王泓博

(合肥工業(yè)大學電氣與自動化工程學院2012級，合肥230009)

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一道數學競賽題的探討

王泓博

(合肥工業(yè)大學電氣與自動化工程學院2012級，合肥230009)

[摘要]對浙江省高等數學競賽題的一道試題給出了新的解法，同時提出了若干類似問題并給出解答.

[關鍵詞]數學競賽試題； 基本初等函數； 最大(小)值； Taylor公式； 函數單調性

1引言

2013年浙江省高等數學競賽(文科與?？祁?第三題為：

該試題的參考答案如下.

其中ξ介于0與x之間.

這道試題及解答啟發(fā)我們提出如下問題：該試題是否還有其他解法？另外，若將試題中的f(x)=sinx改為其他基本初等函數(初等函數)，如cosx,tanx,ex，lnx(或ln(1+x))，arcsinx, arctanx等，是否也會產生類似問題？本文將對比展開討論.

2試題的第2種解法

ψ′(x)=2cosx-2+xsinx,ψ″(x)=xcosx-sinx=cosx(x-tanx).

3與試題類似的問題

(iii) 設f3(x)=ex，g3(x)=1+x+a3x2.若對?x>0,f3(x)≥g3(x)，求常數a3的最大值.

(iv) 設f4(x)=ln(1+x)，g4(x)=x-a4x2.若對?x>0,f4(x)≥g4(x)，求常數a4的最小值.

(v) 設f5(x)=arcsinx，g5(x)=x+a5x3.若對?x>0,f5(x)≥g5(x)，求常數a5的最大值.

(vi) 設f6(x)=arctanx，g6(x)=x-a6x3.若對?x>0,f6(x)≥g6(x)，求常數a6的最小值.

由于解題方法類似，因此我們僅給出問題(ii),(iv),(vi)的解答，其余問題可供讀者作為練習.

問題(ii)的解答.

故由Taylor公式知

問題(iv)的解答.

其中ξ>0.所以

問題(vi)的解答.

故由Taylor公式知

當x>0時，由于

作為本文的結束，我們還要給出兩點說明.

(A) 問題(ii),(iv),(vi)的解法主要是借助于基本初函數(初等函數)的Taylor公式，若利用前面試題的第2種方法(即利用函數的單調性)也可以求解.

(B) 由于雙曲函數(反雙曲函數)與三角函數有相似的性質，因此對于雙曲函數(反雙曲函數)也會有類似的問題，例如：

設f7(x)=shx，g7(x)=x+a7x3.若對?x>0,f7(x)>g7(x)，求常數a7的最大值；

設f8(x)=arcthx，g8(x)=x+a8x3.若對?x>0,f8(x)≥g8(x)，求常數a8的最大值.

這些問題的解答以及尚未提出的問題及解答留給有興趣的讀者去思考.

[參考文獻]

[1]同濟大學數學系.高等數學(上冊)[M].6版.北京：高等教育出版社，2012.

[收稿日期]2014-02-15

[中圖分類號]O172

[文獻標識碼]C

[文章編號]1672-1454(2015)01-0102-03