第一作者王紅霞女，博士生，講師，1977年12月生

通信作者龔憲生男，博士生導師，1956年生

O型鋼絲繩隔振器動態(tài)遲滯模型參數識別方法研究

王紅霞1,2,3，龔憲生1,3，潘飛1,3，譙艷娟4

(1 .重慶大學機械傳動國家重點實驗室，重慶400044； 2.湖北汽車工業(yè)學院, 湖北十堰442002； 3.重慶大學機械工程學院，重慶400044；4.長安股份有限公司汽車工程研究院,重慶401120)

摘要：針對O型鋼絲繩隔振器具有非線性彈性剛度、非對稱遲滯動態(tài)特性,采用改進的歸一化Bouc-Wen模型并基于該模型對鋼絲繩隔振器動態(tài)特性參數識別方法進行研究。提出新的簡單有效的兩階段識別方法進行參數辨識研究。通過數值仿真與周期性加載試驗相結合方法對所提方法進行驗證。結果表明，參數識別方法可準確有效識別出O型鋼絲繩隔振器模型參數，且試驗遲滯曲線與識別模型遲滯曲線吻合較好。

關鍵詞：O型鋼絲繩隔振器；遲滯；仿真；識別方法；改進的歸一化Bouc-Wen模型

基金項目：國家自然科學基金(51175525)；973計劃資助項目(2014CB049403)；湖北汽車工業(yè)學院博士基金(BK201406)

收稿日期：2014-04-21修改稿收到日期：2014-09-18

中圖分類號:TU112

文獻標志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2015.20.026

Abstract:A modified normalized Bouc-Wen model was adopted to describe the hysteretic behaviour of an O-type wire-cable vibration isolator which exhibits nonlinear elastic stiffness and asymmetric hysteresis dynamic behavior. The parametric identification of the O-type wire-cable vibration isolator was realized based on the modified normalized Bouc-Wen model. A new simple yet effective two-stage identification method was developed. Numerical simulations and periodic loading experiments were carried out to validate the proposed identification method. The results indicate that the proposed identification method is effective and accurate for identifying the model parameters of O-type wire-cable vibration isolator, and the experimental hysteresis loops are close to the identified hysteresis loops.

Parametric identification method for identifying dynamic hysteretic model parameters of O-type wire-cable vibration isolator

WANGHong-xia1,2,3,GONGXian-sheng1,3,PANFei1,3,QIAOYan-juan4(1. State Key Laboratory of Mechanical Transmission, Chongqing University, Chongqing 400044,China;2. Hubei Automotive Industries Institute, Shiyan, Hubei 442002,China; 3. College of Mechanical Engineering, Chongqing University, Chongqing 400044,China;4.Changan Automotive Engineering Institute, Chongqing 401120,China)

Key words:O-type wire-cable vibration isolator; hysteresis; simulation; identification method; modified normalized Bouc-Wen model

鋼絲繩隔振器作為新一代干摩擦型阻尼遲滯隔振裝置廣泛用于諸多領域[1-4]。本文用多個彼此獨立的鋼絲繩圈作為隔振器彈性阻尼元件組成O型鋼絲繩隔振器，見圖1。該隔振器繩圈裝夾更換方便、組裝靈活、維修容易，可延長隔振器使用壽命。已有的對鋼絲繩隔振器非線性遲滯系統(tǒng)參數識別方法的研究主要針對Bouc-Wen模型或其改進模型用實驗數據進行參數識別，并取得較多成果。如時域最小二乘法[5-7]、頻域最小二乘法[8-10]、擴展卡爾曼濾波算法[11-12]、順序或自適應算法[13-14]等，均采用迭代算法尋找參數最優(yōu)值，涉及初始參數選取，若果選取不當可能無法收斂、無法識別參數或得不到較優(yōu)參數。Ikhouane等[15]針對遲滯系統(tǒng)提出歸一化Bouc-Wen模型，并用極限環(huán)法[16]識別模型參數。該方法不涉及迭代算法，不存在收斂性問題。只要符合其適用范圍，便能準確識別出相應參數。因此，本文提出新的簡單有效的兩階段識別方法，基于試驗數據對O型鋼絲繩隔振器模型參數進行辨識研究。通過數值仿真及周期性加載試驗相結合對該方法與另一模型及參數識別方法比較，驗證該方法對O型鋼絲繩隔振器模型參數識別的準確性、有效性。

圖1　O型鋼絲繩隔振器 Fig.1 O-type wire-cable vibration isolator

1O型鋼絲繩隔振器遲滯模型

O型鋼絲繩隔振器為典型的遲滯隔振裝置。Bouc-Wen模型能有效描述遲滯系統(tǒng)動態(tài)特性[17]。歸一化Bouc-Wen模型可表述為

f(t)=κxx(t)+κzz(t)

(1)

(2)

式中：f(t)為總恢復力；x(t)為輸入激勵位移；z(t)為遲滯因子；kxx(t)為彈性恢復力；kzz(t)為純遲滯力；ρ，σ，n，kx，kz為歸一化Bouc-Wen模型參數。

式(2)可寫為

(3)

當z達到最大或最小值時，關系式成立

(4)

滿足條件時z才能達到極值，即

(5)

由式(3)～式(5)求得z的極值為

zmin=-1,zmax=1

(6)

圖2　歸一化Bouc-Wen模型產生的純遲滯力極限環(huán) Fig.2 The pure hysteretic component limit cycle generated by the normalized Bouc-Wen model

O型鋼絲繩隔振器在垂向承受正弦位移激勵振幅A=7 mm、頻率為5 Hz的拉壓載荷試驗遲滯環(huán)，見圖3。由圖3看出，試驗遲滯環(huán)呈現(xiàn)非對稱性。而歸一化Bouc-Wen模型只能描述對稱遲滯特性。

圖3　O型鋼絲繩隔振器動態(tài)響應試驗遲滯環(huán) Fig.3 The measured dynamic response of O-type wire-cable vibration isolator

為描述非對稱遲滯環(huán)，基于歸一化Bouc-Wen模型進行改進，該模型可表述為

f(t)=Fae+κzzFa

(7)

(8)

(9)

(10)

式中：Fae為非線性彈性恢復力；Fa為非線性放大因子；kaei，kaj分別為非線性彈性恢復力及非線性放大因子多項式系數；N，M分別為Fae，F(xiàn)a的多項式階數。

參數識別時此兩多項式階數及奇偶冪次確定可據試驗數據及曲線擬合利用程序手動調整階數N，M數值，以達到較好擬合效果。引入的兩多項式階數選取不同，模型擬合度亦不同。因此針對不同試驗數據進行參數識別時多項式階數可能不同。

2O型鋼絲繩隔振器模型參數識別

2.1非遲滯參數的識別

由圖2，激勵位移x幅值較大、x取值遠離最大或最小值即x在穩(wěn)定段取值時，純遲滯響應有界且對稱。因此對幅值較大試驗遲滯環(huán)(圖3)，在穩(wěn)定段式(7)中純遲滯響應κzzFa有界，上界極值為kzFa。由于采集的試驗數據是離散的，穩(wěn)態(tài)響應穩(wěn)定段恢復力在加、卸載時分別表示為

(11)

式中：fu，fl分別為穩(wěn)定段加、卸載恢復力；下角標k為離散數據第k個點，k(1,2,…，K),K為離散數據長度。

識別Fa的相關參數，由式(11)知

(12)

此時kz取值尚未確定，非線性放大因子Fa無法求得。因此在穩(wěn)定段假定某一點時

(13)

式中：x可取穩(wěn)定段任意值。為便于計算，x取圖3中一個周期內平均值x=0，即可求得κz，即

(14)

將式(14)代入式(12)得

(15)

式(9)可寫為離散形式

(16)

誤差函數為

e(ka)=Fak-kayTak

(17)

對應的線性最小二乘式為

mine(ka)=‖e(ka)‖2

(18)

采用線性最小二乘法求解式(18)，從而求得放大系數矢量[ka1,ka2, …,kaM]。由式(8)求得非線性彈性恢復力Faek的表達式，用式(18)同樣優(yōu)化方法求得非線性剛度系數kae=[kae1,kae2, …,kaeN]。整個位移區(qū)間包括非穩(wěn)定段據所求系數分別獲得對應的擬合多項式。采用以上識別方法由試驗遲滯環(huán)(圖3)分解出非線性彈性恢復力Fae及其擬合見圖4，非線性放大因子Fa及其擬合見圖5。

圖4　分解的多項式F ae及擬合的F ae Fig.4 The decomposed and predicted polynomials of F ae

圖5　分解的多項式F a及擬合的F a Fig.5 The decomposed and predicted polynomials of F a

2.2識別純遲滯響應中各參數

隔振器承載時純遲滯響應產生的極限環(huán)可通過式(7)整體響應中提取。寫成離散形式為

(19)

式中：θ=kzz為整體響應中提取的純遲滯力曲線。用式(19)及已識別的非線性彈性恢復力Fae、Fa及參數κz，由(圖3)動態(tài)響應試驗遲滯環(huán)中提取的純遲滯力曲線見圖6。利用提取的純遲滯力數據中隱含信息用極限環(huán)法結合式(10)識別出ρ,σ,n各模型參數。與第一階段識別程序相似，參數識別過程不涉及迭代算法。

圖6　O型鋼絲繩隔振器純遲滯力曲線 Fig.6 The pure hysteretic curve of O-type wire-cable vibration isolator

以試驗數據為依據，據式(18)用線性最小二乘法先識別Fae與Fa相應參數及kz值；據第一階段識別結果提取純遲滯力極限環(huán)曲線，用極限環(huán)法識別出純遲滯響應中各參數，獲得改進的歸一化Bouc-Wen模型所有參數值。

3數值仿真

為證實兩階段法的有效性，采用位移激勵方式對O型鋼絲繩隔振器動態(tài)特性進行數值仿真測試。針對鋼絲繩隔振器具有垂向硬化重疊特性及非線性彈性剛度改進的Bouc-Wen模型及頻域識別方法進行參數識別。仿真試驗數據源自Ni’s模型，即

f(t)=F2a(t)[z(t)+F1a(t)]

(20)

F1a(t)=k1x(t)+k2sgn[x]x2(t)+k3x3(t)

(21)

F2a(t)=bcx(t)

(22)

(23)

式中：k1,k2,k3,b,c,α,γ,β,n為模型參數。

數值仿真中模擬的位移激勵信號為

x=Asin(t)

(24)

式中：A為位移幅值，分別取3,4,5,6,7。

為使仿真響應數據更接近試驗數據，加入適當噪聲信號至輸出信號。被噪聲污染的輸出恢復力fn(t)信號為

fn(t)=f(t)+εrif

(25)

式中：ε為噪聲水平，指噪聲與信號之比；f為f(t)幅值；ri為符合標準正態(tài)分布的隨機變量。

數值仿真中取ε=0.025，據已有鋼絲繩隔振器垂向動態(tài)特性模型參數識別結果k1=39.145，k2=1.360，k3=0.156，b=1.799，c=0.202，α=147.761，γ=-15.512，β=44.726，n=0.434，所得仿真試驗數據fn(t)見圖7。仿真流程見圖8。

圖7　一個周期不同幅值仿真輸出響應數據 Fig.7 A period of certain groups of the response simulated experimental data

圖8　數值仿真流程圖 Fig.8 A flow chart of numerical simulation

頻域法涉及的Levenberg-Marquardt迭代算法旨在尋找最優(yōu)參數，涉及初始參數選取。選兩組初始參數產生仿真數據，一組產生仿真數據準確模型參數；一組為隨機模型參數，即k1=1，k2=0，k3=0.1，b=1，c=1，α=1，γ=1，β=0，n=0。 利用準確初值直接產生原始數據作為真值，采用Ni’s方法識別后產生的數據作為模型數據進行比較。預測響應與真實響應遲滯環(huán)見圖9～圖11。

圖9　用精確初值Ni’s方法預測響應遲滯環(huán)與真實響應遲滯環(huán) Fig.9 A period of the true responses and the predicted responses hysteresis loops using parameters identified through Ni’s method with exact initial values

圖10　用隨機初值Ni’s方法預測 響應遲滯環(huán)與真實響應遲滯環(huán) Fig.10 A period of the true responses and the predicted responses hysteresis loops using parameters identified through Ni’s method with random initial values

圖11　用兩階段識別方法預測 響應遲滯環(huán)與真實響應遲滯環(huán) Fig.11 A period of the true responses and the predicted responses hysteresis loops using parameters identified through the two-stage identification method

為定量分析預測效果優(yōu)劣，利用兩數學統(tǒng)計參數對每組仿真預測計算結果見表1。其中RMSE為均方根誤差，用于衡量觀測值與真值間偏差。RMSE值越小預測響應越接近真實響應。

表1　預測遲滯環(huán)的RMSE及R NL

針對非線性模型，更有效的曲線回歸擬合優(yōu)度指標RNL[18]為

(26)

式中：pk為預測離散響應值；fk為測試離散響應值；K為一個穩(wěn)定周期內離散數據個數。

由式(26)，RNL將殘差平方和與相對誤差結合，RNL愈接近1表明識別參數擬合的曲線優(yōu)度愈好。

由圖9～圖11及表1看出，所有預測遲滯環(huán)均非常接近真實遲滯環(huán)。而表1的RMSE與RNL值表明，用本文模型及兩階段識別方法較Ni’s模型參數識別時采用隨機初值預測真實響應效果好，且仿真試驗數據為由Ni’s模型產生。為使Ni’s模型參數收斂至合適的解，需正確選擇初始值。數值仿真中嘗試隨機選取諸多初始值，大多無法收斂至合適的解，且至少超過100次迭代方可獲得一個收斂解。而每步的迭代Ni’s方法均需進行傅里葉變換及反變換，因此用該方法耗時較長。而兩階段識別方法不涉及迭代算法，不存在初始參數選取及收斂性問題，因而能提高計算效率。采用Ni’s模型、方法取精確初值所得預測響應較用本文參數識別方法更接近真實響應。此因兩階段法在參數識別第二階段未涉及優(yōu)化問題，不能保證識別參數為最優(yōu)值。

為判斷本文參數識別方法的抗噪聲能力，在不同噪聲水平下進行數值仿真。參數預測見表2。由表2看出，噪聲水平越低預測響應越接近真實響應，隨噪聲水平增加對預測效果影響不大，說明該方法抗噪聲能力較強。

表2　不同噪聲水平下預測遲滯環(huán)的RMSE及R NL

4試驗驗證

為驗證兩階段參數識別方法對O型鋼絲繩隔振器動態(tài)特性參數識別的有效性，在某汽車研究院MTS彈性元件測試系統(tǒng)(型號831)試驗機上用位移激勵方式對隔振器動態(tài)特性進行試驗研究。用本文模型與兩階段參數識別方法所得試驗、預測模型遲滯環(huán)比較見圖12。

圖12　用兩階段識別法預測、試驗遲滯環(huán) Fig.12 The measured responses and the predicted responses hysteresis loops using parameters identified through the two-stage identification method

采用Ni’s模型、參數識別方法在只有試驗遲滯環(huán)無精確模型參數情況下,隨機選取初始參數k1=1,k2=0,k3=1,b=1,c=1,α=1,γ=1,β=0,n=0，所得試驗、預測模型遲滯環(huán)比較見圖13。

圖13　用隨機初值Ni’s法預測、試驗遲滯環(huán) Fig.13 The measured responses and the predicted responses hysteresis loops using parameters identified through Ni’s method with random initial values

基于試驗結果，用Ni’s方法、Ni’s模型參數識別結果及預測效果見表3。

用本文模型與兩階段參數識別方法所得參數識別結果及預測效果見表4。由圖12、圖13及表3、表4看出，用改進歸一化Bouc-Wen模型及兩階段法所得預測、試驗遲滯環(huán)吻合較好，用Ni’s模型及其頻域法在不知精確模型參數情況下隨機選取模型參數初始值所得預測、真實響應間差距較大，雖用諸多隨機初始值，但有些情況不能獲得模型參數值，無法預測響應。

表3　用Ni’s識別方法Ni’s模型參數識別結果

表4　采用兩階段識別方法本文模型參數識別結果

5結論

通過理論分析及數值仿真、試驗驗證，研究分析兩階段參數識別方法，結論如下：

(1)兩階段法可準確有效識別出O型鋼絲繩隔振器模型參數，預測響應接近真實響應；該法對噪聲污染不敏感，雖信號被噪聲嚴重污染，待識別模型參數可能偏離其真值，但用識別參數產生的預測遲滯環(huán)仍與真實遲滯環(huán)一致，認為結果合理。

(2)兩階段參數識別方法試驗曲線與模型預測曲線吻合較好，能準確有效描述O型鋼絲繩隔振器非對稱遲滯環(huán)動態(tài)特性。該方法在整個參數識別中不涉及迭代算法，使參數識別順利進行，且能提高識別的準確性。

(3)該方法在識別程序中未考慮優(yōu)化問題，不能保證所得模型參數為最優(yōu)值。若想獲得最優(yōu)值，可先用該方法獲取參數值作為初始值，再用傳統(tǒng)迭代算法求解，快速獲得收斂值。

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