張育鋒 李圖南

（陜西省土地工程建設(shè)集團(tuán)，陜西 西安710075）

1 引言

城市地鐵線路總體上會穿過城市交通擁擠、人口密集、建筑物林立、地下管線復(fù)雜的路段，在施工過程中會引起周邊巖土的變形，從而給地表建筑物、地下管線的運營帶來安全隱患，因此地鐵建設(shè)過程中沉降監(jiān)測預(yù)報顯得尤為重要。近年來，對變形數(shù)據(jù)分析與預(yù)報方面的方法很多，有回歸分析、時間序列分析法、灰色系統(tǒng)理論、BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法、卡爾曼濾波、小波分析等［1］。由于地鐵沉降預(yù)測的復(fù)雜性，單一模型只能描述其局部的變化規(guī)律，預(yù)測精度時高時低，不穩(wěn)定。因此對單一模型進(jìn)行改進(jìn)或建立組合預(yù)測模型成為提高地鐵沉降預(yù)測精度的重要途徑，孫景領(lǐng)提出了灰色神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)地鐵沉降組合預(yù)測模型［2］；王新洲等提出基于小波變換和支持向量機的大壩變形監(jiān)測［3］；潘國榮等提出小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)變形監(jiān)測數(shù)據(jù)組合預(yù)測模型［4］。組合模型繼承了單一模型的優(yōu)點，預(yù)測效果較好。

灰色預(yù)測在時間序列預(yù)測中是一種非常有效的方法，但近年來研究表明灰色模型存在一些理論缺陷，原始離散數(shù)據(jù)序列的光滑度、模型的背景值、初始值等會使預(yù)測結(jié)果會出現(xiàn)較大誤差［5］。支持向量機（SVM）是一種機器學(xué)習(xí)算法，是在統(tǒng)計學(xué)的VC維理論和結(jié)合風(fēng)險最小化原理的基礎(chǔ)上形成的，具有強大的泛化能力，能夠很好地解決小樣本數(shù)據(jù)、非線性和局部極小點等問題，避免出現(xiàn)過學(xué)習(xí)這種現(xiàn)象［6］。本文將灰色預(yù)測和支持向量機相融合，通過灰色預(yù)測將沉降數(shù)據(jù)累加產(chǎn)生具有單調(diào)遞增的新序列，弱化原始數(shù)據(jù)序列中隨機因素的影響，增強其規(guī)律性，采用區(qū)間滾動的方式將最新的沉降的數(shù)據(jù)作為部分輸入值，使用支持向量機對數(shù)據(jù)進(jìn)行訓(xùn)練預(yù)測，最后對預(yù)測值累減還原，從而構(gòu)建灰色支持向量機組合預(yù)測模型。通過實際測試，取得了較好的結(jié)果。

2 灰色支持向量機滾動預(yù)測模型

2.1 灰色預(yù)測方法

設(shè)通過監(jiān)測得到的地鐵原始沉降時間序列X（0）=｛x（0）（1），x（0）（2），…，x（0）（n）｝ ，通過一次累 加 形 成 新 的 1-AGO 序 X（1）=｛x（1）（1），x（1）（2），…，x（1）（n）｝ ，其 中 x（1）（k）=

對X（1）建立一階灰色模型微分方程：

其中，a為系統(tǒng)發(fā)展灰數(shù)，b為系統(tǒng)內(nèi)生控制變量。對式（1-1）離散化處理，得到：

Y=BP

根據(jù)最小二乘法可得：

解微分方程建立預(yù)測公式：

累減還原的預(yù)測值為：

2.2 支持向量機回歸算法

支持向量機回歸的目的是通過訓(xùn)練樣本，找出相對穩(wěn)定的函數(shù)逼近樣本集輸入與輸出之間的關(guān)系，并且對新的輸入也能給出準(zhǔn)確的輸出。支持向量機回歸分析分為線性回歸和非線性回歸，通常樣本呈非線性情況，隨著Vapnik的ε不敏感損失函數(shù)的引入，它已經(jīng)成功擴展為解決非線性回歸估計問題，展現(xiàn)了極好的學(xué)習(xí)推廣性。對于非線性情況，SVM 模型可以有效地實現(xiàn)對基于小樣本的高維非線性系統(tǒng)精確擬合，并且采用結(jié)構(gòu)風(fēng)險最小原則，具有很好的泛化性。已知一組訓(xùn)練數(shù)據(jù)集 （xi，yi） ，xi∈Rn，yi∈R，i=1，2，…，m，利用非線性映射φ把數(shù)據(jù)集從輸入空間映射到高維特征空間，以使輸入空間中的非線性擬合問題變成高維特征空間中的線性擬合問題。高維特征空間的線性回歸函數(shù)為：

其中，w和b為權(quán)值系數(shù)和偏差，φ（x）為特征特征空間。根據(jù)結(jié)構(gòu)風(fēng)險最小化原則，f（x） 等價于求下面的最優(yōu)化問題：

為了尋找w和b，這里需要引入松弛變量ξi，ξi*求解，（2-2）式就變等價于求解下面的優(yōu)化問題：

約束條件為：

式（2-2）中，m是訓(xùn)練樣本，ε是不敏感系數(shù)常量。上面的約束優(yōu)化問題是一個典型的二次規(guī)劃問題，上述問題可用拉格朗日乘子法求解，得到原問題的對偶問題，該二次規(guī)劃問題對偶問題為

約束條件為

通過二次優(yōu)化方法控制參數(shù)C和ε就可以控制SVM的泛化性，式（2-6）中αi*和αi是拉格朗日乘子，（αi*-αi） 非零值對應(yīng)的數(shù)據(jù)就是支持向量。根據(jù)Mercer定理，引入核函數(shù)K解算得到支持向量機回歸方程的估計式為

支持向量機的特點在于不直接計算復(fù)雜的非線性變換，而是計算非線性變換的點積，即核函數(shù)，采用的不用的核函數(shù)可以構(gòu)造實現(xiàn)輸入空間中不同的非線性回歸學(xué)習(xí)方法。SVM目前常用的核函數(shù)主要有多項式核函數(shù)、徑向基函數(shù)（RBF）和Sigmoid核函數(shù)等［7］。圖1顯示了支持向量機結(jié)構(gòu)示意圖。

2.3 滾動預(yù)測

考慮到地鐵沉降數(shù)據(jù)是一維時間序列，同時SVM多輸入單輸出結(jié)構(gòu)和不具備根據(jù)實際情況動態(tài)調(diào)整預(yù)測值的能力，對原始數(shù)據(jù)序列可以采用區(qū)間滾動預(yù)測的方法將其轉(zhuǎn)換成多維時間序列，即從左向右移動該區(qū)間，區(qū)間內(nèi)最左的數(shù)據(jù)從定長區(qū)間移動出去，則從區(qū)間右側(cè)相應(yīng)地會有新數(shù)據(jù)加入，使得區(qū)間內(nèi)的數(shù)據(jù)始終保持在p個。具體做法：設(shè)有時間序列 ｛x（1），x（2），…，x（n）｝，取i（i＜n）個作為支持向量機的訓(xùn)練樣本，（n-i）個樣本作為測試集，將輸出值反饋到輸入端作為下一次輸入值的一部分。圖2采用區(qū)間滾動構(gòu)成支持向量機的訓(xùn)練樣本集的輸出與輸入。

其中，p是步長。由于不同的時間序列前后數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)程度很不同，選取不同的數(shù)據(jù)長度其預(yù)測結(jié)果也大不相同，將最小平方誤差步長為p的xi-p，xi-p+1，…，xi-1作為支持向量機的輸入數(shù)據(jù)，xi作為預(yù)測輸出量。

2.4 灰色支持向量機地鐵沉降滾動預(yù)測模型

利用灰色生成弱化原始數(shù)據(jù)序列隨機性，增強其規(guī)律性的特性，然后利用支持向量機擬合非線性數(shù)據(jù)能力的優(yōu)勢對新序列建立預(yù)測模型，最后將預(yù)測結(jié)果進(jìn)行累減還原得預(yù)測值。具體的建模步驟如下：

（1）對原始沉降數(shù)據(jù)進(jìn)行一次累加生成新的序列，由于新生成的序列最大值最小值之間差異較大，因此對樣本進(jìn)行了歸一化處理，將大小控制在［0，1］之間。

（2）滾動預(yù)測

將處理后的地鐵沉降樣本數(shù)據(jù)分為兩部分：訓(xùn)練集和測試集，訓(xùn)練集用來訓(xùn)練數(shù)據(jù)從而得到最優(yōu)模型，選定最佳模型后對測試集進(jìn)行預(yù)測。采用滾動預(yù)測的方式對數(shù)據(jù)進(jìn)行處理確定訓(xùn)練集和測試集的輸入量和輸出量。

（3）參數(shù)的確定

目前，參數(shù)的選擇沒有統(tǒng)一的理論指導(dǎo)［8］。本文采用最常用的ε-不敏感損失函數(shù)作為損失函數(shù)，選擇徑向基函數(shù)（RBF）為模型核函數(shù)，ε通過控制回歸逼近誤差管道的大小，從而達(dá)到控制支持向量的個數(shù)和泛化能力。對于一個基于RBF為核函數(shù)的支持向量機而言，其性能由C（懲罰參數(shù)）和g（RBF核參數(shù)）決定，懲罰因子C用于控制模型復(fù)雜度和逼近誤差的折中；核參數(shù)g決定了映射函數(shù)和樣本特征子空間分布的復(fù)雜程度，C和g取值不當(dāng)都會影響SVM的學(xué)習(xí)效果。本文利用網(wǎng)格參數(shù)尋優(yōu)找到最佳參數(shù)C和g，即讓C和g在一定的范圍內(nèi)取值，為了避免“過學(xué)習(xí)”和“欠學(xué)習(xí)”的現(xiàn)象，將訓(xùn)練集利用K-折交叉驗證法［9］訓(xùn)練，取交叉檢驗下平均分類均方根誤差最小的那組C和g的值

（4）累減還原

訓(xùn)練樣本集經(jīng)過訓(xùn)練得到最優(yōu)回歸模型，將測試集代入到模型中得到預(yù)測值，對預(yù)測值反歸一化處理，生成的新序列累減還原就得到了原始地鐵沉降數(shù)據(jù)的預(yù)測值。

（5）為了方便評價預(yù)測模型的準(zhǔn)確度，本文選用平均絕對誤差（MAE）、平均相對誤差（MRE）和均方根誤差 （RMSE）作為評價指標(biāo)。

3 實例分析

根據(jù)文獻(xiàn)［10］某點實測地鐵隧道施工累積沉降數(shù)據(jù)建立灰色支持向量機滾動預(yù)測模型。本文采用 Matlab編程調(diào)用LIBSVM工具箱［11］實現(xiàn)組合模型。將2009／4／13～2009／5／24這42期作為樣本數(shù)據(jù)，用前31期的數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練集，后11期作為測試集并將其預(yù)測結(jié)果與實際值進(jìn)行比較。經(jīng)過網(wǎng)格參數(shù)尋優(yōu)得到灰色支持向量機主要參數(shù)值如下：取滾動預(yù)測的數(shù)據(jù)步長為6，K=3，C=128，g=0.0313。圖1顯示了網(wǎng)格參數(shù)尋優(yōu)的三維視圖，其中l(wèi)og2c?。?1，7］，log2g?。?8，0］，MSE表示的是K=3折交叉驗證法平均分類均方根誤差。

現(xiàn)分別用灰色預(yù)測模型、支持向量機、灰色支持向量機對后11期進(jìn)行預(yù)測并對三種預(yù)測模型精度進(jìn)行比較，結(jié)果如表1所示。

表1 2009／5／14-2009／5／24地鐵沉降預(yù)測值及精度比較

從表1可以灰色模型的精度最低，支持向量機預(yù)測精度明顯優(yōu)于前者這也體現(xiàn)了機器學(xué)習(xí)方法泛化性好的優(yōu)點，組合模型的預(yù)測精度最高，這主要是因為灰色預(yù)測模型獨特的數(shù)據(jù)生成方式增強了數(shù)據(jù)的規(guī)律性，加上支持向量機良好的泛化性從而提高了預(yù)測精度。是灰色模型、SVM模型和灰色SVM組合模型預(yù)測值和實測值比較曲線（如圖4所示）。

4 結(jié)論

支持向量機作為一種機器學(xué)習(xí)方法，具有強大的非線性逼近能力，相對人工神經(jīng)網(wǎng)路而言SVM能夠很好地解決小樣本數(shù)據(jù)、非線性和局部極小點等問題，避免出現(xiàn)過學(xué)習(xí)這種現(xiàn)象。灰色預(yù)測模型獨特的數(shù)據(jù)生成方式可以削弱數(shù)據(jù)序列的趨勢性，增強數(shù)據(jù)的規(guī)律性。本文將二者結(jié)合起來，充分利用兩者的優(yōu)勢對地鐵沉降數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測，取得了較好的預(yù)測效果，可以將此方法借鑒到建筑物、大壩等工程項目中，具有一定的實用價值。