趙 燕

(山西省機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)部，山西 長(zhǎng)治 046001)

非高斯噪聲激勵(lì)下雙穩(wěn)系統(tǒng)的平均首次穿越時(shí)間

趙 燕

(山西省機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)部，山西 長(zhǎng)治 046001)

研究了非高斯噪聲激勵(lì)下的雙穩(wěn)系統(tǒng)，應(yīng)用路徑積分和統(tǒng)一色噪聲近似的方法得到系統(tǒng)的定態(tài)概率密度和平均首次穿越時(shí)間的表達(dá)式.發(fā)現(xiàn)了噪聲強(qiáng)度、偏離參數(shù)及自相關(guān)時(shí)間均不能誘導(dǎo)非平衡相變發(fā)生；非高斯噪聲強(qiáng)度D和加性噪聲強(qiáng)度Q的增加有利于粒子的逃逸；自相關(guān)時(shí)間τ0的增加會(huì)阻礙粒子的逃逸；當(dāng)非高斯噪聲強(qiáng)度D較小時(shí)，非高斯噪聲參數(shù)p值增大會(huì)阻礙粒子的逃逸，當(dāng)D增加到一定值時(shí)，p值的增大就會(huì)利于粒子的逃逸.

雙穩(wěn)系統(tǒng)；非高斯噪聲；定態(tài)概率密度；平均首次穿越時(shí)間

噪聲根據(jù)統(tǒng)計(jì)性質(zhì)通常分為高斯噪聲和非高斯噪聲兩類(lèi).一般高斯噪聲便于運(yùn)算處理，而非高斯噪聲[1]屬于非馬爾科夫過(guò)程不容易處理，所以研究非高斯噪聲的文章較少.近20年，人們對(duì)雙穩(wěn)系統(tǒng)的研究有很多，靳艷飛等[2]研究了色關(guān)聯(lián)的色噪聲驅(qū)動(dòng)的雙穩(wěn)杜芬模型的穩(wěn)態(tài)分析，羅曉勤等[3]討論了由兩種不同色噪聲驅(qū)動(dòng)的雙穩(wěn)系統(tǒng)的隨機(jī)共振現(xiàn)象.非高斯噪聲驅(qū)動(dòng)的雙穩(wěn)系統(tǒng)的研究是一篇基礎(chǔ)性的研究.

本文主要研究了非高斯噪聲激勵(lì)下雙穩(wěn)系統(tǒng)的定態(tài)概率密度和平均首次穿越時(shí)間，應(yīng)用路徑積分法將非高斯噪聲處理成高斯色噪聲，根據(jù)統(tǒng)一色噪聲理論近似得到系統(tǒng)的FPK方程和定態(tài)概率密度函數(shù).用平均首次穿越時(shí)間的定義得到粒子在兩個(gè)穩(wěn)態(tài)之間的躍遷時(shí)間的表達(dá)式，討論了非高斯加性噪聲強(qiáng)度Q，乘性噪聲強(qiáng)度D、偏離參數(shù)p及關(guān)聯(lián)時(shí)間τ0對(duì)定態(tài)概率密度和平均首次穿越時(shí)間的影響.

1 雙穩(wěn)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)定態(tài)概率密度函數(shù)

由乘性非高斯噪聲和加性白噪聲激勵(lì)下的雙穩(wěn)杜芬系統(tǒng)模型，其遵循的朗之萬(wàn)方程為：

(1)

(2)

其中U(x)是杜芬的雙穩(wěn)勢(shì)阱，有兩個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)x1=-1，x2=1和一個(gè)不穩(wěn)定點(diǎn)x0=0,η(t)是非高斯噪聲，具有下列分布：

(3)

式中p表示非高斯噪聲η(t)偏離高斯分布的程度，顯然p≠1(若p=1，則η(t)不再是非高斯噪聲，成為自相關(guān)時(shí)間為τ0，噪聲強(qiáng)度為D的高斯色噪聲)；ε(t)和ξ(t)都是具有零均值的相關(guān)白噪聲，其統(tǒng)計(jì)性質(zhì)如下：

〈ε(t)〉=0，〈ε(t)ε(t′)〉=2Dδ(t-t′)

〈ξ(t)〉=0，〈ξ(t)ξ(t′)〉=2Qδ(t-t′)

〈ε(t)ξ(t′)〉=〈ξ(t)ε(t′)〉=0

(4)

其中，D和Q分別是高斯白噪聲ε(t)和ξ(t)的噪聲強(qiáng)度.非高斯噪聲η(t)的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)如下：

〈η(t)〉=0

(5)

(6)

這里ε1(t)為高斯白噪聲，

〈ε1(t)〉=0，

〈ε1(t)ε1(t′)〉=2D1δ(t-t′)，

〈ε1(t)ξ(t′)〉=〈ξ(t)ε1(t′)〉=0

(7)

這里的τ1和D1為有效噪聲的相關(guān)時(shí)間和有效噪聲強(qiáng)度

(8)

此時(shí)，非高斯噪聲η(t)近似為關(guān)聯(lián)時(shí)間為τ1，噪聲強(qiáng)度為D1的高斯色噪聲.再利用統(tǒng)一色噪聲近似[5]求解出方程(1)的近似FPK方程表達(dá)式：

(9)

其中，

(10)

根據(jù)方程(9)和方程(10)得近似的穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)為:

(11)

(12)

經(jīng)過(guò)計(jì)算得：

(13)

圖1 定態(tài)概率密度函數(shù)pst(x)在不同乘性噪聲強(qiáng)度D的變化曲線Q=0.5,p=0.5，τ0=0.3

圖2 定態(tài)概率密度函數(shù)pst(x)在不同加性噪聲強(qiáng)度Q的變化曲線D=0.5,p=0.5，τ0=0.3

圖3 定態(tài)概率密度函數(shù)pst(x)在不同非高斯參數(shù)p的變化曲線D=0.5，Q=0.5，τ0=0.3

圖4 定態(tài)概率密度函數(shù)pst(x)在不同自相關(guān)時(shí)間τ0的變化曲線D=0.5，Q=0.5，p=0.5

圖1～4中，我們觀察到非高斯噪聲的噪聲強(qiáng)度D，非高斯參數(shù)p，自相關(guān)時(shí)間τ0和加性噪聲強(qiáng)度Q變化時(shí)，穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)pst(x)的雙峰始終對(duì)稱(chēng)出現(xiàn)在x=±1附近，pst(x)的谷底始終在x0=0處.當(dāng)非高斯噪聲的噪聲強(qiáng)度D值從0增加到0.25時(shí)，pst(x)的峰值先快速變大，但隨著D值得繼續(xù)增加，峰值出現(xiàn)下降；同時(shí)隨著D值得增加，谷值單調(diào)升高.隨著加性噪聲強(qiáng)度Q值的增加，pst(x)的峰值逐漸降低，谷值先升高后有略微的降低.隨著非高斯參數(shù)p值的增加，pst(x)的峰值逐漸降低，谷值基本變化不大.自相關(guān)時(shí)間τ0和加性噪聲Q對(duì)穩(wěn)態(tài)概率的影響相反，隨著τ0值的增加，pst(x)的峰值逐漸上升，谷值逐漸下降.綜上4圖可以發(fā)現(xiàn)pst(x)圖形始終是對(duì)稱(chēng)的雙峰結(jié)構(gòu).因此，乘性非高斯噪聲強(qiáng)度D和加性噪聲強(qiáng)度Q、偏離參數(shù)p及自相關(guān)時(shí)間τ0均不能誘導(dǎo)非平衡相變發(fā)生.

2 非高斯噪聲驅(qū)動(dòng)的FHN模型的平均首次穿越時(shí)間

根據(jù)平均首次穿越時(shí)間的定義和最速下降法得到：粒子從一個(gè)穩(wěn)態(tài)到另一個(gè)穩(wěn)態(tài)的平均首次穿越時(shí)間為：

(14)

圖5 T+作為乘性噪聲強(qiáng)度D的函數(shù)隨不同的偏離參數(shù)p變化的曲線Q=0.1，τ0=0.1

圖6 T-作為乘性噪聲強(qiáng)度D的函數(shù)隨不同的自相關(guān)時(shí)間τ0變化的曲線Q=0.1，p=0.5

圖7 T+作為加性噪聲強(qiáng)度Q的函數(shù)隨不同的偏離參數(shù)p變化的曲線D=0.1，τ0=0.1

圖8 T-作為加性噪聲強(qiáng)度Q的函數(shù)隨不同的自相關(guān)時(shí)間τ0變化的曲線D=0.1，p=0.5

從圖5～8可以看到平均首通時(shí)間T隨非高斯噪聲的噪聲強(qiáng)度D值和加性噪聲強(qiáng)度Q值的增加而減少，說(shuō)明乘性非高斯噪聲強(qiáng)度D和加性噪聲強(qiáng)度Q會(huì)加速粒子的躍遷.在圖5中，平均首通時(shí)間T并不是隨著非高斯噪聲參數(shù)p值的增加而單調(diào)變化的，當(dāng)非高斯噪聲的噪聲強(qiáng)度D<0.015時(shí)，平均首通時(shí)間T隨p的增大而增大；當(dāng)D≥0.015時(shí)，平均首通時(shí)間T隨p的增大而減小，即當(dāng)D<0.015時(shí)，非高斯噪聲參數(shù)p的增大阻礙了粒子的躍遷，當(dāng)D≥0.015時(shí)，p的增大利于粒子的躍遷.觀察圖6可知，固定D值，平均首通時(shí)間T隨著自相關(guān)時(shí)間τ0的增加而增加.說(shuō)明自相關(guān)時(shí)間的增大會(huì)阻礙粒子的躍遷.從圖7看到，當(dāng)加性噪聲強(qiáng)度Q<0.01時(shí),平均首通時(shí)間T隨著Q值的增加驟降，當(dāng)Q≥0.01時(shí)，均首通時(shí)間T在緩慢的幾乎趨于平緩的下降.圖8看到，固定Q值時(shí)，自相關(guān)時(shí)間τ0的增加幾乎不會(huì)改變平均首通時(shí)間T.

3 結(jié)論

文中得到了由乘性非高斯噪聲及加性白噪聲共同驅(qū)動(dòng)的雙穩(wěn)模型的定態(tài)概率密度和平均首次穿越時(shí)間的表達(dá)式.發(fā)現(xiàn)非高斯噪聲和加性噪聲均不能誘導(dǎo)非平衡相變的發(fā)生；非高斯噪聲強(qiáng)度D值和加性噪聲強(qiáng)度Q值的增加會(huì)減少粒子在兩穩(wěn)態(tài)之間的躍遷時(shí)間；當(dāng)非高斯噪聲強(qiáng)度D較小時(shí)，非高斯噪聲參數(shù)p值增大會(huì)增加粒子在兩個(gè)穩(wěn)態(tài)間的躍遷時(shí)間，當(dāng)D增加到一定值時(shí)，p值的增大會(huì)縮短粒子在兩個(gè)穩(wěn)態(tài)間的躍遷時(shí)間；當(dāng)加性噪聲強(qiáng)度Q較小時(shí)，非高斯噪聲參數(shù)p對(duì)平均首通時(shí)間T的影響較大，即p值的增加會(huì)明顯的降低粒子在兩勢(shì)阱之間的躍遷時(shí)間，當(dāng)Q較大時(shí)，p對(duì)平均首通時(shí)間T的影響程度減小，即p值的增加仍然會(huì)降低粒子在兩勢(shì)阱之間的躍遷時(shí)間；非高斯噪聲的自相關(guān)時(shí)間τ0的增加會(huì)延長(zhǎng)粒子在兩個(gè)穩(wěn)態(tài)之間的躍遷時(shí)間.

[1]WIESENFELDK,PIERSOND,PANTAZELOUE,etal.Stochasticresonanceonacircle[J].Phys.Rev.Lett,1994,72:2125-2129.

[2] 靳艷飛，徐偉，李偉，等.色關(guān)聯(lián)的色噪聲驅(qū)動(dòng)的雙穩(wěn)杜芬模型的穩(wěn)態(tài)分析[J].動(dòng)力學(xué)與控制學(xué)報(bào)，2005,3(2):62-67.

[3]LUOXQ,ZHUSQ.Stochasticresonancedrivenbytwodifferentkindofcolorednoiseinabistablesystem[J].Phys.Rev.E,2003,67:1104-1113.

[4]FUENTESMA,TORALR,WIOHS.Enhancementofstochasticresonance:Theroleofnon-Gaussiannoise[J].PhysicaA, 2001,295:114-122.

[5]CAOL,WUDJ,KESZ.Bistablekineticmodeldrivenbycorrelatednoises:Unifiedcolored-noiseapproximation[J].Phys.Rev.E,1995,52(3):3228-3231.

[責(zé)任編輯 王新奇]

The Mean First Passage Time for A Bi-stable System Drivenby Non-Gaussian Noise

ZHAO Yan

(Basic Department, Shanxi Institute of Mechanical & Electrical Engineering, Changzhi 046001, China)

In this paper, the bi-stable system driven by non-Gaussian noise is studied. The expressions of the stationary probability distribution and the mean first-passage time are obtained through the approach and the unified colored noise approximation. The results show that the path-integral intensity of noise, the derivation parameter and the self correlation time cannot induce phase transition. The increase of the non-Gaussian noise intensity and additive noise intensity enhance the escape, while increase of the self correlation time reduces the escape. When the D value of non-Gaussian noise intensity is small, the p value increase of non-Gaussian noise parameter can hinder the particle’s escape; when the D value of non-Gaussian noise intensity is added to a certain value, the increase of p value will be conducive to the particle’s escape.

bi-stable system; non-Gaussian noise; steady state probability distribution; mean first passage time

1008-5564(2016)05-0021-05

2016-03-19

趙 燕(1982—)，女，山西長(zhǎng)治人，山西機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部講師，理學(xué)碩士，主要從事非線性動(dòng)力隨機(jī)系統(tǒng)研究.

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