陳學(xué)慧，趙魯濤，張志剛

(北京科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院，北京100083)

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案例式中心極限定理教學(xué)研究

陳學(xué)慧，趙魯濤，張志剛

(北京科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院，北京100083)

[摘要]以案例教學(xué)法作為中心極限定理教學(xué)的主要手段，選取貼近實(shí)際生活的案例——合理規(guī)劃用電問題和競爭問題，作為教學(xué)切入點(diǎn)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)際情景中發(fā)現(xiàn)問題解決問題.課堂實(shí)踐表明，案例式教學(xué)加深了學(xué)生對中心極限定理的理解和應(yīng)用，開闊了學(xué)生視野，并對促進(jìn)課堂教學(xué)，課程建設(shè)，師生能力提高都有重要意義.

[關(guān)鍵詞]中心極限定理; 競爭問題; 正態(tài)分布; 案例式教學(xué)

1引言

概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究探索客觀世界隨機(jī)現(xiàn)象規(guī)律性的一門數(shù)學(xué)學(xué)科，它以隨機(jī)現(xiàn)象為研究對象，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要分支，在金融、保險、經(jīng)濟(jì)與企業(yè)管理、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、醫(yī)學(xué)、地質(zhì)學(xué)、氣象與自然災(zāi)害預(yù)報等諸多領(lǐng)域都起著非常重要的作用[1].作為概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程中一個非常重要的定理，中心極限定理在概率論與數(shù)理統(tǒng)計的知識體系中起著承上啟下的作用，數(shù)理統(tǒng)計中大多統(tǒng)計方法基本以中心極限定理為理論基礎(chǔ).利用中心極限定理，自然界與生產(chǎn)中許多紛亂復(fù)雜的隨機(jī)變量序列和的分布可以利用正態(tài)分布近似，而正態(tài)分布有著許多重要完美的結(jié)論，從而可以獲得普遍適用的統(tǒng)計分析方法和結(jié)論.中心極限定理有著廣泛的實(shí)際應(yīng)用背景，在數(shù)理統(tǒng)計、管理決策、近似計算以及保險業(yè)等諸多領(lǐng)域中有著重要的應(yīng)用價值.

中心極限定理是概率論與數(shù)理統(tǒng)計學(xué)科教學(xué)中的一個難點(diǎn)，學(xué)生難以短時間內(nèi)理解，為了使學(xué)生掌握定理并能很好的運(yùn)用定理解決問題，不少教師在其教學(xué)方法上進(jìn)行了探討.案例式教學(xué)是教學(xué)改革的有效方式[2]，它不同于傳統(tǒng)的教學(xué)方法，是一種以案例為基礎(chǔ)的教學(xué)，教師在教學(xué)中扮演著設(shè)計者和激勵者的角色，引導(dǎo)激發(fā)學(xué)生積極參與分析問題和解決問題，加深學(xué)生對中心極限定理的理解和應(yīng)用.本文將重點(diǎn)研究如何選取貼近現(xiàn)實(shí)生活的實(shí)例，并按照“案例導(dǎo)入、提出問題、分析求解和思考拓展”的順序， 由易而難、逐漸深入的對相關(guān)模型和應(yīng)用進(jìn)行講授分析.

2案例導(dǎo)入

案例1(住宅小區(qū)用電規(guī)劃問題)城市設(shè)計院對某住宅小區(qū)設(shè)計時估算用電負(fù)荷，設(shè)該小區(qū)有300戶居民，晚5∶30-7∶30每戶居民使用電器總功率Xi~U(1，3) (單位:kW)， 則該小區(qū)用電負(fù)荷設(shè)計至少多大才能以0.99的概率保證居民正常用電？

引導(dǎo)學(xué)生分析設(shè)用電負(fù)荷設(shè)計為hkW，記Y為該小區(qū)總電器功率(單位：kW)，則

(1)

注意到 X1，X2，…，X300相互獨(dú)立，即由

P{Y≤h}≥0.99，

求h.于是，需要知道300個獨(dú)立的隨機(jī)變量和的分布，那么這大量隨機(jī)變量和的分布該如何計算呢？

案例2(競爭問題)假設(shè)北京與廣州之間有兩個不同航空公司的航班，兩個航班的機(jī)型、出發(fā)到達(dá)時間及價格都相同. 現(xiàn)假定有500位乘客選乘哪一航班是相互獨(dú)立且是等可能的，且飛機(jī)的成本入座率是75%，問飛機(jī)設(shè)置多少座位可使航班虧損的概率控制在0.05？

引導(dǎo)學(xué)生分析記X為500人中選乘某航班的人數(shù)，設(shè)飛機(jī)設(shè)有s個座位.由題意，由P{X<0.75·s} =0.05，求s，注意到X服從二項(xiàng)分布B(500，0.5)，但直接求s計算非常復(fù)雜，無法求出.若將X看成500個兩點(diǎn)分布的和，那么大量隨機(jī)變量和的分布的極限分布會是什么分布呢？

案例3(觀察實(shí)驗(yàn))

(i) n個獨(dú)立同均勻分布的隨機(jī)變量的和的分布

圖1　獨(dú)立同均勻分布的隨機(jī)變量的和的分布圖

(ii) n個獨(dú)立同泊松分布的隨機(jī)變量的和的分布

圖2　獨(dú)立同泊松分布的隨機(jī)變量的和的分布圖

引導(dǎo)學(xué)生觀察兩組分布圖，直觀地看出獨(dú)立隨機(jī)變量和的分布的趨向——正態(tài)分布.

3提出中心極限定理

中心極限定理研究的是在什么條件下，獨(dú)立隨機(jī)變量和的極限分布是正態(tài)分布.為使學(xué)生真正理解中心極限定理的內(nèi)涵，解釋以下四個問題：

(i) 為什么中心極限定理研究和的極限分布，而不是精確分布？

(ii) 為什么獨(dú)立隨機(jī)變量和的極限分布是正態(tài)分布，而不是別的分布？

(iii) 如何描述極限分布是正態(tài)分布？

(iv) 為什么稱為中心極限定理，這個“中心”是什么意思？

3.1　列維-林德貝格中心極限定理

(ii)?i，E(Xi)=μ，D(Xi)=σ2，0<σ2<∞.

(2)

并具有應(yīng)用形式

(3)

或者

(4)

3.2　隸莫佛-拉普拉斯中心極限定理

(5)

一般在實(shí)際應(yīng)用中， 若X~B(n，p)，當(dāng)n較大時， 可使用如下近似公式

(6)

或者

(7)

4分析求解

案例1求解因?yàn)閄i~U(1，3)，所以EXi=2，DXi=1/3，可以求得

EY=600，DY=102，

由列維—林德貝格定理知

因此

查表得Φ(2.33)=0.9901，求得h≥623.3，即該小區(qū)用電負(fù)荷設(shè)計至少為623.3千瓦時，才能以0.99的概率保證居民正常用電.

案例2求解因?yàn)閄服從二項(xiàng)分布B(500，0.5) 易算得：

EX=250，DX=125，

由中心極限定理知

因此

從中解得s≈309.即航空公司選購309個座位的飛機(jī)，可使入座率小于75%的概率控制在0.05.

5Matlab實(shí)現(xiàn)與拓展思考

利用Matlab軟件強(qiáng)大的計算功能，得到座位數(shù)s與損失概率

的函數(shù)關(guān)系α=f(s)，如圖3所示：

圖3中，橫坐標(biāo)為設(shè)置座位數(shù)，縱坐標(biāo)為損失概率，顯然隨著座位數(shù)的增多，飛機(jī)虧損的概率嚴(yán)格單調(diào)遞增，在座位數(shù)333附近的區(qū)間(309，358)內(nèi)數(shù)值變化劇烈，正好符合正態(tài)分布“中間大兩頭小”的特性.隨著座位數(shù)的減小，損失的概率趨于0.

圖3　座位數(shù)與虧損概率函數(shù)關(guān)系圖

思考拓展1飛機(jī)座位越少越好嗎？

分析不是.座位少可能引起乘客人員的損失，所以應(yīng)該是在飛機(jī)控制在較低虧損可能性的情況下，使飛機(jī)的收益最大化.讓同學(xué)課后思考，比較普通的空客客機(jī)A330與南航巨無霸A380，在競爭中，誰盈利的可能性更大.

思考拓展2同一航線上如果有多個航空公司競爭，如何設(shè)置飛機(jī)座位？

分析設(shè)有m個航班競爭n位乘客，航班的成本入座率為k， 選乘某個航班的顧客數(shù)X服從二項(xiàng)分布B(n， 1/m)，航空公司給定一個虧損風(fēng)險a， 座位數(shù)設(shè)為s， 據(jù)題意：由

P{X

求 s.

由中心極限定理知

所以有

(8)

進(jìn)而得到s=g(α，k，n，m)關(guān)系式為

(9)

當(dāng)給定α=0.05， k=0.75， n=1000 時，計算出s=g1(m)如圖4所示.

圖4　座位數(shù)s與航班數(shù)m的函數(shù)關(guān)系圖

由此可以看出，競爭者增多，只要機(jī)型選擇適當(dāng)，仍可保證航班的盈利.引導(dǎo)學(xué)生思考類似問題，比如某地區(qū)多家電影院競爭觀眾的座位設(shè)置問題以及某區(qū)域幼兒園的規(guī)模設(shè)置問題等.

6結(jié)論

案例式教學(xué)研究中，城市用電規(guī)劃問題和競爭問題是我們生活中常見問題.采用中心極限定理來解決上述問題，引導(dǎo)學(xué)生對實(shí)際問題進(jìn)行觀察分析，建立實(shí)際例題與中心極限定理之間的聯(lián)系，獲得實(shí)用而簡單的統(tǒng)計分析方法和結(jié)論.實(shí)際上，生活中有許多事物，都可以用概率的眼光去發(fā)現(xiàn)研究.通過對實(shí)例的分析，意在培養(yǎng)學(xué)生自覺主動地用課堂上悟到的思想去分析他所見到的，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，是大學(xué)數(shù)學(xué)教師的責(zé)任和追求.

[參考文獻(xiàn)]

[1]范玉妹，王萍，汪飛星，李娜.概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M]. 2版.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2012.

[2]徐群芳.《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》課堂教學(xué)的探索與實(shí)踐[J]. 大學(xué)數(shù)學(xué)，2010，26(1):10-13.

The Study on Case-based Teaching Method of

Central Limit Theorem

CHENXue-hui，ZHAOLu-tao,ZHANGZhi-gang

(School of Mathematics and Physics， University Of Science and Technology Beijing， Beijing 100083， China)

Abstract:An actual case is chose for central limit theorem by case-based teaching method， which is the issue on reasonable planning of electricity usage and the competitive consideration. Moreover it will motivate the interests of students and guide them to find and solve problems. Practices in class indicated that case teaching method deepened the comprehension on central limit theorem， widen their views. It has important significance for the improvement of class teaching， curricula construction and capacity improving of teachers and students.

Key words:central limit theorem; the problem of competition; normal distribution; case-based teaching

[基金項(xiàng)目]北京高等學(xué)校青年英才計劃項(xiàng)目(YETP0386)

[收稿日期]2015-02-15

[中圖分類號]O21

[文獻(xiàn)標(biāo)識碼]C

[文章編號]1672-1454(2015)02-0114-05