第一作者陳思忠男，教授，博士生導師，1958年10月生

通信作者趙玉壯男，教授，講師，1982年11月生

基于反饋線性化的非線性懸架系統(tǒng)振動狀態(tài)觀測

陳思忠，盧凡，吳志成，楊林，趙玉壯

(北京理工大學機械與車輛學院，北京100081)

摘要：針對懸架系統(tǒng)非線性特性提出反饋線性化卡爾曼濾波算法?；谖⒎謳缀卫碚?，通過求解坐標變換，將車輛非線性振動模型變換成可觀測標準型，實現(xiàn)系統(tǒng)精確反饋線性化；采用線性卡爾曼濾波算法，針對變換的線性系統(tǒng)設計觀測器，通過坐標逆變換獲得原非線性系統(tǒng)的狀態(tài)觀測值。仿真結果表明，該算法能提高車輛振動狀態(tài)觀測精度、降低運算量。

關鍵詞：狀態(tài)觀測；反饋線性化；非線性懸架；振動

基金項目：國家自然科學基金(51205021)

收稿日期：2014-05-16修改稿收到日期：2014-09-30

中圖分類號:U461.4；U463.3

文獻標志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2015.20.003

Abstract:Aiming at the nonlinearity of suspension system, a feedback linearization Kalman filter algorithm was proposed. Based on the differential geometry theory, the nonlinear vehicle vibration model was transformed into a certain observable normal form via the change of state coordinates. Based on the obtained linearized system, an observer was designed by using Kalman filter algorithm. Finally the estimated states of the nonlinear system were obtained through inverse transformation. The simulation results show that compared with the extended Kalman observer, the proposed algorithm can improve the observation accuracy of vehicle vibration states and reduce computational complexity.

Vibration state estimation of nonlinear suspension system based on feedback linearization

CHENSi-zhong,LUFan,WUZhi-cheng,YANGLin,ZHAOYu-zhuang(School of Mechanical Engineering, Beijing Institute of Technology, Beijing 100081, China)

Key words:state estimation; feedback linearization; nonlinear suspension; vibration

雖懸架系統(tǒng)控制策略得到飛速發(fā)展，但大多需整車振動狀態(tài)已知，難以由傳感器獲得，解決此問題的常用方法為建立車輛振動狀態(tài)觀測器[1]。目前車輛振動狀態(tài)觀測算法研究主要針對線性懸架車輛系統(tǒng)[2-4]，而實際車輛懸架系統(tǒng)一般具有非線性特性，若將實際車輛簡化為線性系統(tǒng)，基于線性模型設計振動狀態(tài)觀測器，雖可簡化設計，但存在觀測精度低、易失效等缺陷，影響智能懸架系統(tǒng)控制效果。因此，研究懸架系統(tǒng)非線性特性、設計車輛振動狀態(tài)觀測器，對提高懸架控制性能具有重要意義。

線性系統(tǒng)狀態(tài)觀測算法已較成熟，而非線性系統(tǒng)，因其本身的復雜性無適用所有非線性系統(tǒng)的萬能方法，需對不同對象用不同的非線性狀態(tài)觀測算法[5]。對工程中廣泛存在的系統(tǒng)非線性特性，較有效的處理方式即進行線性化處理，采用線性方法解決。傳統(tǒng)的線性化方法在平衡點附近將系統(tǒng)模型進行級數(shù)展開并舍棄高次項，獲得線性近似，但在工作平衡點附近展開只能反映系統(tǒng)此處特性，隨工作區(qū)域擴大，舍棄高次項所致誤差會逐漸增大[6]。而用微分幾何理論研究非線性系統(tǒng)的精確線性化獲得一定發(fā)展[7]。該方法主要思想為通過尋找合適的非線性坐標變換，將原系統(tǒng)變換成可觀測的標準型，再利用線性誤差動態(tài)構造觀測器，經坐標逆變換獲得原非線性系統(tǒng)的狀態(tài)觀測[8]。

本文針對1/4車輛非線性懸架振動系統(tǒng)，基于微分幾何理論分析論證其可觀測性及觀測器線性化問題的可解性。采用反饋線性化卡爾曼濾波算法設計非線性懸架系統(tǒng)振動狀態(tài)觀測器，并仿真驗證該觀測算法對車輛振動狀態(tài)的觀測效果及運算效率。

1非線性懸架系統(tǒng)建模

1.11/4車輛振動模型

圖1為1/4車輛振動模型，主要為兩自由度振動，即車身質心、車輪質心垂向振動。圖中mb為等效車身質量；mw為等效車輪質量；zg，zb，zw分別為路面激勵、車身及車輪垂向位移。

系統(tǒng)坐標原點取在靜力平衡位置，根據(jù)牛頓第二定律，則描述1/4車輛運動的微分方程為

(1)

圖1　1/4車輛模型示意圖 Fig.1 Schematic diagram of quarter-car model

式中：Fs(·)為懸架彈性力函數(shù)，彈簧伸張時彈性力為正；Fd(·)為懸架阻尼力函數(shù)，減振器伸張行程阻尼力為正；kt為輪胎剛度系數(shù)。

本文懸架系統(tǒng)采用空氣彈簧及雙向作用筒式減振器?？諝鈴椈傻臍饽摇⒒钊睆椒謩e為D、d，氣囊容積等效高度為h，氣囊截面積A及活塞工作有效作用面積Aα為

A=πD2/4

(2)

Aα=π(D2+d2)/8

(3)

空氣彈簧的動態(tài)彈性力[9-10]為

(4)

式中：Δz=zb-zw為空氣彈簧伸張位移量；r=1.4為氣體多變指數(shù)；p0=1.01×105Pa為大氣壓力；g=9.81 m·s-2為重力加速度。

據(jù)減振器阻尼力試驗數(shù)據(jù)，用分段線性函數(shù)表達式近似，確定非參數(shù)化模型為

(5)

式中：vs為伸張行程開閥速度；vy為壓縮行程開閥速度；cs1，cs2為伸張行程阻尼系數(shù)；cy1，cy2為壓縮行程阻尼系數(shù)。

至此，已建立空氣懸架非線性彈性力及阻尼力模型，即1/4車輛非線性懸架振動模型。

1.2非線性懸架系統(tǒng)狀態(tài)空間表示

對1/4車輛非線性懸架系統(tǒng)，選狀態(tài)變量為

(6)

以懸架相對運動速度、位移為測量變量，則有

(7)

式(1)的狀態(tài)空間形式為

(8)

及

為非線性函數(shù)及系數(shù)矩陣。

2非線性懸架振動狀態(tài)觀測系統(tǒng)反饋線性化

據(jù)微分幾何理論，系統(tǒng)滿足一定條件時可通過尋找合適的非線性坐標變換將原非線性系統(tǒng)精確反饋線性化[11]。既可保證系統(tǒng)模型的準確性，亦可用理論成熟的線性觀測算法。

式(8)為無輸入多輸出隨機系統(tǒng)，滿足可精確反饋線性化充要條件時[12]通過反饋線性化獲得可觀測標準型為

(9)

2.1系統(tǒng)可觀測性驗證

通過計算輸出函數(shù)各階李導數(shù)對x的偏導，判斷系統(tǒng)可觀矩陣是否滿秩，驗證非線性懸架系統(tǒng)的可觀測性。

2.1.1輸出函數(shù)各階李導數(shù)對x偏導計算

輸出函數(shù)h1各階李導數(shù)對x的偏導數(shù)為

dh1=[1,-1,0,0]

(10)

(11)

(12)

(13)

式中：

輸出函數(shù)h2各階李導數(shù)對x的偏導數(shù)為

dh2=[0,0,1,0]

(14)

(15)

2.1.2系統(tǒng)可觀測性判斷

(16)

使可觀矩陣

(17)

滿秩，即rankQ=n。

據(jù)式(8)的具體形式，可驗證序列維數(shù)k=3、且l0=2、l1=1、l2=1時，可觀矩陣Q滿秩。因此，該非線性懸架系統(tǒng)是可觀測的，可觀指數(shù)為{2,1,1}。

2.2反饋線性化

通過驗證系統(tǒng)能精確反饋線性化充要條件求解滿足精簡對偶Brunovsky形式的可觀對(A,C)，進而求解坐標變換偏導數(shù)，積分獲得坐標變換。

2.2.1可觀對(A,C) 求解

記

hⅠ,0=[h1,h2]T，hⅠ,1=h1，hⅠ,2=h1，

hⅡ,0=?，hⅡ,1=h2，hⅡ,2=h2

(18)

(19)

將式(10)～式(15)代入式(18)、(19)，可證明

(20)

據(jù)文獻[12]，式(20)成立，坐標變換的偏導有解使C1為單位矩陣，即

(21)

由可觀指數(shù){2,1,1}得

(22)

精簡對偶Brunovsky形式的可觀對(A,C)為

(23)

2.2.2坐標變換偏導數(shù)求解

記x=X(ξ)為非線性系統(tǒng)到可觀測標準型的坐標變換，則必滿足等式

(24)

據(jù)廣義逆矩陣理論[13]，方程組(24)的通解為

(25)

式中：(·)-為矩陣(·)的任意{1}-逆，滿足(·)×(·)-(·)=(·)；Zi為與gi維數(shù)相同的任意矩陣。

據(jù)式(8)的具體形式計算得gi為

(26)

式中：z22，z42為矩陣Z1第2行第2列元素、第4行第2列元素。

由式(26)得坐標變換的偏導數(shù)為

(27)

2.2.3坐標變換求解

(28)

由于式(28)成立，?X/?ξ可積，故得坐標變換為

(29)

進而得映射為

(30)

至此，非線性懸架振動狀態(tài)觀測系統(tǒng)的反饋線性化已完成。

3反饋線性化卡爾曼濾波觀測器設計

3.1觀測器設計

考慮系統(tǒng)的過程及測量噪聲，得含噪聲的可觀測標準型為

(31)

式中：wξ為過程噪聲；B為過程噪聲的系數(shù)矩陣；vξ為測量噪聲。

對比原系統(tǒng)式(8)知，測量噪聲由系統(tǒng)決定，與坐標變換無關，故測量噪聲為

vξ=v

(32)

對坐標變換的線性系統(tǒng)設計卡爾曼濾波觀測器，需確定過程噪聲wξ及系數(shù)矩陣B。為確定坐標變換后系統(tǒng)過程噪聲，設測量變量無誤差，即b(y)=b(Cξ)。對比式(8)得

(33)

式中：B1=[0,0,-kt/mw,0]T為系數(shù)矩陣。

考慮實測變量含噪聲，即b(y)=b(Cξ+vξ)，則

(34)

式中：

綜合以上分析，令過程噪聲為

(35)

取過程噪聲的常系數(shù)矩陣為

(36)

式中：dFs0為懸架剛度系數(shù)；dFd0為懸架阻尼系數(shù)。

至此，已確定隨機線性系統(tǒng)式(31)所有變量及系數(shù)矩陣。由于線性系統(tǒng)系數(shù)矩陣為時不變，當過程、測量噪聲滿足平衡假設時，可采用穩(wěn)態(tài)卡爾曼濾波算法設計觀測器對狀態(tài)變量ξ進行觀測，即

(37)

通過坐標變換求得原坐標下狀態(tài)變量x的觀測值，完成1/4車輛非線性懸架振動狀態(tài)觀測器設計。

3.2仿真對比

3.2.1隨機路面仿真

在Matlab仿真環(huán)境中對所建1/4車輛非線性懸架模型，用反饋線性化卡爾曼濾波觀測器(FLKF)及擴展卡爾曼濾波觀測器(EKF)進行車輛振動狀態(tài)觀測。仿真車輛、空氣彈簧及減振器參數(shù)見表1。

表1　1/4車輛模型仿真參數(shù)

對車輛以10 m/s駛過B級隨機路面工況進行仿真，結果見圖2。由圖2看出，反饋線性化卡爾曼濾波觀測器能有效觀測車身、車輪振動速度及懸架相對運動速度以及車身振動加速度，而擴展卡爾曼濾波觀測器觀測精度較差。

振動狀態(tài)觀測精度定量分析結果見表2。由表2可知，反饋線性化卡爾曼濾波觀測器對車身、車輪振動速度觀測精度明顯優(yōu)于擴展卡爾曼濾波觀測器，對懸架相對運動速度及車身振動加速度觀測精度亦較高。在Matlab仿真環(huán)境下，擴展卡爾曼濾波觀測器平均一次迭代運算消耗時間為0.141 ms，而反饋線性化卡爾曼濾波觀測器為0.087 ms，僅為前者的62%。因此，反饋線性化卡爾曼濾波觀測器運算量小于擴展卡爾曼濾波觀測器。反饋線性化卡爾曼濾波觀測器的觀測精度及運算速度均優(yōu)于擴展卡爾曼濾波觀測器。

表2　非線性懸架系統(tǒng)振動狀態(tài)觀測精度(隨機路面工況I)

對車輛以20 m/s駛過C級隨機路面工況進行仿真，結果見圖3及表3。仿真結果表明，隨機路面激勵變化后反饋線性卡爾曼濾波觀測器仍優(yōu)于擴展卡爾曼濾波觀測器，表明非線性懸架系統(tǒng)振動狀態(tài)觀測算法能適應不同隨機路面。

表3　非線性懸架系統(tǒng)振動狀態(tài)觀測精度(隨機路面工況II)

圖2 非線性懸架系統(tǒng)振動狀態(tài)觀測(隨機路面工況Ⅰ)Fig.2Vibrationstateestimationofnonlinearsuspensionsystem(randomroadexcitationcaseⅠ)圖3 非線性懸架系統(tǒng)振動狀態(tài)觀測(隨機路面工況Ⅱ)Fig.3Vibrationstateestimationofnonlinearsuspensionsystem(randomroadexcitationcaseⅡ)圖4 非線性懸架系統(tǒng)振動狀態(tài)觀測(脈沖路面)Fig.4Vibrationstateestimationofnonlinearsuspensionsystem(impulseroadexcitation)

3.2.2脈沖路面

仿真1/4車輛系統(tǒng)以10 m/s車速通過固定于B級隨機路面的減速帶工況，結果見圖4。仿真曲線表明，車輛剛開始通過減速帶時反饋線性化卡爾曼濾波觀測器所得車身振動速度存在一定誤差，但該觀測器能迅速修正該誤差；車輛完全通過減速帶回到隨機路面后，觀測值能準確反映真實狀態(tài)。而擴展卡爾曼濾波觀測器雖能在車輛剛遇減速帶時較準確觀測車身振動速度，但產生的誤差不能消除，使車輛完全通過減速帶回到隨機路面后觀測值與真實狀態(tài)存在固定偏差。較擴展卡爾曼濾波算法，反饋線性化卡爾曼濾波算法對車輪振動速度、懸架相對運動速度及車身振動加速度觀測精度較高。

4結論

(1)針對懸架系統(tǒng)非線性特性提出非線性懸架系統(tǒng)振動狀態(tài)觀測算法。基于微分幾何理論，通過坐標變換求解，實現(xiàn)非線性系統(tǒng)的精確反饋線性化，并用卡爾曼濾波算法設計狀態(tài)觀測器。

(2)通過坐標逆變換獲得原非線性系統(tǒng)狀態(tài)觀測值。較擴展卡爾曼濾波觀測器，反饋線性化卡爾曼濾波觀測器觀測精度更好、運算效率更高。

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