李小光

(西安航空學(xué)院理學(xué)院， 陜西 西安 710077)

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一類(lèi)單位圓上單葉正則函數(shù)的分類(lèi)

李小光

(西安航空學(xué)院理學(xué)院， 陜西 西安 710077)

摘要：為研究單位圓上單葉正則函數(shù)的性質(zhì)。運(yùn)用單葉解析法得到零點(diǎn)處函數(shù)值等于零、導(dǎo)數(shù)值等于1的函數(shù)具有的一些重要性質(zhì)，給出這些性質(zhì)的分類(lèi)，分別是：冪級(jí)數(shù)展式的系數(shù)估計(jì)、模的估計(jì)、像區(qū)域范圍的估計(jì)。單葉正則函數(shù)的性質(zhì)及其分類(lèi)是研究復(fù)變函數(shù)幾何理論的基礎(chǔ)，對(duì)復(fù)變函數(shù)基礎(chǔ)性研究具有一定的現(xiàn)實(shí)意義。

關(guān)鍵詞：?jiǎn)稳~解析; 系數(shù)估計(jì); 模的估計(jì); 像區(qū)域范圍的估計(jì)

定義1 令n=1,2,…，對(duì)于k=1,2,…,n，稱

τk(t)=

(1)

為deBranges函數(shù)[1]。其中(a)v是a(a+1)…(a+v-1)的縮寫(xiě)。

如果令τk+1(t)≡0，則有

(2)

還可以得到[1]

τk(0)=n+1-k

(3)

τ′(t)<0, 0

(4)

(5)

1系數(shù)的估計(jì)

|cn|≤n, (n=1,2,…)

(6)

|c2|≤2

(7)

(8)

證明設(shè)圓周|z|=ρ<1由w=f(z)=

(n=1,2，…)

(9)

f(z,t)=etz+…(z∈D), 0≤t<+∞

(10)

使f(z,0)=f(z)，且

(11)

其中χ(t)在0≤t+∞連續(xù)，且|χ(t)|=1。

適合f(D)/J的函數(shù)f在S中就D內(nèi)局部一致收斂來(lái)說(shuō)是稠密的，因此僅需對(duì)這些函數(shù)證明式(9)。

(12)

(13)

記b0(t)=0，

(14)

由式(14)得

(15)

令n=1,2,…固定,考慮

t<+∞)

(16)

其中τk(t)是deBranges函數(shù)。

2模的估計(jì)[6-8]

記z=reiθ，則上述不等式可寫(xiě)為

(17)

又因?yàn)閘nf′(z)=[|lnf′(z)|+iargf′(z)][3]

即

(18)

(19)

由式(17)-(18)，可得到下列定理

定理6(變形定理)設(shè)f(z)在|(z)|<1上單葉解析,f(0)=0，f′(0)=1,則

(20)

(21)

(22)

同理在式(18)兩邊從0到r積分得

(23)

沿著直線從0到z對(duì)式(11)的右邊積分

考慮圓周|z|=r上的像點(diǎn)w，將w=0與w以直線段連接，這條直線段的原像是L，則

綜合以上積分得到

(24)

3像區(qū)域范圍的估計(jì)

定理7 (面積掩蔽定理)[10]設(shè)函數(shù)f(z)=

證明如果點(diǎn)c不在w=f(z)的像區(qū)域B內(nèi)，則函數(shù)

推論1[11]如果f(z)在|z|<1上單葉解析，f(0)=0，在圓|z|<1上不取數(shù)值c，則f′(0)≤4c。

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Classification of a Class of Univalent Regular Functions on the Unit Circle

LI Xiao-guang

(College of Science, Xi'an Aviation College, Xi'an, Shaanxi 710077,China)

Abstract:In this paper, the properties of univalent regular functions on the unit circle are studied. Through univalent analytical method, some important properties are introduced when some properties classification are given, these properties are the coefficients estimation of expansion of power series, the estimation of model and the estimation of the domain of image. Properties and classification of univalent regular function is the basis of geometric theory of function of complex variable, which has practical significance to the study of function of a complex variable.

Key words:univalent analysis; the coefficients estimation; the estimation of model; the estimation of the domain of image

中圖分類(lèi)號(hào)：O175.14

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1671-9131(2015)04-0012-04

作者簡(jiǎn)介：李小光(1973-)，女，遼寧鐵嶺人，副教授，從事代數(shù)學(xué)及信息論方面的研究。