內蒙古師范大學附屬中學

張 生 蘇 猛 (郵編：611731)

?

一類復合函數(shù)問題的圖象解題法及啟示

內蒙古師范大學附屬中學

張 生 蘇 猛 (郵編：611731)

形如y=f[f(x)]的復合函數(shù)相關問題，在近幾年的高考中屢見不鮮，(如2006年湖北理科、2009年福建理科第10題、2012年江蘇理科第18題、2013年安徽理科第10題、2014年浙江理科第15題、2015年山東理科第10題等)，常以壓軸選擇題或填空題的形式考查，相關資料對該類問題的解答通常為分類討論，過程繁雜且不易于學生接受，更談不上舉一反三、觸類旁通了.那么，如何獲得解決該類問題的簡潔而又通用的方法呢？經(jīng)過對比研究，筆者從復合函數(shù)角度出發(fā)，利用換元思想，給出解決此類問題的一種通用圖象解法(針對易畫函數(shù)圖象的問題).

為了解決上述問題，我們可以先研究以下幾個問題，為解題思路做必要的鋪墊，以便更好地理解.

1 預設問題

問題1 函數(shù)y=f(x)(x∈R)和y=f(t)(t∈R)是不是同一函數(shù)？

設計意圖 理解成為同一函數(shù)的兩個基本要求：對應關系與定義域，而與自變量的表現(xiàn)形式無關.

問題2 能在同一坐標系中畫兩個函數(shù)圖象嗎？

設計意圖 由于自變量表現(xiàn)形式不同，故可引導學生從不同的坐標系(分別在直角坐標系xOy和直角坐標系tOy中畫圖)中畫函數(shù)圖象，且圖象應保持一致，為引例的解決做好鋪墊.

問題3 函數(shù)y=f(t)和t=f(x)是不是同一函數(shù)，在不同直角坐標系下的圖象是否一致？

設計意圖 強化對同一函數(shù)要求的理解，應分情況討論.另外，為將復合函數(shù)y=f[f(x)]利用換元思想寫成函數(shù)y=f(t)和函數(shù)t=f(x)做準備.

2 圖解引例

通過換元，借助函數(shù)y=f(t)和y=2t的圖象可解決分解問題1(圖1)：

圖1

圖2

由圖1知，滿足f(t)=2t的t的取值范圍是t≥1,而t的取值范圍與a的取值范圍又有關聯(lián)，即f(a)≥1.借助函數(shù)t=f(a)的圖象解決分解問題2(圖2)：

綜上，我們可歸納出解決該類問題的一般性方法：

(1)先進行換元，將復合函數(shù)y=f[f(x)]利用換元思想寫成兩個函數(shù)y=f(t)和t=f(x);

(2)分別在直角坐標系tOy和直角坐標系xOt中畫出函數(shù)y=f(t)和t=f(x)的圖象.這里需要說明的是，一般情況下，兩幅函數(shù)圖象應該不一致，只有當自變量t與自變量x的取值范圍相同時，圖象保持一致.但在具體作圖中，未考慮自變量t與自變量x的取值范圍，將兩幅圖畫得完全一致，也不影響解題，請讀者自行研究其原理.

(3)在直角坐標系tOy中，借助函數(shù)y=f(t)的圖象求出t的范圍(分解問題1)，再在直角坐標系xOt中，利用函數(shù)t=f(x)的圖象求出x的范圍(分解問題2).

以上解法很好地回避了分類討論過程，將整個解題過程以圖形方式直觀地呈現(xiàn)出來，易于學生理解與接受，同時注重了函數(shù)教學中需強化的數(shù)形結合思想.

3 變式與拓展

在解題教學中，應注重高效、通透的原則，可以設置有價值的問題串進行加深與拓展，從而提高教學質量，保證教學效果.

針對引例，我們可以設置如下問題：

設計意圖 抓住問題實質，加深對解題方法的理解.

設計意圖 將函數(shù)改為非單調函數(shù)，換元時應注意新變量的范圍.

滿足f{f[f(a)]}>2的a的取值范圍是______.

設計意圖 進行必要的拓展訓練，深化解題方法的應用.鼓勵學生勇于探究，敢于追問.

4 啟示與感悟

如何提高學生的解題能力？如何培養(yǎng)學生的探究能力？應從解題策略的研究與指導開始，鼓勵學生鉆研問題，從根本上理解、吃透，方能達到舉一反三、觸類旁通之功效.同時，應重視培養(yǎng)學生養(yǎng)成良好的解題習慣，認真審題就是重要的好習慣.通過認真審題來搞清：條件有哪些，目標是什么，如何從條件出發(fā)達到目標，可以采用什么樣的數(shù)學思想方法及技巧，解后反思、收獲有哪些等，鼓勵學生多從優(yōu)化解題過程方面進行深入研究，以達到“做一題，通一類，帶一片”的高效解題效應.

2016-09-12)