張浩

許多同學會有這樣的感覺：在審題過程中似曾相識，但解題過程中卻義千瘡百孔.究其根源，主要是在課堂中對學習內(nèi)容的理解上往往蜻蜓點水，習慣于簡單模仿，沒有自己的獨立思考.尤其是對概念的理解，對問題的理解不夠深刻，老師追問“懂了嗎”，不假思索地回答“懂了”.

懂是有階段性的.對于概念，同學們不僅僅要懂其本身，而且要懂它的來龍去脈；不僅要通過例題懂概念的局部，而且要通過課堂練習、課后作業(yè)懂其全部；懂這個概念為什么要提出來，從哪一個方面提出來，利用這個概念可以解決什么問題，為什么可以解決這些問題，如此等等.下面從《導數(shù)》中的一些問題，淺談一下上述思考.

第一階段：概念的生成，達到概念的“朦朧懂”

導數(shù)概念的建立是基于“無限逼近”的過程，這與初等數(shù)學所涉及的思想方法有著本質(zhì)的不同.我們首先是學習平均變化率，平均變化率是曲線陡峭程度的“數(shù)量化”，大部分同學對應該有一定的印象.緊接著結合圖象學習瞬時變化率，這是導數(shù)概念的源頭.同學們可以嘗試畫出逐步放大的圖形.具體就是曲線上一點P附近的圖形放大再放大，是“局部以直代曲”的思想根源.

第二階段：例題的探究，達到概念的“局部懂”

在“朦朧懂”后，我們的頭腦中往往有一個抽象的概念模型，這需要用具體例子來試一試，以判斷對概念的“懂”的程度.因此例題的學習是一個具體化的過程，在這一過程中，不要怕出錯，要敢于試，尤其要從不太懂的角度去探究，需要同學們結合剛剛學習的概念多角度去分析、解答.

例 已知f（x）=x?，求曲線y=f（x）在x=2處的切線斜率.

分析這是教材上的一道例題，背景是利用割線斜率逼近切線斜率與導數(shù)之間的相互關聯(lián)，利用導數(shù)很容易求得斜率為4.

思考我們可以對例題進行多樣化的挖掘、探究，比如作出圖象加強直觀；還可以取△x<0進行比較；有條件的同學還可以利用計算機分別演示數(shù)值逼近和圖形逼近的過程，生動形象度和可信度大大增加.

以上從多個側面探究導數(shù)的概念，通過例題，我們要弄懂例題中關注的局部，形成一個個“局部懂”.

第三階段：練習的解答，達到概念的“變式懂”

在“局部懂”后，我們頭腦中的知識和方法往往是雜亂無章的，需要梳理，尤其需要依白己的認知去梳理.因此我們要把握好課堂上老師留出的小段練習時間，將課堂上的練習題——例題的“變式”逐一擊破.我們要在變式學習中，讓一個個“局部懂”連起來.

練習（1）直線ι是拋物線y=0.5x?-4x+10在x=6處的切線，求直線ι在y軸上的截距；

（2）直線ι是曲線y=f（x）在x=4處的切線，且切點坐標為（4，5），又ι的縱截距為3，求f'（4）的值；

（3）分別求曲線y=x?+2x在點A（l，1）及點B（-1，-3）處的切線方程.

解（1）由題意得：y'=x-4，所以切線的斜率為2.

又因為切點坐標為（6，4），由直線方程的點斜式可得直線方程為：y-4=2（x-6），即為：y=2x-8.

令x=0得y=-8，所以直線ι在y軸上的截距為 8.

（2）因為ι的縱截距為3，所以直線過點（0，3），結合ι過切點（4，5），由直線方程的兩點式可得ι的方程為，化解得ι的斜率為1/2，所以f'（4）=1/2

（3）易得：y'=2x+2，所以曲線在點A，B處的斜率分別為：0和4，對應的切線方程分別為：y=1和y=4x+l.

評注這是一組教材后的課堂練習題，相對例題而言更強調(diào)的是對概念本質(zhì)的理解.抓住切點、切線、斜率等幾個相關聯(lián)的關鍵詞，將導數(shù)的幾何意義充分理解、消化、吸收，這組問題就迎刃而解了.

思考三個練習題從不同層面詮釋了利用導數(shù)求切線時的各種關聯(lián)，一方面利用方程組的理念也可以求解切線的相關問題，另一方面利用導數(shù)可以優(yōu)化解題.但過程當中對概念的理解要透徹，從單純的模仿到帶有創(chuàng)造性的模仿，是一個飛躍.

該問題中有一個容易出現(xiàn)理解偏差的詞“在……處”，這個詞與“過……點”常常混淆，在練習中，要通過多次反復的強化，逐步融于自己的知識結構中，而不應該通過記憶來學習.說了這一問題，有可能一些同學要問：是不是要死磕一些詞呢？不一定，有些概念的真正“懂”要經(jīng)過多次反復，因此在課堂練習中更應該關注主流、重點，跟上課堂節(jié)奏，不應該在個別處“轉圈”.

第四階段：作業(yè)的自測，達到概念的“升華懂”

由于課堂上時空的制約，“變式懂”也只是在課堂中的懂，這種懂往往是瞬時的，課后，應該及時復習鞏固，讓“懂”升華.下面通過一個問題的探究，希望對大家有所啟發(fā).

問題設函數(shù)，曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為7x-4y-12=0.

（1）求y=f'（x）的解析式；

（2）證明：曲線y=f（x）上任一點處的切線與直線x=O和直線y=x所圍成的三角形面積為定值，并求此定值.

略解（1）根據(jù)曲線y=f（x）在點（2，f（2》處的切線方程為7x-4y-12=0可知，（2，f（2））滿足函數(shù)方程，且f；（2）=7/4，列方程組可求得

（2）求出f（x）在任一點（o，yo）處的切線方程，分別令x=0和y=x，求出切線與y軸及與y=x交點的坐標，表達出面積的關系式，再消去變量，求得定值為6.

思考本題旨在通過對導數(shù)的幾何意義和解析幾何中的定值問題的探究，提高對導數(shù)的整體認識，在提升推理論證能力和運算求解能力的同時，導數(shù)概念在頭腦中也得到升華.

課堂上的理解程度受很多因素的影響，但追根溯源必須要對概念有深刻的理解，對典型問題要問一問為什么，對課堂練習要問一問像不像，對課后作業(yè)要問一問怎么做，作業(yè)做好后要問一問是否還有其他方法.

學習中的每個階段，我們應該跟上甚至超越，這樣才是真正的“懂”.