǎo)師，2002年于鄭州大學(xué)光電子技術(shù)專(zhuān)業(yè)獲得學(xué)士學(xué)位,2007年于中國(guó)科學(xué)院上海光學(xué)精密機(jī)械研究所獲得博士學(xué)位，現(xiàn)為中科院上海光學(xué)精密機(jī)械研究所在讀博士研究生，主要研究方向包括先進(jìn)光學(xué)制造、檢測(cè)技術(shù)和激光破壞等。E-mail: siomwei@siom.ac.cn