陳顯盈　仇煥敏

(溫州中學(xué)　 浙江 溫州　325000)

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雨滴下落“紫外災(zāi)難”的消除
——對(duì)雨滴下落加速度問(wèn)題的辨析

陳顯盈仇煥敏

(溫州中學(xué) 浙江 溫州325000)

摘 要：對(duì)于雨滴在下落過(guò)程中，當(dāng)采用空氣阻力f=k1v時(shí)，其a-t圖像變化率一直減小，只適用于速度較小情況；而當(dāng)采用阻力f=k2v2時(shí)，其a-t圖像變化率先增大后減小，只適用于速度較大情況．只有當(dāng)采用阻力f=k1v+k2v2時(shí)，其a-t圖像變化率一直減小，同時(shí)適用于速度較小和較大情況，比前兩種理想化模型更加符合實(shí)際情況．

關(guān)鍵詞：雨滴下落a-t圖像修正

1提出問(wèn)題

人教版教材高中物理·必修1中第三章第3節(jié)摩擦力中的“科學(xué)漫步”專(zhuān)門(mén)介紹了流體的阻力，指出雨滴在空氣中下落，速度越來(lái)越大，所受空氣阻力也越大．因此，許多輔導(dǎo)書(shū)會(huì)出現(xiàn)以下兩道有關(guān)雨滴下落的試題．

【例1】雨滴在空中下落，受到的空氣阻力與速度大小有關(guān)．假設(shè)空氣阻力大小與速度大小成正比，則下列圖像能大致反映雨滴下降過(guò)程中加速度大小a與時(shí)間t及速度v關(guān)系的有

圖1

【例2】若已知雨滴在空中運(yùn)動(dòng)時(shí)所受空氣阻力f=kr2v2，其中k為比例系數(shù)，r為雨滴半徑，v為運(yùn)動(dòng)速率．t=0時(shí)，雨滴由靜止開(kāi)始下落，加速度用a表示．落地前雨滴已做勻速運(yùn)動(dòng)，速率為v0．下列圖像中正確的是

圖2

思考問(wèn)題：兩道試題的參考答案分別為AD和ABC，許多文章[1，2]對(duì)例題2中選項(xiàng)A提出質(zhì)疑，通過(guò)理論推導(dǎo)可知其加速度變化率并不是一直變小，而是先增大再減小的[見(jiàn)圖4(b)]，該說(shuō)法是否合理呢？另外，兩道題目情景都是雨滴下落，但其阻力公式并不相同，其實(shí)這分別是速度較小與速度較大兩種實(shí)際情況抽象出來(lái)的理想化模型，那么能否存在一個(gè)同時(shí)符合速度較小與較大兩種情況的模型或圖像呢？下面，筆者通過(guò)理論推導(dǎo)公式并繪制圖像，從而分析雨滴下落加速度隨時(shí)間變化的規(guī)律．

2分析問(wèn)題

2.1兩種情況分析

其實(shí)，在空氣中下落的過(guò)程中，當(dāng)速度v較小時(shí)，雨滴受到空氣阻力與下落的速度成正比，即

f=kv

當(dāng)速度較大時(shí)，雨滴受到空氣阻力與下落的速度的二次方成正比，即

f=kv2

(1)當(dāng)速度v較小時(shí)

f=kv

mg-kv=ma

得

可推導(dǎo)得

圖3

(2)當(dāng)速度v較大時(shí)

f=kv2

mg-kv2=ma

得

可推導(dǎo)得

圖4

2.2深入思考

從嚴(yán)格意義上講，其實(shí)圖3和圖4(b)中的曲線(xiàn)并不非常標(biāo)準(zhǔn)．對(duì)于圖3，因?yàn)榍€(xiàn)只適用于速度較小的情況，后來(lái)速度已較大，后半段可能會(huì)出現(xiàn)偏差，應(yīng)該用虛線(xiàn)表示．同理，對(duì)于圖4(b)，因?yàn)樵撉€(xiàn)只適用于速度較大的情況，而剛開(kāi)始速度為零，也會(huì)出現(xiàn)明顯偏差，也應(yīng)該用虛線(xiàn)表示．可見(jiàn)，兩種情況分別用圖5(a)和圖5(b)表示更加標(biāo)準(zhǔn)．

圖5

那么，對(duì)于雨滴下落問(wèn)題能否繪制出一個(gè)同時(shí)符合速度較小和較大的兩種情況的圖像呢？其大致圖像可以將兩條曲線(xiàn)相結(jié)合，即用圖5(a)前段部分加上圖5(b)后段部分．但是，該方法可能會(huì)出現(xiàn)以下兩種情況：第一種情況，變化率一直變?。坏诙N情況，變化率先變小，再變大后又變?。旅娼⒛Ｐ屯茖?dǎo)公式并描繪其大致曲線(xiàn)，從而判斷哪種情況正確．

3 解決問(wèn)題

3.1構(gòu)建模型

其實(shí)，雨滴在下落過(guò)程中主要受兩部分阻力：黏性阻力和壓差阻力．當(dāng)速度較小時(shí)，黏性阻力起主導(dǎo)阻力，滿(mǎn)足f=k1v；當(dāng)速度較大時(shí)，壓差阻力起主導(dǎo)阻力，滿(mǎn)足f=k2v2．因此，可假設(shè)雨滴下落過(guò)程中所受的阻力f=k1v+k2v2，當(dāng)v較小時(shí)，滿(mǎn)足k1v?k2v2，f≈k1v，k1v作為主導(dǎo)阻力；當(dāng)v很大時(shí)，滿(mǎn)足k1v?k2v2，f≈k2v2，k2v2作為主導(dǎo)阻力．因此，不管v多大，都可以假設(shè)f=k1v+k2v2．

3.2繪制圖像

此時(shí)

mg-k1v-k2v2=ma

得

可推導(dǎo)得

令

可得

圖6

4總結(jié)

總之，對(duì)于雨滴下落過(guò)程中，當(dāng)我們采用空氣阻力f=k1v時(shí)，其a-t圖像變化率一直減小，只適用于速度較小情況，在速度較大時(shí)與實(shí)際情況存在偏差；而當(dāng)采用阻力f=k2v2時(shí)，其a-t圖像變化率先增大后減小，只適用于速度較大情況，在速度較小時(shí)與實(shí)際情況存在明顯偏差．只有當(dāng)采用阻力f=k1v+

k2v2時(shí)，其a-t圖像變化率一直減小，同時(shí)適用于速度較小和較大情況，比前兩種理想化模型更加符合實(shí)際情況．

另外，我們不難聯(lián)想到科學(xué)發(fā)展史中的大家熟知的“紫外災(zāi)難”．當(dāng)時(shí)，對(duì)于黑體輻射能量按波長(zhǎng)分布的維恩公式或圖像在短波波段與實(shí)驗(yàn)符合得很好，但在長(zhǎng)波波段與實(shí)驗(yàn)有明顯的偏離．而另一個(gè)瑞利-金斯公式或圖像在長(zhǎng)波或高溫情況下，同實(shí)驗(yàn)結(jié)果相符，但在短波范圍，能量密度則迅速地單調(diào)上升，與實(shí)驗(yàn)結(jié)果矛盾，這個(gè)科學(xué)謬誤就是黑體輻射的“紫外災(zāi)難”．后來(lái)，在進(jìn)一步探索更好的輻射公式的過(guò)程中，普朗克建立了與所有的實(shí)驗(yàn)都符合的輻射量子理論．可見(jiàn)，本文對(duì)雨滴下落加速度隨時(shí)間變化圖像的研究與修正過(guò)程，可類(lèi)比為對(duì)雨滴下落的“紫外災(zāi)難”的研究與修正．

參 考 文 獻(xiàn)

1顧俊琪.雨滴下落過(guò)程中的圖像究竟如何.物理通報(bào)，2014(7)：110

2柏露枝，等.雨滴下落加速度圖像研究.物理教師，2015(4)：90

收稿日期：(2015-09-17)