白梅花 唐駿 羅寧 翟麗麗 劉興薇

基金項目：內(nèi)蒙古教育廳項目--《數(shù)學(xué)教育工學(xué)結(jié)合人才培養(yǎng)模式的建構(gòu)與實踐》（2013nmjg029）

摘 要 ：本文以一個簡單例子探討了統(tǒng)計中統(tǒng)計推斷的一項重要內(nèi)容--假設(shè)檢驗及其相關(guān)的基本問題。假設(shè)檢驗是利用樣本對總體進行某種推斷的方法。文中給出了對總體參數(shù)如何提出假設(shè)；再如何利用樣本數(shù)據(jù)判斷這個假設(shè)成立與否；以及假設(shè)檢驗方法可能犯的錯誤等。

關(guān)鍵詞 ：假設(shè)檢驗；統(tǒng)計量；拒絕域；錯誤

中圖分類號：O21 文獻標識碼：A文章編號：1672-3791（2015）01（c）0000-00

1.前言

假設(shè)檢驗是統(tǒng)計推斷的重要組成部分，是利用樣本對總體進行某種推斷的方法。它先對總體參數(shù)的值提出一個假設(shè)，然后利用樣本信息去檢驗這個假設(shè)是否成立。那么如何利用樣本信息，對假設(shè)成立與否作出判斷的一套程序是本文探討的內(nèi)容。

在現(xiàn)實生活中有大量的事例可以歸結(jié)為假設(shè)檢驗的問題。本文從下面例子談起。

2.假設(shè)檢驗的一個例子

例：由統(tǒng)計資料得知，2008年某地新生兒的平均體重為3190克，現(xiàn)在從2010年的新生兒中隨機抽取100個，測得其平均體重為3210克，問：2010年的新生兒與2008年相比，體重有無顯著差異？

解：從結(jié)果看，2010年新生兒平均體重比2008年新生兒平均體重增加了20克，但這20克的差異可能產(chǎn)生于抽樣的隨機性或可以理解為抽樣隨機性不可能造成20克這樣大的差異，新生兒體重確實有增加。那么，這20克的差異說明了什么？下面我們可以采取假設(shè)的方法。

（1）提出假設(shè)： 表示2010年新生兒平均體重； 表示2008年新生兒平均體重。假設(shè)2008年和2010年新生兒的體重沒有顯著差異，則原假設(shè)和備擇假設(shè)分別為

，

原假設(shè)與備擇假設(shè)互斥，肯定原假設(shè)，意味著放棄備擇假設(shè)；否定原假設(shè)，意味著接受備擇假設(shè)。

（2）確定檢驗統(tǒng)計量及檢驗法：原假設(shè)是否成立呢？我們要借助樣本統(tǒng)計量進行統(tǒng)計推斷，這個統(tǒng)計量被稱為檢驗統(tǒng)計量。選擇哪個統(tǒng)計量作為檢驗統(tǒng)計量需要考慮一些因素，例如，樣本是大樣本還是小樣本，總體標準差 已知還是未知，等等。

假定已知總體的標準差 ，樣本量 ， ， ，所以采用 統(tǒng)計量：

，

由抽樣分布原理知統(tǒng)計量 服從標準正態(tài)分布，故檢驗用 檢驗法。

（3）確定拒絕域：

如果顯著水平 ，則95%的 應(yīng)當(dāng)落在區(qū)間 內(nèi)，即 內(nèi)。那么，我們把相應(yīng)的區(qū)間

即

稱為拒絕原假設(shè)的拒絕域。如果原假設(shè)成立，那么在一次實驗中 落入拒絕域： 內(nèi)的概率只有0.05，這個概率是很小的。如果這個情況真的出現(xiàn)，我們有理由認為總體的真值不是3190克，也即拒絕原假設(shè)，接受備擇假設(shè)。

這利用的是小概率原理，小概率原理是指發(fā)生概率很小的隨機事件在一次實驗中是幾乎不可能發(fā)生的。根據(jù)這一原理可以作出是否拒絕原假設(shè)的決定。但是什么樣的概率才算小呢？概率0.05夠小嗎？著名的英國統(tǒng)計學(xué)家費希爾把小概率的標準定為0.05，雖然費希爾并沒有對為什么選擇0.05給出充分的解釋，但人們還是沿用了這個標準，把0.05或比0.05更小的概率看成小概率。

（4）檢驗假設(shè)做出決策：把已知數(shù)據(jù) ， ， ， 代入 算得

，落入拒絕域，所以拒絕原假設(shè)，認為與2008年相比，2010年新生兒的體重有顯著差異。

3.假設(shè)檢驗兩類錯誤

對原假設(shè)提出的命題，我們依據(jù)樣本提供的信息需要做出真與偽的判斷，也就是由部分來推斷總體。因而判斷有可能正確，有可能不正確，也就是說，我們面臨著犯錯誤的可能。所犯的錯誤有兩種類型，一類錯誤是原假設(shè) 為真卻被我們拒絕了，這種錯誤稱為棄真錯誤；另一類錯誤是原假設(shè) 為偽我們卻沒有拒絕，這種錯誤稱為納偽錯誤。

自然，人們希望犯這兩類錯誤的概率越小越好。那么只能增大樣本量 ，才能做到犯這兩類錯誤的概率都很小。但樣本量不可能沒有限制，否則就會使抽樣調(diào)查失去意義。但對于一定的樣本量 ，我們做不到犯這兩類錯誤的概率同時都很小。一般只能把帶來嚴重后果的一類錯誤作為首要的控制目標即可。

4.拒絕域檢驗的優(yōu)缺點

上面進行檢驗的方法是根據(jù)檢驗統(tǒng)計量落入的區(qū)域作出是否拒絕原假設(shè)的決策。在確定顯著水平 以后，拒絕域的位置也就相應(yīng)確定了，其好處是進行決策的界限清晰，但缺點是進行決策面臨的風(fēng)險是籠統(tǒng)的。在上例子中，計算的 ，落入拒絕域，我們拒絕原假設(shè)，接受備擇假設(shè)。這時犯棄真錯誤的概率為0.05。如果計算的 ，同樣落入拒絕域，我們拒絕原假設(shè)面臨的風(fēng)險也是0.05。那么0.05是通用的風(fēng)險概率，這是用拒絕域表示的弱點。

5.結(jié)束語

在實際問題的檢驗中，我們不可能對問題的背景都有所了解，如何提出假設(shè)，并沒有統(tǒng)一的標準，假設(shè)的確定通常與所要檢驗的問題的性質(zhì)，檢驗者所要達到的目的有關(guān)系，也與檢驗者的經(jīng)驗和知識水平有關(guān)。

另外，通常在假設(shè)檢驗中把希望證明的命題放在備擇假設(shè)上，而把原有的、傳統(tǒng)的觀點放在原假設(shè)上，這樣我們的目的就是希望能夠用事實推翻原假設(shè)，而接受備擇假設(shè)。由于推翻原假設(shè)需要檢驗統(tǒng)計量落入拒絕域，所以在一次實驗中原假設(shè)是具有優(yōu)勢的，由小概率原理，備擇假設(shè)在一次實驗中不容易出現(xiàn)，但一旦發(fā)生，我們就有充分的理由推翻原假設(shè)，這意味著新結(jié)論的誕生。但是沒有拒絕原假設(shè)，并不意味著備擇假設(shè)是錯誤的，只是說還沒有足夠的證據(jù)證明原假設(shè)不成立。所以說我們接受備擇假設(shè)一定意味著原假設(shè)錯誤；沒有拒絕原假設(shè)并不能表明備擇假設(shè)一定是錯的。

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