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疊加相干態(tài)與疊加壓縮態(tài)的相位精度研究

謝端1，苗瑞霞1，趙健2

(1．西安郵電大學(xué)電子工程學(xué)院，陜西西安710121; 2．西北大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，陜西西安710069)

摘要:利用Cramér-Rao下界法計(jì)算了疊加相干態(tài)與疊加壓縮態(tài)可以達(dá)到的最優(yōu)相位精度。結(jié)果表明，平均粒子數(shù)較大時(shí)，疊加相干態(tài)的精度只能達(dá)到標(biāo)準(zhǔn)量子極限，而疊加壓縮態(tài)精度更高，達(dá)到了海森伯格極限。應(yīng)用損耗模型，分析了二態(tài)在有損信道中傳輸所受到的影響。研究顯示2種量子態(tài)的精度都會(huì)有所下降。最后又加入了相干態(tài)與壓縮態(tài)，將4種量子狀態(tài)進(jìn)行比較。比較結(jié)果顯示，當(dāng)各態(tài)平均粒子數(shù)較大時(shí)，壓縮態(tài)與疊加壓縮態(tài)精度較高。當(dāng)平均粒子數(shù)較小時(shí)，隨著損耗的增加，疊加壓縮態(tài)對外界環(huán)境的影響顯得很敏感，其精度衰減得更快些。

關(guān)鍵詞:相位精度;疊加相干態(tài);疊加壓縮態(tài);有損信道

由于利用量子測量方法，可以得到很高的參數(shù)精度。近些年來，人們利用該方法在原子光譜分析［1］、磁力測量［2］、光學(xué)干涉測量［3］等領(lǐng)域進(jìn)行了研究和實(shí)驗(yàn)，并取得一定成果。

理論證明，對經(jīng)典量子態(tài)的參數(shù)(如相位)進(jìn)行測量，其精度正比于1/，也即達(dá)到標(biāo)準(zhǔn)量子極限。而利用一些非經(jīng)典的量子態(tài)，其測量精度正比于1/n，可以達(dá)到海森伯格極限。這里n指的是量子態(tài)中所包含的平均粒子數(shù)。

糾纏態(tài)和壓縮態(tài)是2種重要的非經(jīng)典量子態(tài)，一些研究已證明利用這2種量子態(tài)可以將測量精度提高到海森伯格極限［4］。而非經(jīng)典的量子態(tài)很多，其它類型的量子態(tài)是否也可以使測量精度達(dá)到海森伯格極限。為此，本文選取了2種典型的非經(jīng)典量子態(tài)，疊加相干態(tài)和疊加壓縮態(tài)，研究它們用于測量所可能達(dá)到的最優(yōu)精度。一般的，若有2種狀態(tài)| ψ+＞和|ψ－＞，其宏觀上可區(qū)分，它們疊加后形式為|ψ＞∝|ψ+＞+|ψ－＞，疊加態(tài)|ψ＞也稱為薛定諤貓態(tài)。NOON態(tài)是一種糾纏態(tài)，它同時(shí)也是一種薛定諤貓態(tài)。薛定諤貓態(tài)在量子測量甚至在整個(gè)量子力學(xué)領(lǐng)域，都有著重要的地位和作用。近年來，貓態(tài)吸引了很多學(xué)者目光，尤其是疊加相干態(tài)和疊加壓縮態(tài)［5-6］。Ourjoumtsev等人報(bào)道其已在實(shí)驗(yàn)室成功制備了疊加相干態(tài)和疊加壓縮態(tài)［7-8］。

實(shí)際應(yīng)用中，量子態(tài)在傳輸過程中不可避免地會(huì)與信道發(fā)生作用，產(chǎn)生損耗。雖然先期有關(guān)損耗對精度影響的研究文獻(xiàn)較少，但已有的少許研究顯示，一些量子態(tài)非常易受有損信道的影響，其精度會(huì)大幅下降［9-11］。舉例來說，若NOON態(tài)在傳輸中損失一個(gè)粒子，最終會(huì)變成(|N－1，0＞＜N－1，0 +0，N－1＞＜0，N－1|) /2，也即從純態(tài)變?yōu)榛旌蠎B(tài)，這會(huì)造成較大的測量誤差。因此本文還將研究在量子光學(xué)通信系統(tǒng)中，光子損耗對測量精度的影響。我們會(huì)建立一個(gè)有損信道模型，分析常見量子態(tài)在損耗情況下可能達(dá)到的相位精度。該損耗模型，主要基于一個(gè)反射系數(shù)可調(diào)的分束器，其反射系數(shù)的大小與損耗程度的高低相應(yīng)。

1　無損耗情況下疊加相干態(tài)與疊加壓縮態(tài)的相位精度分析

1. 1Cramér-Rao下界法

本文需要利用Cramér-Rao下界法確定量子態(tài)精度。量子測量學(xué)主要任務(wù)是把隱含在量子態(tài)ρx中的某一參量x提取出來。在量子態(tài)測量中，這一參量可以是相位。量子測量又可以分為2步:對某一量子系統(tǒng)S進(jìn)行測量，得到數(shù)據(jù)結(jié)果;再分析測量結(jié)果以便提取出x的值。對量子態(tài)的測量可以采用POVM測量。POVM測量需有一個(gè)正定算符集合{ Ex}，并且算符之和滿足Ex= I。如果對n個(gè)量子態(tài)ρx進(jìn)行測量，得到結(jié)果y的條件幾率為pn(y | x) = Tr()。對結(jié)果y進(jìn)行數(shù)據(jù)分析可以得到估計(jì)值z。我們希望估計(jì)值z能夠非常接近真實(shí)值x。然而，實(shí)際估計(jì)值與真實(shí)值之間會(huì)有一定的誤差。假使測量是漸進(jìn)無偏的，該誤差可表示為

式中，右邊的值就是Cramér-Rao下界［12］。要使(1)式成立，必須保證測量樣本v→∞［13］。另外要指出，(1)式中，I(x)就是Fisher信息量。它可以表示為

可見要得到誤差值(精度)，計(jì)算出Fisher信息量是關(guān)鍵。

1. 2疊加相干態(tài)精度估計(jì)

疊加相干態(tài)如下式所示

式中，Ce是歸一化常數(shù)

簡單起見，取α為實(shí)數(shù)。由于時(shí)間演化，|ψe(θ)＞可以表示為

通過對此演化態(tài)的POVM測量，就可確定相位θ值。我們要選擇一個(gè)正定算符集合{ Eχ}，并使它滿足∑χEχ= I。在此，選擇Holevo正則相位測量元［14］，它可以表示為

式中，［O(φ)］kl=＜k | O(φ) | l＞，可以驗(yàn)證其滿足完備性∫O(φ) dφ= I。

對于疊加相干態(tài)，結(jié)果為φ的條件幾率為

式中，φ=φ－θ。要得到條件幾率，首先要求得S(φ)的值。先考慮α較大的情況，簡單計(jì)算可以得到

在(9)式中，我們用正態(tài)分布近似了泊松分布，再利用積分公式［15］

以及拋物柱面方程的漸進(jìn)特性

可以得到

因此

將公式(13)代入(2)式，可以得到

所以最優(yōu)的精度為

當(dāng)α較小時(shí)(α?1)，由(7)式計(jì)算p(φ)時(shí)，只精確到α的一次項(xiàng)，有

下面將精度的表達(dá)式轉(zhuǎn)化為其與平均粒子數(shù)nsc的關(guān)系。當(dāng)α較大時(shí)，疊加壓縮態(tài)的平均粒子數(shù)為nsc=α2= n;而當(dāng)α較小時(shí)，平均粒子數(shù)為nsc= 0. 5α2= 0. 5n。用平均粒子數(shù)來表示精度，可以得到

當(dāng)平均粒子數(shù)較大時(shí)，疊加相干態(tài)的精度達(dá)到標(biāo)準(zhǔn)量子極限。

1. 3疊加壓縮態(tài)精度估計(jì)

歸一化因子。由于時(shí)間演化，將會(huì)產(chǎn)生一個(gè)相移θ。演化后的狀態(tài)可以表示為

(21)式中。我們要將|ψ(θ)＞中所含的相位信息提取出來。對于疊加壓縮態(tài)，其Holevo正則測量元為

它滿足完備性∫O(φ) dφ= I?？梢郧蟮?/p>

由此，可以得到

將(25)式代入(2)式，可以得到費(fèi)舍爾信息量

由于λ→1，在φ→0附近積分函數(shù)對積分的貢獻(xiàn)較大?？梢詫⒎e分限從π/4拓展到∞，這樣就有

最終可以得到

所以最優(yōu)的精度為

相反情況下，如果處于小壓縮極限，有n?1。在此極限下λ≈，在計(jì)算條件幾率時(shí)，只需展開到λ2項(xiàng)。這樣近似的幾率為

因此

當(dāng)λ→1，也即n較大時(shí)，疊加壓縮態(tài)的平均粒子數(shù)為nss= n;小壓縮極限下，nss= 0. 5n。綜上分析，疊加壓縮態(tài)的精度值為

2　有損信道對量子態(tài)的精度影響分析

2. 1疊加相干態(tài)的損耗分析

量子光學(xué)已在近些年中快速發(fā)展，其傳播信道可以是光纖或是自由空間。但無論何種類型的信道，都會(huì)有光子損耗。本節(jié)我們搭建一個(gè)簡單的光子損耗模型，以此來研究疊加相干態(tài)的精度受損耗的影響。

圖1　光子損耗模型

在圖1中，初態(tài)會(huì)經(jīng)過一個(gè)延遲器與一個(gè)分束器到達(dá)檢測端。量子幺正操作或是其隨時(shí)間演化可以看作是一個(gè)相移θ。光子的損耗可由一個(gè)假想的分束器來描述，該分束器透射系數(shù)可調(diào)。假設(shè)其透射系數(shù)為η，則c端口湮滅算符為ac→+ae［16］。其中ai(i = c，f，e)分別為每個(gè)端口的湮滅算符。例如一個(gè)疊加相干態(tài)與環(huán)境相耦合，其可以表示為

式中，Dc(α)為位移算符，其值為exp(－α*ac)。將ac→af+ae代入Dc(α)，可以得到

對環(huán)境e取偏跡得

(36)式可以看作是4項(xiàng)相加。當(dāng)α較大時(shí)，可以將后2項(xiàng)忽略，則有

將該狀態(tài)展開成Fock態(tài)的形式

可以求得

因?yàn)棣胀ǔＪ且粋€(gè)很小的值，所以

代入到(2)式中，得

當(dāng)α較小時(shí)，對(38)式只計(jì)算到α2項(xiàng)，有

用平均粒子數(shù)來表示精度，可以得到

2. 2疊加壓縮態(tài)的損耗分析

與上面疊加相干態(tài)損耗分析類似。當(dāng)疊加壓縮態(tài)經(jīng)過分束器，對環(huán)境取偏跡，得到

令s = k + l，u = k－l?？珊喕玫?/p>

將(50)式代入(2)式，得

大壓縮極限下，λ→1，此時(shí)被積函數(shù)在φ較小時(shí)對積分貢獻(xiàn)較大。在此情況下，有近似λ2≈1－和≈。將積分限擴(kuò)展到(－∞，+∞)，得到

利用積分公式［17］

最終得到

所以，最優(yōu)相位為

這樣，可得到

綜上分析，疊加壓縮態(tài)的精度值為

3　結(jié)果分析與比較

在這一節(jié)中，我們將對比相干態(tài)，壓縮態(tài)及它們的疊加態(tài)的精度。省略推導(dǎo)過程，受損耗影響，相干態(tài)與壓縮態(tài)精度分別如(59)式和(60)式所示

圖2顯示了當(dāng)平均粒子數(shù)較大時(shí)，4種量子態(tài)的精度隨η值的變化。我們?nèi)∑骄Ｗ訑?shù)為100的情況進(jìn)行比較。相干態(tài)和壓縮態(tài)分別與其疊加形式的精度相同，它們隨著η值的減小(也即有損程度的增加)，精度不斷下降。由于當(dāng)0＜η＜1時(shí)，＜，故而壓縮態(tài)與疊加壓縮態(tài)精度較高。圖2中還有2條水平虛線，它們分別表示在平均粒子數(shù)為100時(shí)，相干態(tài)與壓縮態(tài)通過理想信道所能達(dá)到的精度。對比發(fā)現(xiàn)，隨著η值的減小，2條精度變化曲線與理想信道的精度偏離越來越大。由于當(dāng)η= 0. 5時(shí)= 1，此時(shí)壓縮態(tài)與疊加壓縮態(tài)精度從海森伯格極限降低到標(biāo)準(zhǔn)量子極限。當(dāng)η值進(jìn)一步減小時(shí)，它們的精度繼續(xù)降低，甚至?xí)陀诶硐肭闆r下相干態(tài)所達(dá)到的標(biāo)準(zhǔn)量子極限。

圖2　有損信道對各量子態(tài)精度影響(平均粒子數(shù)=100)

圖3又對比了在另一種極限下(也即平均粒子數(shù)較小時(shí))，各態(tài)精度隨損耗的變化，此時(shí)各態(tài)的精度皆不相同。當(dāng)(平均粒子數(shù))和η均處于0到1區(qū)間范圍內(nèi)時(shí)，有1/η2＞1/ηn珔＞1/η＞1/，故而疊加壓縮態(tài)的精度隨損耗的增加降低的最快，其次是疊加相干態(tài)，再次是壓縮態(tài)，最后是相干態(tài)。在平均粒子數(shù)較小時(shí)，疊加壓縮態(tài)和疊加相干態(tài)對損耗影響變得很敏感，它們的精度較低。相較于它們，相干態(tài)在此時(shí)具有一定的優(yōu)勢，它的精度也高于其他三者。損耗情況下，經(jīng)典的相干態(tài)在平均粒子數(shù)較小時(shí)，比一些非經(jīng)典量子態(tài)具有一定的優(yōu)勢。

圖3　有損信道對各量子態(tài)精度影響(平均粒子數(shù)=0. 1)

4　結(jié)論

本文研究了無損與有損情況下，疊加相干態(tài)與疊加壓縮態(tài)的最優(yōu)相位精度。利用分束器建立了一個(gè)信道損耗模型，根據(jù)此模型計(jì)算了2種量子態(tài)的精度。研究顯示各態(tài)受損耗的影響，精度均有所下降。當(dāng)平均粒子數(shù)較大或較小時(shí)，其精度變化有所不同:

1)當(dāng)各態(tài)平均粒子數(shù)較大時(shí)，壓縮態(tài)和相干態(tài)分別與其疊加形式精度相同。在一定損耗范圍內(nèi)，壓縮態(tài)與疊加壓縮態(tài)精度較高。

2)當(dāng)各態(tài)平均粒子數(shù)較小時(shí)，隨著損耗的增加，疊加壓縮態(tài)對外界環(huán)境的影響顯得很敏感，其精度衰減的更快些。此時(shí)經(jīng)典的相干態(tài)精度最高。

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Phase Precision of Superposition of Coherent State and Superposition of Squeezed State

Xie Duan1Miao Ruixia1Zhao Jian2

(1．School of Electronic Engineering，Xi'an University of Posts and Telecommunications，Xi'an 710121，China 2．School of Information Science and Technology，Northwest University，Xi'an 710069，China)

Abstract:This paper studies optimal phase precision of superposition of coherent state and superposition of squeezed state using Cramér-Rao bound approach．The results show that precision of superposition of coherent state only achieves the standard quantum limit and precision of superposition of squeezed state achieves Heisenberg limit．Using a dissipation model，we find accuracies of two quantum states decrease with increasing loss degree(η)．We also introduce coherent state and squeezed state and compare accuracies of four quantum states．When mean particle number is bigger，phase precisions of squeezed state and superposition of squeezed state are higher．When mean particle number is smaller，with the increasing loss of particle，phase precision of superposition of squeezed state decreases much faster as it is more susceptible to the environment．

Key words:phase precision，superposition of coherent state，superposition of squeezed state，dissipative channel，Cramer-Rao bounds，errors，estimation，normal distribution，optimization，photons，Poisson distribution，probability，Cramer-Rao lower bound method，dissipation analysis of superposition of squeezed states，dissipation channel，effect of dissipation channel on precision of each quantum state，mean particles number，phase precision，photon dissipation model，precision estimation of superposition of coherent states，precision estimation of superposition of squeezed states

作者簡介:謝端(1979—)，西安郵電大學(xué)講師，主要從事量子信息及微電子研究。

收稿日期:2014-11-04基金項(xiàng)目:國家自然科學(xué)基金(51302215)與陜西省教育廳科學(xué)研究計(jì)劃項(xiàng)目(14JK1682)資助

文章編號:1000-2758(2015) 02-0302-07

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

中圖分類號:O431．1